«Уруссинская основная общеобразовательная школа №2» Ютазинского муниципального района Республики Татарстан Автор:

Автор: Вильданова
Ильмира Фанисовна
Полное название образовательного учреждения (с указанием региона и населенного
пункта): Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Уруссинская основная общеобразовательная школа №2»
Ютазинского муниципального района Республики Татарстан
Предметная область:
Математика
Название урока, мероприятия, классного часа, в рамках которого будет
использоваться презентация
«Элементы статистики, комбинаторики и теории
вероятностей».
Возрастная группа (класс): 5-9
Название презентации:
1. Формирование первоначальных представлений элементов теории вероятности.
2. Формирование первоначальных представлений элементов статистики.
3. Элементы теории вероятностей.
Количество слайдов: 32+27+9
Среда( редактор), в которой выполнена презентация : Power Point
1
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
«Уруссинская основная общеобразовательная школа №2»
Ютазинского муниципального района Республики Татарстан
«Элементы статистики,
комбинаторики и
теории вероятностей».
Авторская программа
учителя математики первой
квалификационной категории
Вильдановой Ильмиры Фанисовны.
2
Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей.
Содержание:
1.Пояснительная записка.
стр.
2
2.Формирование первоначальных представлений элементов
теории вероятности.
Тематический план курса для 5 - 6 класса.
3
3.Формирование первоначальных представлений элементов
статистики.
Тематический план курса для 7- 8 класса.
4
4. Элементы теории вероятностей.
Тематический план курса для 9 класса.
5
5. Для 5 – 6 классов.
Урок №1 Что изучает теория вероятностей. Случайные события.
6
6. Урок № 2. Вероятностная шкала. Сравнение шансов.
9
7. Статистические показатели. Применение статистических
данных. К уроку № 4.
13
8. Для 7 – 8 класса.
Урок № 1. Статистика. Предмет статистики.
Статистическая информация и формы ее представления.
16
9. Для 9 класса.
Элементы теории вероятностей.
19
10. Список литературы для учителя.
25
11. Список литературы для ученика.
25
12. Список литературы.
26
13. Рекомендации к мультимидийному приложению.
26
3
Пояснительная записка.
На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной
универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой
описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология,
демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социальноэкономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе.
В нашу жизнь вошли банковские кредиты и страховые полисы,
таблицы занятости и диаграммы социологических опросов, и даже сводки
погоды в газетах сообщают о том, что «завтра ожидается дождь с
вероятностью 45».
И ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными
ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизнь.
Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятностно
и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов
решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о
справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных
коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов
становления и развития личности.
Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет
школьный курс математики. Принципиальные решения о включении
вероятностно-статистического материала как равноправной составляющей
обязательного школьного математического образования приняты ныне и в
нашей стране.
Слияние двух особых областей математики: теории вероятностей и
математической статистики объединили в термин «стохастика». Обучение
стохастике понимается не как рассмотрение готовой теории и выработку у
учащихся технике расчетов, но как обучение математической деятельности,
которая имеет такие составляющие, как: перевод внематиматической
проблемы на язык математики; поиска, а по сути дела обнаружение,
стохастических понятий и методов как инструментов решения поставленной
проблемы; интерпретация полученного математического результата.
Программа рассчитана на включение новых разделов математики в
школьный курс. Программа начата в 2003-2004 г апробирована в школьном
курсе и в результате распределена на изучение с 6- 9 классы. В первые годы
вводила в 9 класс, как элективный курс.
Программа ориентирована на развитие у школьника умений решать
жизненные задачи. Выбор наилучшего из возможных вариантов, оценка
степени риска, шансов на успех и др. Кроме того, он рассчитан на развитие
самостоятельности, умения работать в команде, толерантности, реализации
межпредметных компетенций, умения работать с информацией,
представленной в виде таблиц, графиков, диаграмм, производить
4
интерпретацию результатов, полученных при исследованиях и опросах
общественного мнения.
Формирование первоначальных представлений элементов теории
вероятности.
Тематический план курса для 5 - 6 класса.
Тема
Количество
часов.
1.Что изучает теория вероятностей? Случайные события.
2. Эксперименты со случаем. Сравнение шансов.
Вероятностная шкала.
3. Частота и вероятность случайного события.
4. Статистическое определение вероятности.
5. Вероятность и комбинаторика.
6. Исторические комбинаторные задачи.
7. Вероятность вокруг нас. Зачет.
Итого
1
1
1
1
1
1
1
7
Содержание курса.
Тема№1.Формирование первоначальных представлений элементов
теории вероятности. Представление событий – случайные; достоверные;
невозможные. Развитие познавательного интереса к математике.
Тема№2. Эксперименты с кубиком, кнопкой. Определения
равновозможных и не равновозможных событий. Введение вероятностной
шкалы и размещение событий на ней. Умение переводить не
математическую проблему на язык математики, анализировать ее и узнать
степень ее случайности, достоверности, невозможности для применения в
реальной жизни . Расширение кругозора, развитие наблюдательности.
Тема№3. Вероятность наступления события. Классическая задача
Даламбера.
Тема№4. Введение понятия относительной частоты, закона больших
чисел. Определение статистической вероятности.
Тема№5. Подсчет шансов в многоэтапных экспериментах.
Тема№6. Фигурные числа. Магические квадраты. Латинские квадраты.
Историческая справка.
Тема№7. Тактика игр. Справедливые и несправедливые игры. Развитие
оперативной памяти, наблюдательности.
Зачетная работа – реферат.
Примерные темы рефератов:
1. Мир построен на вероятности.
5
2. Магические числа.
3. Комбинаторные задачи.
4. Математическая статистика.
5. История комбинаторики.
6. Жизнь и деятельность Кавалер Де Мере.
7. Что изучает теория вероятностей?
Формирование первоначальных представлений элементов статистики.
Тематический план курса для 7- 8 класса.
Тема
1. Статистика. Предмет статистики.
2. Генеральная совокупность и выборка
3. Графическое представление результатов наблюдений
4. Контрольная работа.
Итого
Количество
часов.
1
1
1
1
4
Содержание курса.
Тема№1.Статистика. Предмет статистики. Статистическая информация
и формы ее представления. Статистический ряд. Виды представлений
статистических данных.
Тема№2. Генеральная совокупность и выборка. Ряд наблюдений.
Таблица распределения частот. Относительная частота появления события.
Интервальные ряды.
Тема№3. Графическое представление результатов наблюдений.
Столбчатая диаграмма. Круговая диаграмма. Таблицы относительных частот.
Полигон частот. Полигон относительных частот.
Тема№4. Контрольная работа.
Элементы теории вероятностей.
Тематический план курса для 9 класса.
Тема
1. Предмет теории вероятностей. Понятие вероятности и его
интерпретации.
2. Статистический эксперимент, его исходы и события.
Количество
часов.
1
1
6
3. О классическом, статистическом и геометрическом
определениях вероятности.
4. Типы случайных событий и действия над ними. Теоремы о
вероятностях.
5. Случайные величины и их распределения.
6. Зачетная работа
Итого
1
1
1
1
6
Содержание курса.
Тема №1 Предмет теории вероятностей. Понятие вероятности и его
интерпретации. События. Случайные события и их виды. Действия над
случайными событиями.
Тема №2. Статистический эксперимент, его исходы и события.
Классическая вероятностная схема. Непосредственный подсчет
вероятностей.
Тема №3. О классическом, статистическом и геометрическом
определениях вероятности. Комбинаторные методы решения вероятностных
задач.
Тема №4. Типы случайных событий и действия над ними. Теоремы о
вероятностях. Геометрические вероятности. Схема Бернулли.
Тема №5. Случайные величины и их распределения. Понятие о
нормальном распределении. Кривая нормального распределения.
Нормальное приближение биномиального распределения.
Тема №6. Защита рефератов.
Примерные темы рефератов:
1. Предмет теории вероятностей.
2. Теория статистики.
3. Статистика знает все.
4. Выборочное наблюдение. Статистика.
5. Геометрическая вероятность.
6. Классическая вероятность.
7. Комбинаторика.
Для 5 – 6 классов.
Приложение 1. Урок № 1.
Приложение 2. Урок № 2.
Приложение 3. Урок № 4.
7
Урок №1. Что изучает теория вероятностей. Случайные события.
Цели:
1. Ввести понятие теория вероятности. Разобрать примеры
случайных, достоверных, невозможных событий.
2. Развивать логическое мышление.
3. Прививать интерес к изучению математики.
Ход урока.
I. Вводное слово учителя.
Математику многие любят за её вечные истины: дважды два всегда четыре,
сумма четных чисел четна, а площадь прямоуголника равна произведению
его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решалина уроках
математики, получается один и тот же ответ нужно было только не делать
ошибок в решении.
II. Что изучает теория вероятностей.Случайные события.
Реальная жизнь не так проста и однозначна Исходы многих явлений заранее
предсказать невозможно, какой бы полной информацией о них мы не
располагали. Нельзя например, сказать наваерняка , какой стороной
подброшенная вверх монета , когда в следующем году выпадет первый снег
или сколько человек человек в течении ближайшего часа захотят позвонить
по телефону.Такие непредсказуемые явления называются случайными.
Случайными называаются события , которые в одних и тех же условиях
может произойти, а может и не прозойти. Однако случай имеет тоже свои
законы, которые начинают проявляться при многократном повторении
случайных явлений. Такие закономерности изучает специальный раздел
математики-Теория вероятностей.
Мы будем обозначать события заглавными латинскими буквами и
заключать их описание в фигурные скобки. Например:
А = {при бросании кубика выпадетшестерка}.
В = {свалившийся бутерброд упадет на пол маслом вниз}.
Эти события случайные. Есть и такие события, которые в данных
условиях произойти не могут. Их называют невозможными событиями.
Например:
С = { В следующем году снег в Уруссу вообще не выпадет.}
D = { При бросании кубика выпадет восьмерка.}
Если события в данных условиях обязательно произойдет, то его называют
достоверными.
H = {при бросании кубика выпадет количество очков меньшее семи.}
G ={ В следующем году в Уруссу выпадет снег}.
Невозможные и достоверные события встречаются в жизни сравнительно
редко. Поэтому можно сказать, что живем мы в мире случайных событий.
В теории вероятностей принято все события называть случайными, а
невозможные и достоверные рассматривать как их специальные
разновидности.
Например:
8
Бросаем два кубика. Какие из следующих событий – невозможные,
случайные, достоверные.
А =  на кубиках выпало одинаковое число очков},
В =  сумма очков на кубиках не превосходит 12},
С =  сумма очков на кубиках равна 11 },
Д =  произведение очков на кубиках равно 11} ?
Исход любого бросания можно описать двумя числами, выпавшими на
кубиках.
А – случайное
В – достоверное
С – случайное
Д – невозможное.
Случайные события наступление которых равновозможны или
равновероятны например: при бросании монеты может выпасть « орел », а
может – « решка ». Но не все события равновозможны. Может не зазвонить
будильник, перегореть лампочка, но в обычных условиях такие события
маловероятны. Более вероятно, что будильник зазвонит, лампочка загорится.
Теория вероятности
События
случайные
равновероятные
достоверные
невозможные
маловероятные
III. Решение задач.
1. Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие –
достоверные, какие – случайные:
А =  футбольный матч « Спартак » - « Динамо » закончится вничью  ,
В =  вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лоторее  ,
С =  в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце  ,
Д =  завтра будет контрольная по математике  ,
Е =  30 февраля будет дождь  ,
F =  вас изберут президентом США  ,
G =  вас изберут президентом России  .
Решение:
В – достоверное,
С, Е, F – невозможные,
9
А, Д, G – случайные.
2. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки
наугад вынимают два предмета. Какие из следующих событий
невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:
А =  вынуты две красные ручки  ,
В =  вынуты две зеленые ручки  ,
С =  вынуты две синие ручки  ,
Д =  вынуты ручки двух разных цветов  ,
Е =  вынуты две ручки  ,
F =  вынуты два карандаша  ?
Ответ:
А, В, Д – случайные,
С – достоверное.
3. Среди 100 билетов школьной благотворительной лотереи 20
выигрышных. Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие А =
 вы ничего не выиграете  было невозможным ?
Ответ: 81 билет.
4. 4. В шкафу 10 пар ботинок из 36-го по 45-й размер – по одной паре
каждого размера. Ботинки достают из шкафа наугад. Какое
наименьшее количество ботинок надо вынуть из шкафа, чтобы событие
А =  из вынутых ботинок можно составить хотя бы одну пару  было
достоверным ?
Ответ: 11 ботинок
IV. Итог урока.
Определение 1. Событие, которое может произойти, а может и не произойти
при проведении испытания, называется случайным событием.
Замечание. Любое элементарное событие так же является случайным
событием.
Определение 2. Событие, которое происходит при любом исходе испытания,
называется достоверным событием.
Определение 3. Событие, которое не может произойти ни при каком исходе
испытания, называется невозможным событием.
V.
Домашнее задание:
Изготовить кубики из плотной бумаги с ребром 1 см. «Правильный» - из
обычной бумаги склеенной клеем и «неправильны» - у которой к одной из
граней с внутренней стороны приклеен пластилин или кусок жвачки.
10
Урок № 2.
Тема урока:
Вероятностная шкала. Сравнение шансов.
Цели:
1.Формирование первоначальных представлений элементов теории
вероятности. Продолжить формирование представлений событий –
случайные, достоверные, невозможные. Ввести понятие вероятностной
шкалы, научиться размещать события на ней.
2. Развитие познавательного интереса к математике. Умение переводить не
математическую проблему на язык математики, анализировать ее и узнать
степень ее случайности, достоверности и невозможности для применения в
реальной жизни.
3. Расширение кругозора, развитию оперативной памяти, наблюдательности.
Оборудование:
кубик игральный, плакаты, раздаточный материал ( самостоятельная
работа).
Ход урока:
I.
Устные упражнения.
Проведем эксперимент со случайными исходами.
Вы приготовили кубики «правильные» ( из обычной бумаги склеенной
клеем) и «неправильные» ( у которой к одной из граней с внутренней
стороны приклеен пластилин или кусок жвачки). Работаем в парах.
Задача.
При бросании игрального кубика возможно 6 исходов. Как вы думаете,
сколько примерно раз из 1000 бросаний кубика выпадает 1 очко?
Проверим на эксперименте свое предположение.
Выполните задание: 1). Бросить кубик 100 раз и подсчитать, сколько раз
выпадет 1 очко. Результаты групп просуммировать, сравнить с
предположенным. 2).При 100 бросании «неправильного» кубика выпадает 1
очко, сколько раз.
Сравнить результат с правильным кубиком.
Понятно, что у « правильного» кубика шансов больше, чем у
«неправильного». Сравнить вероятность можно по частоте, с которой
события происходят. Правда для этого нужны статистические данные, т. е.
нужно проделать многократный эксперимент.
II.
Изучение нового материала.
Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале события,
приведенные на предыдущих уроках.
А = {в следующем году первый снег в п. Уруссу выпадет в воскресенье },
В = {свалившийся бутерброд упадет на пол маслом вниз},
С = { при бросании кубика выпадет шестерка},
D = { При бросании кубика выпадет четное число очков},
Е =  в следующем году снег не выпадет 
11
F =  при бросании кубика выпадет семерка  ,
H = {при бросании кубика выпадет количество очков, меньшее семи.}
G ={ В следующем году в Уруссу выпадет снег}.
Пусть слева, в начальной точке шкалы, будут располагаться
невозможные события, справа, в конечной точке, - достоверные, а между
ними – случайные. При этом чем больше у случайного события шансов
произойти, тем оно более вероятно и тем правее его следует расположить на
вероятностной шкале; чем меньше шансов – тем левее.
F
H
E A C
D
B
G
____________________________________________________
Невозможные
случайные
достоверные
Проще всего расположить невозможные и достоверные события. А как
располагать на шкале случайные события ?
Событие D. Каждая из шести граней имеет равные шансы оказаться
верхней. Четное число очков – на трех гранях кубика, на трех других нечетное. Значит, ровно половина шансов.
« С» - только один шанс из шести, а у «D» - три шанса из шести. Поэтому
«С» менее вероятно и расположено на шкале левее «D».
« А» - еще менее вероятно, чем «С» - ведь в неделе семь дней и в любой из
них с равной вероятностью может выпасть первый снег, поэтому у события
«А» один шанс из семи.
Труднее всего событие «В». Тут нельзя точно подсчитать шансы, но можно
призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд гораздо чаще падает на пол
именно маслом вниз. ( более точно узнаете в старших классах, изучая
физику).
Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая – на ней нет
числовых меток, делений. Вы еще не умеете измерять вероятность
случайных событий числами, скоро вы узнаете, как вычислять вероятность, пока же потренируйтесь в сравнении шансов и в расположении событий на
вероятностной шкале.
III.
Примеры на закрепление.
Пример 1.
Какова вероятность того, что солнце взойдет на западе? (невозможно)
Пример 2.
Какова вероятность того, что после 31 декабря наступит 1 января?
(достоверно)
Пример 3.
Что вероятнее Р =  получить шестерку при подбрасывании кубика  или Н
=  вытянуть шестерку из перетасованной колоды карт  .
На кубике одна шестерка, «один шанс из шести».
12
В колоде четыре шестерки, « четыре шанса из 36».
1
4
6  36
Вывод: Шансы имеет смысл сравнивать как дроби : в числителе - сколько
шансов, а в знаменателе – сколько всего возможно исходов.
IV.
Тренировочные упражнения
1. В коробке лежит 10 красных, 1зеленая и 2 синие ручки. Из нее наугад
вынимают один предмет. Расположите события на вероятностной
шкале:
А =  будет вынута красная ручка 
В =  будет вынута зеленая ручка 
С =  будет вынута синяя ручка 
Р =  будет вынута ручка 
Е =  будет вынут карандаш  .
2. Антон учится в 6 а классе, Борис – в 6 б классе, Вадим – в 6 в классе. От
каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный хор. Как
вы думаете, у кого из друзей больше шансов петь в хоре, если в 6 –а классе
учиться 25 человек, в 6 б – 22 человека, а в 6 в – 28 человек ?
3.Из коробки с синими и черными шарами наугад вынимают один шар.
Сравните между собой шансы вынуть синий шар из коробок, изображенных
на рисунках, и расположите на вероятностной шкале соответствующие им
случайные события.
А
В
С
Д
Е
4. Расположите на вероятностной шкале события:
А =  1 января в п. Уруссу выпадет снег. 
В =  1 января в п. Уруссу выпадет дождь. 
С =  1 января в п. Уруссу засияет северное сияние. 
Д =  1 января в п. Уруссу взойдет солнце. 
5. Придумайте примеры событий, которые расположились бы на
вероятностной шкале, так как показано на рисунке.
13
А В
Е
Невозможные
С
Д
К
достоверные
случайные
V.
Итог урока.
Обучающая самостоятельная работа.
1. Придумайте примеры случайных событий , которые расположились бы
на вероятностной шкале так как на рисунке.
А
Е
Н
Б
2. Бросают кубик. Определите, какие из событий более вероятные, какие
– менее вероятные и расположите их на вероятностной шкале:
А =  выпадет четное число 
В =  выпадет нечетное число 
С =  выпадет тройка 
Д =  выпадет тройка 
Е =  выпадет число, более 3 
Н =  выпадет число, меньше 10 
Поменяться тетрадями с соседом по парте и выставить оценки.
Обсудить ответы, зачитать примеры.
VI.
Домашнее задание:
1. Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие –
достоверные, какие – случайные (объясните почему):
1) футбольный матч «Спартак» – «Динамо» закончился вничью;
2) вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;
3) в полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце;
4) завтра будет контрольная по математике;
5) 30 февраля будет дождь;
6) вас изберут президентом США;
7) вас изберут президентом России.
2. В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки
наугад вынимают два предмета. Какие из следующих событий невозможные,
какие – случайные, какие – достоверные (объяснить почему):
1) вынуты две красные ручки; 2) вынуты две зеленые ручки;
3) вынуты две синие ручки; 4) вынуты ручки двух разных цветов;
5) вынуты две ручки;
6) вынуты два карандаша.
3. Расположите на вероятностной шкале.
14
1) наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует 30
числу;
2) наудачу взятое трехзначное число кратно 3;
3) при одновременном подбрасывании двух игральных кубиков
сумма очков на них равна 10.
Статистические показатели. Применение статистических данных.
К уроку № 4.
Вопросы и задачи на повторение по теме: «Проценты»
Цель урока: отработка практических умений и навыков вычисления
процентов; развитие познавательного интереса к вычислению процентов;
расширение знаний о вреде табаке курения и понятия о здоровом образе
жизни.
Тип урока: урок решения задач.
Оборудование: плакаты
1 .Жить или курить?(красным, черным цветом)
2. «Право некурящих на чистый воздух выше права курящего на
курение».(голубым цветом)
Ход урока:
1.Вводная часть.
Большинство ученых стран Запада, исследуя отравляющее действие
табачного дыма на организм человека, пришли к выводу, что курение —
очень
опасный враг для здоровья и жизни человека. В развитых странах мира за
последние 30 лет количество курящих сократилось в 2-3 раза; в нашей
стране, наоборот, количество курящих увеличилось в 3 раза.
Жить или курить? На этот вопрос поможет дать ответ сегодняшний урок.
2.Устная работа.
Задача 1. В табачном дыме одной сигареты содержится много ядовитых
веществ, разрушающих организм человека. Определите
процентное
содержание самых ядовитых веществ - синильной кислоты, табачного
дегтя,
окиси углерода, полония в одной сигарете, если никотина 2%, а синильная
кислота составляет 1А часть никотина; табачного дегтя в 7,5 раза больше,
чем
никотина; окись углерода составляет 3/5 от количества табачного дегтя;
полоний - 210 составляет 2/3 от количества окиси углерода.
15
Учитель. Все ядовитые вещества влияют на организм человека.
Курильщики
страдают от различных заболеваний. Так почему же, все-таки, люди курят
табак? Одной из основных причин является любопытство, другой
подражание. Чаще всего курить начинают подростки.
Статистика
установила, что курящих подростков мальчиков - 60%, девочек - 40%.
Задача 2.0пределите, сколько курящих детей в школе, если в ней 500
мальчиков и 600 девочек? Почти половина учеников этой школы не
задумывается о том, что у них ухудшается внешность, начинают портится
зубы, теряется зрение и слух, развиваются заболевания внутренних
органов,
повышается
раздражительность,
неуравновешенность,
быстрая
утомляемость.
Задача 3. При проверке состояния здоровья группы учеников школы,
состоящей из 20 человек со стажем курения 3-5 лет, обнаружено, что 70 %
из
них имеет по два заболевания (органов дыхания и пищеварения).
Остальные- по одному заболеванию. Определите, сколько учащихся этой
группы имеют по два и сколько по одному заболеванию? Работа у доски.
Задача 4. Курящие дети сокращают себе жизнь на 15%. Определите, какова
предположительная продолжительность жизни нынешних курящих детей,
если средняя продолжительность жизни в России 56 лет (47,6г.). Часто
детям подают пример взрослые и в первую очередь, родители. Дети,
рожденные в семьях курильщиков, в 4-5 раз чаще болеют простудными
заболеваниями, хроническими воспалениями.
Задача 5. Средний вес новорожденного ребенка Зкг.300 гр. Если у ребенка
курящий отец, то его вес будет меньше среднего на 125 гр.; если курящая
мать - меньше на 300 гр. Определите, сколько процентов теряет в весе
новорожденный, если: а) курит папа; б) курит мама. (Ответ округлите до
единиц ~ 3%; ~ 9%).
Согласимся с тем, что полностью здоровым этот малыш быть не может,
всю жизнь он будет расплачиваться за легкомыслие своих родителей. Весь
мир борется с табаком. Во многих странах запрещено курение на рабочем
месте. Причину этого может объяснить следующий пример: если хороший
секретарь-машинистка курит, то на то на странице печатного текста в 800
знаков у нее будет 4% ошибок.
16
Задача 6. Сколько сделает ошибок машинистка на этой странице? Сколько
будет у нее ошибок на странице, где знаков в 1,5 раза больше? (31: 48).
Ежегодный прирост курящих в России составляет 3%. В 1998 г. из 100
мужчин курили 80, а из 100 женщин - 40. Задача 7. (по вариантам см.р.)
Вариант 1. Определите количество курящих мужчин (из 100) к концу
2004г. (Ответ округлите до целого числа.)
Вариант 2. Определите количество курящих женщин (из 100) к концу
2004г. (Ответ округлите до целого числа.)
Огромный вред курильщик наносит здоровью окружающих людей.
Нахождение в течении 8 часов в накуренном помещении равносильно
пяти выкуренным сигаретам. Табачный дым «эффективен» в радиусе 10 м
от зажженной сигареты.
Во многих странах мира запрещено курение в общественных местах. Во
Франции, например. С 1996г. запрещено курить в барах и ресторанах.
Всемирная Организация Здравоохранения (ВОЗ) выдвинула тезис: «Право
некурящих на чистый воздух выше права курящего на курение». Не пора
ли и нам серьезно задуматься над вопросом: Жить или курить?
Задание на дом:
Определите. Сколько процентов своего годового дохода тратит на
сигареты человек. Выкуривающий одну пачку в сутки, если одна пачка
сигарет стоит 12 руб., ежемесячная зарплата 3000 руб., в месяце 30 дней.
Для 7 – 8 класса.
Приложение 5.
Независимо от того, в какой
отрасли знания получены
числовые данные, они обладают
определенными свойствами, для
выявления которых может
потребоваться особого рода
научный метод обработки.
Последний известен как
статистический метод или,
короче, статистика.
Дж. Юл. М. Кендалл.
«Теория статистики».
Урок № 1.
17
Тема: Статистика. Предмет статистики. Статистическая информация и
формы ее представления.
Цель:
1. вести понятия статистики, виды статистики, выборки, генеральной
совокупности, рад, виды рядов, полигон частот;
2.развивать кругозор
3. воспитывать внимательность,
Ход урока: ( лекция)
I. Слово «статистика» от латинского (состояния, положение вещей) В
русском языке используется в следующих значениях:
1.Статистика - это научное представление объединяющие принципы и
методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые
явления.
2. Статистика - это отрасль практической деятельности, направленной
на сбор, обработку, анализ статистических данных.
3.Статистика - это совокупность статистических данных
характеризующих какое-нибудь явление или процесс (например, статистика
рождаемости и смертности в России.)
4.Сатистика – это любая функция от результатов наблюдения
(например, среднее арифметическое есть статистика).
Мы будем рассматривать статистику как «описательную», которая
занимается вопросами сбора и представления первичной статистической
информации в табличной и графической формах, вычисления числовых
характеристик для совокупности статистических данных.
Числовые данные о массовых явлениях получаются в результате
наблюдения за совокупностями тех или иных явлений и измерения значений
наблюдаемых признаков - свойств, которыми обладают явления и объекты,
входящие в совокупность.
Основным методом статистики является выборочный метод. Суть
выборки в следующем.В связи с практической невозможностью измерить
значение наблюдаемого признака у каждого элемента совокупности, из этой
совокупности выбирают некоторое количество элементов для обследования.
Сколько нужно выбрать элементов и как их выбрать – эти вопросы также
решает статистика, разрабатывает соответствующие правила. Выбранные
элементы составляют выборку; количество элементов в выборке называют
объемом выборки. Совокупность, из которой сделана выборка, называется
генеральной совокупностью. Если выборка сформирована по правилам
статистики, то ее называют репрезентативной (представленной – она
«представляет» всю совокупность, правильно отражает ее основные черты).
II. Статистическая информация и формы ее представления.
Статистическая информация – это числовые данные о массовых
явлениях. Тогда источником статистической информации является
18
реальный опыт, эксперимент, наблюдение, измерение, производимая над
реальными объектами или явлениями окружающего нас мира. Статистика
начинается с реальных данных реального опыта; этим она отличается от
теории вероятностей, которая изучает математические модели реальных
явлений и имеет дело лишь с мысленными экспериментами.
Но математическая статистика и теория вероятностей неразрывно
связаны между собой, постоянно взаимодействует, и между ними не
существует четкой и общепризнанной границы.
Статистическая информация о результатах наблюдений может быть
зарегистрирована различными формами, самый простейший запись
результатов в ряд:
Х 1 ,х 2 , х 3 … х i , х n-1 х n , …..
называется простым статистическим рядом или рядом данных или
выборкойю
xi – называется вариантом наблюдения.
Количество n в ряду – объемом ряда.
Недостаток рядов – 1. громоздкость
2. Труднообозримость (закономерность ряда не бросается
в глаза).
Устранить недостатки.
Второй – простейшей обработкой ряда, упорядочивают ряд в порядке
возрастания.
Полученный ряд называют вариационным рядом или упорядоченным.
Первый недостаток легко устранить: будем записывать только значения
встречающихся вариантов по одному разу, а под каждым значением будем
писать число, показывающее, сколько раз это значение встречается в ряду;
получим запись:
хi 1 3 4 5 6
nk 2 1 3 2 4
Такая свернутая запись обычно оформляется в виде таблицы называется –
статистическим распределением ряда.
ni – частотами значений варианты xk
Значение варианты x k и варианты хi – это не одно и то же: каждое
значение фиксируется только один раз, а варианты с таким значением могут
встречаться в ряду многократно. Поэтому мы используем разные индексы в
записи значений и вариант. В нашем примере k = 1,2,3,4,5 (принимают 5
значений), а i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 (12 значений) Будем писать, что
k = 1,2,….m, а i = 1,2, … n , причем всегда m  n (если m = n ,то все
варианты в ряду разные).
Наряду с частотами nk широко используются относительные частоты
nk
Wk = ------n
m
m
Легко видеть, что

nk = n ,

mk = 1
19
K=1
k=1
В литературе нет единой терминологии, поэтому при использовании
различных книг, нужно быть внимательными.
Наряду с табличными широко используется графический способ.
Исходный ряд данных для наглядности может быть представлен
столбчатой диаграммой, распределения дискретных рядов изображаются на
графиках, называемых полигоном частот, а распределения интервальных
рядов – на диаграммах, называется гистограммами .Широко используются
круговые диаграммы.
III. Домашнее задание: прочитать лекцию.
Для 9 класса.
Приложение 6.
Элементы теории вероятностей.
Содержание
Введение
1. Предмет теории вероятностей. Понятие вероятности и его
интерпретации.
2.Статистический эксперимент и его исходы.
3. О классическом, статистическом и геометрическом
определениях вероятности.
4. Типы случайных событий и действия над ними.
Теоремы о вероятностях .
5. Случайные величины и их распределения.
6. Задачи и упражнения.
1.
Предмет теории вероятностей. Понятие вероятности
и его интерпретации.
20
Предметом теории вероятностей является построение и исследование
математических моделей случайных явлений и процессов, наблюдаемых в
статистических экспериментах. Теория вероятностей исследует только
математические модели, а вопрос о применимости получаемых результатов к
«действительному миру опыта» решается, как правило, за рамками теории
вероятностей ( А. Н. Колмогоров).
Наиболее распространенными классами математических моделей,
исследуемых теорией вероятностей, являются случайные события,
случайные величины, системы случайных величин, случайные процессы.
Центральным, важнейшим понятием теории вероятностей является
понятие вероятности. Все интерпретации понятия вероятности можно
разделить на две основные группы: субъективистские и объективные. В
первой группе выделяют три основные интерпретации:
а) взгляд, согласно которому вероятность есть логическая категория, а
вероятностные суждения говорят о неких логических отношениях между
суждениями;
б) взгляд, согласно которому вероятностные суждения характеризуют
отношение суждения к неким взглядам субъекта, а вероятность есть мера
доверия, которым мы наделяем суждение;
в) взгляд, согласно которому вероятность может характеризовать
отношение суждения к действительности, к которой оно относится, и
составляет меру истинности суждения.
К группе объективных интерпретаций относятся те согласно те, согласно
которым вероятностные суждения непосредственно касаются объективной
действительности. В этой группе выделяют две основные интерпретации:
статистически-частотную и диспозиционную.
Согласно
статистически-частотной
интерпретации
вероятность
характеризует относительную частоту появления события в определенной
совокупности событий, соответствующих неким относительно устойчивым
или повторяющимся условиям. Согласно диспозиционной интерпретации
вероятность не является свойством класса или серии событий, а определяет
диспозиционные свойства некоторой опытной ситуации, то есть комплекса
условий, в которых мы наблюдаем появление событий.
Наряду с перечисленными существуют и промежуточные точки зрения,
согласно которым некоторые вероятностные суждения должны быть
интерпретированы в рамках концепции вероятности как характеристики
суждений, а другие – в рамках концепции вероятности как характеристики
объективных свойств или отношений объектов природы.
Создатель аксиоматической теории вероятностей А. Н. Колмогоров
писал: «вероятность математическая – это числовая характеристика степени
возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных
определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».
Термин «вероятность» он сопроводил определением «математическая». А. Н.
Колмогоров придерживался явно объективной интерпретации понятия
вероятности – статистически-частотной, возможно с элементами
диспозиционной.
21
Предметом изучения теории вероятностей должна быть именно
вероятность математическая как объективная мера появления случайных
событий.
Субъективная вероятность характеризует отношение конкретного
индивида к конкретной ситуации и сильно зависит от знаний индивида, от
его осведомленности. Возможность выпадения шестерки при бросании
игрального кубика по-разному оценивается игроками, один из которых знает,
что центр тяжести кубика сильно смещен. Теория вероятностей изучает не
мнения отдельных людей, а свойства математических моделей, которые
отражают основные объективные свойства реальных объектов и явлений.
Следует всегда помнить следующие слова А. Н. Колмогорова: «Наше
представление… было бы только иллюзией, если бы данные опыта не
подтверждали правоту сделанных предположений… Что касается
результатов отдельных испытаний, то знание вероятности появления
некоторого события позволяет предсказать его появление в очередном
испытании, но опять же только с некоторой вероятностью!
2.
Статистический эксперимент, его исходы и события.
Эксперимент заключается в наблюдении за объектами или явлениями в
строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных
признаков этих объектов. Эксперимент называют статистическим, если он
может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное
число раз. Например, подбрасывая монету, мы отмечаем, какой стороной она
упала.
Исходом эксперимента называют значение наблюдаемого признака,
непосредственно полученное по окончании эксперимента. Каждый
эксперимент заканчивается одним и только одним исходом.
Событием, наблюдаемым в эксперименте, называют появление исхода,
обладающего заранее указанным свойством.
3.
О классическом, статистическом и геометрическом
определениях вероятности.
События бывают детерминированные, определенные, которые
обязательно происходят при каждом проведении опыта ( Солнце всходит в
определенное время, тело падает вниз, вода закипает при нагревании и т.д.).
Наряду с детерминированными есть события, которые в определенных
условиях происходят, но не при каждом проведении опыта: одни происходят
чаще, другие реже. Такие события называют случайными, если опыты, в
которых эти события могут появляться, можно повторять многократно в
практически неизменных условиях.
Основным свойством случайного события является степень
возможности его появления; именно от нее зависит, насколько часто событие
будет появляться при повторении испытаний. Численной мерой этого
22
свойства и является вероятность. Если вероятность больше, то больше и
возможность появления события, и оно появляется чаще (например, при
бросании двух монет «орел» и»решка» появляются чаще, чем два «орла» или
две «решки»). Чем меньше вероятность, тем реже появляется событие
(например, вероятность отказа двигателя самолета очень мала, и такие
отказы происходят достаточно редко).
Из курса геометрии мы знаем, как измерить длину, площадь или объем,
как найти их численные значения. Теория вероятностей дает нам способы
«измерения», нахождения численного значения вероятностей появления
различных событий.
Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n
равновозможных исходов, то вероятность события А равна Р(А)=m/n, где m –
количество исходов, при которых событие А появляется. Это классическое
определение вероятности, но «определение» не в смысле раскрытия самого
понятия, а в смысле нахождения численного значения вероятности в тех
случаях, когда n конечно и все исходы равновозможные. Если хотя бы одно
из этих условий не выполняется, то применить формулу классической
вероятности нельзя, результат будет неправильным.
Если количество возможных исходов опыта бесконечно велико, а все
исходы по-прежнему равновозможные, то численное значение вероятности
можно найти по формуле геометрической вероятности: Р(А)=lА/l, или
Р(А)=SA/S, или Р(А)=VA/V – в зависимости то того, где лежат точки,
соответствующие исходам эксперимента – на линии, на плоскости или в
трехмерном пространстве.
Статистическое
определение
вероятности
обеспечивает
нам
принципиальную возможность оценки вероятности любого события и во всех
случаях, когда возможно проведение реальных экспериментов и изучение
изменения относительной частоты m/n по их результатам. Но любая серия
реальных экспериментов может дать только приблизительную оценку
значения вероятности, а сам статистический подход также связан с
серьезными теоретическими проблемами.
Теория вероятностей не занимается оценкой вероятностей реальных
событий. Теория вероятностей строит математические модели, которые, а
зависимости от конкретных значений их параметров позволяют вычислять
вероятности сложных событий. Результаты будут настолько «хороши»,
насколько «хороши» были исходные данные и насколько точно модель
описывает реальный объект.
Применение вероятностных расчетов на практике осуществляется в
тесном взаимодействии теории вероятностей и математической статистики.
4.
Типы случайных событий и действия над ними.
Теоремы о вероятностях.
Достоверное событие – это событие, которое происходит при каждом
проведении рассматриваемого эксперимента. Это значит, что каждый исход
эксперимента обладает тем свойством, которым определено событие,
23
являющиеся достоверным, что достоверному событию соответствует все
множество исходов данного эксперимента. Например, при бросании
игрального кубика событие D – «при бросании кубика выпало не более
шести очков» - является достоверным, т. к. каждый исход эксперимента
(1,2,3,4,5,6) обладает указанным свойством ( выпавшее число очков не
больше 6).
Невозможное событие – это событие, которое никогда не может
произойти при проведении данного эксперимента. Это значит, что среди всех
исходов эксперимента нет ни одного исхода, обладающего тем свойством,
которым определено событие, являющееся невозможным, что невозможному
событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента.
Например, при бросании монеты событие N – «при бросании монеты выпали
орел и решка» - является возможным, т. к. нет исходов, при которых
появляются орел и решка одновременно.
Противоположное событие ( по отношению к рассматриваемому
событию А) – это событие А1, которое не происходит, если А происходит, и
наоборот. Это значит, что событию А1 соответствуют те исходы
эксперимента, которые не соответствуют событию А, причем объединение
(сумма) исходов, соответствующих событиям А иА1, всегда равно полному
множеству всех исходов данного эксперимента. Например, событие А –
«выпало четное число очков» и А1 – «выпало нечетное число очков» при
бросании игрального кубика – противоположные, а события А – «выпало
четное число очков» и В – «выпало 1 или 3 очка» - не противоположные, т. к.
объединение их исходов (2,4,6, и 1,3) не дает полного множества всех
исходов эксперимента (1,2,3,4,5,6).
Два события А и В называют совместными, если они могут произойти
одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они
не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента (т. е. в
соответствующих им множествах экспериментов нет одинаковых (общих)
исходов).
Суммой двух случайных событий А и В называют новое случайное
событие А+В, которое происходит, если происходят либо А, либо В, либо А
и В одновременно. Событию А+В соответствует объединение (сумма)
множеств исходов, соответствующих событиям А и В.
Произведением двух случайных событий А и В называется новое
случайное событие А·В, которое происходит только тогда, когда происходят
события А и В одновременно. Событию А·В соответствует пересечение
множеств исходов, соответствующих событиям А и В.
Теорема сложения. Вероятность суммы двух несовместных случайных
событий А и В равна сумме их вероятностей:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Если А и В совместны, то
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В).
Теорема умножения. Вероятность произведения двух независимых
случайных событий А и В равна произведению их вероятностей:
Р(А·В)=Р(А) · Р(В).
24
Если А и В зависимы, то
Р(А·В)=Р(А) · Р(В/А)=Р(В) · Р(А/В),
Где Р(А/В), Р(В/А) – условные
относительно второго.
5.
вероятности
одного
события
Случайные величины и их распределения.
Случайная величина – это математическая модель теории вероятностей,
имеющая большое значение и широчайшее применение.
Под случайной величиной Х понимают однозначную действительную
функцию, определенную на множестве всех возможных исходов
эксперимента: Х=Х(ω), ω принадлежит Ω.
Каждому исходу ω соответствует единственное значение случайной
величины Х(ω), однако разным исходам ω1 и ω2 могут соответствовать
одинаковые значения случайной величины. Например, эксперимент с
бросанием двух монет имеет 4 исхода:
р-р, р-о, о-р, о-о (о – орел, р – решка).
Определим случайную величину Х(ω) как количество выпавших орлов;
тогда Х(ω) будет иметь три возможных значения: 0, 1 и 2, причем значение 1
соответствует двум исходам: о-р и р-о.
В очень многих случаях при работе со случайными величинами
достаточно знать лишь вероятности всех возможных значений случайной
величины (если оно дискретна), т. е. иметь ряд распределения случайной
величины:
хj
pj
x1
p1
x2
p2
…
…
xm
pm
p1+ p2+…+ pm=1,
где pj=Р(Х= хj) – вероятности событий, состоящих в том, что случайная
величина Х примет значение хj.
Приведенная таблица очень похожа на знакомую нам таблицу
статистического распределения ряда, однако между ними существует
принципиальная разница; pj – это вероятности появления значений хj; эти
вероятности считаются известными, данными, поэтому являются
постоянными величинами. Статистические частоты nj – это функции
результатов наблюдений, они случайным образом изменяются при
проведении каждой серии испытаний.
Задачи и упражнения.
1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является:
невозможным, достоверным или случайным.
Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения: 1) 30 января; 2)
30 февраля.
25
Решение:
1) Событие, заключающееся в том, что двое из 25 учащихся родились 30
января – случайное, оно может произойти, а может и не произойти (все
зависит от состава группы из 25 учащихся).
2) Второе событие – невозможное, поскольку даты 30 февраля не
существует, следовательно, никто из учащихся не мог родиться в такой день
Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.
2. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных.
Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или
случайное;
а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие;
б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные;
в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;
г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного
цвета.
Решение:
а) Событие невозможное, так как в мешке только 3 синих шара; четыре
вынуть нельзя.
б) Событие случайное, может произойти, может и не произойти.
в) Событие невозможное, так как в мешке лежат шары только трех
разных цветов.
г) Событие достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.
Ответ: а) невозможное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.
3. Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.
1. Учитель вызвал к доске ученика (событие А), ученицу (событие В).
2. «Родила царица в ночь, не то сына (событие А0, не то дочь (событие
В)…».
3. Случайно выбранная цифра меньше 5 (событие А0, больше 6 (событие
В).
4. Из 10 выстрелов в цель попали ровно 7 раз (событие А), не больше 6
раз (событие В).
Решение:
1.
Учитель вызвал к доске ученика или ученицу (А‫ﮞ‬В).
2.
Царица родила сына или дочь (А‫ﮞ‬В).
3.
Случайно выбранная цифра меньше 5 или больше 6 (А‫ﮞ‬В, то есть
это одна из цифр 0,1,2,3,4,7,8,9).
4.
Из десяти выстрелов в цель попали не более 7 раз (А‫ﮞ‬В, то есть
число попаданий 0,1,2,3,4,5,6 или 7 раз).
Ответ: 4 сложных события, являющиеся суммой двух несовместных
событий.
4. Событие В – в результате стрельбы по мишени хотя бы одна пуля н
попала в цель. Что означает событие В1?
Решение:
Событие В1 можно описать так: «в результате стрельбы по мишени ни
одна пуля не попала в цель». Оно означает, что все пули попали мимо цели.
Ответ: противоположное событие.
26
5. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им
события.
а) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.
б) Явка на выборы была от 40% до 47%.
в) Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.
г) На контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.
Решение:
а) Мою новую соседку по парте зовут не Таня и не Аня.
б) Явка на выборы была менее 40% или более 47%.
в) Из пяти выстрелов в цель попали менее двух.
г) На контрольной я решил максимум две задачи из пяти.
Ответ: 4 противоположных события.
Список литературы для учителя:
1. Автор-составитель В. Н. Студенецкая. Волгоград. 2006 год. Решение
задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей.
Издательство «Учитель».
2. Элементы статистики и вероятность. Авторы: М. В. Ткачева, Н. Е.
Федорова. Москва. 2004 год. Издательство «Просвещение».
3. Вероятность и статистика. Е. А. Бунимович, В. А. Булычев.
4. «Математика в школе» - журнал №2, 1997 год.
5. Энциклопедия. Математика.
6. Математика 6 класс. Под редакцией Г. В. Дорофеева; И. Ф. Шарыгина.
7. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Элементы статистики и теории
вероятностей.
Под редакцией С.А. Теляковского. М.:
Просвещение2003.
8. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. События. Вероятности.
Статистическая обработка данных. М.: Мнемозина, 2003.
Список литературы для ученика:
1. Вероятность и статистика 5 – 9 класс. Е .А. Бунимович; В. А. Булычев.
2. Элементы статистики и вероятность 7 – 9 класс. М. В. Ткачева. Н. Е.
Федорова.
3. Элементы статистики и вероятность. Авторы: М. В. Ткачева, Н. Е.
Федорова. Москва. 2004 год. Издательство «Просвещение».
4. Математика 6 класс. Под редакцией Г. В. Дорофеева; И. Ф. Шарыгина.
5. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Элементы статистики и теории
вероятностей.
Под редакцией С.А. Теляковского. М.: Просвещение2003.
6. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. События. Вероятности. Статистическая
обработка данных. М.: Мнемозина, 2003.
27
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Список используемой литературы:
Автор-составитель В. Н. Студенецкая. Волгоград. 2006 год.
Решение задач по статистике, комбинаторике и теории
вероятностей. Издательство «Учитель».
Элементы статистики и вероятность. Авторы: М. В. Ткачева, Н. Е.
Федорова. Москва. 2004 год. Издательство «Просвещение».
Вероятность и статистика. Е. А. Бунимович, В. А. Булычев.
«Математика в школе» - журнал №2, 1997 год.
Энциклопедия. Математика.
Математика 6 класс. Под редакцией Г. В. Дорофеева; И. Ф.
Шарыгина.
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Элементы статистики и теории
вероятностей.
Под редакцией С.А. Теляковского. М.:
Просвещение2003.
А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. События. Вероятности.
Статистическая обработка данных. М.: Мнемозина, 2003.
Рекомендации к мультимидийному приложению.
Мультимидийное приложение содержит наглядное представление
теоретического материала, примеры, задачи с решениями, графики, таблицы,
домашние задания.
«Формирование первоначальных представлений элементов теории
вероятности.» - для 5-6 кл.
"Статистическая информация и формы ее представления"- для 7-8 кл.
«Предмет теории вероятностей. Понятие вероятности и его интерпретации.»для 9 кл.
Мультимидийное приложение можно использовать частями на разных
уроках, при изложении нового материала, для закрепления, можно при
повторении, для самостоятельной работы, для работы в группах.
28