Содержание Предисловие Тема 1. Сводка и группировка исходных данных.

Содержание
Предисловие
Тема 1. Сводка и группировка исходных данных.
Тема 2. Абсолютные и относительные величины.
Тема 3. Средние величины. Средняя арифметическая, средняя
гармоническая, применение в экономическом анализе
Тема 4. Структурное среднее. Мода, медиана.
Тема 5. Показатели вариации.
Тема 6. Изучение неравномерности распределения. Расчет
коэффициента концентрации Джини.
Тема 7. Выборочный метод. Расчет средней, предельной ошибки
выборки. Расчет оптимальной численности выборки.
Тема 8. Расчет показателей анализа рядов динамики.
Тема 9. Изучение тренда. Метод аналитического выравнивания.
Тема 10. Изучение сезонных колебаний способом переменной
средней.
Тема 11. Изучение сезонных колебаний способом постоянной
средней.
Тема 12. Индексный метод в экономических исследованиях,
индивидуальные индексы. Агрегатные индексы цен.
Тема 13. Применение агрегатных индексов физического объема
в анализе реализации продукции.
Тема 14. Средние индексы, использование в анализе реализации
продукции.
Тема 15. Исследование динамики товарооборота. Цепные и
базисные индексы с переменными и постоянными
соизмерителями.
Тема 16. Изучение структурных сдвигов в анализе реализации
продукции с использованием индексного метода.
Предисловие
В экономической практике умение пользоваться статистическими методами сбора, обработки и анализа данных является важнейшей составной частью совокупных специальных знаний. В
настоящее время, когда в учебных заведениях по экономическим
специальностям сокращается число учебных часов в аудиториях по
дисциплине «статистика» и в то же время увеличивается число часов
самостоятельной работы студента по предмету, возникает необходимость более полного методического обеспечения самостоятельных и
практических работ студентов в разрезе тем обязательного изучения
в соответствии Государственного стандарта.
Данное методическое пособие включает в себя методические
указания по изучению и практическому освоению 16-ти тем. Каждая
тема состоит из краткой теоретической части изучаемой проблемы,
методического указания по практическому применению Теоретических знаний по теме, комплекса задач для самостоятельного решения
и перечня контрольных вопросов, на которые полезно дать ответы
для самопроверки и закрепления знаний.
Данное методическое пособие предназначено для студентов
экономических специальностей, а также может быть полезно для
Преподавателей экономических дисциплин и экономистов – практиков.
Тема 1. Сводка и группировка исходных данных.
Первым этапом экономического исследования является сбор
данных об объекте исследования, в статистике этот процесс носит
название статистического наблюдения. Теория этого вопроса здесь
подробно не рассматривается. Практическому экономисту здесь надо
знать, что исследуемые данные об объекте наблюдения должны быть
полны и достоверны, иначе теряется объективность и пропадает весь
смысл исследования.
Вторым этапом исследования является сводка первичных материалов наблюдения, т.е. проведение их в определенную систему, с
группировкой, подсчетом, обобщением. Основным элементом сводки
является группировка, которая представляет собой объединение данных в однородные по определенным группировочным признакам
группы. Группировочные признаки (основание группировки) бывают
количественными и качественными, а также дискретными и интервальными. Распределение исследуемой совокупности по количественному группировочному признаку называется вариационным рядом.
Рассмотрим методику сводки и группировки на следующих
примерах:
Пример 1. Пусть имеются следующие данные о проценте выполнения
норм у 42 рабочих – станочников цеха:
90
110
105
100
115
100
95
115
105
105
100
105
100
105
90
115
100
115
120
95
105
100
105
100
100
105
110
100
105
115
120
95
90
105
110
100
110
100
105
110
95
105
Исследуем, как распределились рабочие – станочники, по проценту выполнения норм выработки построим вариационный ряд распределения в порядке возрастания варианты (процента выполнения
норм) с указанием соответствующих частот (численность рабочих ) в
каждой группе. Тогда получим:
% выполнения норм
Численность
рабочих (ча(варианта xi) стота f i)
90
3
95
4
100
11
105
12
110
5
115
5
120
2
Итого
42
Удельный
вес (в
Накопление
долях 1) ча- (кумулятивные)
стость(w)
частоты
0,07
3
0,09
7
0,25
18
0,29
30
0,14
35
0,12
40
0,04
42
1
Построенный таким образом ряд распределения называют дискретным вариационным рядом, где процент выполнения нормы является вариантой, а численность рабочих частотой. В ряде случаев в
исходных данных частоты могут выражаться в долях единицы или в
процентах к итогу. В этом случае их называют частостями (w). При
необходимости возможно в практике анализа частоты указывать
нарастающим итогом как накопленные (кумулятивные) частоты.
Преобразуем построенный дискретный ряд в интервальный.
Для этого необходимо определиться с количеством групп, которые
необходимы для анализа. Чтобы определить величину интервала в
группе находится разница между максимальным и минимальных
значениями признака, затем эта разница делится на число выделяемых групп. Допустим, нам , необходимо объединить рабочих по выполнению норм выработки в три группы.
Тогда величина интервала (h)=120%-90%/3=10% Следующим
шагом необходимо подсчитать частоты по вновь образуемым группам путем их суммирования.
Для нашего случая вариационный ряд будет выглядеть:
В практике анализа нередко прибегают к графическому
изображению вариационного ряда. При этом дискретные ряды изображаются графически в виде полигона, а интервальные – в виде гистограммы.
18
17
18
17
7
7
95
105
115
Полигон распределения
рабочих по выполнению норм
90
100 110 120
Гистограмма распределения
рабочих по выполнению норм
выработки
Возможен также вариант графического изображения вариационного ряда в виде кумуляты. Тогда по горизонтали указываются
значения варианты, а по вертикали – накопленные (кумулятивные)
частоты в процентах к итогу.
% выполне- Численность
ния норм
рабочих
(варианта) x i
90-100
100-110
110-120
Итого
(частота) f i
18
17
7
42
удельный вес
(в долях
1) частотность
(w)
0,42
0,41
0,17
1
Накопленные
(кумулятивные
)
частоты
18
35
42
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Имеются следующие данные о тарифных разрядах 42
рабочих станочников механического цеха.
3
5
4
6
5
6
4
5
6
6
5
5
5
5
6
5
5
3
5
5
3
5
6
6
5
4
5
5
6
5
4
6
6
5
6
5
5
6
5
6
5
5
Необходимо:
1.Произвести группировку и построить на основе данных дискретный вариационный ряд распределения рабочих по разделам.
2.Построить полигон и кумуляту распределения рабочих по тарифным разрядам.
Задача 2. Имеются следующие данные о среднемесячной заработной плате 40 рабочих – станочников цеха (у.д.е.)
1310
900
1180
1620
1280
1300
1500
1375
720
1730
1240
640
1650
1750
1360
600
1480
1200
1310
950
1500
1310
1375
1790
1762
1100
650
1800
800
1700
1420
1280
1350
1390
1350
1150
1000
1550
1540
1610
Необходимо:
1.Произвести группировку и построить интервальный вариационный ряд распределения, разбив совокупность на три группы.
2.Построить гистограмму и кумуляту распределения рабочих по
размеру средней месячной заработной платы.
Задача 3. Имеются следующие данные о выполнении плана по выручке на 10 торговых предприятиях фирмы за месяц.
Выручка (тыс.
# мага- руб.)
зина
План
Факт
1
2
3
1
250
246
2
340
352
3
260
230
4
590
620
5
610
590
# магазина
1
6
7
8
9
10
Выручка (тыс. руб)
План
Факт
2
3
200
220
1220
1000
1420
1020
890
900
900
840
Необходимо:
1. Произвести группировку торговых предприятий по признаку
выполнения плана с подведением итогов по каждой группе.
2. Рассчитать процент выполнения плана выручки.
3. Построить полигон распределения предприятий по проценту
выполнению плана выручки.
Контрольные вопросы:
1. Что такое сводка? В чем её экономический смысл?
2. Что такое Группировочные признак? Какие виды вы знаете?
3. Дайте определение вариационного ряда распределения.
4. Какие элементы вариационного ряда? Название и определение.
5. Как графически можно отразить дискретный и интервальный вариационные ряды.
Тема 2. Использование абсолютных и относительных величин в
экономическом анализе.
Теоретическая база.
Общая теория абсолютных и относительных величин. Виды,
область применения, способы выражения.
Экономический анализ невозможен без использования абсолютных и
относительных величин.
Абсолютные величины – это именованные числа, имеющие определенную размерность. Единицы измерения – абсолютных
величин, в зависимости от обстоятельств и целей анализа, могут быть
натуральными, стоимостными (денежными) и трудовыми.
Причем, натуральные единицы измерения включают в себя еще
условно-натуральные и условные единицы измерения.
В практике анализа динамики, сравнения, интенсивности, структуры и т.д. общественных явлений невозможно обойтись без применения относительных величин. При этом надо иметь ввиду, что при
расчете относительных величин сравниваемая (анализируемая) величина всегда находится в числителе отношения, а величина с которой
производится сравнение (знаменатель отношения) принимается за
базу для сравнения. Следует также иметь ввиду, что при анализе
необходимо тесное взаимодействие абсолютных и относительных
величин.
Примеры решения задач:
1. Имеются
за месяц.
Таблица 1.
% жирности
1
50
45
40
35
25
следующие данные о производстве сыра молокозаводом,
Выпуск
(тон)
2
0,45
1,2
2,1
4
5
20
5,6
Необходимо:
1.Расчитать % выполнения плана в условно-натуральных единицах
измерения если заводу установлен план по выпуску 16,5 тон условного сыра в месяц. В качестве условного, принимается сыр 35 %
жирности.
Решение:
1.Расчитаем коэффициенты перевода сыров различной жирности в
условный сыр. Тогда:
50
Kn 50% = ---- = 1.43;
35
45
Kn 45% = ----- = 1.28;
35
40
Kn 40% = ----- = 1.14
35
Kn 35% = 1.0;
25
Kn 25% = ----- = 0.7;
35
20
Kn 20% = ----- = 0.57
35
2.Рассчитаем общий выпуск условного сыра за месяц:
0,45 * 1,43 + 1,2 * 1,28 + 2,1 * 1,14 + 1,0 * 4,0 + 5,0 * 0,7 + 5,6 * 0,57 =
= 0,64 + 1,536 + 2,394 + 4,0 + 3,5 + 3,192 = 15,265тн ~ 15.3тн
3.Рассчитаем % выполнения плана в условно-натуральных единиц
измерения:
15,3
---- * 100 = 92,7%
16,5
Вывод: Таким образом, план по выпуску сыра молокозаводом в
условно-натуральном исчислении недовыполнен на 7,3%(92,7-100).
Задание 2.
Имеются следующие данные о производстве томатной пасты консервным заводом.
Емкость Выпущено
Расчетные графы
Тары
(шт.)
Удельный вес в %Выпуск продукции в
(кг)
к итогу в шт.
условных банках
120
100
10
120
------ *100 = 5,3
----- * 120 = 2400
2280
0,5
5
160
3
200
1
350
0,5
500
0,25
950
Итого
2280
160
------ * 100 = 7,0
2280
5
---- * 160 = 1600
0,5
200
----- * 100 = 8,8(1)
2280
350
------ * 100 = 15,4
(1)
2280
500
----- * 100 = 21,9
2280
950
----- *100 = 41,6
2280
3
---- * 200 = 1200
0,5
1
--- * 350 = 700
0,5
100
6875
1 * 500 = 500
0,25
------ * 950 = 475
0,5
По отчетным данным гр. 1, 2 табл. Требуется рассчитать структуру фактического выпуска продукции в натуральных единицах измерения и процент выполнения плана в условных единицах измерения (условная банка – 0,5 кг) при плане 6,0 тыс. условных банок за
декаду.
Решение:
1.Расчет структуры выпуска продукции в натуральных единицах измерения приведен в гр. 3 табл. Как видно из расчетов наибольший
удельный вес продукции выпускается в таре (банке) 250 граммов
(41,6%).
2.Расчет коэффициентов перевода и выпуска продукции в условных
единицах измерения (усл. банки) приведен в гр. 4 табл.
3.План по производству продукции в условных банках (составляет
114,5 (6875 : 6000 * 100), т.е. процент перевыполнения составляет
14,5% (114,5-100).
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Имеются следующие данные о выпуске местных консервов
консервным комбинатом:
Выпуск (шт.)
Вес банки (кг)
План
Факт
1
1450
1500
0,75
2040
2000
0,5
2000
1800
0,35
2500
2350
0,25
2780
3210
Необходимо:
1.Рассчитать плановую и фактическую структуру выпуска консервов
в натуральных единицах измерения. Сделать выводы.
2.Рассчитать выполнение плана по всему ассортименту в условных
банках, приняв в качестве условной банку емкостью 0,5 кг.
Задача 2.Имеются следующие данные о выполнении плана по товарообороту секциями магазина:
Секция
Ткани
Галантерея
Товарооборот (тыс. руб.)
План
Факт
250
245
150
120
Обувь
300
310
Сувениры
200
140
Посуда
420
420
Необходимо:
1.Определить плановую и фактическую структуру товарооборота
магазина.
2.Определить выполнение плана по каждой секции и по магазину в
целом.
3.Сделать выводы по результатам анализа.
Задача 3. Имеются следующие данные о составе внеоборотных активов предприятия за год (тыс. руб.):
Код
На
начало
строки
года
2
3
ко- Изменение
(+)
Тыс.
года
%
руб.
4
5
6
110
1036
5017
120
3436935
3044743
130
10437
606805
140
541897
95426
190
3990305
3751991
Актив
1
Нематериальные
активы
Основные
средства
Незавершенное
производство
Долгосрочные финансовые вложения
На
нец
Итого по разделу
1
Баланс (итог, актива)
Необходимо:
1.Заполнить расчетные графы 5, 6.
2.Рассчитать структуру внеоборотных активов предприятия на
начало и конец года и ее изменение в гр. 6.
3.Рассчитать удельный вес внеоборотных активов в имуществе
предприятия.
4.Сделать выводы по результатам изменения структуры внеоборотных активов.
Задача 4. Имеются следующие данные о составе основных фондов
предприятия.
Состав
основных
средств
1.Здания
2.Сооружения
3.Оборудование:
_рабочее
_силовое
4.Инструмент, КИПиА
5.Производственный
инвентарь
Среднегодовая стоимость
(тыс.руб.)
2544
620
8650
6440
800
100
Необходимо:
1.Рассчитать структуру ОПФ предприятия.
2.Определить ее прогрессивность при условии:стр.3+стр4>50%
Контрольные вопросы:
1.Абсолютные величины. Область применения.
2.Условно-натуральные. Условные единицы измерения. Область
применения.
3.Какие виды относительных величин Вы знаете?
4.Что означает понятие «структура совокупности»?
Тема 3. Средние величины. Средняя арифметическая, средняя
гармоническая. Область применения в экономическом анализе.
Теоретическая база: Общая теория средних величин, виды
средних, способы расчета, свойства.
В практике экономического анализа часто возникает необходимость расчета показателей, характеризующих общие, средние характеристики исследуемой совокупности. Математическая статистика
рассматривает несколько видов средних. В практике анализа наиболее распространенной является средняя арифметическая.
Средняя арифметическая может быть рассчитана как простая и
как взвешенная по формулам:
n
∑ xi
i=1
x = -----------(3.1)
n
Средняя арифметическая для не сгруппированных данных
n
∑ xi * fi
i=1
x = -----------(3.2)
n
∑ fi
i=1
Средняя арифметическая взвешенная по частотам (fi) (сгруппированные данные)
n
∑ xi * wi
_ i=1
x = -----------(3.3)
n
∑ wi
i=1
Средняя арифметическая взвешенная по частостям (wi)
где: xi – значение усредняемого группировочного признака (варианты);
fi – частота (повторяемость) вариант в ряду распределения;
wi–частость(уд. вес частот в общем итоге в % или коэффициентах);
n – количество вариант в ряду распределения.
Средняя арифметическая по формуле 3.1 рассчитывается только
для не сгруппированных данных (fi =1). Во всех остальных случаях
при расчете средней используются формулы 3.2 и 3.3, т.к. на значение средней помимо значения усредняемого группировочного признака значительное влияние оказывают его частоты.
В тех случаях, когда в исходных данных для анализа, организованных в виде ряда распределения, частоты ряда отсутствуют явно
при наличии общего показателя «V», представляющего произведение
варианты на частоту (xi*fi), например, выручка – это сложный показатель, представляющий собой произведение цены единицы товара
на количество проданных товаров (pigi).
В этом случае при расчете средней используется формула средней
гармонической
_ ∑ vi
x = --------(3.4)
vi
∑ ----xi
Это формула является производной формулы(3.2)
В тех случаях, когда исходные данные предоставлены в виде интервального вариационного ряда для расчета средней необходимо
предварительно преобразовать интервальный вариационный ряд в
дискретный по следующему правилу:
1.Для определения интервалов дискретное значение варианты определяются как средняя арифметическая нижней и верхней границ, т.е.
середина интервала.
2.Величина первого неопределенного интервала «до» берется равной
следующему за ним определенному интервалу.
3.Величина последнего неопределенного интервала «больше» берется равной величине предыдущего определенного интервала.
Ниже приводятся примеры решения задач с использованием формул
3.1 – 3.4.
Задача 1. Имеются следующие данные о заработной плате (в месяц) у
6-ти рабочих-станочников.
Номер п/п
Зарплата
(у.д.е.)
1
за
2
3
4
5
6
месяц
700 840 1200 1220 1800 2300
Требуется рассчитать среднюю месячную зарплату по данной группе
рабочих. Решение:
Поскольку исходные данные представлены в виде вариационного
ряда с одиночными значениями вариант (не сгруппированные данные), то для расчета средней используется ф. 1.3
n
∑ xi
_ i=1
700 + 840 + 1200 + 1220 + 1800 + 2300
x = ------------ = ------------------------------------------------------------n
6
= 1343,3 руб.
т.е. средняя заработная плата в месяц по данной группе рабочих составляет 1343,3 руб.
Задача 2. В результате предварительной группировки по квалификации (тарифному разряду) 50-ти рабочих цеха получено следующие распределение:
Разряд
Количество
бочих fi
2
3
4
5
6
3
12
19
11
5
ра-
Требуется рассчитать средний разряд 50-ти рабочих цеха.
Решение:
Поскольку исходные данные представляют дискретный сгруппированный вариационный ряд, для расчета средней используется формула:
n
∑ xi * fi
_ i=1
2*3+3*12+4*19+5*11+6*5
6+36+76+55+30
x = ------------ = ------------------------------------------ = ---------------------n
50
50
∑ fi
i=1
203
= ------- 4,0
50
Т.е. данная группа рабочих цеха имеет в среднем 4-ый квалификационный разряд.
Задача 3. Имеются следующие данные о ценах и объемах реализации(выручке) товара М по четырем магазинам города.
№ магазина
1
2
3
4
Цена
ед.,руб.(xi)
42
44,2
41,5
45
за Выручка в день,
руб.(vi)
900
600
1200
500
Требуется распределить среднюю цену реализации товара М по
группе магазинов.
Решение:
В данном случае в ряду распределения отсутствуют явно частоты, тогда для решения данной задачи применяется формула средней
гармонической.
_ ∑ vi
900+600+1200+500
3200
x = --------- = ------------------------------- = -------------------------- =
vi
900 600 1200 500 21,4+13,6+28,9+11,1
∑ --------- + ---- + ------ + ----xi
42 44,2 41,5 45
3200
= -------- = 42,6
75
т.е. средняя цена реализации товара М по данной группе магазинов
составляет 42,6 руб. за ед.
Задачи для самостоятельного решения:
Задача 1.Имеются следующие данные о себестоимости производства
изделия «А» на предприятиях отрасли:
Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
8
Себестоимость
2100 1900 2200 1950 2400 2600 1980 2260
ед.,руб.
Требуется определить среднюю себестоимость изделия А по данной
группе предприятий отрасли.
Задача 2. Имеются следующие данные о возрастных группах детей
спортивном лагере.
Возрастная
(лет)
8
9
10
группа
Кол-во детей в группе
25
42
60
11
12
13
38
22
16
Требуется:
1.Определить средний возраст детей в лагере.
2.Ростроить полигон распределения детей по возрасту.
Задача 3.В результате предварительной группировки рабочих цеха по
размеру месячной заработной платы получено следующее распределение:
Заработная плата за месяц,
у.д.е.
Количество рабочих
До 600
12
600 - 800
18
800 - 1000
34
1000 - 1200
45
1200 - 1400
39
1400 - 1600
20
> 1600
16
Требуется:
1.Рассчитать среднюю зарплату данной группы рабочих.
2.Построить гистограмму распределения рабочих цеха по размеру
заработной платы.
Задача 4.Имеются следующие данные о выпуске сыра на молсыркомбинате.
Жирность сыра, %
20
25
Удельный вес выпуска к общ.
Итогу, %
20
27
30
35
40
45
50
20
15
10
5
3
Требуется:
1.Опрделить средний процент жирности выпускаемого комбинатом
сыра.
2.Построить полигон распределения выпуска сыра по проценту гистограммы.
Задача 5.Имеются следующие данные о затратах на производство
продукции «А» на предприятиях отрасли.
Предприятие
1
2
3
4
5
Себестоимость
продукции
1200
900
950
1300
1400
ед. Себестоимость
выпуска
4800
4500
4275
4940
3500
Требуется рассчитать среднюю цену реализации шины типоразмера
«А» по данной группе регионов.
Контрольные вопросы:
1.Какие виды средних величин применяются в экономических
исследования данных, представленных рядами распределения?
2.Как исчисляются средние арифметические: простая и взвешенная?
3.В каких случаях применяется средняя гармоническая?
Тема 4. Структурные средние. Мода, медиана.
1.Теоретическая база.
Для выполнения заданий данного практического занятия студент должен знать теорию рядов распределения, средних величин,
уметь практически их рассчитывать. Иметь общее представление о
структурных средних величинах их значении и месте в процессе экономического исследования, способах их расчета.
2.Общие теоретические вопросы, термины, определения, основные расчетные формулы.
В ряде случаев при анализе данных, представленных в виде распределений еще не достаточно знать значение средней величины
группировочного признака. В этом случае исследуются показатели,
характеризующие структуру ряда. Показатели колеблемости (вариации), симметрии и др.
В данной теме рассматривается методика расчета структурных
средних – моды и медианы.
Мода (М0) – наиболее часто встречающееся значение признака в
ряду распределения. В дискретном ряду распределения мода – это
значение варианты с наибольшей частотой. В интервальном симметричном ряду мода – это серединное значение модального интервала.
В других случаях значение моды определяется по формуле:
f M0 – f M0 - 1
М0 = x M0 + i M0 ------------------------------(4.1)
( f M0 -- f M0 -1) + (f M0 - f M0 + 1)
где: x M0 – нижняя граница модального интервала;
i M0 – величина модального интервала;
f M0 – частота модального интервала;
f M0 -1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f M0 + 1 – частота интервала, следующего за модальным.
Медиана (Ме) – делит упорядоченный (ранжированный) в порядке возрастания варианты ряд распределения на две равные части.
В одновариантном ряду распределения с нечетным числом вариант
медиана – это серединная варианта, а с четным числом вариант медиана – это среднее значение двух серединных вариант. В интервальном симметричном ряду распределения медиана – это
середина медианного интервала. В других случаях значение медианы
определяется по формуле:
∑f
-------- - ∑ f Me -1
2
Ме = x Mе + i Mе -------------------(4.2)
f Mе
где: x Mе – нижняя граница медианного интервала;
i Mе – величина медианного интервала;
∑f
----- - полусумма частот ряда;
2
∑ f Me -1 – сумма частот до частоты медианного интервала
(накопленная частота до мед. интервала);
f Mе – частота медианного интервала.
Нахождение медианного интервала. Для нахождения медианного интервала в ассиметричных рядах необходимо вначале определить медианную накопленную частоту (номер медианы) f MЕS:
∑f
f MЕS = -------(4.3)
2
Затем по значению f MCS определяется интервал, в котором она
находится. Следует иметь в виду, что ранжированный ряд распределения может быть рассечен на 4 части (квартили), на 5 частей (квантили) и на 10 частей (депили), которые нумеруются в порядке вырастания 1я, 2я, 3я, 4я, 5я, …, 9я.
Примеры решения задач.
Задача 1. В результате предварительной группировки рабочих цеха
по размеру заработной платы получено следующее распределение:
Заработная
плата
за
месяц
(у.д.е.)
1
600-800
Накопленные
частоты
Середина
интервала
2
700
Число
чих f i
3
15
рабоS
4
15
800-1000
1000-1200
1200-1400
1400-1600
> 1600
900
1100
1300
1500
1700
35
10
8
6
4
50
60
68
74
78
Требуется:
1.Рассчитать среднюю, модальную и медианную заработную плату.
2.Построить кумуляту и гистограмму распределения рабочих по размеру заработной платы (графическое определения Ме и М0).
3.сделать выводы по результатам расчетов.
Решение:
1.Определяем среднюю заработную плату данной группы рабочих по
формуле средней арифметической взвешенной:
700*15+900*35+1100*10+1300*8+1500*6+1700*4
Зпл =
=
78
79200
= -------- = 1015 руб.
78
2.Опрделяем модальную зар. плату по ф. 4.1:
13 -15
Зпл М0 = 800 + 200 ------------------------- = 800 + 200*0,44 =889 руб.
(35 – 15) + (35 -10)
3.Определяем медианную зар. плату для чего:
3.1.Находим медианную накопленную частоту по ф.4.3:
78
f MЕS = -------- = 39
2
Это частота находится в интервале заработной платы от 800 до 1000
у.д.е.
3.2.Определим медианную заработную плату
39 - 15
Ме зпл = 800 + 200 ---------- = 800 + 200*0,68 = 937 у.д.е.
35
4.Построим кумуляту распределения рабочих по размеру заработной
платы (графическое определение медианы).
fi
78
50
39
15
889
Общий вид кумуляты
Xi
Рис.1. Кумулята распределения рабочих (78 чел.) по размеру заработной платы.
Построим гистограмму распределения рабочих по размеру заработной платы (графическое определение моды). Самостоятельно
определить точки.
35
15
10
8
6
4
600.800.1000.1200.1400.1600.1700
Общий вид гистограммы
Рис. 2.Гистограмма распределения рабочих (78 чел.) по размеру заработной платы.
6.Выводы:
Таким образом, исследование показало, что основная часть рабочих получает заработную плату значительно ниже средней (889
у.д.е. < 1015 у.д.е.), а у половины рабочих цеха заработная плата не
достигает одной тысячи рублей в месяц при среднем ее значение в
данной группе 1015 у.д.е..
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. По результатам предварительного обследования населения
районного центра по уровню среднемесячного дохода получено следующее распределение:
Среднемесячный
у.д.е.
До 500
500-1000
1000-1500
1500-2000
2000-2500
Более 2500
доход,
Уд. Вес населения в %
5
25
35
15
6
2
Требуется:
1.Определить средний модальный и медианный доход, отобразить их
графически.
2.Сделать выводы по результатам анализа.
Задача 2.Предварительная группировка предприятий региона по эффективности использования основных фондов (показатель фондоотдачи) дала следующее распределение:
Коэффициент
фондоотдачи
1
0,15-0,35
0,35-0,55
0,55-0,75
0,75-0,95
0,95-1,15
>1,15
Кол-во предприятий
2
12
22
7
4
3
2
Требуется:
1.Рассчитать среднее, модальное и медианное значение рентабельности предприятий концерна. Отобразить ситуацию графически.
2.Сделать выводы по результатам исследования.
Задача 4.Имеются следующие данные о выполнении норм выработки
10-ти рабочих-станочников цеха:
Таб. № рабочего
1
%
вып.
Норм
выработки
92
2
3
110 96
4
5
6
7
8
115 120 110 97 98
9
10
100 105
Требуется:
1.Средний и медианный процент выполнения норм данной группы
рабочих. Отобразить ситуацию графически.
2.Сделать выводы по результатам исследования.
Контрольные вопросы.
1.Для каких целей рассчитываются показатели моды и медианы?
2.Как определяются мода и медиана для дискретных и интервальных
вариационных рядов распределения.
3.Каким образом графически определить моду и медиану.
Тема 5.Показатели вариации.
1 Теоретическая база.
Для выполнения заданий данной практической работы студент
должен изучить лекционный материал и рекомендованную литературу по данной теме, в особенности (1) и (2), а также выполнить
предыдущие практические работы.
2 Общие теоретические вопросы, термины, определения, методы (способы), основные формулы расчета показателей вариации.
Как уже можно было убедится на примерах предыдущих практических работ, что среднее значение количественного группировочного признака изучаемой совокупности достаточно абстрактно и поэтому ограничиваться его расчетом при анализе было бы неправильно. Поэтому для получения более полных и точных результатов исследования совокупностей. Организованных в виде распределений,
рассчитываются дополнительные показатели и среди них показатели
вариации (колеблемости) количественного группировочного признака. В общем виде эти показатели подразделяются на абсолютные,
средние и относительные.
2.1 Абсолютный показатель вариации – размах вариации (R),
который рассчитывается как разность между max min значениями
варианты в ряду распределения. Т.е. R = X max
- X min
(5.1)
2.2 Средние показатели вариации.
Среднее линейное отклонение (d), которое представляет собой
среднюю арифметическую (простую или взвешенную) абсолютных
отклонений (без учета знака) индивидуальных значений вариант (Xi)
от среднего значения (X).
Рассчитывается по формулам:
n
_
∑ ( X i – X)
_
i=1
D=
n
(5.2)-для несгруппированных данных
n
_
∑ ( X i – X)*f i
_
i=1
d=
n
(5.3)-для сгруппированных данных
∑fi
i=1
Дисперсия (ơ²), которая представляет собой среднюю арифметическую (простую или взвешенную) из квадратов абсолютных отклонений индивидуальных значений вариант (X i) от среднего значения (X).
n
_
∑ ( X i – X)²
i=1
σ² = --------------n
n
_
∑ ( X i – X)² * f i
i=1
σ² =
n
∑fi
i=1
(5.4) – для не сгруппированных данных
(5.5)- для сгруппированных данных
Используя свойство минимальности дисперсии для её расчета,
при условии равных интервалов, может быть применим способ моментов.
n
∑ Xi² * f i
2
i=1
∑ Xi * f i
_
σ² =
= X² - X
∑fi
∑fi
т.е. дисперсия рассчитывается как разность среднего квадрата значении признака X² и квадрата среднего его значения. Здесь нужно заметить, что в смысле достоверности результата, формула (5,6) дает
меньшую точность, чем формула (5,5). Используется, как правило,
для простоты расчета при ручном способе.
В тех случаях, когда совокупность детализирована на отдельные группы и возникает необходимость расчета общей дисперсии по
совокупности в целом, применяется правило сложения дисперсий,
которое формулируется так:
σ²общ = σ²вн.гр. + σ²м.гр.
(5,7)
где:
σ²общ - общая дисперсия признака по всей совокупности в целом;
σ²вн.гр – средняя внутригрупповая дисперсия, которая представляет
собой среднюю арифметическую групповых дисперсий и
рассчитывается по формуле:
n
∑ σ²iгр * ∑fi гр
i=1
σ²1гр*∑f1гр+σ²2гр*∑f2гр +…+ σ²nгр*∑fnгр
σ²вн.гр = ------------------ = ------------------------------------------------------n
∑f1гр + ∑f2гр + … + ∑fnгр
∑fi
i=1
(5.8)
где :
∑ f i - сумма частот всех групп
∑ f iгр - сумма частот 1й группы
σ²м гр - межгрупповая дисперсия, которая рассчитывается как средняя арифметическая отклонений средних значений признака
групп от общей средней, т.е.:
n _
_
∑ (Xi гр - Xо)² * ∑ fi гр
i=1
σ²м гр = ---------------------------(5.9)
∑ fi
где:
Xi гр - среднее значение признака по отдельным группам
Xo - общая средняя, рассчитываемая как средняя арифметическая из
средних значении признака совокупности групп –
n _
∑Xi гр * ∑fi гр
i=1
_
X1гр*∑f1гр+X2гр*∑f2гр+…+Xn гр*∑fn гр
Xобщ = ------------------ = -----------------------------------------------------------∑fi
∑f1гр + ∑f2гр + … + ∑fn гр
(5.10)
Среднее квадратическое отклонение (σ), рассчитывающееся
как корень квадратный из дисперсии, т.е.: σ = σ² (5.11)
2.3
Относительные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции (Ко) — характеризует относительную колеблемость крайних значений признака от среднего значения.
Рассчитывается как:
R
Ко = --- 100%
X
(5.12)
Относительное линейное отклонение (Kd) - характеризует долю
среднего линейного отклонения признака в значение средней. Рассчитывается как:
_
d
Ко = --- 100%
(5.13)
X
Коэффициент вариации (г) - характеризует удельный
вес среднего квадратичного отклонения признака в значение средней.
Рассчитывается как:
σ
r = --- 100%
(5.14)
% выполнения норм выработки Численность рабочих
Xi
1-я
2-я группа
группа fi
fi
80
5
90
7
100
10
15
110
6
20
120
4
10
130
8
Итого:
32
53
3-я группа
fi
8
12
6
26
Относительные показатели вариации используются, как правило, в сравнительном анализе вариации признака в разрезе групп, совокупностей и т.д.
Ниже приводится методика и последовательность действий по
расчёту показателей вариации с учётом современного применения
компьютерной техники.
3.Примеры расчёта показателей вариации.
Проведено обследование выполнения норм по трём группам
рабочих-станочников цеха. В результате получено следующее распределение:
Требуется:
1. Рассчитать абсолютные, средние и относительные показатели вариации процента выполнения норм по каждой группе.
2. Произвести сравнительный анализ показателей вариации по группам.
3. Рассчитать общую дисперсию по всей совокупности рабочих.
Решение по вопросу 1: Первая группа рабочих
1. Определим размах вариации (R) по формуле (5.1)
R1rp. = 120% - 80% = 40%
2. Определим средний процент выполнения норм по формуле
_
80 * 5 + 90 * 7 + 100 * 10 + 110 * 6 + 120 * 4
X1гр = --------------------------------------------------------100%
32
3.2
3170
= ------
=
32
= 99.06
3. Определим среднее линейное отклонение индивидуальных
процента выполнения норм от среднего значения по формуле (5.3)
_
(80-100)*5 +(90-100)*7 +0+(110-100)*6 +(120-120)*4 310
d1гр = ------------------------------------------------------------ = ---- =
32
32
= 9, 68%
4. Определим дисперсию выполнения норм по формуле (5.5)
(-20)² *5+(-10)² *7+0+10² *6+20² *4 4900
σ²1гр = ------------------------------------------- = -------- = 153
32
32
5. Определим среднее квадратичное отклонение по формуле (5.11)
σ1гр = 153 = 12,3%
6. Определим коэффициент осцилляции по формуле (5.12)
40
Ко 1гр = ----- * 100% = 40%
100
7.Определим относительное линейное отклонение по формуле(5,13)
9.68
Кd 1гр = ------- * 100% = 9.68%
100
8. Определим коэффициент вариации по формуле (5.14)
12.3
Кr 1гр = ------- * 100% =12,3%
100
Используя приведённую выше методику расчёта, аналогично, определим показатели вариации для второй и третьей групп рабочих
(предполагается самостоятельно выполнить расчёты и сверить результаты).
Вторая группа
R2rp=30%
σ2гР=8,7%
Х2гр=112%
Ko2rp=26,7%
d2гр=8,5%
Kd2rp=7,6%
σ²2гр=76%
Kr2rp=7,7%
Третья группа рабочих
R3rp=30%
σ3гР=8,7%
Х3гр=112%
Ko3rp=26,7%
d3гр=8,5%
Kd3rp=7,6%
σ²3гр=76%
Kr3rp=7,7%
Решение по вопросу 2:
Таким образом, сравнительный анализ расчётных показателей
вариации выполнения норм выработки показывает, что наименьшие
показатели рассеивания индивидуальных значений процента выполнения норм выработки вокруг значения средней в третьей группе рабочих наименьший, а в первой группе рабочих наибольший.
Это означает, что третья группа рабочих по производительности труда наиболее однородна, а первая группа наиболее разнородна.
Решение по вопросу 3:
1. Определим внутригрупповую дисперсию по формуле (5.8)
153*32 + 76*53 + 53*26
10302
σ²вн.гр = -------------------------------- = ---------- = 93
32 + 53 + 26
111
2. Определим общую среднюю по формуле (5.10)
_
100*32 + 112*53 + 119*26
12230
Xобщ = --------------------------------- = ---------- = 110%
32 + 53 + 26
111
3.Определим межгрупповую дисперсию по формуле (5.9)
(100-110)² *32+(112-110)² *53+(119-110)² * 26 5518
σ²м гр = ---------------------------------------------------------- = ------- =
32 + 53 + 26
= 49.7
4. Определим общую дисперсию по всей совокупности в целом по
формуле (5.7)
5. Определим среднее квадратичное отклонение по всей совокупности в целом
σобщ = 142,7 =11,9
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. По результатам предварительной группировки работающих
на предприятии по размеру заработной платы, получено следующее
распределение:
Месячная Удельный вес численности (в %), по группам работазарплата
ющих
1
2
3
500-1000
5
14
1000-1500
25
35
1500-2000
60
40
2000-2500
2500-3000
3000-3500
>3500
10
6
4
2
1
Требуется:
15
45
30
10
1. Рассчитать абсолютные, средние и относительные показатели
вариации
признака по группам работающих.
2. Рассчитать общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение по всей
совокупности работающих.
3. Сделать выводы по результатам расчётов.
Задача 2. По результатам предварительной группировки населения по
среднемесячному доходу сложилось следующее распределение:
Доход в
месяц
До 600
600-1200
1200-1800
1800-2400
2400-3000
3000-3600
3600-4200
>4200
Удельный вес населения (в % к итогу), по группам
1
4
25
55
10
2
18
42
30
6
10
3
5
8
12
30
25
12
6
2
Требуется:
1. Рассчитать абсолютные, средние и относительные показатели вариации месячного дохода по группам населения района.
2. Рассчитать общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение по всей совокупности населения района в целом.
3. Сделать выводы по результатам расчётов.
Задача 3. Предварительная группировка предприятий отрасли по
фондоотдаче дала следующее распределение:
Фондоотдача
Количество предприятий
0,15-0,35
0,35-0,55
0,55-0,75
0,75-0,95
0,95-1,15
>1,15
12
22
7
4
3
2
Требуется:
1. Рассчитать все показатели вариации признака.
2. Сделать выводы о колеблемости рентабельности на предприятиях
отрасли.
5. Контрольные вопросы:
1.Что означает показатель "колеблемость" применительно к вариационному ряду распределения?
2.Как подразделяются показатели вариации?
3.Что такое размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение?
4.Что такое относительные показатели вариации и как они рассчитываются?
5.Какие способы расчёта дисперсии Вы знаете?
6.Как формулируется правило сложения дисперсий?
7.Какие показатели вариации с Вашей точки зрения являются наиболее существенными при экспресс-анализе?
Тема 6. Показатели исследования распределений. Коэффициент
концентрации Джин.
1. Теоретическая база
Для выполнения данной практической работы студент должен
владеть лекционным материалом по данной теме, а также быть знакомым с литературой! данному вопросу. При предварительном изучении теории и практики в разрезе данной темы рекомендуется внимательно ознакомиться с[1]стр. 10-14, 32-35.
2 Основы теории по данной теме.
Очень важным моментом при анализе распределений является
изучение степ их неравномерности. Степень неравномерности распределений может быть охарактеризована показателями моды, медианы, квартальных, квантильных и цедильных коэффициентов дифференциации, а также коэффициента концентра] Джини.
Методика расчёта структурных средних рассматривалась в
практических работах по теме 4, поэтому здесь рассматривается методика расчёта коэффициента концентрации Джини и децильных коэффициентов дифференциации.
Расчёт коэффициента Джини (Gджи) основан на исследовании кривой
Лоренца, которая строится в осях кумулятивных частостей (ось абсцисс) и кумулятивных суммарных показателей варианты (в % к итогу).
Кумулятивные доли частот
В сущности, коэффициент Джини (Gджи) рассчитывается как
отношение площади (S1), ограниченной линией равномерного распределения (диагональ квадрата) и кривой Лоренца, к половине площади квадрата, которую можно представить как
S1
(S1 + S2), т.е. G = -------(6.1)
S1 + S2
Поскольку S1 + S2 = 0,5 , то
0,5 – S2
G = ---------- = 1 – 2S2
0,5
Для упрощения расчётов коэффициента Джини приближённо
может быть использована формула, предложенная проф. Громыко Г.
Л.[2], по которой G = cumWi * cumYi+1 - cumWi+1 * cumYi, (6.2),
где:
cum Wi - кумулятивные доли частот (частости) распределения
cum Yi, - кумулятивные доли суммарного показателя
Для оценки дифференциации ряда распределения при анализе
могут рассчитываться децильные коэффициенты дифференциации
(ДКД)
Д9
ДКД = ---Д1
(6.3)
,
где Д9 и Д1-соответсвенно девятая и первая децилы.
Причём:
SД1 - 10
Д1=XB1-i ----------WД1
(6.4)
90% - SД9 - 1
Д9 = XH9+ i ----------------WД9
(6.5)
где: XB1 и XH9 - верхняя и нижняя границы интервалов соответственно первой и девятой децилей. i - величина интервала
SД1 - кумулятивная частость 1-го интервала
SД9-1 - кумулятивная частость, предшествующего (предпоследнего),
8-го интервала.
Пример расчёта показателей неравномерности распределения.
Имеются следующие данные о среднемесячной зарплате работников
учреждения
Зарплата (руб.) Xi;
Количество работников fi
150-600
600-1050
1050-1500
1500-1950
25
30
28
20
1950-2400
2400-2950
>2950
14
7
3
Требуется:
1. Рассчитать коэффициент концентрации Джини.
2. Рассчитать децильный коэффициент дифференциации.
3. Сделать выводы по результатам расчётов.
Решение:
1. Построим расчётную таблицу
Зарплата Сере- Кол- СумДоля
дина во марная суммарин- ра- зар- ной зартер- бо- плата платы в
вала ты.
общем
Xi
Xi
Xi, fi итоге %
Накопл.
итоги
суммарной зарплаты
cum Уi
Частост
кол-ва
работников
Wi
Кумулятивные
частости
cum Wi
fi
150-600
600-1050
1050-1500
1500-1950
375
825
1245
1725
25
30
28
20
9375
24750
34860
34500
5,8
15,3
21,7
21,4
5,8
21,1
42,8
64,2
19,6
23,6
22,0
15,8
19,6
43,2
65,2
81,0
1950-2400 2175
2400-2950 2625
>2950
3175
15
6
3
32625
15750
9525
20,2
9,7
5,9
84,4
94,1
100
11,8
4,7
2,4
92,9
47,4
100
2. Рассчитаем коэффициент концентрации Джини по формуле 6.2
(предварительно переведём проценты в коэффициенты делением на
100)
G = (0,196-0,211 + 0,432-0,428 + 0,652-0,642+ 0,81-0,844 + 0,9290,941+ 0,974-1) - (0,432 * 0,058 + 0,652 * 0,211 + 0,81 * 0,428 + 0,929 *
0,642 + 0,976 * 0,844 +1 * 0,941) = 0,296
3. Для расчёта децильного коэффициента дифференциации по формуле 6.3. предварительно определим:
4. Децильную зарплату первой децили по формуле (6.4)
19.6 – 10%
Д1=600-450 -------------- = 379.5руб.
19.6
5. Зарплату девятой децили по формуле (6.5)
90 - 81
Д9=1950+450 ------------ = 2293руб.,тогда
11,8
2293
ДКД = ----------- = 6
379,5
6. Таким образом, коэффициент Джини в данном коллективе довольно значителен, а зарплата высокооплачиваемой категории превышает
зарплату низкооплачиваемой категории в 6 раз.
3 Задачи для самостоятельного решения
Задача 1 . В результате предварительной группировки населения
рабочего посёлка по возрастному составу получено следующее распределение:
Возраст (лет) Уд. вес в % от общей численности
1
1-8
8-15
15-22
22-29
2
3
4
7
9
Возраст
(лет)
Уд. вес в % от общей численности
1
29-36
36-43
43-50
>50
2
12
15
28
22
Требуется:
1. Рассчитать коэффициент концентрации.
2. Рассчитать децильный коэффициент дифференциации.
3. Рассчитать модальный и медианный возраст жителей посёлка.
4. Сделать выводы о демографической ситуации в рабочем посёлке.
Задача 2. Имеются следующие данные о распределении доходов
населения районного центра;
СреднемесячЧисленность
Среднемесяч- Численность
ный доход
населения в % к
ный доход населения в % к
(руб.)
итогу
(руб.)
итогу
1
2
1
2
500-1000
20
2500 - 3000
8
1000-1500
30
3000 - 3500
7
1500-2000
15
3500-4000
4
2000 - 2500
10
>4000
6
Требуется:
1. Определить среднемесячный доход, моду, медиану.
2. Рассчитать децильный коэффициент дифференциации.
3. Определить коэффициент Джини.
4. Сделать выводы по результатам исследования.
Задача 3. Имеются следующие данные о распределении предприятий отрасли по уровню рентабельности:
Рентабельность
(%)
Количество
предприятий
Рентабельность (%)
Количество
предприятий
1
до 10
10-30
30-50
2
2
4
8
1
50-70
70-90
90-110
>110
2
5
4
3
2
1.
2.
3.
4.
Требуется:
Определить средние, модальные и медианные показатели распределения.
Определить квантильный коэффициент дифференциации.
Определить коэффициент концентрации.
Сделать выводы по результатам анализа.
Задача 4. Предварительная группировка предприятий отрасли
по фондоотдаче дала следующее распределение:
Фондоотдача
Количество
предприятий
Фондоотдача
Количество
предприятий
1
0,15-0,35
0,35 - 0,55
0,55-0,75
2
12
22
7
1
0,75 - 0,95
0,95-1,15
>1Д5
2
4
3
2
Требуется:
1. Определить средние, модальные и медианные показатели распределения.
2. Определить квантильный коэффициент дифференциации.
3.Определить коэффициент концентрации.
4. Сделать выводы по результатам анализа.
Задача 5. По результатам предварительной группировки населения по
среднемесячному доходу сложилось следующее распределение:
Доход в
месяц
90-600
600-1200
1200-1800
1800-2400
2400-3000
3000-3600
3600-4200
>4200
Удельный вес населения (в % к итогу), по группам
1
4
25
55
10
6
2
18
42
30
10
3
5
8
12
30
25
12
6
2
Требуется:
1. Произвести сравнительный анализ, в разрезе трёх групп населения, коэффициентов дифференциации (децильных) и показателей
концентрации.
2. Сделать выводы по результатам расчётов.
4 Контрольные вопросы:
1. Что представляет собой кривая Лоренца, как она строится?
2. Что будет означать примерное равенство Sin S2?
3. Если рассчитывать квантильный коэффициент дифференциации, то какое значение % будет в числителе соответственно формул (6.4) и (6.5)?
Тема7. Выборочный метод. Расчёт средней, предельной ошибки
выборки. Расчёт оптимальной численности выборки.
1. Теоретическая база.
Для выполнения данной работы студент должен владеть лекционным материалом по данной теме, а также должен быть знаком со
специальной литературой по данному вопросу, особенной 124-154.
2. Основы теории по данной теме. Определение, терминология.
Выборочный метод статистического наблюдения (СН) - это метод изучения социально-экономических явлений и процессов, при
котором основные характеристики совокупности определяются на
основе изучения какой-то ее части, базируясь на методах случайного
отбора. Обычно обследуется 5-10 % единиц изучаемой совокупности,
реже 15-25 %(стр. 124)
При этом различают понятия генеральной совокупности и выборочной совокупности (выборки). Генеральная совокупность ~ это совокупность экономических явлений, которая подлежит изучению.
Выборочная совокупность (выборка) - это часть, единиц генеральной совокупности, которая подвергается сплошному изучению.
Между характеристиками выборки и генеральной совокупности
объективно имеются расхождения, которые называются ошибкой выборки. Поэтому основной задачей выборочного наблюдения является
минимизация ошибки выборки.
В выборочном методе исследования социально-экономических явлений используются в основном следующие показатели:
а)Средняя величина альтернативного количественного признака "X";
б)Относительная величина альтернативного признака " w ".
Средняя величина количественного признака - это усреднённое значение варианты (X) в ряду распределения, которым представлены
изучаемые данные. Для генеральной совокупности обозначает_

ся как X , для выборки - как X .
Относительная величина альтернативного признака - это
удельный вес (в % или коэффициентах) в общей совокупности еди-
ниц наблюдения, обладающих изучаемым признаком. Для генеральной совокупности - обозначается как "Р", для выборки - как " W". Эту
величину в статистике называют ещё "частостью".
Методический алгоритм применения выборочного метода сбора
данных об изучаемой социально-экономической совокупности поясним на следующем примере.
Исходные данные:
при анализе уровня доходов населения районного центра М было
проведено 5% выборочное обследование населения бесповторным
методом, механическим способом. При этом в выборку попало 250
человек, для которых удельный вес населения с годовым доходом
500 рублей составил 200 человек. Средний годовой доход в выборке
составил 5000 рублей при среднем квадратическом отклонении σ =
±2000 рублей.
Требуется:
_
1. На основе исходных данных определить значение X и Р для генеральной совокупности.
_
2. Определить значение средней ошибки выборки для X и Р.
3. Определить достоверность значений ошибки выборки с вероятностью 0,9545.
4. Определить предельную ошибку выборки с учётом коэффициента
доверия по указанной вероятности.
Алгоритм решения задачи:
m
1 .Определим "W" как W = ---n
(7.1)
m - количество единиц совокупности населения, которое имеет годовой доход < 5000 рублей.
N - количество населения в выборке.
Тогда
200
W = ------- = 0.8
250
Средний доход 5000 рублей определен по формуле
n
∑ Xi * fi
i=1

X = -------------------n
∑ fi
i=1
(7.2)
где: Xi - варианта; f - частота распределения
2. Определяется средняя ошибка выборки (М)
σo²
   ----(7,3)
n
В формуле (7.3) величина σo² - генеральная дисперсия. Определение её значения составляет суть выборочного метода. Между дисперсиями генеральной и выборочной совокупности существует следующее соотношение
n
σo² = σ² * ------n–1
(7,4)
n
т.е. σ² < σo² в -------- раз, где σ² дисперсия выработки
n–1

∑(Xi – X)² * f
σ² = -----------------∑f


σ² = X² - (X)²
(7.5) или
(7,6)
n
Если n достаточно велико, то отношение -------- близко к единице, т.
е.
n-1
σx² = σ²
(7.7)
В этом случае значение средней ошибки выборки по формуле
σ²
----(7,8)
 n
При этом для доли альтернативного признака дисперсия в выборочной совокупности определяется:
σx²=w*(l-w)
(7.9)
Для показателя средней величины количественного признака в
выборке может


∑(Xi – X)
быть определена по формуле : σx² = -----------(7.10) либо по
формулам (7.5) и (7.6)
n
Надо иметь в виду, что формула (7.8) используется только при
повторном отборе (каждая изучаемая единица наблюдения после
фиксации снова возвращается в генеральную совокупность), но повторный отбор используется крайней редко. Для бесповоротного отбора в формулу (7.8) включается дополнительный множитель
n
1- ---, где n - количество единиц в выборке.
N
N - количество единиц в генеральной совокупности.
Тогда формула средней ошибки выборки принимает следующий вид :
σ²
n
w  ----- (1 - --- )
 n
N
(7,11)
Для нашего случая определим значение средней ошибки выборки : а) для показателя W
w*(1-w) n
w  -------- (1 - ---) =

n
N

0.8(1-0.8)
250
------------ (1 - ------ ) = ±0.025
250
5000
(7.12)

б) для показателя среднего дохода X
σx²
n
200²
250
x  ----- (1 - ---) = ------------ (1 - ------ ) = ±12.3

n
N

250
5000
(7.13)
(значение 2002 из условия задачи)
Полученные в результате расчётов (7.12), (7.13) значения «W» и

«X» будут использованы для установления возможных значений «Р»
и «X ».
Одно из возможных значений «Р» определяется по формуле
P = W ± w
(7.14),
т. е. Р = 0.8 ±0.025
_
Одно из возможных значений «X » определяется по формуле
_

X = X ± w
(7.15),
_
т. е. X = 5000p ± 12,3руб.
_
Таким образом, характеристики «Р» и « X » отличаются от «W»
и

«X» на величины средней ошибки выборки ±  .
_
Причём доказано, что пределы «Р» и « X » отличаются от «W» и

«X» на величину ±  лишь с вероятностью 0,683.
Вероятность суждения можно повысить, если увеличить  в t раз. Тогда при t=2 вероятность суждения достигает 0,954 при t=3-0.9973 и т.
д.
В этом случае
P = W + t *w (7.16)
_

X = X + t*x (7.17)
Множитель t называется коэффициентом доверия. Конкретные
значения множителя t для различных степеней вероятности определяется по функции Ляпунова А. М.
1
+1 -1²
F(t) = ---------  e ² * dt
(7.18)
 2* -1
На практике пользуются готовыми таблицами, которые вычислены для различных значений t по нормальным распределениям. Выписка из таблицы.
Кратность ошибки Вероятность Кратность ошибки Вероятность
t
f(t)
t
f(t)
0,0
0,0000
2,0
0,9545
0,1
0,0797
2,5
0,9876
0,5
0,3829
2,6
0,9907
1,0
0,6827
3,0
0,9973
1,5
0,8664
4,0
0,999937
В нашем случае по условию задачи мы должны рассчитать среднюю
ошибку выборки с вероятностью суждения 0,9545. По таблице этому
значению вероятности соответствует коэффициент доверия t = 2,0.
Тогда:
Р = 0.8±2-0.025
_
X= 5000±2-12.3 руб.
Это и будет ответом на 3 вопрос задачи. В практике выборочных наблюдений также используется показатель - предельная ошибка
выборки (Δ).
Δ = t -  (7.19).
Если в формулу (7.19) подставить конкретные  при бесповторном отборе, то предельную ошибку можно записать следующим образом:
а) Для
w * (1 – w)
n
ΔX = t --------------- * 1 - ---(7.20)
 n
N
б) для X
˜
σx²
n
ΔX = t ------ * 1 - --- n
N
Тогда для нашего случая предельная ошибка доли альтернативного признака Aw=2 (±0,025)= ±0,05т.е. ±5% Ах = 2(± 12,3 р) =
±24,6руб
Расчёт оптимальной численности выборки.
При использовании выборочного метода сбора информации об
объекте наблюдения следует иметь ввиду, что размер ошибки выборки зависит, прежде всего, от численности выборочной совокупности,
т.е. чем больше численность выборки, тем меньше средняя ошибка
выборки . Здесь есть следующая закономерность - средняя ошибка
выборки обратно пропорциональна п , т.е. при увеличении n в 4 раза
её ошибки уменьшаются в 4 в 2 раза. Таким образом, увеличивая п
можно довести ошибку выборки до сколь угодно малых значений.
Проблема заключается в том, что при увеличении п растут затраты на
проведение исследования, а при большом уменьшении п увеличива-
ются средние и предельные ошибки выборки. Поэтому необходимо
определить оптимальную численность выборки.
Проведя определенные преобразования формулы предельной
ошибки выборки:

а) для X:
σx²
Если ΔX = t ---- n
- для min n
(7.21)
σx²
- и ΔX² = t² * ----(7.22)
n
t² * σx²
- отсюда nx = ---------- (7.23)
ΔX²
б) для W: Δw² = t² * w(1-w)
t² * w(1-w)
тогда nw = -------------(7.34)
Δw²
При бесповоротном отборе:
Nt² * w(1-w)
а) для nw = --------------------------N * Δw² + t² * w(1-w)
Nt² * σ²
б) для nx = ---------------------N * Δx² + t² * σx²
(7.25)
(7.26)
Пример: исходя из целей исследования дохода населения, необходимо определить оптимальный объем. выборки из численного
населения 5000 человек, чтобы с вероятностью 0,997 предельная
ошибка среднегодового дохода не превысила 3%.
Решение :
5000 *(±3)
ΔX = ---------- = ±150руб.
100
5000 * 3² * 2000²
Подставляя в формулу (7.26) получаем пx = ------------------------- =
5000*150²+3² * 2000
= 140человек
3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. При контрольной проверке 1000 катушек медного
провода, поставленного по договору, было проведено 5% выборочное
обследование. При этом из 50 попавших в выборку (случайная бесповторная выборка) 40 штук соответствовало требованиям стандарта
по техническим характеристикам провода. Средняя длина провода в
выборке в среднем ее ставила 99м при среднем квадратическом отклонении (σ) = ±2м
Требуется определить возможные значения удельного веса(доли)
стандартных катушек и средней длины намотки провода для всей
партии катушек с вероятностью f(t)=0,987, с учётом предельной
ошибки выборки.
Задача 2. В адрес базы МТС СМУ поступило от поставщика согласно договора о поставке 60 т. труб для электромонтажных работ.
При контрольной проверке проведена механическая 5% выборка по
бесповторному способу. При этом из 75 штук попавших в выборку
труб соответствовало требованиям стандарта 65 штук. Средняя длина
одной трубы в выборке 4,9 м при среднем квадратическом отклонении (σ) = ± 0,15 м. Требуется с вероятностью 0,997 определить пределы значений доли стандартных труб и средней длины трубы во
всей партии поставки с учетом предельной ошибки репрезентативности.
Задача 3. На оптовую базу торговой фирмы поступило по договору 20.000 250-граммовых банок рыбных консервов конкретного
наименования. Для контроля качества поставленной продукции проведена 5% случайная бесповторная выборка. При обследовании выборочной партии получены следующие данные:
1. Доля стандартных банок по содержанию составляет 65%.
2. Средний вес одной банки 248 г при среднем квадратическом отклонении (σ) = ± 6 грамм.
Требуется с вероятностью 0,987 определить возможные пределы изменения значений доли стандартных банок и их среднего веса во
всей партии поставки с учетом предельной ошибки репрезентативности.
Задача 4. Исходя из требований стандарта требуется определить
оптимальный объем выборки партии стирального порошка в количестве 5.000 коробок, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка
выборки не превысила 5% веса 400 граммовой коробки.
Задача 5. Исходя из требований ТУ по качеству продукции фирмы, требуется определить оптимальный объем выборки партии автомобильных сальников 10.000 штук, чтобы с вероятностью 0,999 предельная ошибка выборки не превышала 0,05% установленную долю
стандартных изделий 0,95 по условиям поставки.
Задача 6. При контроле качества электрических ламп накаливания проводится 5% обследование соответствия электрических ламп
стандарту. Из 2.5 тысяч ламп попавших в механическую бесповторную выборку требованиям ГОСТа соответствовало 98% при среднем
квадратическом отклонении ± 1,2%.Требуется с вероятностью 0,945
определить долю стандартных ламп во всей партии.
Задача 7. При исследовании среднего годового дохода населения
района № проведено 5% бесповторное случайное выборочное исследование. Из 500 человек, попавших в выборку, средний годовой доход составил 5.400 рублей при среднем квадратическом отклонении
(σ) = ±2,5. Требуется определить с вероятностью 0,954 средний доход
жителей района.
Тема8. Расчет показателей анализа рядов динамики.
1.Теоретическая база.
Для выполнения данной работы студент должен знать теорию
рядов динамики, их виды, состав, методы анализа рядов динамики. В
литературе [1]-[5] эти проблемы рассмотрены достаточно подробно и
понятно.
2.Основы теории по данной теме.
Основные термины, определения, показатели динамики социально-экономических явлений.
Основной целью изучения динамики социально-экономических
явлений является выявление, и измерение закономерностей их развития во времени. Эти закономерности - в данных, представленных в
виде рядов динамики. Таким образом, ряды динамики - это данные
(показатели) изучаемого явления во времени.
Следовательно, ряд динамики состоит из двух элементов:
а) показатели времени (t);
б) показатели (данного уровня), значение которого соответствует
данному времени "t". В рядах динамики данные (показатели) называются уровнями (уi;), т.е. ряд вида t1 t2, t3... tn, есть ряд динамики у1,
у2, у3... уn.
Ряды бывают:
а) моментные - отражают состояние изучаемых уровней ряда на
определенные моменты времени;
б) периодические - отражают состояние явления (уровня) за определенные промежутки времени.
Например:
а) Моментный ряд - состояние остатков в ГП на начало месяца в тыс.,
руб.
t
t1
t2
t3
t4
T5
t6
t7
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
У1
У2
Уз
У4
У5
У6
У7
У
25.0
27.0
24.0
22.0
25.0
24.0
28.0
б) Периодический (интервальный) ряд - объем реализации продукции
за год по кварталам.
t
tl
I
У1
t2
II
У2
t3
III
У3
t4
IV
У4
У
500
520
520
530
При анализе данных экономической динамики следует обязательно обеспечить сопоставимость сравниваемых уровней по временным параметрам.
Основные показатели анализа рядов динамики
Произвести количественный анализ рядов динамики - это значит
сравнить их уровни. Различают сравнение уровней ряда с базисным
уровнем (yi с уБ) или сравнение анализируемых уровней с предыдущим уровнем, т.е. уi; сравнивается с
Уi-1.
Для анализа интенсивности динамики социальноэкономических явлений используются следующие базисные и цепные показатели:
1. Абсолютный прирост (Δ у)
а) базисный Δ УБ = Уi - УБ
(8.1)
б) цепной Δ Уц = Уi – Уi-1
(8.2)
2. Темп роста (Тр)
Уi
а) базисный ТРБ = ------(8.3)
УБ
Уi
б) цепной Трц = ------(8.4)
Уi-1
З.Темп прироста (Тп)
Уi - УБ
а) базисный ТПБ = --------- ИЛИ ТPБ %-100
УБ
Уi - Уi-1
б) цепной ТПЦ = ----------- или ТРЦ %-100
Уi-1
(8.5)
(8.6)
4.Темп наращивания (тн)
Уi - Уi-1
Тн = ---------(8.7)
УБ
Средние показатели динамики социально-экономических явлений. Для получения обобщающих показателей в рядах динамики
рассчитываются следующие средние величины:
1. Средний уровень ряда динамики (У):
1
1
--- У1 + У2 + … + --- Уn
_
2
2
для моментных рядов У = -----------------------------(8.8)
п-1
где n - количество уровней ряда;
_ У1 + У2 + … + Уn
для периодических рядов У = ----------------------(8.9)
_ п
2. Средний абсолютный прирост (Δ у)
_
∑ Δ Уцп
Δ у = ---------п
_ 3. Средний темп роста (Тр)
Tр = п Tpцl* Tpц2 ...* Tpцn
(8.11)
Или
_
Уn
Tр = m-1 -------- УБ
4. Средний темп прироста (Тп) Тп = ТР - или 100% если в %
3. Примеры расчета показателей анализа рядов динамики
Пример 1. На основании следующих данных о динамике объема выпуска продукции в течении года по кварталам. Требуется рассчитать
показатели анализа рядов динамики (абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, темп наращивания, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний уровень ряда).
Показатели
Объем выпуска продукции (млн.руб.)
1. Абсолютный прирост .
Базисный Апрб=УiУБ
Цепной Апрц=Уi-Уi1
2. Темп роста, %
Базисный
Уi
ТРБ = ------- * 100
УБ
Цепной
Уi
Трц = ------- * 100
Уi-1
Темп прироста, %
Базисный
Уi - УБ
ТПБ = --------- * 100
УБ
илиТРБ -100
Цепной
Уi -Уi-1
ТПЦ = ----------Уi-1
1
кв.
2,4
2 кв.
3 кв.
4 кв.
2,9
3,6
4,0
2,9-2,4= 0,5
3,6-2,4=1,2
4,0-2,4=1,6
2,9-2,4=0,5
3,6-2,9=0,7
4,0-3,6=0,4
2,9/2,4*100= 3,6:2,4*100= 4,0:2,4*100=
=120,8
=150
=166,6
120,8
3,6:2,9*100= 4,0:3,6*100=
=124
=111
2,9-2,4
3,6-2,4
4,0-2,4
---------*100= --------*100= ---------*100=
2,4
2,4
2,4
= 20,8
= 50
= 66,6
2,9-2,4
3,6-2,9
4,0-3,6
--------*100= --------*100= ---------*100=
2,4
2,9
3,6
или Трц -100
= 20,8
4. Темп наращивания
Уi - Уi-1
Тн = ---------- * 100
УБ
2,9-2,4
3,6-2,9
4,0-3,6
---------*100= --------*100= ---------*100=
2,4
2,4
2,4
= 20,8
= 29,1
= 16,6
= 24
= 11
5.Средний объем выпуска продукции за год (средний уровень
ряда)
_ ∑ Уi
2.4 + 2.9 + 3.6 + 4.0
Y = ------ = ------------------------- = 3.5млн.руб.
n
4
6. Средний абсолютный прирост
∑ Уi - УБ 0.5 + 1.2 + 1.6
АкрБ = ------------ = ------------------ = 1.43 млн.руб.
n
4
∑ Уi - Уi-1 0.5 + 0.7 + 0.4
АкрЦ = ------------ = ------------------ = 0.43 млн.руб.
n
3
Средний темп роста
_
TрБ = 3 1.208*1.5*1.666 = 1.44%
_
TрЦ = 3 1.208*1.24* 1.1 = 1.18%
Пример 2. Имеются следующие данные об остатках НЗП на
предприятии (млн.руб.)
на 1.01
1.б
1.04
1,4
1.07
1,8
1.10
1,2
1.12
1,6
Требуется определить средний остаток НЗП по году (средний
уровень моментного ряда динамики)
1
1
--- У1 + У2 + … + --- Уn
_
2
2
1,6/2+1,4+1,8+1,12+1,6/2
У = ------------------------------=--------------------------------=1,48 млн.руб.
п-1
4
Здесь следует добавить, что при анализе оборачиваемости оборотных средств по сопоставляющим их элементам расчет средних
остатков следует производить только по средней хронологической.
4. Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Динамика объемов реализации продукции предприятия
за период 1990 - 2000г. (в сопоставленных ценах) характеризуется
следующими данными (млн., руб.):
1990
150
1992
100
1994
30
1996
35
1998
40
2000
45
Требуется:
1. Рассчитать все показатели анализа динамики объема реализации за указанный период, приняв за базу для сравнения объем
реализации 1990 года.
2. Сделать выводы по результатам анализа.
Задача 2. Имеются следующие данные по входящему сальдо
сырья на складе ОМТС предприятия за 10ое полугодие (тыс. руб.)
На 1.01
46,5
1.02
52,8
1.03
48,2
1,04
60,4
1.05
70,2
Требуется;
1. Рассчитать показатели анализа ряда динамики.
2. Средние остатки сырья за полугодие.
3. Сделать выводы по результатам анализа.
1.06
70,6
1.07
82,9
Задача 3. Имеются следующие данные о выпуске продукции
(млн. руб.) на предприятии за год по кварталам.
Вид продукции
А
Б
В
I кв.
II кв.
III кв.
IV кв.
15
25
12
17
23
12,5
20
15
12,5
24
10
13,6
Требуется произвести анализ динамики выпуска продукции по
видам и предприятию в целом.
Для чего:
1. Рассчитать показатели анализа - темп роста, темп прироста, абсолютный прирост, темп наращивания, средний темп роста.
2. Рассчитать средний объем выпуска продукции.
3. Сделать выводы по результатам анализа.
Задача 4. Имеются данные о товарообороте фирмы М за 5 лет в сопоставимых ценах (млн. руб.)
Годы
Объем товарооборота
1996 1997 1998 1999 2000
80,2 81,0 83,4 82,3 84,6
Требуется:
1.Рассчитать все показатели анализа ряда динамики товарооборота.
2.Сделать выводы по результатам анализа.
5. Контрольные вопросы:
1.Какие абсолютные и относительные показатели анализа рядов
динамики Вы знаете?
2.Что такое темп роста и темп прироста? Как они рассчитываются
и какая между ними взаимосвязь.
3.Что показывает темп наращивания?
4.Какая разница между периодическим и моментным рядами динамики?
5.Как рассчитываются средние уровни моментных и периодических рядов динамики.
Тема9. Изучение тренда. Метод аналитического выравнивания.
1. Теоретическая база.
Для выполнения данной работы студент должен владеть теоретическим материалом по теории тренда и методах его изучения. В качестве базового учебника по данной теме рекомендуется[5](стр. 168 187).
2.Основы теории, термины, определения, основные расчетные
формулы, примеры решения задач. В данном пособии методы укрупнения интервалов и скользящей средней не рассматриваются, учитывая их достаточную простоту. Основное внимание здесь уделяется
методу аналитического выравнивания.
Метод аналитического выравнивания.
Метод аналитического выравнивания используется для получения обобщающих характеристик тренда, т.е. его оценки. В основу
метода положено, что основная тенденция развития у является функцией времени, т.е. yti; = f(ti;).
Определение теоретических уровней yti производится на основе
адекватной математической функции, которая наиболее точно отражает тренд. Поэтому самая важная задача в использовании метода
заключается именно в подборе математической функции, которая
обеспечила бы минимальность отклонений теоретических yti I и эмпирических уровней уi, то есть
∑(yti – уi)² = min
(9.1)
Различают следующие эталонные типы тренда:
1.Равномерное развитие. Для этого типа характерны постоянные
абсолютные приросты
ΔYц ≈ const
(9. 2)
Для этого типа тренд отображается уравнением прямолинейной
функции :
_
Уt;=аo+а1t,
(9.3)
где: аo и а1 - параметры уравнения,
t - обозначение времени.
2.Равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Для этого типа
динамики характерны постоянные темпы прироста, то есть:
Тпц ≈ const
(9. 4)
В этом случае тренд отображается функцией параболы второго порядка
_
Уt = ao+a1t+a2t2,
(9.5)
где а2 - отражает изменение интенсивного развития.
3.Развитие с переменным ускорением (замедлением). Для этого
типа динамики тренд отображается уравнением параболы третьего
порядка.
_
Уt =ao +a1t + a2t2 +a3 t3
(9.6)
при а3 > 0 ускорение вырастает, при а3 < 0 ускорение замедляется.
4.Развитие по экспоненте. Для этого типа характерны стабильные
темпы роста:
Трц ≈ const
(9.7)
Отображается показательной функцией:
_
Уt = ao + a1t
(9,8)
где а1 - темп роста (снижение) изучаемого явления в единицах времени.
5.Развитие с замедлением роста в конце периода. Для этого типа
характерно снижение цепного абсолютного прироста в конечных
уровнях динамики, т. е.
ΔYцп → 0
(9.9)
В этом случае тренд отображается уравнением полулогарифмической
функции:
_
Уt =aо+a11gt,
(9.10)
Практическое применение аналитического выравнивания разберём на
следующем примере.
Имеются следующие данные об объёмах реализации продукции
«А» в период с 1992 по 1996 гг.
Год
1997
Объем реализации,
млн. руб.
8,6
Темп роста, %
-
Абсолютный прирост,
млн. руб.
-
1998
1999
2000
2001
9,7
10,6
11,5
12,4
112.7
109,2
108,4
107,8
1,1
0,9
0,9
0,9
Из данных следует, что темпы роста реализации затухают, а абсолютные приросты достаточно стабильны. Последнее обстоятельство
дает основание считать, что данный ряд динамики характеризуется
равномерным развитием (см. (9. 2)), поэтому данному типу
_
тренда соответствует функция (9.3 ): Уt;=аo+аit
Для расчета параметров функции аo и ai составим систему нормальных уравнений
nao + a1∑t = ∑y
ao∑t + a1∑t2 = ∑t * y
(9.11)
тогда применяя способ определений, получаем значение и аo = аi.
∑y∑t2 - ∑ty∑t
ao = ------------------n ∑t2 - ∑t * ∑t
(9.12)
n∑ty - ∑t∑y
a1 = ------------------n ∑t2 - ∑t * ∑t
(9.13)
Применительно к формулам (9.12), (9.13) составляется матрица
расчётных показателей:
Год Объем реализации у
ti
ti 2
tiyi
yi
1
1997
1998
1999
2000
2001
3
1
2
3
4
5
15
4
1
4
9
16
25
55
5
8,6
19,4
31.8
46,0
62,0
167,8
6
8,63
9,62
10,5
11,5
12,4
52,4
2
8,6
9,7
10,6
11,5
12,3
52,8
Определяем значение параметра по формуле (9.24):
52.8*55 – 167.8*15 2904 - 2517
387
a1 = ----------------------- = --------------- = ------- = 7.74
5*55 – 15*15
975 - 225
50
По вычисленным параметрам производим
синтезирование
трендовой модели функции (9.15), тогда
Уt = 7,74 + 0,94*t
(9.14)
На основе синтезированной трендовой модели (9.14) производим расчет теоретических уравнений тренда (yti) для каждого года
анализируемого ряда динамики реализуемого товара М, тогда:
Уt 92 = 7,74 + 0,94*1 = 8,68
Уt 93 = 7,74 + 0,94*2 = 9,62
Уt 94 = 7,74 + 0,94*3 = 10.5
Уt 95 = 7.74 + 0.94*4 = 11.5
Уt 96 = 7,74 + 0,94*5 = 12,4
Занесем вычисленные уровни в графу 6.
Правильность наших расчетов проверим по равенству ∑yi =∑yti .
Расхождение объясняется ошибками в округлении промежуточных результатов. Параметр а1 трендовой модели (9.14) показывает,
что объем реализации товара М вырастал в среднем на 0,94 млн. руб.
в год.
Практика изучения тренда социально-экономических явлений
показывает, что эталонные типы тренда (9.2), (9.4), (9.6), (9.7), (9.9)
скорее исключение, чем правило.
Поэтому при анализе динамики социально-экономических явлений, часто невозможно определить к какому эталонному типу относится тренд, так как влияние на динамику различных факторов обуславливает изменение эмпирических уравнений. Все это говорит о
том, что при изучении тренда перед исследователем, прежде всего,
стоит проблема определения адекватной функции, описывающей
тренд. Одним из применяемых в практике изучения показателей
адекватности математической функции тренда является стандартизированная ошибка аппроксимации (σyt)
∑(yti – yi)
σyt = -----------√
n
(9.15)
Пример, использования функции (9.15) при определении стандартизированной ошибки аппроксимации в оценке адекватности используемых математических функций.
Условие задачи: имеются следующие данные об объеме реализации продукции М фирмой за период 1992 - 1996 гг.
Год
Объем реализации, Темп роста по Абсолютный примлн. руб.
годам, %
рост, млн. руб.
1
1992
1993
1994
2
8,6
9,7
10,0
3
105,8
109,8
4
0.5
0,9
1995
1996
В среднем
10.5
11,3
9,9
105,0
107,6
107
0,5
0.8
0,67
По исходным данным требуется произвести синтезирование
трендовой модели реализации товара М, для чего оценить адекватность выбранной модели по минимальности стандартизированной
ошибки аппроксимации ( oyt)
Анализируя динамику реализации товара А за 5 лет можно сделать вывод о разнохарактерности темпов роста и нестабильности абсолютных приростов. Это в значительной мере усложняет подбор
математической функции, адекватно отражающей трендовую модель.
Здесь можно использовать следующие уравнения: прямолинейной
функции (9.3), показательной функции (9.20), параболы второго порядка (9.5), параболы третьего порядка (9.6). Для определения параметров математических функций при анализе тренда используем
способ отсчета времени от условного начала когда ∑t = 0. В этом
случае параметры математических функций определяются по формулам:
_
а) для прямолинейной функции (9.3) yt = ao + a1t. (при ∑t = 0);
∑y
ао = -----n
(9.16)
∑t * y
а1 = ---------(9.17)
2
∑t
_
б) для показательно функции (9.8) yt = ao + a1t, (при ∑t = 0)
∑lgy
lgао = -----(9.18)
n
∑t * lgy
lgа1 = ---------(9.19)
∑t2
в) для параболы второго порядка (9.5) yt =ao+alt + a2t2, (при ∑t = 0);
∑t4 * ∑y - ∑t2 * ∑t2y
ао = -------------------------(9.20)
n∑t4 - ∑t2 * ∑t2
∑t * y
а1 = ---------∑t2
(9.21)
n∑t2y - ∑t2 * ∑y
а2 = -------------------------(9.22)
n∑t4 - ∑t2 * ∑t2
г) где параболы третьего порядка (9.18) у, =ао+а t + a2t2 + a3t3, (при
∑t = 0)
∑t4 * ∑y - ∑t2 * ∑t2 y
ао = -------------------------(9.23)
n∑t4 - ∑t2 * ∑t2
∑t * ∑ty - ∑t4 * ∑t3 y
а1 = -------------------------∑t2 * ∑t6 + ∑t4* ∑t4
(9.24)
n∑t2y - ∑t2 * ∑y
а2 = -------------------------n∑t4 - ∑t2 * ∑t2
(9.25)
∑t2 * ∑t3y - ∑t4 * ∑t y
а3 = -------------------------(9.26)
2
6
4
4
∑t * ∑t + ∑t * ∑t
Для анализа ряда динамики (таблица 3) по функциям (9.3), (9.8),
(9.5), (9.6) для определения параметров функций аo - а3 составляем
матрицу вида :
Матрица определения параметров математических функций при
∑t= 0,:
Год Условные обознаyi
tiyi ti2yi ti3yi 1gyi
tilgyi
чения
ti1 ti2 ti3 ti4 ti5 ti,6
1997 -2 4 -8 16 -32 64 8,6
1998 -1 1 -1 1 -1
1999 0 0 0 0
2000 1 1 1 1
0
1
-17,2 34,4
- 0,9344 -1,86898
68,8
9
1 9,1 -9,1 9,1 -9,1 0,9590 -0,95904
4
0 10,0
0
0
0 1,0000
0
1 10,5 10,5 10,5 10,5 1,0211 1,02118
8
2001 2 4 8 16 32 64 11,3 22,6 45,2 90,4 1,0530 2,10614
7
0 10 0 34 0 13 49,5 6,8 99,2 23,0 4,9677 0,29930
0
8
По итоговым данным определяем последовательно параметр
функций (9.3), (9.8), (9.5), (9.6), синтезируем трендовые модели и
определяем теоретические значения уровней тренда в млн. руб.
_
1. Для функций (9.3) Yt = аo + a1t,
49.5
1.1 по формуле (9.16) параметр аo = —— = 9,9
5
∑ty
6.8
1.2 по формуле (9.17) параметр а1 = ------ = ---------- = 0,68
∑t2
10
1.3 синтезируем трендовую модель по функции (9.3)
Yt = 9.9 + 0.68t
(9.27)
1.4 Определяем теоретически уровни тренда:
Yt 97= 9,9 + 0,68* (-2) = 8,54
Yt 98 = 9,9 + 0,68 *(-l) = 9,22
Yt 99 = 9,9 + 0,68 *(0) = 9,9
Yt 00 = 9,9 + 0,68 *(1) = 10,58
Yt 01 = 9,9+ 0,68* (2) = 11,26
Вычисленные теоретические уровни трендовой модели по функции
(9.3) заносим в графу 4 итоговой таблицы.
_
2. Аналогично исследуем показательную функцию (9.8 ) Yt = аo*а1t
4.967778
2.1 по формуле (9.18) lgtao = ------------ = 0,99355
5
0.29930
2.2 По формуле (9.19) lga1 = ----------- = 0,02993
10
2.3 На основе вычисленных параметров синтезируем трендовую модель функции (9.8):
_
lgyt = 0,9935 + e*0,02993
(9.28)
2.4 По модели (9.28) определяем теоретические уровни для каждого
ряда динамики.
Для 1997 г.:
_
Igyt = 0,9935 = (-2) * 0,02993 =
для 1998 г.
Igyt = 0,9935 + (-1) * 0,02993 =
и т. д.
Студенту предлагается самостоятельно синтезировать трендовые
модели по функциям (9.8), (9.5), (9.6) и определить значения теоретических уровней по синтезированным моделям.
Результаты расчётов сводятся в матрицу определения стандартизированной ошибки аппроксимации по функциям (9.3), (9.8), (9.5),
(9.6).
Год ti yi
1
2
3
Теоретические
Отклонения теоретических уровней
уровни по модеот фактических уровней
лям
По По По По Функции Функ- Функ- ФункФо фор фор фо
(9.15)
ции
ции
ции
рм му- муле рм
(9.20)
(9.17) (9.18)
у ле (9.17 уле
лее (9.2 ) (9.1
(9.1 0)
8)
5)
yti-yi yti- Yti- yt i- yti- Yti Yti Yti
yi yi y0 Yi -Yi -Yi -Yi
4
5
6
7
8
9
1997 -2 8,6 8,5
9
1998 -1 9,1 9,2
-0,06 0,0
1999 0 10, 9,9
0
2000 1 10, 10,
5 6
-0.1 0,01
0.1 0,36
0.1 0,01
10
11
12 13 14 15
2001 2 11,
3
0,01
Формирование матрицы показано на примере функции(9.3): В
графу 4 переписываются значения теоретических уровней из 1.4.
Определяется итог по графе 4 равной 49,5;
В графе 8 определяется отклонение теоретических уровней от
фактических, то есть yti-yi. Значения этих отклонений будут по 1992
году - 0,06, 93-0,1 и т.д. (см. табл.);
В графе 9 определяется квадрат отклонений значений теоретических уровней от фактических, а в итоге графы определяется сумма
квадратов отклонений ∑(yti – yi)2 это значение для графы 9 будет
равно 0,0356.
По итоговым данным матрицы (графы 9, 14, 13, 15) определяется
стандартизированная ошибка аппроксимации по формуле (9.15).
Так для формулы (9.3)ошибка аппроксимации:
∑(yti – yi)2
0,0356
σyt = ------------ = ----------- = 0,084 млн.руб.
√
n
√
5
Адекватность трендовой модели оценивается как σyt —> min.
Студенту предлагается самостоятельно определить наиболее адекватную трендовую модель для динамики объема реализации по табл.
3. На основе вышеизложенных рекомендаций.
3. Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Данные объемов реализации продукции по предприятию за 1998 -2001 гг. (млн. руб. в сопоставимых ценах.)
Квартал
1998
1999
2000
2001
1
2
3
4
120,4
121,0
123,4
126,9
125,4
123,2
124,3
131,0
130,2
128,0
126,0
135,4
134,6
130,0
129,0
136,2
По исходным данным определите тренд объемов реализации
продукции используя метод скользящей средней. Отобразите сложившуюся ситуацию графически (по оси х - периоды, по оси у уровни, эмпирические, сглаженные, центрированные). Дайте характеристику основной тенденции развитие объемов реализации за 4 года.
Задача 2. Имеются следующие данные об объеме продаж фирмы
за 6 лет в сопоставимых ценах (млн, руб.).
Год
Объем продаж
Абс. прирост
Темп
(млн.руб.)
(млн.руб.)
роста %
1996
50,3
1997
51,0
1998
52,3
1999
52,9
2000
53,4
2001
54,1
Исходя из данных об объеме продаж необходимо:
1.Рассчитать и заполнить показатели гр. 3, 4.
2.Используя уравнение прямолинейной функции ут. Рассчитать
параметры функции, произвести синтезирование трендовой модели,
определить теоретические уровни тренда.
вам необходимо:
1.Дозаполнить гр. З, 4 в таблице.
2.Произвести синтезирование трендовой модели товарооборота
для чего:
2.1.Выбрать наиболее адекватную математическую функцию из
следующих типов: уравнение прямолинейной функции, показательной функции, параболы второго порядка по min ошибке аппроксимации (оут).
3.Для определения параметров математических функций при
анализе тренда использовать способ отсчета времени от условного
начала.
Задача 4. Данные о производстве товаров и услуг предприятием,
(в млн. руб.) в сопоставимых ценах с 1998 по 2001 гг.
Год
1998
1999
2000
2001
Объем пр-ва
Темп
(млн. руб.)
роста
56,0
54,0
40,0
39,0
Год
1995
1996
1997
1998
Объем пр-ва
Темп
(млн. руб.)
роста
38,0
39,0
42
42,3
Поданным о производстве предприятием вам необходимо:
1.Произвести синтезирование трендовой модели-производства
товаров и услуг за 1998-2001 гг. на основе математических функций:
а) показательной функции,
б) параболы третьего порядка.
2.Оценить адекватность используемых математических моделей
характеру тренда по min ошибки аппроксимации (σyt).
Для определения параметров математических функций использовать способ отсчета времени от условного начала.
4. Контрольные вопросы:
1. Что такое тренд?
2. Какие факторы оказывают влияние на тренд?
3. Какие существуют методы изучения тренда? В чем их суть?
4. Эталонные типы тренда.
5.Основные этапы алгоритма метода аналитического выравнивания.
Тема 10.Изучение сезонных колебаний способом переменной
средней.
1.Теоритическая база
Для выполнения данной практической работы необходимо
знать теорию рядов динамики, тренда и основных способов изучения
сезонных колебаний. В качестве базового учебника по данной теме
рекомендуется [5] (стр.187-205).
2.Краткие основы теории по данному вопросу. Основные
формулы, определения, алгоритм расчёта.
Как известно, для измерения сезонных колебаний рассчитываются индексы сезонности (isi), которые представляют собой отношение эмпирических уровней ряда динамики (yi) к теоретическим
(расчётным) уровням yt, которые используются как базовые.
yi
isi = -------yti
Для элиминирования случайных отклонений на индивидуальные индексы сезонности для каждого периода годового цикла рассчитывается индекс сезонности
∑ isi
is = -------n
Причём, для рядов внутригодовой динамики, у которых тренд
явно выражен, используйте формулу (10.2), а для рядов где тренд явно повышающийся или понижающийся отсутствует определение
средних индексов сезонности производится по формуле (10.3). В
первом случае говорят о способе переменной средней, во втором –
постоянной переменной.
Методику применения способа переменной средней при анализе сезонных колебаний поясним на следующем примере:
Имеются следующие данные о среднемесячной реализации
пива в торговых точках города (цифры условные):
Квартал
1
2
3
4
Итого по году
97
60
85
78
54
69,2
98
68
90
82
59
74,7
99
71
96
84
62
78,2
2000
73
98
84
65
80
Требуется рассчитать средние индексы сезонности и построить сезонную волну продажи пива.
Алгоритм, в общем виде, этого следующий:
2.1.Определим показатели анализа ряда динамики по кварталам:
Показатели
1.Темп роста, в % к 1997
г.(базисный)
2.Темп роста, в % к 1997
г.(цепной)
3.Абсолютный прирост
(цепной)
4.Темп наращивания
97
100
98
107,9
99
113
2000
115,6
------
107,9
104,6
102,3
-------
5,5
3,5
1,8
7,9
5
2,6
При анализе показателей таблицы видно, что средний базисный
темп роста составил
112 % , т.е. существует устойчивая тенденция роста продажи пива
при снижении темпов наращивания. В связи с этим можно предположить, что в данном случае тренд, с известной степенью вероятности, может быть описан прямолинейной функцией yt = a0 + a1t (10.4)
или (т.к. имеется тенденция затухания темпов роста по цепи) параболой второго порядка yi = a0 + a1t + a2t2 (10.5). Т.е. функции (10.4) и
(10.5) могут быть использованы при расчёте теоретических уровней
тренда yti.
Использовать способ определителей, параметры уравнения
(10.4) при ∑ t = 0 (способ отсчёта от условного начала) рассчитывается как:
∑y
a0 = ------n
∑t*y
a1 = ---------∑ t2
Параметры уравнения (10.5) при ∑ t = 0 рассчитываются как:
∑ t4 * ∑ y - ∑ t2 * ∑ t2 y
a0 = ------------------------------n ∑ t4 - ∑ t2 * ∑ t2
∑t*y
a1 = -----------∑ t2
n ∑ t2 y - ∑ t2 ∑ y
a2 = -----------------------n ∑ t4 - ∑ t2 * ∑ t2
Для определения параметров уравнений (10.4) и (10.5) по исходным данным формируем таблицу 1.
Год,
квартал
97 г., 1кв.
2кв.
3кв.
4кв.
98 г., 1кв.
2кв.
3кв.
4кв.
99 г., 1кв.
2кв.
3кв.
ti
ti 2
ti 4
yi
ti * y1
- 15
- 13
- 11
-9
225
169
121
81
50625
28561
14641
6561
60
85
78
54
- 900
- 1105
- 858
- 485
-7
-5
-3
-1
49
25
9
1
2401
625
81
1
68
90
82
59
- 476
- 450
- 246
-59
ti 2 *
yi
4кв.
2000 г.,
1кв.
2кв.
3кв.
4кв.
∑ 16
1
3
5
7
1
9
25
49
1
81
625
2401
71
96
84
62
71
288
420
434
9
11
13
15
0
81
121
169
225
1360
6561
14641
28561
50625
206992
73
98
84
65
1209
657
1078
1092
975
435
2.3. На основании итоговых таблицы 1 определяем параметр
уравнения (10.4) по формулам (10.6) и (10.7) тогда:
1209
a0 = -------- = 75,5
16
435
a1 = --------- = 0,31
1360
2.4.По вычислительным параметрам синтезируем модель
тренда по функциям (10.4) тогда: yt = 75,5 + 0,31 * t (10.10)
2.5.По модели (10.10) производим расчёт теоретических
уровне тренда yti :
97 г. yt1 = 75,5 + 0,31 * (-15) = 70,8
99 г. yt1 = 75,5 + 0,31*( 1) = 75,8
yt2 = 75,5 + 0,31 * (-13) = 71,5
yt2 = 75,5 + 0,31*( 3) = 76,4
yt3 = 75,5 + 0,31 * (-11) = 72,1
yt3 = 75,5 + 0,31*( 5) = 77,1
yt4 = 75,5 + 0,31 * (- 9) = 72,7
yt4 = 75,5 + 0,31*( 7) = 77,7
98 г. yt1 = 75,5 + 0,31 * (- 7) = 73,3
2000 г yt1 = 75,5 + 0,31*( 9) = 78,3
yt2 = 75,5 + 0,31 *(- 5) = 73,9
yt2 = 75,5 + 0,31*( 11) = 78,9
yt3 = 75,5 + 0,31 *(- 3) = 74,5
yt3 = 75,5 + 0,31*( 13) = 79,5
yt4 = 75,5 + 0,31 *(- 1) = 75,2
yt4 = 75,5 + 0,31*( 15) = 80,2
2.6.Проведём расчёт индексов сезонности isi, для чего построим расчётную таблицу 2.
Год,
квартал
yi
yti
1
97 г.,
1кв.
2кв.
3кв.
4кв.
98 г.,
1кв.
2кв.
3кв.
4кв.
2
60
85
78
54
68
90
82
59
3
70,8
71,5
72,1
72,7
73,3
73,9
74,5
75,2
isi %
(yi : yti *
100)
4
84,7
118,8
108
74,2
92,7
121,7
110
78
Год,
квартал
yi
yti
1
99 г., 1кв
2кв.
3кв.
4кв.
2000
г,1кв.
2кв.
3кв.
4кв.
2
71
96
84
62
73
98
84
65
3
75,3
76,4
77,1
77,7
78,3
78,9
79,5
80,2
isi %
(yi : yti *
100)
4
94,2
125,6
108,9
79,7
93,2
124,2
105,6
79,2
2.7.Произведем расчёт средних индексов сезонности по одноименным кварталам исследуемого ряда внутригодовой динамики (isi)
по формуле (10.2).
isi
isi
isi
isi
84,7+92,7+94,2+93,2
1кв.= --------------------------- = 91,2 %
4
118,8+121,7+125,6+124,2
2 кв = --------------------------------- = 122,5 %
4
108+110+108,9+105,6
3 кв = ---------------------------- = 108,1 %
4
74,2+78+79,7+79,2
4 кв = ------------------------- = 77,7 %
4
Рассчитанные средние индексы сезонности представляют модель сезонной волны реализации пива в торговых точках города во
внутригодовом цикле.
Графически эту ситуацию можно представить следующим образом:
Сезонная волна продажи пива 1997-2000 гг.
Т.е. наибольший объём продажи пива приходится на 2 и 3 кварталы,
что превышает среднегодовой уровень (100%) соответственно на 22,5
(2кв.) и 8,1 (3кв.). Значительный спад продажи пива наблюдается в 4
кв. – на 22,3 %. В 1кв. снижение продажи составляет 8,6 %.
Как уже говорилось ранее, в исследовании тренда одной из
проблем является подбор наиболее адекватной математической
функции, отражающей тренд. То же самое относится к изучению сезонных колебании, способом переменной средней. При использовании ПК эта проблема перестаёт быть актуальной.
Студенту предлагается самостоятельно применить при изучении сезонных колебаний по исходным данным таблицы 1 функцию
(10.5), рассчитать ошибку аппроксимации для трендовых моделей по
(10.4) и (10.5) и сравнить их по критерию минимальности.
3.Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.Имеются данные о среднедневной реализации торговой фирмой безалкогольных напитков за 1995 – 1998 гг. (тыс. руб.) в
сопоставимых ценах.
Квартал
1кв
2кв
3кв
4кв
1.
2.
3.
4.
1995
12
20
19
11
1996
10
23
24
14
1997
12
28
29
16
1998
16
32
34
19
По исходным данным необходимо:
Рассчитать цепные и базисные темпы роста по годам в разрезе
кварталов и среднем по годам.
Рассчитать цепные абсолютные приросты аналогично п. 1.
Рассчитать темпы наращивания аналогично п. 1.
Исчислить индексы сезонности способом переменной средней, представить трендовую модель графически.
Для определения тренда применить уравнение прямолинейной
функции и параболы 2-го порядка. При определении параметров функции использовать способ отсчёта t от условного
начала.
Задача 2. Имеются следующие данные о среднемесячном объёме земляных работ СМУ 1997-2000 г. по кварталам:
Год, квартал
Объём земляГод, квартал
Объём земляных работ (тыс.
ных работ (тыс.
м3)
м3)
1
2
1
2
97 г., 1кв.
25
99 г., 1кв.
32
2кв.
42
2кв.
50
3кв.
47
3кв.
59
4кв.
32
4кв.
41
98 г., 1кв.
29
2000 г., 1кв.
33
2кв.
46
2кв.
52
3кв.
52
3кв.
61
4кв.
39
4кв.
41
Необходимо:
1. Способом переменной средней рассчитать средние индексы
сезонности.
2. Отобразить ситуацию графически.
3. Сделать выводы по результатам анализа сезонных колебаний
по объёмам среднемесячных земляных работ СМУ.
Задача 3.Сезонные колебания продажи безалкогольных напитков фирмой во внутригодовом цикле характеризуется следующими данными:
Год, квартал
1
98 г., 1кв.
2кв.
3кв.
4кв.
99 г., 1кв.
2кв
Объём земляных работ (тыс.
м3)
2
55
70
82
46
58
76
Год, квартал
1
.3кв.
4кв.
2000 г., 1кв.
2кв.
3кв.
4кв.
Объём земляных работ (тыс.
м3)
2
88
50
59
81
92
52
Необходимо:
1. Рассчитать индексы сезонности и определить сезонную волну
среднесуточной продажу.
2. Отобразить ситуацию графически. Экстраполируйте колебания сезонности продаж на 2001-2002 гг.
4.Вопросы для самоконтроля.
1. Что такое тренд и почему его надо изучать?
2. Какие факторы могут оказывать влияние на тренд?
3. В чём суть проблемы и метода, «переменной средней» изучение тренда?
4. Что такое «стандартизированная ошибка аппроксимации»?
Тема 11.Изучение сезонных колебаний способ постоянной
средней.
1.Теоритическая база
Для выполнения данной работы студент должен знать теорию
рядов динамики, методов, показателей анализа. Основная учебная
литература [5] стр. 198-203. Безусловно, студент должен владеть
практическими навыками по предыдущим работам.
2.Основы теории
Способ постоянной средней при изучении сезонных колебаний используется в рядах внутригодовой динамики при неявном выражении тренда, т.е. когда он незначителен. Тогда индекс сезонности
isi = yi : y. Где y – общий средний уровень анализируемого ряда, которой является постоянной величиной и принимается за базу для
сравнения. Этот метод достаточно прост и может найти широкое
применение в практическом анализе.
3.Пример решения
Имеются следующие данные о среднедневном объёме реализации в фирме
Месяц
1998 г.
1999 г.
2000 г.
Январь
20
22
20
Февраль
20,5
21,5
21
Март
21,3
21,0
20,9
Апрель
20,2
22,0
19,6
Май
20,6
24,0
23,0
Июнь
32,4
38,0
36
Июль
36,7
42,0
40,0
Август
32
40,0
39,6
Сентябрь
29
29,2
30,0
Октябрь
30
29,0
29,6
Ноябрь
24
23,4
24,0
Декабрь
25
24
25
В среднем за год
26
28
27,4
Необходимо:
1. Определить индексы сезонности среднесуточной реализации
по фирме.
Решение:
3.1.Определяем средние уровни одноименных внутригодовых
периодов yi
20+22+20
Январь y = ------------- = 20,6
3
20,5+21,5+21,0
Февраль y = -------------------- = 21,0
3
21,3+21+20,9
Март
y = ------------------ = 21,1
3
20,2+22,0+19,6
Апрель y = --------------------- = 20,6
3
20,6+24,0+23,0
Май
y = --------------------- = 22,5
3
32,4+38?0+36,0
Июнь
y = ---------------------- = 35,4
3
36,7+42,0+40,0
Июль
y = ---------------------- = 39,6
3
32+40+39,6
Август
y = ---------------- = 37,2
3
29,0+29,2+30
Сентябрь y = ------------------- 29.4
3
30+29+29,6
Октябрь y = ------------------ = 29,5
3
24+23,4+24,0
Ноябрь y = ------------------- = 23,8
3
25+ 24+25
Декабрь y = --------------- = 24,6
3
3.2.Определяем общий средний уровень как среднюю арифметическую:
20,6+21+21,1+20,6+22,5+35,4+39,6+37,2+29,4+23,8 и т.д.
y = ------------------------------------------------------------------------------------12
3.3.Раасчитыем индексы сезонности по месяцам:
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
is = (20,6/27,1) * 100 = 76 %
is = (21,0/27,1) * 100 = 77,4
is = (21,1/27,1) * 100 = 77,8 %
is = (20,6/27,1) * 100 = 76 %
is = (22,5/27,1) * 100 = 89 %
is = (35,4/27,1) * 100 = 130,6 %
is = (39,6/27,1) * 100 = 146 %
is = (37,2/27,1) * 100 = 137 %
is = (29,4/27,1) * 100 = 108 %
и т.д.
Задача 2.Имеются следующие данные о товарообороте одной
из точек по продаже мороженным:
Месяц
1
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
1999
2
150
152
153
175
190
204
2000
3
155
153
158
180
198
212
За 1999 – 2001 гг.
2001
Месяц
4
1
158
Июль
156
Август
166
Сентябрь
186
Октябрь
200
Ноябрь
225
Декабрь
1999
2
240
245
192
186
145
150
2000
3
252
254
198
192
160
158
2001
4
270
276
230
200
145
162
Необходимо:
1. Определить индексы сезонности продажи товара в киосках по
продаже мороженным
способом постоянной средней.
2. Отразить графически сезонную волну товарооборота.
3. Сделать выводы по результатам исследования.
5.Вопросы для самоконтроля.
1. В чём отличие способа постоянной средней от способа переменной средней?
2. Как рассчитать средний уровень сезонности?
3. Что отображает «сезонная волна» при анализе объёма реализации?
4. Как определяется средний уровень при использовании способа «постоянной средней»?
Тема 12. “Индексный метод в экономических исследованиях. Индивидуальные индексы. Агрегатные индексы цен”
1. Теоретическая база.
Для выполнения данной практической работы студент должен
знать теорию и практически владеть методами анализа с использованием абсолютных и относительных величин, средних величин, а
также показателей анализа рядов динамики. В качестве базового
учебника рекомендуется [5] стр. 206-262, а также [1] стр. 143-179 и
другая учебная литература по общей теории статистики.
2. Общая теория индексного метода исследования сложных совокупностей.
В зависимости от объекта, подлежащего изучению индексным методам (сложная совокупность или её элементы), индексы подразделяются соответственно на общие и индивидуальные.
Индивидуальные индексы — характеризуют изменение отдельных единиц (элементов) изучаемой сложной совокупности. Индивидуальные индексы обозначаются через букву
« i. » с приставкой индексируемой величины.
Индексированная величина — основной элемент индексного
отношения. Так, если индексируется цена (т.е. определяется изменение цен), то индексируемой величиной будет цена. Она обозначается
как « р. », а если индексируется физический объём производства, реализации, продаж, товарооборота, то индексируемой величиной будет количество произведённой продукции, проданных товаров и т.д.
в натуральном выражении. В этом случае обозначается буквой « g. ».
Для определения индекса, надо произвести сопоставление не менее
2x величин.
Сравниваемая величина (числитель индексного отношения)
принимается за текущий (отчётный) период, а величина, с которой
происходит сравнение (знаменатель индексного отношения), принимается за базисный (плановый) период.
Таким образом, индивидуальные индексы физического объёма
производства и реализации товаров (в дальнейшем просто индексы
физического объёма) определяются по формуле: ig = g1 / g0 (12.1), где
g1 и g0 — количество реализованных товаров соответственно в текущем « g1 » и базисном « g0 » периодах, а символ « / » — знак деления.
Индивидуальный индекс цен определяется по формуле: ip = p1 /
p0 (12.2), где « p1 »,
«p0» — цена за единицу продукции соответственно в текущем « p1 »
и базисном « p0 » периодах, а символ « / » — знак деления.
Поясним методику расчета и индексов на следующем примере:
имеются следующие сравнительные данные о реализации продукции
Вид
Единицы
1 кв. 1998 г.
2 кв. 1998 г.
продукции измерения Цена Кол-во Цена Кол-во
за
продано
за
продано
ед.
ед.
(тыс.
(тыс.
руб.)
руб.)
p0
g0
p1
g1
А
ТН
2,5
20
4,0
12
Б
МП
3
40
3,8
21
В
М2
5
35
4
40
ip
ig
p1/p0 g1/ g0
1,6
0,6
или
или
160% 60%
1,26 0,525
или
или
126% 52,5%
1,8
1,14
или
или
180% 114%
В нашем случае 1 кв. принимается за базисный период, а 4 за
текущий период. Таким образом, индивидуальные индексы цен показывают, что цены 4 кв. по сравнению с 1 кв. на товары « А » и « Б »
увеличились соответственно на 60 и 26 процентов, цена на товар
« В » снизилась на 20 процентов. Количество проданных товаров во
2 кв. по сравнению с 1 кв. 1998 г. по товарам « А » и « Б » снизилось
соответственно на 60 и 52,5 процентов, а по товару « Б » количество
продаж увеличилось на 14 процентов.
Можно также сформулировать выводы по результатам расчётов
индексов следующим образом: индекс цен на товары « А », « Б », « В
» во 2 кв. по сравнению с 1 кв. составили соответственно 160, 125, 80
процентов, т.е. выросли соответственно в 1,6; 1,25 раза и уменьшились в 0,8 раза.
Индивидуальные индексы применяются широко в сравнительном анализе состояния отдельных единиц общей совокупности, но
дать обобщающуюся оценку изменения совокупности в целом с применением индивидуальных индексов нельзя, в силу разнородности
единиц, составляющих сложную совокупность. В этом случае используются общие индексы.
Общие индексы отображают обобщающиеся результаты изменения всех единиц (элементов) совокупности. Общие индексы обладают синтетическими и аналитическими свойствами, т.е. они позволяют соединять в целое разнородные единицы сложной совокупности и провести факторный анализ изучаемых показателей. Общие
индексы принято обозначать через букву « I » с приставкой индексируемой величины, так « Ip » — общий индекс цен, « Ig » — общий
индекс физического объёма.
Основной формой общих индексов является агрегатная форма.
В числители и знаменателе агрегатных индексов содержаться соединённые наборы (агрегаты) изучаемых элементов совокупности. Основными частями (составляющими) агрегатного индекса являются
индексируемая величина и соизмеритель. Соизмеритель — это
сомножитель индексного отношения, в практике его называют ещё
«весом» агрегатного индекса. Он позволяет достичь соизмеримости
разнородных единиц изучаемой совокупности, приведя совокупность
к единой стоимостной формы выражения. В качестве соизмерителей
индексируемых величин, как правило, бывают тесно связанные экономические показатели, произведение которых на индексируемую
величину образует определённые экономические категории. Например, товарооборот текущего периода по базисным ценам, затраты на
производство продукции и т.д.
Методологию расчёта общих индексов рассмотрим на примере
данных.
По данным мы рассчитали индивидуальные индексы цен и физического объёма по отдельным товарным разновидностям « А », « Б
», « В » и сделали соответствующие выводы (см. выше), но какие
произошли изменения в реализации всей совокупности товаров и как
цены, и физический объём продаж повлияли на изменение общей реализации, определить предыдущими расчётами нельзя. Для этого используются общие индексы в агрегатной форме.
Перед нами стоит задача определить, как изменились цены на
всю совокупность товаров в 4 кв. по сравнению с 1 кв. Для этого рассчитаем общий агрегатный индекс цен Ip. Он может быть рассчитан
двумя способами.
Первый способ — в качестве соизмерителя индексируемых величин p1 и p0 , используем количество проданных товаров в отчётном
(текущем) периоде g1. Тогда умножая индексируемые величины на
соизмеритель, получим формулу агрегатного индекса цен следующего вида: Ip = ∑p1g1 / ∑p0g0 (12.3), а символ « / » — знак деления.
Этот индекс ещё называют индексом Паше. В числители индексного
отношения (12.3) содержится товарооборот текущего периода, а в
знаменателе сумма продаж, количество товаров текущего периода «
g1 » по базисным « p0 » ценам. Применим формулу (12.3) к данным:
Ip = 4*12+3,8*21+4*40 /
2,5*12+3*21+5*40 = 48+79,8+160 /
30+63+200 = 287,8 / 293= 0,984 или 98,2 %,а символ « / » — знак деления, а символ « * » – знак умножения. Т.е. цены на всю товарную
группу снизились в среднем на 1,8 %.
Если сопоставить числитель и знаменатель индекса (12.3), то в
разности получим прирост (уменьшение)( –+ Δ ) товарооборота (pg)
по фактору цен (p), т.е.
∑+ – Δ pg(p)(g1) = ∑ p1g1 –∑ p0g1 (12.4)
Применительно к нашему случаю ∑+ – Δ pg(p)(g1) = 287,8 – 293 = –
5,2 тыс. руб.
Таким образом, снижение цен в среднем 1,8 % по всей товарной
группе обусловило уменьшение выручки на 5,2 тыс. руб.
Второй способ. В качестве соизмерителей индексируемых величин p1 и p0 используется физический объём продаж базисного периода (g0). Тогда, умножая индексируемые величины на соизмеритель, получаем, формулу агрегатного индекса цен следующего вида:
Ir = ∑pg0 / ∑p0g0 (12.5), а символ « / » — знак деления.
Этот индекс ещё называют индексом Ласпейреса. Числитель
индексного отношения (12.5) содержит сумму продаж товаров базисного периода по текущим ценам (∑p1g0), а знаменатель индексного
отношения (12.5) содержит объём товарооборота базисного периода
(∑p0g0). Применяя формулу (12.5) к данным таблицы 1 получим:
Ip = 4*20+3,8*40+4,*35 / 2,5*20+3*40+5*35 = 80+152+140 /
50+120+175 = 372 / 345 = 1,078 или 107,8 %, т.е. цены выросли по
сравнению с 1-ым в среднем по всей товарной группе на
7,8 % (107,8 – 100). Сопоставление числителя и знаменателя индексного соотношения (12.5) в разности даёт изменение товарооборота (+
– Δ pg). За счёт изменения цен (p), т.е.
∑+ – Δ pg(p) = ∑p1g0 – ∑p0g0
Применим формулу (12,6) к данным таблицы 1:
∑+ – Δ pg(p) = 372 – 345 = 27 тыс. руб.
Таким образом, повышение цен в среднем на 7,8 % позволило
увеличить товарооборот по сравнению с 1 кв. на 27 тыс. руб.
Сопоставляя результаты расчётов индекса цен по формулам
(12.3) и (12.5), очевидно, что результаты расчётов агрегатного индекса цен не равнозначны. Это объясняется тем, что в индексе Пааше в
качестве соизмерителя индексируемых величин используется количество проданных товаров в текущем периоде (g1), а индексе Ласпейреса соизмерителем индексируемых величин является количество
проданных товаров в базисном периоде (g0).
Отсюда следует различие в их использовании при анализе объёмов реализации.
Индексы Пааше используются при анализе изменения фактически сложившегося товарооборота по фактору цен. В нашем случае
расчёт по формулам (12.3), (12.4) показывает, что произошло снижение товарооборота на 5,2 тыс. руб. за счёт фактического снижения
цен на 1,8 %.
Индекс Ласпейреса используется при планировании товарооборота за счёт изменения цен. В нашем случае расчет по формулам
(12.5), (12.6) показывает, что предприятие планировало прирост товарооборота на 27 тыс. руб. за счёт повышения цен в среднем на 7,8
% при базисном объёме физических продаж.
В практике анализа товарооборота по индексному методу в ряде случаев при синтезировании общего индекса цен вместо конкретного значения соизмерителя ( g1, g0 ) индексируемых величин, используется среднее значение количества реализованной продукции (
g ), которая определяется как g = g1+ g0 / 2 , а символ « / » — знак деления. Тогда агрегатный индекс цен будет записан как:
Ip = ∑p1g / ∑p0g (12.7), а символ « / » — знак деления.
Этот индекс получил название — индекс Лоу. Индекс Лоу применяется в расчётах при закупках и реализации товаров в течении
продолжительных периодов времени (пять, десять лет). Этот метод
позволяет проводить анализ цен с учётом происходящих в субпериодах изменений.
Рассмотренная методика определения общих индексов цен в агрегатной форме находит широкое применение при определении индексов цен «потребительских картин» в разрезе установления «прожиточного минимума» населения.
Эта методика может быть применима и к другим индексом качественных показателей: трудоёмкости, себестоимости продукции.
Это можно проиллюстрировать таблицей 2.
Таблица 2.
Индекс
Агрегатная
Индекс
величины Индив. Соизмерители форма общего
ининдекса i.
декс
∑p1g1 / ∑p0g1
Цен
p1,p0
ip = p1 /
g1,g0
∑+ – Δ pg(p) =
p0
∑p1g1 – ∑p0g1
∑p1g0 / ∑p0g0
∑+ – Δ pg(p) =
∑p1g0 – ∑p0g0
∑z1g1 / ∑z0g1
Себестоимость
z1,z0
iz = z 1 /
g1,g0
∑+ – Δ pg(z) =
z0
∑z1g1 – ∑z0g1
∑z1g0 / ∑z0g0
∑+ – Δ pg(z) =
∑z1g0 – ∑z0g0
∑t0g1 / ∑t1g1
Трудоёмкость
t1,t0
it = t0 /
g1,g0
∑+ – Δ pg(t) =
t1
∑t0g1 – ∑t1g1
∑t0g0 / ∑t1g0
∑+ – Δ pg(t) =
∑t0g0 – ∑t1g0
3. Задачи для самостоятельного решения
3.1.Имеются следующие данные о реализации продукции фирмой.
Вид продукции
Ед. измерен.
А
Б
В
Г
Д
Е
шт.
тн.
кг.
кг.
шт.
шт.
1 кв.
2 кв.
Цена за Количество Цена за Количество
ед.(рубль)
продано
ед.(рубль)
продано
0,5
20
0,65
17
5,0
12
4,9
13,5
0,4
500
0,15
480
0,15
800
0,2
600
12,0
6
10,0
7
14,2
4
15,6
2
Необходимо:
1. Рассчитать индивидуальные индексы цен и физического объёма. Сделать выводы.
2. Рассчитать изменение товарооборота за счёт изменения цен по
фактическому физическому объёму продаж. Сделать выводы.
3. Рассчитать изменение товарооборота за счёт изменения цен по
физическому объёму продаж базисного периода.
3.2.Имеются следующие данные о реализации продукции «М» в
четырех магазинах фирмы.
Номер магазина
1 кв.
4 кв.
Цена за
Продано
Цена за
Продано
ед.(рубль)
(шт.)
ед.(рубль)
(шт.)
1
1,8
50
1,91
46
2
2,0
40
2,2
32
3
1,7
62
1,9
66
4
2,1
24
2,3
20
Необходимо:
1. Рассчитать индивидуальные индексы цен и физического объёма продаж. Сделать
Выводы.
2. Рассчитать изменение товарооборота за год за счёт изменения
цен по фактическому физическому объёму продаж.
3. Рассчитать изменение товарооборота за счёт изменения цен по
физическому объёму продаж базисного периода.
3.3.Имеются следующие данные о затратах на производство продукции «А» (по экономическим элементам) на 4-х предприятиях производственного объединения.
Предприятие
1
2
3
4
1 кв.
4 кв.
Стоимость Произведено Стоимость Произведено
един.(тыс.
(тн.)
един.(тыс.
(тн.)
руб.)
руб.)
1,5
200
1,7
200
1,4
220
1,45
230
1,45
220
1,5
250
1,3
400
1,4
440
Необходимо:
1. Рассчитать индивидуальные индексы себестоимости единицы
продукции и физического объёма производства по предприятия отрасли.
2. По методике Пааше рассчитать средний индекс себестоимости
одной тонны и изменение общих затрат на производство за
счёт изменение себестоимости по фактическому объёму производства.
3. По методике Ласпейреса рассчитать средний индекс себестоимости одной тонны и рассчитать изменение общих затрат на
производство за счёт изменения цен.
4. Сделать выводы.
4.Вопросы для самоконтроля:
1. В чём разница между индивидуальными и общими индексами?
2. Чем объясняется разница в результатах расчёта агрегатных
индексов Пааше и Ласпейреса? Какова область применения в
анализе методике Пааше и Ласпейреса?
Тема 13.Применение агрегатных индексов физического объёма
в анализе и планировании реализации продукции.
1.Теоритическая база.
При выполнении данной работы, предполагается, что студент
должен знать теорию и практически владеть методами индексного
исследования по разделу «агрегатные индексы цен», предварительно
выполнив практическую работу по теме 12. Рекомендованная литература [5] (стр. 264 – 270)
2.Основы теории.
Агрегатные индексы физического объёма находят большое
применение в анализе товарооборота. Они могут быть рассчитаны
различными способами. В практике анализа объёмов реализации (товарооборота, выручки) наибольшее применение имеют агрегатные
индексы физического объёма по базисным и текущим . Агрегатные
индексы физического объёма по базисным ценам имеют вид:
∑ g1p0
Jg = ----------(13.1)
∑ g0p0
Т.е числитель индекса содержит сумму продаж в текущем периоде по
базисным ценам, а знаменатель – объём реализации базисного периода. Разность числителя и знаменателя индекса (13.1) даёт изменение
объёма реализации по фактору изменения физического объёма продаж по базисным ценам. Агрегатный индекс физического объёма по
ценам текущего периода имеет вид:
∑ g1p1
Jg = ----------(13.2)
g0p1
Числитель индекса (13.2) содержит объём реализации текущего периода, а знаменатель объём реализации количество товаров базисного периода по текущим ценам.
Разность числителя и знаменателя индекса (13.2) даёт изменение объёмов реализации по фактору физического объёма по ценам
текущего периода.
Надо иметь ввиду, что объём реализации (Q) представляет собой функцию двух переменных (p – цена) и (g – физический объём
реализации) т.е.
Q = f (p,g)
(13.3)
Т.е. образуют двух факторную мультипликативную зависимость
Q=p*g
Следовательно, при анализе объёмов реализации индексным методом нужно учитывать взаимосвязь этих факторов. Эта взаимосвязь
выражается во взаимосвязи агрегатного индекса цен Пааше и агрегатного индекса физического объёма (13.1), которые компонентно
зависимы, т.е.
∑ g1p0
∑ p1g1 ∑ g1p1
---------- * --------- = --------(13.5)
∑ g0p0
∑ p0g1 ∑ g0p0
Или
Jg * jp = Jgp
(13.6)
Т.е. произведение индексов (13.1) и (13.2) даёт в результате агрегатный индекс стоимости товарооборота ( Jgp ), тогда
+- ∑ ∆ pg(gp) = + - ∑∆ pg(p) + - ∑∆ pg (g)
(13.7)
Т.е сумма изменений товарооборота по фактору цен и физического
объёма даёт в результате общее изменение объёма реализации при
совместном действии двух факторов «p» и
«g».
3.Пример решения
Имеются следующие данные о реализации товара фирмой.
Вид
товара
А
Б
В
Базисный период
Цена за
Количество
ед.
продано
(тыс.
руб.)
1,3
25
0,8
20
2,0
30
Необходимо:
Текущий период
Цена за
Количество
ед.
продано
(тыс.
руб.)
1,45
20
0,9
16
2,2
24
1. Рассчитать агрегатный индекс цен физического объёма по базисным периодам и определить изменение товарооборота
фирмы по фактору физического объёма продаж.
2. Произвести факторный анализ и выявить количественное влияние на изменение товарооборота фактора «p» и «g».
3. Рассчитать агрегатный индекс товарооборота.
Решение:
3.1.Рассчитаем по формуле (13.1) агрегатный индекс физического объёма:
∑ g1p0
20*1,3 + 16*0,8 + 24*2
86,8
Jg = ---------- = ------------------------------- = -------- = 0,8
∑ g0p0
25*1,3 + 20*0,8 + 30*2
108,5
Т.е физический объём продаж в текущем периоде по сравнению с базисным снизился 20 %.
3.2.Рассчитаем изменение товарооборота по фактору физического объёма:
∑ g1p0 - ∑ g0p0 = 86,8 – 108,5 = - 21,7 тыс. руб.
Т.е снижение физического объёма продаж на 20 % обусловило
снижение товарооборота на 21,7 тыс. руб.
3.3.Рассчитаем влияние фактора цен на изменение товарооборота. По методике Паше:
∑ p1g1 1,45*20 + 0,9*16 + 2,2*24 96,2
Jp = --------- = ---------------------------------- = ------- = 1,108
∑ p0g1
1,3*20 + 0,8*16 + 2*24
86,8
Т.е цены на всю совокупность товаров выросли в среднем на
10,8 %.
3.4. Рассчитаем изменение товарооборота по фактору цен. Тогда:
∑p1g1 - ∑p0g1 = 96,2 – 86,8 = 9,4 тыс. руб.
Т.е повышение цен на 10,8 % позволило увеличить товарооборот на 9,4 тыс. руб.
4.По формуле (13.7) произведём расчёт совместного влияния
факторов p и g на величину общего изменения товарооборота.
∑∆pg(gp) = ∑∆pg(p) + ∑∆pg(g) = 9,4 + (-21,7) = 12,3 тыс. руб..
Таким образом, факторный анализ показал, что повышение
цен на товарные разновидности (в среднем 10,8 %) привело к
общей потери объёма реализации на 12,3 тыс. руб. по фактору
физического объёма продаж, который уменьшил товарооборот
на 21,7 тыс.руб. Это вполне объяснимо с точки зрения законов
рыночного ценообразования.
5.Рассчитаем агрегатный индекс товарооборота по формуле
(13,6):
Jgp = Jp * Jg = 1,108 * 0,8 = 0,886
Т.е товарооборот в текущем периоде по сравнению с базисным, фирмой снижен на 11,4 %.
4.Задачи для самостоятельного решения
Товар
А
Б
В
Г
Д
Ж
4.1.Имеются следующие данные о реализации товара за год.
1 кв.
2 кв.
Цена за кг
Количество
Цена за кг
Количество
(руб.)
продано
(руб.)
продано
65,0
300
78
250
87,0
280
94
260
92,0
200
102
190
64,0
400
70
300
46,0
600
46
800
115,0
80
135
40
Необходимо:
1. Произвести факторный анализ (по индексному методу) влияния изменения цен и физического объёма продаж на изменение товарооборота фирмы.
2. Сделать выводы по результатам анализа.
4.2.Имеются следующие данные о реализации товаров в торговых точках города.
Товар
А
Б
Базисный перидо
Цена за шт.
Количество
(руб.)
продано
3,5
400
3,8
350
Текущий период
Цена за шт.
Количество
(руб.)
продано
3,9
390
4,2
300
В
Г
Д
1.
2.
3.
4.
4,5
300
4,9
280
5,6
280
6,2
200
8,4
150
9,4
100
Необходимо:
Рассчитать агрегатные индексы физического объёма по базисным и текущим ценам.
Рассчитать изменение товарооборота по фактору физического
объёма продаж.
Произвести факторный анализ (по индексному методу) влияния изменения цен и физического объёма продаж на изменение товарооборота торгового киоска в текущем периоде по
сравнению с базисным.
Сделайте выводы по результатам анализа с точки зрения законов ценообразования и эластичности.
4.3. Имеются данные о реализации товаров в магазинах :\
Базисный перидо
Текущий период
Цена за ед.
Количество
Цена за ед..
Количество
(руб.)
продано
(руб.)
продано
А
7,2
20
7,5
18
Б
4,6
16
5,0
16
В
12,4
5
12,4
6
Г
9,8
32
8,6
35
Необходимо:
1. Произвести факторный анализ по индексному методу совместного влияния факторных цен и физического объёма продаж на изменение товарооборота магазина по указанными товарным разновидностям.
2. Сделайте выводы и объясните сложившуюся ситуацию с точки зрения законов рыночного ценообразования.
Товар
5.Вопросы для самоконтроля
1. Каков экономический смысл применение агрегатных индексов
физического объёма по ценам базисным? По текущим ценам?
2. Что означает компонентная зависимость между агрегатными
индексами цен и физического объёма?
3. Какие, конкретно взаимосвязаны индексы конкретно?
4.
В чём суть факторного анализа по индексному методу?
Тема 14.Средние индексы, использование в анализе реализации
продукции
1.Теоретическая база
При выполнении данной работы предполагается, что студент
должен знать теорию и практику использования агрегатных индексов
цен и физического объёма, а также предварительно быть знакомым с
лекционным материалом и базой рекомендованной литературы [5].
2.Основы теории
При оптовой торговле и в ряде случаев по товарам в розничной торговле бывает очень затруднительно использовать агрегатные
индексы в виду сложности учёта физического объёма продаж. Поэтому учёт продажи такой продукции ведётся в денежно-суммовом
выражении, т.е. по плану и факту товарооборота (выручки) по каждой товарной разновидности. В этих случаях для анализа факторного
влияния цен и физического объёма на товарооборот применяют
средние индексы цен и физического объёма, которые являются производными от агрегатных индексов и могут быть исчислены в гармонической и арифметических формах.
Средний гармонический индекс цен путём несложного преобразования агрегатного индекса цен Пааше по производной базисной
цены (p0) может быть представлен как:
∑ p1g1
Jрг = --------p1g1
∑ -----ip
т.е. числитель – это алгебраическая сумма товарооборота по каждой
товарной разновидности текущего периода, а знаменатель – алгебраическая сумма частных от деления товарооборотов на индивидуальный индекс цен по каждой товарной разновидности. Разность числителя и знаменателя индекса (14.1) даёт в результате сумму изменения
товарооборота по всей совокупности товаров в текущем периоде по
сравнению с базисным за счет изменения цен.
Средний гармонический индекс физического объёма может
быть получен путём преобразования агрегатного индекса физическо-
го объёма по производной p0 индивидуального индекса цен. Его
формула имеет вид:
p1g1
∑ ------ip
Jg(горм) = ----------∑ p0g0
Т.е знаменатель индекса (14.2) содержит сумму товарооборота
по анализируемому товарному ассортименту, а числитель соответственно соответствует знаменателю индекса (14.1). Разница числителя и знаменателя индекса (14.2) даёт в результате изменение суммы
товарооборота за счёт физического объёма продаж.
Средний арифметический индекс цен представляет собой преобразованный по производной pi индивидуального индекса цен агрегатный индекс цен Ласпейреса и выглядит так:
∑ ip*p0g0
J р(ар) = -------------∑ p0g0
Числитель индекса (14.3) содержит алгебраическую сумму
произведений индивидуальных индексов цен на товарооборот базисного периода по каждой товарной разновидности, а знаменатель –
сумма товарооборота базисного периода. Разность числителя и знаменателя индекса (14.3) даёт в результате сумму изменения товарооборота в текущем периоде по сравнению с базисным по фактору
цен.
Средний арифметический индекс физического объёма – это
преобразованный по производной g1 индивидуального индекса физического объёма агрегатный индекс физического объёма по соизмерителям базисных цен.
∑ g1p0
Jg = ----------
∑ g0p0
Формула среднеарифметического индекса физического объёма имеет вид
∑ ig * g0p0
J g(ap) = ---------------∑ g0p0
Числитель индекс (14.4) содержит алгебраическую сумму
произведений индивидуальных физического объёма на товарооборот
базисного периода по каждой товарной разновидности, а знаменатель
– сумма товарооборота базисного периода.
Разность числителя и знаменателя индекса (14.4) даёт в результате сумму изменения товарооборота в текущем периоде по
сравнению с базисным по фактору физического объёма продаж.
Примечание: гармонические индексы физического объёма цен
факторно взаимодействуют между собой аналогично агрегатным.
3.Пример решения
3.1.Имеются следующие данные о товарообороте фирмы за
отчётный период.
Вид товаТоварооборот (тыс. руб.)
+- ∆ цен в %
+-∆ физ.
ра
объёма в
В базисном
В отчётном
%
периоде
периоде
А
200
160
+ 10
-15
Б
60
80
-5
+8
В
45
45
Необходимо:
1. Рассчитать средние гармонические индексы цен и физического объёма продаж в текущем периоде по сравнению с базисным.
2. Рассчитать изменение товарооборота по фактору цен и физического объёма.
3. Сделать анализ по результатам расчётов.
Решение:
1. Определить средний гармонический индекс цен по формуле
(14.1).
∑ p1g1
160+80+45
285
Jрг = --------- = --------------------- = --------- = 1,037
p1g1 160
80
274,6
∑ ------ ----- + ------ + 45
ip
1,1
0,95
т.е. снижение на 10 %.
4. Определяем изменение товарооборота по фактору физического объёма: 274,6-305 = -30,4 тыс. руб.
5. Выводы: таким образом, увеличение цен на товарную совокупность на 3,7 %. увеличило товарооборот на 10,4 тыс. руб.,
а снижение физического объёма продаж на 10 % привело к
снижению товарооборота на 30,4 тыс. руб. Следовательно, в
результате совместного действия фактора цен и физического
объёма на общее изменение товарооборота привело к его
уменьшению в текущем периоде по сравнению с базисным на
20 тыс. руб.
(10,4 +(- 30,4)).
3.2.Имеются следующие данные о планируемых фирмой изменения цен и физического объёма продаж по сравнению с
базисным периодом.
Вид това- Товарооборот в баПланируется
ра
зисном периоде
+-∆ цен в % +-∆ физ. объё9тыс. руб.)
ма в %
А
200
+5%
+8%
Б
80
+ 10 %
+ 18 %
В
120
+8%
+ 10 %
Необходимо:
1. Рассчитать предполагаемый средний рост цен и прирост товарооборота по фактору цен .
2. Рассчитать предполагаемый рост физического объёма продаж
в %. и абсолютный прирост товарооборота по фактору физического объёма продаж.
Решение:
1. Определяем среднеарифметический индекс цен:
∑ ig * g0p0
1,05*200+1,1* 80+ 1,08*120
407,6
J g(ap) = ---------------- = -------------------------------------- = ---------∑ g0p0
200+80+120
400
* 100 = 106,7 %
Т.е. цены в среднем возрастут на 6,7 %:
2. Определим предполагаемый прирост товарооборота по фактору цен:
427,6-400=27,6 тыс. руб.
3. Определим средний арифметический индекс физического
объёма:
∑ ig * g0p0
1,08*200+1,18*80+1,1*120
442,4
J g(ap) = --------------- = ------------------------------------ = ----------- *
100 = 110,6 %
∑ g0p0
200+80+120
400
Т.е в среднем предполагается рост физических объёмов на
10,6 % .
4. Определим предполагаемый рост товарооборота по фактору
физического объёма:
442,4-400=42,4 тыс. руб.
4.Задачи для самоконтроля
Задача 1.Имеются следующие данные о продаже товаров:
Товар
Продажа в ценах соответствующего Изменение цен
периода (тыс. руб.)
в текущем периоде
по сравБазисный период Текущий период
нению с базисным
А
145,1
150,3
-5
Б
206,2
236
+ 15
В
320,4
370,2
+ 10
Г
125,6
154
0
Д
70,8
122,6
-2
Необходимо:
1. Рассчитать средний гармонический индекс цен и физического
объёма.
2. Рассчитать изменение товарооборота за счёт изменение цен и
физического объёма.
3. Сделать выводы по совместному влиянию факторов “p” и“g”.
Задача 2.Имеются данные об изменении цен и физического
объёма фирмой.
Вид това- Товарооборот в Предполагаемый
Предполагаемый
ра
базисном перирост цен (%)
процент роста
оде (тыс.руб.)
продаж
А
5250
-3+8
+ 10
Б
3140
+12
+ 11
В
295
+6
+20
Г
4450
+5
+ 50
Д
7220
Необходимо:
1. Рассчитать предполагаемый рост товарооборота за счёт роста
цен.
2. Рассчитать предполагаемый рост товарооборота за счёт роста
физического объёма продаж.
Задача 3.Имеются следующие данные о продаже товаров в
секции «Одежда»
Вид товара
Продано товаро в в
Планируется увелитекущем периоде в
чить цену на 2кв.
1кв. (тыс. руб.)
A
20,0
На 5 %
B
25,0
2%
C
33,0
10 %
D
15,6
8%
E
18,6
---F
20,2
10%
G
38,7
18 %
Необходимо:
1. Определить на сколько в среднем увеличиваются цены на товары в секции «Одежда»
2. Определить, какой прирост товарооборота получен за счёт роста цен во 2кв.
Задача 4.Имеются данные о продажи товаров в магазине.
Товар
Продажа в ценах соответствуюИзменение цен
щего периода
во 2кв. по сравнению с 1кв.
1кв.
2кв.
А
120
150
-5
Б
250
280
+ 12
В
25
32
+ 50
Г
40
65
0
Необходимо:
1. Определить средне гармоничный индекс цен 2 кв. по сравнению с 1кв.
2. Определить прирост (уменьшение) товарооборота во 2кв. за
счёт изменения цен.
3. Определить средне гармоничный индекс физического объёма
2кв.по сравнению с 1кв.
4. Определит прирост суммы товарооборота во 2кв. в результате
изменения физического объёма.
5. Сделать выводы по результатам совместного влияния фактора
цен и физического объёма на изменение суммы общего товарооборота.
5.Вопросы для самоконтроля.
1. В чём заключается особенность и необходимость применения
средних индексов в анализе?
2. Каков порядок вывода среднего гармонического индекса цен?
Выделите самостоятельно?
3. Каков порядок вывода среднего гармонического индекса физического объёма? Выделите самостоятельно?
4. Как взаимосвязаны между собой индексы (14.1) и (14.2)?
5. Какова цель применения средних гармонических индексов цен
и физического объёма?
6. Какова цель их применения среднего арифметических индексов?
Тема 15.Иследование динамики товарооборота. Цепные и базисные индексы с переменными и постоянными соизмерителями (весами).
1.Теоритическая база
Для выполнения данной практической работы студент должен
владеть теорией агрегатных индексов цен и физического объёма, а
также практические навыки их использования в анализе объёма реализации продукции. В качестве базового учебника по данной теме
рекомендуется [5].
2.Основы теории по теме
При исследовании динамики товарооборота (реализации) в
течение какого-либо детализированного временного промежутка
(квартал по месяцам, год по кварталам и т.д.) используется система
цепных и базисных агрегатных индексов цен и физического объёма с
переменными и постоянными весами – соизмерителями. Методичку
использования в анализе цепных и базисных индексов рассмотрим на
следующем примере:
Имеются следующие данные о динамике реализации товара за
1 квартал.
Товар
Январь
Февраль
Март
Цена Количество Цена Количество Цена Количество
за
продано
за
продано
за
продано
ед.
ед.
ед.
(руб.)
(руб.)
(руб.)
pя
gя
pф
gф
pм
gм
А
12,0
40
12,5
38
13,0
36
Б
25,0
60
26,0
54
26,5
50
По условию требуется:
1. Изучить динамику цен и соответственно товарооборота по текущим объёмам продаж в двух разрезах сопоставления: с базисным периодом (январь) и по сравнению с предыдущем месяцем, т.е. рассчитать цепные и базисные индексы цен.
2. Изучить динамику физического объёма продаж естественного
товарооборота по ценам базисного периода (январь) в двух
разрезах сопоставления: базисном и цепном.
Ответ на условие 1. Совершенно очевидно, что здесь речь идёт
о расчётах цепных и базисных агрегатных индексов цен
Пааше.
Тогда изменение цен февраля по сравнению с январём будет:
∑ pфgф
12,5*38+26*54
1879
Jpф\я = ---------- = -------------------- = ---------- = 1,04
(15.1)
∑ pяgя
12*38+25*54
1806
и соответственно
∑+-∆ pg (p) ф\я = 1879-1806 = 73 руб.
(15.2)
Изменение цен марта по сравнению с февралём будет:
∑ pмgм
13*36+26,5*50 1793
Jp м\ф = ----------- = -------------------- = -------- = 1,024
(15.3)
∑ pфgм
12,5*36+26*50
1750
и соответственно
∑+-∆ pg (p) м\ф = 1793-1750 = 43 руб.
(15.4)
Изменение цен марта по сравнению с январём будет:
∑ pмgм
13*36+26,5*50
1793
Jp м\я = ----------- = --------------------- = --------- = 1,06
(15.5)
∑ pяgм
12*36+25*50
1682
и соответственно
∑+-∆ pg (p) м\я = 1793-1682 = 111 руб.
(15.6)
В выше приведенных расчётах индексных сопоставлений, индексы (15.1) и (15.3) представляют собой цепные индексы цен
с переменными весами – соизмерителями (текущие физические февраля к январю и марта к февралю объёмы продаж). Их
значения отражают динамику цен по сравнению с предыдущим периодом и соответственно (15.2) и (15.4) отражают ре-
зультаты изменения товарооборота по рассматриваемым периодам . Индексы (15.1) и (15.5)представляют базисные индексы цен с переменными весами соизмерителями февраля к
январю и марта к январю. Их значение отражает динамику цен
в феврале и марте по сравнению с базисным периодом (январём). Расчёты (15.2) и (15.6) показывают соответственно, изменение товарооборота по фактору цен при базисном сравнении.
Ответ на условие 2.По второму условию необходимо провести
расчёты цепных и базисных агрегатных индексов физического
объёма по базисным ценам.
Тогда изменение физического объёма продаж в феврале по
сравнению с январём:
∑ gфpя
38*12+54*25
1806
Jg ф:я = --------- = ------------------ = --------- =
0,912
(15.7)
∑ gяpя
40*12+60*25
1980
и соответственно
∑+-∆ pg (p) ф\я = 1806-1980 = - 174 руб.
Изменение физического объёма продаж в марте по сравнению
с февралём:
∑ pмgя
36*12+50*25
1682
Jpм\ф = ---------- = ----------------- = --------- = 0,93
∑ pфgя
38*12+54*25
1806
и соответственно
∑+-∆ pg (g) м\ф = 1682-1806 = - 124
Изменение физического объёма продаж в марте по сравнению
с январём:
∑ pмgя
36*12+50*25
1682
Jgм\я = ---------- = ------------------- = --------- = 0,84
∑ pяgя
40*12+60*25
1980
и соответственно
∑+-∆ pg (g) м\я = 1682-1980 = - 298 руб.
Рассчитанные индексы (15.7) и (15.9) представляют собой
цепные индексы физического объёма с постоянными весами –
соизмерителями (по ценам базисного периода) февраля к январю и марта к февралю. Их значения отражают динамику
физического объёма продаж соответствующих сравниваемых
периодов, а результаты расчётов (15.8) и (15.10) отражают абсолютные значения изменения товарооборота соответствующих периодов. Индексы (15.7) и (15.11) представляют собой
базисные индексы физического объёма с постоянными весами
– соизмерителями (по ценам базисного периода) февраля к январю и марта к январю. Их значения отражают динамику физического объёма продаж соответствующих сравниваемых периодах, а результаты расчётов (15.8) и (15.12) отражают абсолютное значение изменений товарооборота соответствующих
сравниваемых периодов.
Взаимосвязь индексов с постоянными весами:
Jgф\я * Jgм\я = Jgм\я
Jgм\я : Jgф\я = Jgм\ф
3.Задачи для самостоятельного решения
3.1.Имеются следующие данные о реализации товаров фирмой
за год:
Вид
товара
Продано
1кв.
2кв.
3кв.
Цена за Кол-во Цена за Кол-во Цена за Кол-во
ед.(т.р.) продано ед.(т.р.) продано ед.(т.р.) продано
А
86,2
15
90
12
92
10
Б
120,8
8
135
7
135
8
В
160,0
6
180
5
180
5
Необходимо:
1. Сделать по всей совокупности анализ динамики объёмов реализации по фактору цен.
2. Сделать анализ динамики объёмов реализации по всей товарной совокупности по фактору физического объёма продаж.
3. Сделать выводы по результатам анализа цепных и базисных
индексов с постоянными и переменными весами – соизмерителями.
3.2.Имеются данные:
Товар
Среднесуточная продажа
Цена за кг (тыс. руб.)
1
2
3
А
1200
1180
1220
0,8
Б
800
190
870
1,2
В
900
870
935
1,0
Д
1500
1300
1350
1,3
Е
2000
1200
1210
1,2
Ж
400
500
600
0,7
Необходимо:
1. Рассчитать цепные и базисные индексы физического объёма с
постоянными весами - соизмерителями.
2. Сделать выводы о динамике товарооборота за рассматриваемый период.
3.3.Имеются следующие данные о ценах и количестве товаров
проданных на рынке:
Товары
Продано
Среднегодовая цена
1998
1999
2000
1998
1999
2000
Молоко
400
400
450
240
240
230
Картофель
600
650
700
130
120
100
Яйца
80
80
90
1000
1000
1000
Необходимо:
1. Сделать анализ динамики товарооборота по фактору цен.
2. Сделать анализ динамики товарооборота по фактору физического объёма продаж.
3. Сделать выводы по результатам расчетов цепных и базисных
индексов с постоянными и переменными весами- соизмерителями.
4.Вопросы для самоконтроля
1. Почему индекс Пааше относят к индексам с переменными весами – соизмерителями?
2. Какой индекс можно отнести к индексам с постоянными весами – соизмерителями?
3. В чём отличие цепных и базисных индексов?
4. Как взаимосвязаны между собой цепные и базисные индексы?
Какие?
Тема 16. Изучение структурных сдвигов в анализе реализации
продукции с использованием индексного метода.
1.Теоритическая база
Для выполнения данной работы студент должен быть подготовлен теоретически и практически по следующим темам курса общей теории статистики: средние величины, агрегатные, средние, базисные ценные индексы. В качестве базовой учебной литературы рекомендуется [2], [5].
2.Основы теории
Как известно, на среднюю цену товара оказывают влияние не
только собственно изменение цены (индекс цен), но и изменение
объёмов реализации. Поэтому при изучении среднего изменения цен
на совокупность товарных разновидностей применяют метод исследования влияния структурных сдвигов. Этот метод состоит в использовании для анализа трёх взаимосвязанных «индексов структуры». В
общем виде эта взаимосвязь может быть представлена:
Ip = Ip * Iстр
(16.1)
∑ p1g1
∑ p0g0
Ip = p1 : p0 = ----------- : -----------(16.2)
∑g1
∑g0
Индекс (16.2) называют индексом переменного состава, Ip т.к.
веса-соизмерители (g) здесь «меняются», т.е. в числителе отношение
состав (количество) продукции текущего периода (g1), а знаменатель
– базисного периода (g0).
∑ p1g1
∑ p0g1
∑ p1g1
Ip = --------- : ------------ = -----------(16.3)
∑g1
∑ g1
∑ p0g1
Этот индекс называют индексом постоянного (фиксированного) сосотава, в сущности, как мы видим, этот индекс Пааше. Физический объём продаж (состав) здесь фиксируется на уровне текущего
периода.
∑ p0g1 ∑ p0g0
Ip = --------- : ----------(16.4)
∑ g1
∑ g0
Индекс (16.4) называют индексом структуры, т.к. он отражает
только влияние изменения количества продаж (структурных сдвигов)
на изменение среднего показателя (в нашем случае цены Ip ). В этом
индексе изменяются лишь веса-соизмерители индекса.
Пример изучения влияния структурных сдвигов индексным
методом.
Имеются данные о реализации товара «М» в трёх магазинах
города.
Магазин
Базис, период
Текущий период
Цена за
Продано,
Цена за
Продано,
ед.т.р.
шт.
ед.т.р.
шт.
1
35
10
33
15
2
27
22
27
24
3
30
18
28
22
Требуется рассчитать влияние структурных сдвигов на среднее
изменение цены Товара «М» и соответственно на изменение товарооборота в целом по группе магазинов.
Решение:
1. Определим удельный вес физического объёма реализации товара «М» в текущем и базисном периодах по каждому магазину. Так соответственно получаем: 1 маг. – 20 %, 24,6 %; 2 маг.
– 44 %, 39,3 %; 3 маг. – 36 %, 36,1 %. Т.е. наблюдается рост
удельного веса продаж в первом магазине, снижение удельного веса продаж во втором магазине, в третье магазине удельный вес продаж практически не изменился.
2. Рассчитаем индекс цен переменного состава (16.2):
33*15+27*24+28*22
35*10+27*22+30*18
Ip = p1 : p0 = ----------------------------- : --------------------------15+24+22
10+22+18
- = 28,8 + 29,7 = 0,96
Т.е. средняя цена реализации товара «М» снизилась на 4 %.
Фирма потеряла на каждой единице товара «М» 900 руб. (28,8
– 29,7).
3. Рассмотрим влияние изменение физического объёма продаж,
т.е. изменения структуры реализации товара по отдельным
магазинам (см. 1-удельный вес реализации). Рассчитаем индекс структуры по формуле (16.4):
∑ p0g1 ∑ p0g0 35*15+27*24+30*22
35*10+27*22+30*18
Iсст = ---------- : ---------- = ---------------------------- : --------------------------∑g1
∑g0
61
50
= 30 : 29,7 = 1,0
Т.е. структурные сдвиги по отдельным магазинам вызвали повышение средней цены на
1 %, т.е. фирма в целом по группе магазинов на каждой единицы товара имела прибыль 300 рублей (30,0 – 29,7).
4. Рассчитаем, каким образом повлияло на уровень средней цены
изменение цен в текущем периоде. Для этого применим индекс постоянного (фиксированного) состава по формуле
(16.3):
∑ p1g1
33*15+27*24+28*22
1759
Ip = ---------- = ----------------------------- = --------- = 0,96
∑ p0g1
35*15+27*24+30*22
1833
Т.е. в текущем периоде цены в среднем снизились на 5 %. По
этой причине фирма потеряла на каждой единице товара 1,2
тыс. руб. (1759-1833) : 61.
Таким образом: снижение средних цен на 0,4 % (потеря на ед.
0,9 тыс. руб.) вызвано структурными изменениями в физическом объёме продаж, которое увеличило цену на
1 % и прибыль на каждую единицу продукции увеличилась на
300 руб. и собственно изменениями цен текущего периода, которое снизило среднюю цену на 5 % (потеря на ед. 1,2 тыс.
руб.).
Следовательно, на изменение средней цены оказали влияние
структура физического объёма реализации и рост цен текущем
периоде.
Проверка: Ip = Ip * Iстр (16.1) для нашего случая: 0,96 – 1,01 =
0,969 (0,97)
3.Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. Имеются следующие данные о реализации и ценах
овощей на рынке:
Вид
Базисный период
Текущий (отчётный) период
Цена за 1
Продано,
Цена за 1
Продано,
т.(т.р.)
тонн
т.(т.р.)
тонн
Картофель
3,5
15
4,5
12
Морковка
6
9
4,8
15
Капуста
2,3
18
4
10
Требуется:
1. Рассчитать индексы цен переменного, фиксированного состава и структуры.
2. Сделать выводы о влиянии структурных сдвигов на изменение
средней цены овощей на рынке.
Задача 2. На трёх предприятиях объединения затраты на производство продукции «А» составляют:
Предприятие
Базисный год
Произв.
Сумма
продукции
затрат
тонн
тыс. руб.
250
37,5
290
42
400
53,6
Отчетный год
Произв.
Сумма
продукции
затрат
тонн
тыс. руб.
270
39,2
350
54,3
420
58,8
1
2
3
Требуется:
1. Рассчитать индексы себестоимости тонны продукции переменного, фиксированного состава и структуры.
2. Сделать выводы о влиянии структурных сдвигов на изменение
средней себестоимости тонны продукции.
Задача 3. Имеются данные о реализации продукции «М» в четырёх магазинах фирмы.
Магазин
Базисный период
Отчётный период
Цена за
Продано кг
Цена за
Продано кг
кг.(руб.)
кг.(руб.)
1
64
120
72
110
2
72
100
76
100
3
76
85
80
70
4
80
60
82
53
Требуется:
1. Рассчитать индексы цен переменного, фиксированного состава и структуры.
2. Сделать выводы о влиянии структурных сдвигов на изменение
средней цены продажи товара «М».
4.Вопросы для самоконтроля:
1. От каких факторов зависит изменение средней цены?
2. Что такое индексы переменного состава, структуры и фиксированного состава? Какова цель их расчёта?
3. Как взаимосвязаны между собой индексы переменного, фиксированного состава и структуры?
4. Какой практический смысл в изучении влияния структурных
сдвигов на усредняемый показатель индексным методом?
Список использованной литературы.
1. Громыко Г.Л.Общая теория статистики. Практикум. —
М.:Инфра-м,1999
2. Гусаров В.М. Статистика. Учебное пособие для ВУЗов — М.:
Юнити-дана,2001
3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики:
учебник для ВУЗов. — М.: Финансы и статистика,1995
4. Ефимова М.П., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория
статистики: учебник для ВУЗов — М.: Инфра-м,1996
5. Общая теория статистики: Статистическая методология в
коммерческой деятельности: учебник для ВУЗов \ под редакцией А.С. Спирина и О.Э. Башиной. — М.: Финансы и статистика,1996
6. Сироткина Т.С., Каманина А.М. Основы теории статистики:
учебное пособие — М.: АО «Финстатинформ»,1995
7. Теория статистики. Учебник для ВУЗов \ под редакцией Р.А.
Шамайловой — М.: Финансы и статистика,1998