Решение - Центр дополнительного образования детей

Государственное бюджетное
образовательное учреждение
дополнительного образования детей
«Центрдополнительного
образования для детей»
350000 г. Краснодар,
ул. Красная,76
тел. 259-84-01
E-mail:cdodd@mail.ru
1.
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ
«ЮНИОР»
Математика 6 класс
ответы и критерии оценки заданий
к работе № 2,2014-2015 учебный год
Вычислить:
Ответ: х=5.
2.
Решить уравнение:
x 3 x
 1 6  x

3
4  3
x 2
2
2
 1
2
Ответ: х=3
3.
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность
которых делится на 11.
Решение:
Примем числа за "зайцев”. Так как их 12, то "клеток” должно быть меньше. Пусть
"клетки” —это остатки от деления целого числа на 11. Всего "клеток” будет 11: О,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. Тогда, по принципу Дирихле, найдется "клетка”, в
которой будут сидеть не менее чем 2 "зайца”, то есть найдутся 2 целых числа с
одним остатком. А разность двух чисел с одинаковым остатком от деления на 11,
будет делиться на 11.
4.
У трёх членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в
турнире Архимеда?» Один сказал: «Меньше тридцати трех». Другой: «Меньше
тридцати одной», а третий: «Меньше тридцати двух». Сколько команд
участвовало в турнире Архимеда, если правы оказались в точности двое членов
жюри?
Решение:
Заметим, что из верности второго утверждения вытекает верность остальных. А
так как верными оказались ровно два утверждения, то второе утверждение
неверно, а первое и третье верны. Т. о. количество команд, с одной стороны, не
может быть больше 31 (т. к. иначе неверно третье утверждение), а с другой
стороны, не может быть меньше 31 (т.к. иначе верно второе утверждение).
Значит. единственно возможное количество команд — 31. Легко проверить, что
31 удовлетворяет условию задачи. Ответ. 31 команда.
5.
На финальном матче школьного первенства по баскетболу команда 6А
забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие
поровну мячей. (В команде было 5 игроков.)
Решение:
Предположим, что возможен случай, когда такие два игрока не найдутся. Тогда
все пять игроков забили разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего не
забил, второй игрок забил один мяч, третий игрок забил два мяча, четвёртый —
три, пятый — четыре. Тогда всего игроки забили десять мячей. Если же кто-то из
игроков забил больше мячей, чем мы предположили, то и всего игроки забили
больше мячей. Поскольку по условию игроки забили всего девять мячей, наше
предположение неверно. Значит, существуют два игрока команды, забившие
поровну мячей.
6.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5
точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше
0,5 см.
Решение:
Так как в условии задачи фигурирует число "5”, то пусть 5 точек будут "зайцами”.
Так как "клеток” должно быть меньше, и чаще всего на 1, то их должно быть 4.
Как получить эти 4 "клетки”? Так как в условии задачи есть еще 2 числа; 1 и 0,5;
причем второе меньше первого в 2 раза, то можно получить 4 "клетки”, разбив
равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих
середины сторон. Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по
0,5 см, которые и будут у нас "клетками”. Так как "зайцев” - 5, "клеток” - 4 и
5>4,то, по принципу Дирихле, найдется "клетка” - равносторонний треугольник
со стороной 0,5 см, в который попадут не менее двух "зайцев” - точек. Так как 4
треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике меньше,
чем 0,5 см. т.е. некоторыми двумя точками из пяти расстояние будет меньше, чем
0,5.
7.
Имеются купюры четырех достоинств: 1рубль, 10 рублей, 100 рублей и 1000
рублей. Можно ли отсчитать миллион рублей так, чтобы получилось ровно
полмиллиона купюр?
Решение:
Пусть имеется x купюр достоинством 1 рубль, y купюр - 10 рублей; z купюр - в
100
рублей
и
t
купюр
в
1000
рублей.
Имеем x + 10y + 100z + 1000t = 1000000 x + y + z + t = 500 000. Выразим x из
последнего уравнения: x = 500 000 - y - z - t, подставим в первое:
500 000 - y - z - t + 10y +100z + 1000t = 1 000 000, откуда
9y + 99z + 999t = 500 000. Подобрать целые y, z, t нельзя таким образом, так как
500 000 не делится на 9.Ответ: нет.
8.
Доказать, что если четное число n не делится на 3 и 4, то n5 - 5n3 + 4n
делится на 1440.
Решение:
Преобразуем выражение:
n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)=n(n2-1)(n2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
Получили произведение пяти последовательных чисел.
Верно следующее: одно из этих чисел делится на 5; или одно из (n-1) и (n+1)
делится на 3, так как n - четное число, то тогда одно из чисел (n-2) и (n+2) тоже
делится на 3;(n-2) и (n+2) делятся на 4;само n делится на 2;
Итак, число делится на 5  3  3  4  4  2  1440
9.
Садовник должен рассадить деревья, число которых меньше 1000. Если он
посадит их рядами по 37 штук в каждом ряду, то у него останется 8, а если по 43
дерева, то останется 11. Сколько было деревьев?
Решение:
Пусть было x деревьев. Тогда x = 37a+8=43b+11 или 37a-37b=6b+3 или
37(a-b) = 3(2b+1). На b наложено ограничение m<
1000  11 989

 23 . Получим, что
43
43
2b+1 кратно 37. Так как максимальное значение 2b+1 есть 45, то 2b+1=37, откуда
b = 18, x  43  18  11  785 .Ответ: 785.
m3 m2 m

 является целым числом при любом целом m.
Доказать, что
6
2
3
10.
а)
б)
Докажите, что дробь
2n  13
несократима ни при каком натуральном n.
n7
Решение:
а)

2
m 3 m 2 m m 3  3m 2  2m m m  3m  2

 

6
2
3
6
6



m m1
m  2 
6
.
Числитель
дроби
представляет
собой
произведение
трех
последовательных чисел, одно из которых делится на 3; другое на 2.
Таким образом, числитель делится на 6, а значит дробь сократима, т.е.
представляет собой целое число.
б)
НОД (2n+13, n+7) = НОД(n+7, n+6) =НОД(n+6,1) = 1,
следовательно, 2n+13 и n+7 взаимно просты, а значит
несократима.
Критерии оценки заданий:
0 - баллов – задание выполнено, но неверно;
1 - балл –правильный ответ, отсутствует решение;
2-3 - балла - выполнено 50% задания и зависит от его сложности;
4 - балла – задание выполнено, но имеются недочеты
5 - баллов– баллов задание выполнено правильно
Максимальное количество - 50 баллов.
2n  13
дробь n  7