Методическое пособие по подготовке к контрольным работам и

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Открытая (сменная) общеобразовательная школа № 65»
город Набережные Челны Республика Татарстан
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по подготовке учащихся вечерней школы
к контрольным работам и зачётам.
«АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА»
12 КЛАСС
Набережные Челны
2011 год
Печатается по решению педагогического совета
МБОУ «Открытая (сменная) общеобразовательная
школа № 65» от 21 марта 2011 года протокол № 4
Методическое пособие разработано для обучающихся 12 классов вечерней школы
(по заочной сетке обучения) и соответствует действующему Федеральному компоненту
Государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике
(базовый уровень). В пособии изложены основные вопросы курса «Алгебра и начала
анализа» третьей ступени обучения, которые выносятся на государственную (итоговую)
аттестацию по математике в форме единого государственного экзамена. Будет полезным
при самостоятельной подготовке обучающихся к зачёту и контрольной работе по
изучаемым темам.
Составители:
С.В. Мартынова, учитель первой квалификационной категории МБОУ «ОСОШ№65»
В.Р. Гизатуллина, учитель первой квалификационной категории МБОУ «ОСОШ№65»
Рецензент: Кадыров Фуат Кабирович - ведущий специалист кафедры методики
преподавания математики и информационных технологий Институт Развития
Образования Республики Татарстан
ТЕМА «ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ».
ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ.
Функция
Первообразная
k (постоянная)
kx + C
n
x n1
x , n  Z , n  1
C
n 1
1
2 x C
x
sin x
 cos x  C
cos x
sin x  C
tgx  C
1
2
cos x
 ctgx  C
1
2
sin x
ТРИ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ.
Функция
f+g
kf
f(kx+b)
Первообразная
F+G
kF
1
F kx  b 
k
ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.
1.
2.
3.
4.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 ПО ТЕМЕ «ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ».
I Вариант.
1. Найдите общий вид первообразных F(x) функции y  f x  на указанном промежутке:
f x   2 x  5 на R, б) f x   x 7  2 sin x на R
1
в) f  x    3 на  ;0 или на 0; .
x
1
2. Для функции f  x   2  6 x  2 найдите первообразную F(x), график которой проходит через
x
а)
точку М(1;0).
3. Вычислите:
4
а)
2
 2 x dx ;
б)
2
 (3x  4 x  2)dx ;
в)
1
1

1
3
0
4
3
 ( x  2 x)dx ;
г)
1

3
 cos xdx .
0
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно сделав рисунок) y  x 3 ,
у=0, х=0, х=1.
II Вариант.
1. Найдите общий вид первообразных F(x) функции y  f x  на указанном промежутке:
а) f x   3x  1 на R,
б) f x   x 5  cos x на R,
1
на  ;0 или на 0;
x2
1
2. Для функции f  x   5  6 x 2  3 найдите первообразную F(x), график которой проходит через
x
в) f  x  
точку М(1; -1).
3. Вычислите:
3

2
а) x dx ;
2
б)
 (x
1
2
 4 x  1)dx ;

2
3
0
в)
 (3x
2

3
3
 2 x)dx ;
2
г)
 sin xdx .

3
4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно сделав рисунок) y  x 3 ,
у=0, х=1, х=2.
ЗАЧЁТ № 1 ПО ТЕМЕ «ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ».
Вопросы к зачёту:
1. Сформулируйте определение первообразной.
2. Сформулируйте основное свойство первообразной.
3. Сформулируйте три правила нахождения первообразной.
4. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
5. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
6. Объясните, что такое интеграл.
7. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
ТЕМА «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ».
1.СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
2. КОРЕНЬ n-ой СТЕПЕНИ.
3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к
рациональному путем возведения в степень обеих частей уравнения.
При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление
посторонних корней, поэтому следует проверить все найденные корни подстановкой в
исходное уравнение.
Пример:
61  x 2  5
Проверка:
Ответ: -6, 6.
61  62  5,
61  36  25  5;
61  (6) 2  5,
61  36  25  5
4.
5. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.
Свойство
loga a  1
loga 1  0
Свойства логарифмов
Допустимые значения букв
log a a c  c
a log a c  c
log a bc  log a b  log a c
b
log a  log a b  log a c
c
log a b r  r log a b
1
log p b  loga b,
a
p
a  0, a  1
a  0, a  1
a  0, a  1, c  R
a  0, a  1, c  0
a  0, a  1, b  0, c  0
a  0, a  1, b  0, c  0
a  0, a  1, b  0, r  R
a  0, a  1, b  0,
p0
log
ap
log
br 
ap
r
log a b
p
b p  log a b
log c b
log c a
1
log a b 
logb a
log a b 
a  0, a  1, b  0, r  R,
a  0, a  1, b  0,
p0
p0
a  0, a  1, с  0, с  1, b  0
a  0, a  1, b  0, b  1
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.
2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»
Вар.1
 13 14
 9 9
1. а) Найдите значение выражения 
12
 9

б) Найдите значение выражения
4


 .


1.
Вар.2
а) Найдите значение выражения
1
 16
 10 10 9
 18
10


.
9


 .


б)Найдите значение выражения
2.
3.
Найдите решение уравнения
2.
Найдите решение уравнения
а)
а)
б)
б)
в)
в)
г)
Решите неравенства
а)
452 х  0,25
б)
log 5 3x  1  2
3.
.
г)
Решите неравенства
0,37  4 х  0.027
log 1 4 x  1  2
а)
б)
7
ТЕМА «ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ».
1. Производная показательной и логарифмической функции
e x   e x
a x   a x ln a
ln x   1
x
2. Первообразная
Функция
Первообразная
1
x
ln x  С
(При x  0 ln x )
ex
ex  С
a
x
ax
С
ln a
log a x  
1
x ln a
y=e3x
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ»
Вариант 1.
1.
Найдите производную функции:
а)
б)
в)
y  2x  ex
y  x 2  3 ln x
y  3x  3x 2
2.
а)
3.
а)
Найдите множество первообразных функции на заданном промежутке:
б)
2
y
на 0; 
y  2 x  e x на R
x
Найдите производную функции в заданной точке x0 :
б)
1
y  ln x, x0  2
y  x 7  3x , x0  1
3
Вариант 2.
1.
Найдите производную функции:
а)
б)
y  x3  3 ln x
y  3x  e x
2.
а)
3.
а)
в)
y  4 x  3x 2
Найдите множество первообразных функции на заданном промежутке:
б)
3
y  4 x  e x на R
y
на 0; 
x
Найдите производную функции в заданной точке x0 :
б)
1
y  ln x, x0  1
y  x 3  2 x , x0  2
5
ЗАЧЁТ № 2 ПО ТЕМЕ «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ».
Вопросы к зачёту:
1.
Дайте определение корня n-ой степени из числа.
2.
Что такое арифметический корень n-ой степени?
3.
Перечислите основные свойства арифметических корней.
4.
Дайте определение степени с рациональным показателем и перечислите основные
свойства таких степеней.
5.
Перечислите основные свойства показательной функции.
9.
Дайте определение логарифма числа. Запишите основное логарифмическое
тождество.
Перечислите основные свойства логарифмов.
Дайте определение логарифмической функции и перечислите ее основные
свойства.
y  ex , y  a x
Запишите формулу производной для функции
10.
Какую производную имеет функция
6.
7.
8.
11.
y  log a x
Какие уравнения называют иррациональными?