Классическая и интуиционистская теория моделей

КЛАССИЧЕСКАЯ И ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
проф. В.А. Любецкий
2 года (или два годичных спецкурса)
Тема 1. Примеры структур, языков и теорий. Первые понятия их теоретико-модельной
алгебры.
 1. Примеры структур.
 2. Примеры языков. Предикат "истинное-ложное".
 3. Примеры теорий.
 4. Понятие модельного компаньона теории или класса структур.
 5. Локализации кольца. Хорновы и Р-формулы.
 6. Ультрапроизведения и теорема Лося.
 7. Понятия и базисные свойства борелевских и аналитических множеств.
Тема 2. Решетки и пучки.
 1. Примеры решеток. Топологическое представление решетки.
 2. Теоремы о вложении гейтинговых алгебр в булевы алгебры.
 3. Пучки над гейтинговой алгеброй. Оценка пучка.
Тема 3. Первые утверждения из классической теории моделей.
 1. Элементарная
эквивалентность,
элементарная
подструктура
и
категоричность. Примеры.
 2. Совместимость и тип. Насышенные структуры. Теоремы А. Робинсона-Крейга-Линдона.
 3. Универсальные и однородные структуры. Теоремы Воота и Рыль-Нардзеского.
 4. Аксиоматизируемость и сколемовские расширения.
 5. Язык с бесконечными коньюнкциями и дизъюнкциями, число счетных моделей произвольной теории.
Тема 4. Оценки в кольце и теоремы переноса.
 1. Теоремы переноса А. Робинсона.
 2. Случай колец.
 3. Случай упорядоченных колец.
Тема 5. Теоретико-множественная оценка и доказательства независимости.
 1. Теоретико-множественная оценка и теоретико-множественный форсинг.
 2. Примеры гейтинговых и булевых алгебр, используемых при доказательствах
независимости.
 3. Примеры доказательств независимости от теории множеств.
Тема 6. Взаимоотношения стандартных и нестандартных объектов.
 1. Вещественные числа в гейтингвозначном универсуме.
 2. Взаимоотношения гейтинговозначного, булевозначного и робинсоновского
нестандартных анализов.
 3. Применения булевозначного анализа.
 4. Гейтингово пополнение локально компактных топологических пространств и
групп.
Тема 7. Теория моделей интуиционистских исчисления предикатов, арифметики и теории
множеств.
 1. Элементарные свойства классического и интуиционистского исчислений
предикатов.
 2. Генценовские исчисление предиктов и теорема об устранимости сечения.
 3. Почему интуиционистские логики кажутся надежными?
 4. Доказательства теоремы о полноте для интуиционистской логики и теоремы
об устранении сечения.
 5. Неклассические логики в целом.

6. Реализуемость, дизъюнктивность и экзистенциальность интуиционистской
арифметики (первое доказательство).
 7. Негативный перевод Колмогорова-Гёделя в арифметике. Непротиворечивость
классической арифметики относительно интуиционистской.
 8. Оценки для структур Крипке. Примеры структур Крипке. Форсинг для этих
структур.
 9. Главные свойства интуиционистской арифметики: дизъюнктивность и экзистенциональность (второе доказательство).
 10. Непротиворечивость классической теории множеств относительно интуиционистской (второе доказательство).
 11. Доказательства дизъюнктивности и экзистенциональности интуиционистской теории множеств.
Тема 8. Взаимоотношение интуиционистской и классической истинностей.
 1. Необычные свойства интуиционистской теории множеств.
 2. Свойства общей оценки. Взаимоотношения двух оценок в кольце.
 3. Взаимоотношения между двумя теоретико-множественными оценками.
 4. Нестандартное представление кольца и его свойства.
 5. Теоремы переноса: от классической к интуиционистской теории множеств.
 6. Общий случай: от классической к интуиционистской теории множеств.
Тема 9. Теоретико-модельный форсинг и теорема опускания типов.
 1. Бесконечный форсинг и модельный компаньон.
 2. Амальгамируемость и теории, имеющие модельное пополнение.
 3. Класс теорий, не имеющих модельных компаньонов.
 4. Конечный форсинг и генерические последовательности.
 5. Теорема опускания типов.
 6. Конечно порожденные группы с разрешимой проблемой слов.
 7. Базисные свойства конечного форсинга.
 8. Аксиоматизация понятия генерической структуры в языке с бесконечными
дизъюнкциями и конъюнкциями. Проблемы, относящиеся к числу счетных
моделей теории.
Тема 10. Модельное пополнение: локализации и оценки.
 1. Два пучка кольца.
 2. Локальная аксиоматизируемость класса колец. Оценки и модельная полнота.
 3. Модельный компаньон класса колец, у которых локализации являются
PI-кольцами.
 4. Модельный компаньон локально аксиоматизируемого класса колец.
 5. Перенос локальной теории на локально аксиоматизируемый класс колец.
Тема 11. Дескриптивная теория множеств: измеримость и существование совершенного
ядра у проективных множеств.
 1. Постановка классических проблем дескриптивной теории множеств.
 2. Случайные вещественные числа и их свойства.
 3. Взаимоотношения классических проблем дескриптивной теории множеств.
 4. Эффективность в классической теории множеств.