ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФЕДЕРАЛЬНОГО АГЕНТСТВА ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И
СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ»
«УТВЕРЖДАЮ»
Ректор СибГМУ
академик РАМН
_______________
В.В. Новицкий
«___»________2006 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по высшей математике для студентов
медико- биологического факультета
по специальности биохимия
Обсуждена на заседании ученого совета
медико-биологического факультета
«___»________2006 г.
Декан медико-биологического факультета
профессор _______________
С. И. Карась
ТОМСК − 2006
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ФЕДЕРАЛЬНОГО АГЕНТСТВА ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И
СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ»
«СОГЛАСОВАНО»
Декан медико-биологического
факультета
профессор ________________
С.И. Карась
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной работе
профессор ________________
А.И. Венгеровский
Программа разработана на кафедре высшей математики медикобиологического факультета Сибирского государственного медицинского
университета.
Программу составили:
опираясь на государственный стандарт сотрудники кафедры высшей
математики СГМУ: профессор В.В. Свищенко, доценты Л.А. Филипенко,
И.А. Хохлов, В.И. Корюкин
Программа прошла апробацию в учебном процессе медико–
биологического факультета в течение 1999-2005 учебных годов.
Программа утверждена на заседании методической комиссии медико–
биологического факультета СибГМУ ____________________
Рецензент:
Заведующий кафедрой высшей математики Томского университета систем
управления и радиоэлектроники
Профессор
Л.И. Магазинников
Программа утверждена на учебно–методическом заседании кафедры
высшей математики МБФ СибГМУ, протокол № 5 от 10 мая 2006 г.
.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время объём и содержание курса высшей математики в
различных вузах различны и определяются конкретными учебными планами.
Однако образовательный стандарт должен быть обеспечен некоторым
минимальным уровнем знаний студентов, который определён перечнем
экзаменационных вопросов, рекомендуемых настоящей программой. В
различных вузах возможно включение в рабочие программы отдельных тем
или разделов математики, актуальных для специфики конкретной
специальности либо научного направления. Вузам также предоставляется
возможность изменения последовательности изложения учебного материала.
Специфика различных специальностей, для которых разработана настоящая
программа, учитывается при подборе лекционного материала, в тематике
задач, решаемых на практических занятиях и контрольных работах, и при
выборе индивидуальных заданий.
2. ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В биологии за время её существования накопилось множество
качественных утверждений и положений, полученных без использования
высшей математики. Таковы, например, основные положения формальной
генетики.
Они
позволяли
систематизировать
и
упорядочивать
экспериментальный материал, не прибегая к математическому аппарату.
Применение математики при этом вовсе не исключалось. Более того, те же
положения, сформулированные на языке современной математики,
принимали более чёткую и содержательную форму; возникали новые
аспекты, ускользавшие от внимания.
Современная ситуация существенно изменилась. Биология, химия,
физика переплетаются столь тесно, что любое биологическое утверждение
(как новое, так и уже известное) нуждается в сопоставлении с законами
физики и химии. Более того, увеличение числа количественных и
качественных показателей, изучаемых во всех областях медицины и
биологии, привлечение экологических характеристик для диагностики,
анализа эффективности лечения и профилактики заболеваний требует
обязательного привлечения математического моделирования исследуемых
процессов, а необходимый системный анализ этиологии и патогенеза
заболеваний требует навыков формализации специальных знаний на языке
математических понятий.
При этом для биохимии математика выступает не только как метод
количественного расчета, но и как метод качественного мышления.
Подтверждением тому является следующее.
I. Осмысление возрастающего набора эмпирической информации о
системной взаимосвязи биохимических параметров на любом уровне
изучения невозможно без современных сложных математических методов.
При этом для врача–биохимика математика важна как необходимый
инструмент для получения дополнительной не измеряемой информации, её
систематизации и построения рабочих гипотез в специальной области
знаний.
Всё вышеизложенное подтверждает необходимость иметь для
квалифицированного специалиста общую математическую культуру
современного уровня, которая может быть приобретена при изучении таких
разделов курса высшей математики как линейная алгебра, векторная алгебра
и аналитическая геометрия, математический анализ. Полученные знания,
применяемые в специальных разделах высшей математики, таких как
дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая
статистика, позволят будущему специалисту использовать уже свои приёмы
и принципы, отражающие специфику биологического объекта.
3. ТАБЛИЦА ПО СЕМЕСТРАМ
Специальность “биохимия”
Семестр
I
II
III
IV
V
Всего часов
100
85
54
51
36
В том числе
лекции
практ. занятия
40
60
34
51
18
36
17
34
18
18
Форма
Контроля
зачет
Экзамен
Экзамен
Зачет
Зачет
4. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”
1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
1.1. Введение в математический анализ
Предел переменной величины. Определение предела на языке
последовательностей. Арифметические действия над пределами.
Определение функции. Понятие сложной функции. Классификация
элементарных функций (целые рациональные, дробно-рациональные,
иррациональные, трансцендентные). Определение предела функции.
Бесконечно малая и большая функции. Односторонние пределы.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного
Понятие производной. Геометрический и физический смысл
производной. Дифференцируемость функций. Основные правила
дифференцирования. Производные сложной функции, обратной
функции, вывод таблицы производных элементарных функций. Понятие
дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Производные высших порядков различных функций. Дифференциалы
высших порядков. Правило Лопиталя. Исследование функций методами
анализа. Интервалы монотонного изменения функции. Экстремум функции.
Исследование функции на экстремум с помощью производной второго
порядка. Участки выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты
графика функции. Общая схема исследования графика функции.
1.3. Интегральное исчисление функции одного переменного
Неопределенный интеграл (определение неопределенного интеграла,
его свойства, таблица неопределенных интегралов). Метод интегрирования,
основанный на инвариантности формы неопределенного интеграла (метод
замены переменной). Интегрирование по частям. Интегрирование дробнорациональных выражений (интегрирование дробей простейшего вида,
понятие неправильной дроби, разложение правильной дроби на сумму
простейших дробей). Интегрирование тригонометрических выражений.
Определенный интеграл (определение на основе геометрической
задачи о площади криволинейной трапеции), его свойства. Оценки
определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном
интеграле. Интегрирование по частям.
Геометрические и физические задачи с использованием определенного
интеграла (вычисление площади плоской фигуры, вычисление работы
переменной силы). Несобственные интегралы (от неограниченных функций,
с бесконечными пределами).
1.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных (определение, область определения).
Предел функции нескольких переменных, способы вычисления.
Непрерывность функции. Определение частных производных, их
геометрический смысл. Полный дифференциал как сумма частных
дифференциалов, приложение полного дифференциала.
Производные высших порядков. (обозначение, понятийный смысл,
доказательство теоремы о смешанных производных). Дифференциалы
высших порядков. Формулы для дифференциалов 2, 3-го порядков.
1.5. Интегральное исчисление функции нескольких переменных
Интегрирование функций двух переменных. Определение двойного
интеграла, его геометрический смысл, свойства. Вычисление двойного
интеграла для прямоугольной и криволинейной областей. Замена переменной
в двойном интеграле. Приложение двойного интеграла к вычислению
площадей плоских фигур и физических величин.
2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Общие понятия теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения I порядка, разрешенные относительно
производной. Уравнения первого порядка y=f(x,y). Частное и общее
решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнения с
разделяющимися переменными. Решение простейших дифференциальных
уравнений первого порядка, приводящихся к уравнениям с разделяющимися
переменными.
Простейшие дифференциальные уравнения высших порядков. Решение
простейших дифференциальных уравнений высших порядков. Частное и
общее решение дифференциальных уравнений высших порядков.
Нахождение произвольных постоянных общего решения с использованием
начальных условий. Решение линейных однородных дифференциальных
уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами.
Использование дифференциальных уравнений в прикладных задачах.
3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определение случайной величины. Классическое и статистическое
определение вероятности события и связь между ними. Аксиоматическое
постороение теории вероятности.
Условная вероятность. Закон
распределения дискретной случайной величины его табличное задание.
Числовые характеристики дискретной случайной величины (математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и моменты).
Формула полной вероятности. Формула Бейса. Повторение испытаний.
Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений событий при
повторении испытаний.
Непрерывные
случайные
величины.
Плотность
вероятности,
характеризующая непрерывную случайную величину. Свойства плотности
вероятности. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
(математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и
моменты) и использование плотности вероятности для их нахождения.
Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное
распределение. Нормальный закон распределения для непрерывной
случайной величины и его использование для нахождения числовых
характеристик непрерывной случайной величины. Функция одной случайной
величины. Закон распределения функции одной случайной величины.
Дискретный и непрерывный случаи. Система двух случайных величин.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения
системы двух случайных величин. Числовые характеристики системы двух
случайных величин. Условные законы распределения для системы двух
случайных величин. Условные характеристики случайной величины в
системе двух случайных величин.
4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Предмет, задачи и методы математической статистики. Построение
вариационных рядов и вычисление выборочных характеристик.
Теория
точечных и интервальных оценок неизвестных параметров
распределения. Проверка статистических гипотез о неизвестных параметрах
нормальных распределений и о виде неизвестного закона распределения.
Непараметрические статистики достоверности различий двух выборочных
совокупностей. Элементы регрессионного и корреляционного анализа.
Задачи и методы дисперсионного анализа в многофакторном медикобиологическом эксперименте. Применение дискриминантного анализа в
многокритериальных
сравнительных
экспериментах.
Элементы
планирования эксперимента. Последовательный анализ
в медикобиологических исследованиях.
5а. ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ “БИОХИМИЯ”
1. РАЗДЕЛ “ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА”
№№ тем
Наименование тем и их содержание
Часы
1 Предел переменной величины (понятие переменной величины,
область
определения,
свойства
абсолютной
величины
действительного числа, определение предела на языке “”, свойства
пределов, вытекающие из определения), бесконечно малые и
бесконечно большие величины, их связь. Свойства бесконечно малых
2
и бесконечно больших.
2 Понятие
неопределенности
при
вычислении
предела.
Арифметические
действия
над
пределами.
Раскрытие
неопределенностей вида  /  ,  – . Примеры. Определение
функции (перечисление всех сведений о функции, известных из
школьного курса). Понятие сложной функции. Классификация
элементарных функций (целые рациональные, дробно-рациональные,
иррациональные, трансцендентные). Определение функции на языке
3 " – ".
2
Бесконечно большая функция. Определение функции при х  .
Примеры
нахождения
предела
функции
при
раскрытии
4 неопределенностей 0/0, 0  . Первый замечательный предел.
2
Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых.
Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке (два
5
определения).
Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на
6 множестве. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций,
непрерывных на отрезке.
Понятие производной. Геометрический и физический смысл
7 производной. Дифференцируемость функций. Основные правила
8 дифференцирования. Производные сложной функции, обратной
функции.
9 Таблица производных простейших элементарных функций (вывод).
Логарифмической дифференцирование, дифференцирование неявных
и параметрически заданных функций.
10 Понятие дифференциала. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала. Производные высших порядков различных функций
11 (явных, неявных, параметрически заданных).
Дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя и раскрытие
неопределенностей вида 0/0,  /  ,  - , 0  , 1 , 0 0.
Исследование графиков функций методами анализа. Интервалы
монотонного изменения функции. Экстремум функции. Теорема
Ферма. Исследование функции на экстремум с помощью производной
второго порядка. Участки выпуклости графика функции. Точки
перегиба.
2
2
2
2
2
2
2
№№ тем
Наименование тем и их содержание
Часы
Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика
функции.
4
12 Неопределенный интеграл (понятие первообразной, неопределенного
интеграла, его свойства, таблица неопределенных интегралов).
2
13 Метод интегрирования, основанный на инвариантности формы
неопределенного
интеграла
(метод
замены
переменной).
Интегрирование по частям.
2
14 Интегрирование дробно-рациональных выражений (интегрирование
дробей простейшего вида, понятие неправильной дроби, разложение
правильной дроби на сумму простейших дробей).
4


15 Интегрирование иррациональных выражений вида: а) R(x, x , x , );
ax  b  ax  b 
) ,(
) , K );
б) R(x, (ax+b), (ax+b) , );
в) R ( x ,(
cx  d
cx  d
г) M x  N ; д) R(x, a  x ).
2
ax 2  px  q
16 Интегрирование тригонометрических выражений: а) универсальная
тригонометрическая подстановка; б) использование четности,
нечетности функций R(sin x,cos x); в) sin m x cos n x, где m и n – четные
(нечетные)
целые
положительные
числа.
Интегрирование
x
4
показательных выражений вида R(e ).
17
2
2
18
19
20
21
22
Определенный интеграл (определение на основе геометрической
задачи о площади криволинейной трапеции), его свойства. Оценки
определенного интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства
(доказательство теоремы). Формула Ньютона – Лейбница. Замена
переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Геометрические
и
физические
задачи
с
использованием
определенного интеграла (вычисление площади плоской фигуры,
вычисление работы переменной силы). Несобственные интегралы (от
неограниченных функций, с бесконечными пределами).
Функции
нескольких
переменных
(определение,
область
определения). Предел функции нескольких переменных, способы
вычисления. Непрерывность функции. Понятие частных приращений
функции. Определение частных производных, их геометрический
смысл.
Полный дифференциал как сумма частных дифференциалов,
приложение полного дифференциала. Производная сложной функции
(вывод).
Производные высших порядков (обозначение, понятийный смысл,
доказательство теоремы о смешанных производных). Дифференциалы
высших порядков. Формулы для дифференциалов 2, 3 порядков.
2
2
4
2
2
2
№№ тем
Наименование тем и их содержание
Часы
23 Интегрирование функций двух переменных. Определение двойного
интеграла, его геометрический смысл, свойства. Вычисление двойного
интеграла для прямоугольной и криволинейных областей.
4
24 Понятие правильной области при вычислении двойного интеграла.
Примеры. Замена переменной в двойном интеграле.
2
25 Приложение двойного интеграла к вычислению площадей плоских
фигур, физических величин: массы, центра масс, моментов инерции
плоских пластин различных конфигураций.
2
Всего часов: 60
2. РАЗДЕЛ “ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ”
№№ тем
Наименование тем и их содержание
Часы
1 Общие понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задачи, приводящие к составлению и решению дифференциальных
уравнений (ДУ).
1
2 Методы решения ДУ 1 порядка, разрешенных относительно
производной.
3
3 Уравнения высших порядков, допускающих понижение порядка.
4
4 Общая теория линейных уравнений высшего порядка. Теоремы о
структурах решений линейных однородных и
неоднородных
5
дифференциальных уравнений.
Математическое моделирование физико-химических и биологических
процессов.
2
2
Всего часов: 12
3. РАЗДЕЛ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ”
№№ тем
Наименование тем и их содержание
Часы
1 Классическое определение вероятности. Статистическое определение
вероятности и геометрический способ определения вероятности.
Аксиоматическое построение теории вероятности. Аксиомы, их
формулировка, расшифровка и т.д. Теорема умножения вероятностей,
сложение вероятностей для совместных и несовместных событий.
4
2 Формула полной вероятности. Формула Бейса. Повторение
испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений
событий при повторении испытаний.
4
3 Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные
величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной
№№ тем
Наименование тем и их содержание
Часы
величины. Функция распределения дискретной случайной величины.
Функция распределения непрерывной случайной величины.
2
4 Числовые характеристики дискретной и непрерывной случайной
величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Равномерное распределение. Нормальное распределение. Система
двух случайных величин. Дискретные и непрерывные случайные
величины. Плотность распределения системы двух случайных
величин. Условные законы распределения для системы двух
случайных величин.
2
5 Условные характеристики случайной величины в системе двух
случайных величин. Уравнение регрессии. Линии регрессии.
Зависимые и независимые случайные величины, их законы
распределения и плотности вероятности. Числовые характеристики
системы двух случайных величин. Корреляционный момент и
коэффициент корреляции.
2
6 Функция одной случайной величины. Закон распределения функции
одной случайной величины. Дискретный и непрерывный случаи.
2
7 Функции нескольких случайных величин. Закон распределения
функции нескольких случайных величин. Распределение разности
двух случайных величин, распределение произведения двух
случайных величин, распределение частного двух случайных величин.
Числовые характеристики функций случайных величин.
2
Всего часов: 18
4. РАЗДЕЛ “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”
№№ тем
Наименование тем и их содержание
Часы
1 Предмет, задачи и методы математической статистики. Построение
вариационных рядов и вычисление выборочных характеристик.
2 Теория точечных и интервальных оценок неизвестных параметров
распределения.
3 Проверка статистических гипотез о неизвестных параметрах
нормальных распределений и о виде неизвестного закона
4 распределения.
Непараметрические статистики достоверности различий двух
5 выборочных совокупностей.
6 Элементы регрессионного и корреляционного анализа.
Задачи и методы дисперсионного анализа в многофакторном медикобиологическом эксперименте. Применение дискриминантного анализа
в многокритериальных сравнительных экспериментах.
2
2
4
1
3
3
№№ тем
Наименование тем и их содержание
Часы
7 Элементы планирования эксперимента. Последовательный анализ в
медико-биологических исследованиях.
2
Всего часов: 17
5б. ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ
ЗАНЯТИЙ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ “БИОХИМИЯ”
1. РАЗДЕЛ “ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА”
№№ занятий
Содержание занятий
Часы
1-2 Повторение школьного курса (алгебраические преобразования,
простейшие элементарные функции).
3
Вычисление предела переменной величины на основе определения.
Вычисление неопределенностей вида  / .
4
Вычисление неопределенностей  /  ,  – .
5
Область определения элементарных функций.
6
Вычисление предела функции, вычисление неопределенностей 0/0,
 /  , 0  ,  – .
7
Первый и второй замечательные пределы.
8
Повторение темы "Вычисление предела функции".
4
2
2
2
4
4
2
Контрольная работа № 1.
Вычисление односторонних пределов.
Исследование функций на непрерывность. Определение точек
разрыва функции.
Вычисление производных на основе определения производной
12-13 функции. Вычисление производных с использованием правил
дифференцирования и таблицы производных. Вывод таблицы
производных.
Дифференцирование сложных функций (Выдать индивидуальное
14-15 задание).
Логарифмическое
дифференцирование.
Дифференцирование
16 неявных функций и заданных параметрически (без лекционного
материала).
Вычисление дифференциала функции, приложение дифференциала
17 к приближенным вычислениям.
Производные и дифференциалы высших порядков.
18-19 Контрольная работа № 2 "Вычисление производных".
20 Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.
21 Исследование интервалов монотонного изменения функции.
Экстремум функции.
9
10
11
2
2
2
4
4
5
4
4
2
2
2
№№ занятий
Содержание занятий
Часы
23 Точки перегиба функции. Асимптоты графика функции.
24-25 Полное исследование графика функции.
26 Неопределенный интеграл. Интегрирование с использованием
таблицы интегралов.
27-28 Интегрирование внесением под знак дифференциала. Выдать
индивидуальное задание (25 интегралов).
29 Интегрирование по частям.
30 Интегрирование дробно – рациональных выражений.
31 Интегрирование тригонометрических выражений.
32 Контрольная работа № 3 "Интегрирование рассмотренными
методами".
33 Интегрирование иррациональных выражений и выражений типа
R(e x).
34 Повторение методов интегрирования.
35-36 Определенный интеграл и его вычисление по формуле Ньютона –
Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям.
37 Вычисление площадей плоских фигур при различных способах
задания функции. Вычисление работы переменной силы.
38 Несобственный интеграл с бесконечными пределами.
39 Несобственный интеграл от неограниченных функций.
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Повторение темы "Определенный интеграл и его приложения".
Подготовка к контрольной работе.
Функции нескольких переменных (область определения).
Вычисление частных производных.
Вычисление
производных
сложной
функции
нескольких
переменных и полного дифференциала.
Вычисление производных и дифференциалов высших порядков от
функции двух переменных.
Контрольная работа № 4 "Определенный интеграл и функции
нескольких переменных".
Вычисление двойного интеграла.
Изменение порядка интегрирования в двойных интегралах.
Замена переменных в двойных интегралах. Практическое освоение
полярной системы координат. Построение кривых в полярной
системе координат.
Вычисление
геометрических
и
физических
величин
с
использованием двойного интеграла.
2
2
2
3
2
2
2
4
2
Всего часов: 106
2. РАЗДЕЛ “ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ”
№№ занятий
Содержание занятий
Часы
1 Решение задач на составление дифференциальных уравнений (ДУ) I
порядка. Нахождение общего и частного решений. Уравнения с
разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
2 Методы решения однородных уравнений 1 порядка и приводящихся к
ним. Решение неоднородных линейных уравнений 1 порядка методом
вариации постоянной. Уравнение Бернулли.
3 Контрольная по решению уравнений 1 порядка.
4 Изучение свойств частных решений линейных однородных
дифференциальных уравнений (ЛОДУ) высшего порядка. Изучение
понятия линейной зависимости (независимости) функций. Решение
ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
6
4
2
5
Всего часов: 17
3. РАЗДЕЛ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ”
№№ занятий
Содержание занятий
Часы
1 Пространство событий. Алгебра событий. Полная группа событий.
Классическое определение вероятности.
2
2 Статистическое определение вероятности и геометрический способ
определения вероятности. Аксиомы теории вероятностей и основные
теоремы.
4
3
4
5
6
7
8
9
Формула полной вероятности. Формула Бейса. Повторение
испытаний. Формула Бернулли.
Закон распределения случайной величины, плотность распределения
случайной величины. Числовые характеристики дискретной и
непрерывной случайной величины.
Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Нормальное
распределение.
Система двух случайных величин и ее статистическое описание.
Числовые статистические характеристики системы двух случайных
величин. Условные характеристики. Уравнение регрессии и линия
регрессии.
Функция одной случайной величины и ее статистические
характеристики.
Функция нескольких случайных величин и ее статистические
характеристики.
Контрольная работа.
4
4
4
8
4
4
2
Всего часов: 36
4. РАЗДЕЛ “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”
№№ занятий
Содержание занятий
Часы
1 Техника построения безынтервальных и интервальных вариационных
рядов. Графические характеристики статистического распределения
выборки. Построение эмпирической функции распределения.
2 Вычисление сводных характеристик выборки методом введения
условной средней и методом произведений.
3 Вычисление точечных оценок неизвестных параметров методом
моментов и методом наибольшего правдоподобия. Изучение общей
методики интервального оценивания параметров. Интервальное
оценивание системного значения нормально распределенного
признака с заданной точностью и надежностью при известном и
неизвестном. Вычисление доверительного интервала для дисперсии.
4 Проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий. Критерий
Фишера – Снедекора. Проверка гипотез о равенстве дисперсий
нескольких генеральных совокупностей. Критерий Кочрена и
5 Барлетта.
Проверка гипотез о равенстве средних двух нормальных генеральных
совокупностей при известных и неизвестных дисперсиях для
6 независимых и связанных совокупностей.
Проверка гипотез о виде неизвестного закона распределения по
2 – критерию согласия Пирсона, и по  – критерию Колмогорова.
Критерий
приближенной
проверки
нормальности
закона
7 распределения.
Непараметрические
критерии достоверности различий двух
8 совокупностей.
4
2
4
2
2
2
2
2
Вычисление выборочного коэффициента корреляции и построение
выборочного уравнения прямой линии регрессии. Проверка
9 значимости коэффициента корреляции.
Вычисление ранговых коэффициентов корреляции Кендэла и
Спирмена. Расчет тетрахорического и полихорического показателей
связи качественных признаков, проверка значимости корреляционной
10 связи.
Решение задач проверки значимости факторного влияния или
достоверности различий средних нескольких групп методами
11 однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа.
Проведение последовательного анализа Вальда и Бернарда.
Всего часов: 34
6. ЛИТЕРАТУРА
1. РАЗДЕЛЫ “ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Физматгиз, 1963.
2. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1985.
3. Луканкин Г.Л., Мартынов Н.Н. и др. Высшая математика. М.,
Просвещение, 1988.
5. Сборник задач по курсу высшей математики. / Под ред. Г.И. Кручковича.
М., Высшая школа, 1973.
6. Болгов В.А., Демидович В.П., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по
математике, ч. 1, М., Наука, 1986.
7. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков
и техников. М., Наука, 1982.
2. РАЗДЕЛ “ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ”
1. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное
пособие для ВТУЗов. М., Высшая школа, 1983, 128 с.
2. Гутер Р.С., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения. М., Высшая
школа, 1976, 304 с.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1985.
4. Луканкин Г.Л., Мартынов Н.Н. и др. Высшая математика. М.,
Просвещение, 1988.
5. Сборник задач по курсу высшей математики. / Под ред. Г.И. Кручковича.
М., Высшая школа, 1973.
6. Болгов В.А., Демидович В.П., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по
математике, ч. 1, М., Наука, 1986.
2
4
6
2
3. РАЗДЕЛ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ”
1. Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической
статистики. М., Высшая школа, 1971, 328 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М., Высшая школа, 1979, 400 с.
3. Магазинников Л.И. Курс лекций по теории вероятностей. Томск, 1989.
4. РАЗДЕЛ “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”
Основная литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,
Высшая школа, 1977, 479 с.
2. Лакин Г.Ф. Биометрия. М., Высшая школа, 1980.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М., Высшая школа, 1979.
Дополнительная литература
1. Коваленко И.Н., Филиппова А.Л. Теория вероятностей и математическая
статистика. Учебн. пособие для ВТУЗов. М., Высшая школа, 1973, 369 с.
2. Ежоков Н.С., Булыгин В.П. Некоторые вопросы практического
применения дискриминантного анализа /Новости медицинской техники,
1975, вып. 3.
7. МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ И УЧЕБНЫЕ ТАБЛИЦЫ
1. Построение вариационных рядов и вычисление статистических
характеристик.
2. Статистические методы оценок неизвестных параметров распределений.
Точечные оценки.
3. Интервальная оценка параметров распределения по экспериментальным
данным.
4. Проверка статистических гипотез о параметрах распределений.
5. Проверка статистических гипотез о законах распределений.
Непараметрические критерии.
6. Применение корреляционного и регрессионного статистического анализа
экспериментальных данных.
7. Корреляционный анализ качественных признаков. Ранговая корреляция и
показатели корреляционной связи.
8. Двухфакторный дисперсионный анализ и схема анализа многофакторного
комплекса.
9. Применение последовательного анализа в медико-биологических
исследованиях.
10. Применение дискриминантного анализа в медико-биологических
исследованиях.
8. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ НАВЫКОВ И УМЕНИЙ
В результате усвоения курса “высшая математика” студенты должны
ЗНАТЬ:
— дифференциальное и интегральное исчисление функции,
— теорию дифференциальных уравнений и рядов,
— теорию вероятностей и математическую статистику,
и УМЕТЬ:
— вычислять производные и интегралы различного вида функций,
— исследовать функции,
— решать дифференциальные уравнения
— определять по выборке точечные и интервальные оценки параметров
генеральной совокупности,
— проводить обработку сравнительного эксперимента параметрическими
и непараметрическими методами,
— проверять наличие статистической связи исследуемых количественных
либо качественных величин и оценивать её силу,
— определять оптимальную форму связи количественных переменных и
оценивать её адекватность экспериментальным данным.
9. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ
1. Математический анализ (теория пределов и дифференциальное
исчисление функции одной переменной).
1. Предел переменной величины, его геометрическая интерпретация и
свойства, вытекающие из определения предела.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные величины, их
связь и свойства.
3. Функция. Основные элементарные функции и их свойства и графики.
4. Предел функции и его геометрическая интерпретация. Предел
бесконечно большой функции.
5. Основные теоремы о пределах функции.
6. Определение непрерывности функции. Теоремы о непрерывных
функциях.
7. Некоторые свойства непрерывных функций.
8. Точки разрыва функции и их классификация.
9. Производная функции: определение, физический смысл и
геометрическая интерпретация.
10. Основные правила дифференцирования.
11. Производная обратной функции и сложной функции.
12. Производные основных элементарных функций.
13.
Дифференциал. Правила нахождения дифференциалов суммы,
разности, произведения, частного двух функций.
14. Геометрическое значение дифференциала и приближенные
вычисления.
15. Дифференциалы различных порядков.
16. Правило Лопиталя.
17. Исследование возрастания и убывания функций с помощью
производной.
18. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
функции.
19. Исследование функции на экстремум с помощью втрой производной.
20. Выпуклость и вогнутость кривой; точки перегиба.
21. Асимптоты.
22. Общий план исследования функций и построения графиков.
2. Дифференциальные уравнения (д.у.).
23. Определение д.у. первого порядка. Решение уравнения. Задача Коши.
Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения.
24. Д.у. с разделяющимися переменными.
25. Линейные д.у.
26. Д.у. высшего порядка. Основные понятия.
3. Математическая статистика.
27. Задачи статистического описания. Характеристика основных типов
эксперимента, их задач и соответствующих методов обработки данных.
28. Основные понятия и принципы выборочного метода. Группировка
выборки в вариационные ряды, построение интервального и
безынтервального ряда, полигон и гистограмма статистического
распределения выборки. Эмпирическая функция распределения.
29. Основные статистические характеристики, их свойства и методы
расчета.
30. Эмпирические начальные и центральные моменты. Выборочная
асимметрия и эксцесс. Понятие о внутри и межгрупповой дисперсии,
их связь с общей дисперсией в нескольких группах наблюдений.
31. Постановка задачи интервального оценивания неизвестных параметров
распределения. Доверительный интервал, точность и надёжность
оценки.
31. Построение доверительного интервала для оценки генеральной
дисперсии по выборке из нормальной совокупности.
32. Критерий согласия 2 – Пирсона.
33.  – критерий согласия Колмогорова.
34. Критерий Стьюдента для сравнения двух средних по выборкам малого
объёма.
35. Однофакторный дисперсионный анализ.
36. Дисперсионный анализ двухфакторного комплекса наблюдений.
37. Выборочный коэффициент корреляции по сгруппированным и
несгруппированным данным. Проверка значимости коэффициента
корреляции.
10. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА
В процессе обучения студентов применяются различные варианты
контроля знаний:
1) Поэтапный контроль теоретических знаний в виде коллоквиумов в
течение семестра.
2) Выполнение индивидуальных заданий по разделам:
а) предел функции; б) дифференцирование функций; с) исследование
функций и построение их графиков; д) неопределённый интеграл;
е) функции нескольких переменных; ж) интегрирование функций
нескольких переменных; з) дифференциальные уравнения первого
порядка; и) теория вероятностей.
3) Традиционные этапные контрольные работы.
4) Индивидуальный рейтинг студента, включающий результаты
коллоквиумов, выполнения индивидуальных заданий, контрольных
работ и оценку выполнения домашних и аудиторных заданий.
5) Конечный итог в форме полного или частичного экзамена (или зачёта)
определяется в зависимости от индивидуального рейтинга студента.