Конструктивное направление в математике

Конструктивное направление в математике.
Математика — одна из древнейших наук человечества. Первые зачатки математических знаний можно обнаружить почти во всех ранних цивилизациях. Это и неудивительно: практически любой вид человеческой деятельности требует от людей владения
навыками счёта и умения производить элементарные геометрические построения. На самых ранних стадиях освоения природы у человека должны были выработаться понятия,
отражающие наиболее важные моменты его практической деятельности. Одним из этих
понятий является понятие количества.
Количественные характеристики окружающего мира имеют очень большое значение в жизни человека. Для охотника количество добычи имеет прямую связь с его жизненным уровнем, благосостояние земледельца зависит от размеров обрабатываемого
участка. При возникновении обмена материальными благами возникает потребность в
том, чтобы обмен был эквивалентным. Таким образом, с течением времени жизненно
важные понятия числа, площади, длины становятся элементами человеческого знания об
окружающем мире, отражающими множество аспектов взаимодействия человека с природой.
Развитие математики в период до конца XIX века.
Формирование основных концепций и методов.
Основной задачей данного реферата является рассмотрение конструктивного
направления в математике как попытки разрешить кризис оснований. Кризис оснований
математике, начавшийся в конце XIX века, продолжается и по сей день и связан с отсутствием критерия достоверности математических знаний. Для того чтобы понять природу
этого кризиса, необходимо проследить весь путь развития математики.
Как уже было отмечено, характер раннематематических знаний целиком определялся характером практической деятельности людей. Опыт человечества находил своё
выражение в понятиях числа и меры. Эти понятия выступали в качестве характеристик
опыта. Вот как можно, например, проиллюстрировать это утверждение. Кучка из трёх яблок и кучка из пяти яблок — разные объекты. Причём разница между этими объектами
имеет важное практическое значение: скажем, пяти яблок хватает на то, чтобы утолить
голод в течение дня, а трёх не хватает. В чём разница между пятью и тремя яблоками? В
том, что в первом случае яблок пять, а во втором три. Разница в количестве, и для того,
чтобы понять эту разницу, надо обладать понятием количества. Осознание подобного рода различий приводит сначала к формированию таких понятий, как «много» и «мало», а
впоследствии и к понятию числа.
Продолжим пример. Как можно сделать из трёх яблок пять? А очень просто: надо к
трём яблокам добавить два яблока. Кучки из трёх, двух и пяти яблок различаются лишь
количеством яблок в каждой кучке. Сам процесс составления большой кучки из двух маленьких может быть воспринят как процесс преобразования количеств. Такого рода опыт
в снятом, абстрактном виде выражается в понятии сложения чисел. На более высоком
уровне абстракции можно рассмотреть умножение чисел, возведение в степень и другие
операции.
Здесь следует остановиться и отметить одну из общих особенностей развития математического знания. Эта особенность заключается в постоянном возрастании степени
абстракции тех объектов, с которыми имеет дело математика. Как известно, на дальнейшем этапе развития математики были введены понятия операции как таковой, операции
над операциями и другие, более сложные, абстракции. Но это уже впоследствии, а пока
следует рассмотреть другой не менее важный момент, связанный с введением в математику понятия доказательства.
Что же такое доказательство? Это очень сложный вопрос и, боюсь, я так и не смогу
на него ответить. На первый взгляд, всё очень просто: доказательство — это рассуждение,
проведённое по определённым правилам. Правила эти таковы, что, принимая в посылке
истинные суждения, нельзя в заключение получить ложные. Но что такое истинные суждения? Это такие суждения, в которых говорится всё как есть на самом деле. А что значит,
что в суждении говорится всё как есть на самом деле? И возможны ли вообще такие суждения? Это вопрос тёмный.
Понятие доказательства со временем претерпело значительные изменения. С одной
стороны, его стали трактовать более широко, как любой способ убедиться в истинности
тех или иных суждений (например, обращение к данным эмпирического опыта, к эксперименту). С другой стороны, в математической логике доказательствами называются последовательности символов определённого вида. Мы же, если не будет оговорено особо,
будем понимать доказательство именно тем способом, который был обозначен выше.
Итак, чтобы понятие доказательства имело какой-то смысл, необходимо, чтобы
существовали истинные суждения. Для этого необходимо, чтобы вообще что-то существовало. И не просто существовало, но и допускало возможность точного описания. В
любом точном описании, в свою очередь, присутствуют общие понятия, которые, повидимому, надо с чем-то соотносить или понимать каким-либо иным способом. Способов
этих предостаточно, они хорошо разработаны, логичны, непротиворечивы и, безусловно,
имеют право на существование. Но всё-таки наиболее «приспособленная» к ответу на эти
вопросы картина мира имеет объективно-идеалистический характер.
По-видимому, начав строить рациональную картину мира, человечество рано или
поздно должно было пройти через этап, на котором происходит гипостазирование количественных и качественных характеристик объектов. На этом этапе логика понятий отражает статический характер объектов, обозначаемых понятиями. Не случайно и философия, и
доказательства появились в древней Греции. Достаточно вспомнить акцент всей античной
философии на онтологическую, а не на гносеологическую проблематику, а также отметить, что каждое новое течение в греческой философии для того, чтобы избавиться от недостатков старых теорий, перестраивало всю картину мира. При всём этом античная философия представляла собой в целом набор рассуждений, близких к доказательствам, а,
учитывая обозначенную выше «онтологическую парадигму» греческой философии, нетрудно понять, что аристотелевская логика силлогизмов, обобщающая правила этих рассуждений, была приспособлена к объектам, носящим статический характер.
Всё это имеет самое прямое отношение к математике, так как вопрос о статусе доказательства напрямую связан с проблемой обоснования математики. Излагая последовательно развитие этой науки, мы остановились на этапе, когда сформировались понятия
некоторых математических операций. Понятия эти возникли, как уже было отмечено, из
практики. Математические знания этого периода содержали, в снятом виде, опыт работы с
числами. Они сводились к набору алгоритмических предписаний, позволяющих что-то
вычислять или измерять. Вопроса об обосновании этих знаний возникнуть, в принципе, не
могло: зачем обосновывать, например, технику езды на лошади или способ постройки
здания.
Но вот за математику взялись греки. У математики сразу появляется предмет: числа и геометрические фигуры и метод: доказательство. Числа и фигуры — вполне реальные, существующие объекты (достаточно вспомнить пифагорейцев). Простейшие факты о
положении дел в мире этих объектов поставляет нам математическая интуиция. Эти факты не нуждаются в обосновании. Более сложные факты можно обосновать, приведя для
них соответствующее доказательство. Доказательство здесь как бы направляет интуицию,
делает очевидным то, что ранее было скрыто от разума. Само доказательство того или
иного математического факта является доказательством «от противного»: не может быть
иначе, так как в противном случае противоречиво и не выразимо в логике понятий. То
есть немыслимо и не может существовать.
Итак, греки как бы развернули математику такой стороной, представили её так, что
стала осмысленной проблема обоснования математического знания. Математическое знание в их трактовке — знание о числовых и геометрических сущностях, о реально существующих идеальных объектах. Для обоснования истинности этих знаний требуется обосновать:
a) Истинность исходных математических положений;
b) Правильность метода, то есть правомерность доказательств.
В своём развитии математика претерпела три кризиса оснований. Для нас важен
третий, наиболее сильный кризис, попытки преодоления которого породили, в частности,
такое направление, как конструктивизм. О первых двух я упомяну лишь мельком.
Первый кризис связан с открытием иррациональностей. Кем-то из пифагорейской
школы (возможно, самим Пифагором) из очевидных соображений был доказан противоречащий, на первый взгляд, здравому смыслу факт: сторона квадрата не соизмерима с его
диагональю. Рациональные числа — такие понятные, простые, умозрительные — не исчерпывали весь ряд чисел. Оказалось, что существуют ещё и какие-то «мистические» иррациональности, которые невозможно соотнести друг с другом. Это был серьёзный удар
по существовавшей до этого цельной картине мира. В математике это проявилось в возникновении конфликта алгебры и геометрии (или, для краткости, АГ-конфликта) — последняя оказалась несводимой к первой.
Второй кризис связан с разработкой дифференциального и интегрального исчисления, в котором используется понятие бесконечно малой величины. Бесконечно малые величины — это такие числа, которые отличны от нуля, но меньше любого конечного (положительного рационального) числа. Бесконечно малые величины были введены в математику для обоснования методов интегрирования и дифференцирования, однако сами они
никакого обоснования не получили. Более того, долгое время бесконечно малые не имели
никакого чёткого определения, содержание этого понятия было весьма расплывчатым.
Естественно, что для математиков, считавших свою науку точной и не допускающей никаких неопределённостей, такое положение дел было неприемлемо.
Кризисная ситуация, длящаяся в математике на протяжении столетий, естественно,
вызывала у учёных некоторое чувство неуверенности. Математическая наука изучала как
бы три различных вида объектов: наиболее простые и доступные рациональные числа, несоизмеримые с ними иррациональности и, наконец, вообще какие-то непонятные бесконечно малые приращения. Методологические принципы требовали введения точных понятий, необходимых для проведения корректных доказательств. Точные же понятия таких
объектов, как бесконечно малые величины, если и давались, то противоречили как общей
математической интуиции, так и ранее введённым определениям.
Выход из кризиса наметился только в середине XIX века и был связан с возникновением теории множеств. Основными объектами теории множеств являются множества,
то есть произвольные совокупности объектов. При этом такие совокупности мыслились
как нечто завершённое, как законченные, актуально существующие объекты, даже если
число элементов этих множеств невозможно было никак ограничить.
Введение актуально бесконечных объектов разрешило все трудности, связанные и с
иррациональностями, и с бесконечно малыми величинами. Действительно, иррациональные величины можно сколь угодно точно приближать к рациональным. Процесс приближения никогда нельзя завершить; однако, если абстрагироваться от этой трудности и считать процесс завершённым, то его результатом как раз и будет некоторая иррациональная
величина. С бесконечно малыми немного сложнее, но, поднявшись на более высокий уровень абстракции, можно разрешить и эту трудность. Так из существования актуально бес-
конечных последовательностей вытекает теория пределов, которая разрешает первые два
кризиса в математике.
Итак, решившись перейти к пределу и актуализовав бесконечность, математики
благополучно разделались с неопределённостями своей науки и оказались, по выражению
Д. Гильберта, в «канторовском раю». Все математические знания были сведены воедино,
математика снова стала единой наукой, интегральное и дифференциальное исчисление
получило своё обоснование. Выражаясь образно и патетически, впервые со времён Пифагора Господь отпустил математикам грехи их науки и души этих несчастных созданий получили возможность вкушать блаженство на платоновских небесах.
Однако вкупе с блаженством они умудрились вкусить и запретный плод. Рай, небеса и отпущение грехов обернулись призрачной иллюзией. С ясного неба хлынул дождь и
разверзлась земля под ногами.
Третий кризис оснований математики.
Попытки преодоления этого кризиса.
Ещё до обнаружения парадоксов в теории множеств, с которыми связан кризис оснований, возникло течение, целью которого было дальнейшее обоснование математики. С
помощью теории пределов вся математика была сведена к арифметике. Оставалось обосновать эту область математического знания. Упомянутое течение, получившее название
логицизма, пыталось свести математику к логике. Для этого немецкий логик Готлоб Фреге
пытался выразить основные арифметические понятия через логические, используя существенным образом бесконечные классы объектов. В том числе его теория оперировала с
такими «обширными» объектами, как класс всех классов и другими подобными. Свою
теорию он изложил в трёхтомном труде «Основные законы арифметики». В 1902 году
вышел первый том и уже готовился к выходу второй, когда Фреге получил письмо от Бертрана Рассела. В этом письме содержался знаменитый парадокс Рассела, который ставил
крест на всей программе Фреге, а также и на канторовской теории множеств.
Я не буду здесь излагать ни парадокс Рассела, ни другие парадоксы теории множеств, поскольку всё это и без того достаточно известно. Для нас важно, что все они наносят удар по «наивной» теории множеств, которая свободно оперировала с актуально бесконечными объектами. Эти парадоксы показывают, что многие такие объекты нельзя
мыслить без противоречий и, следовательно, никаким образом нельзя считать существующими в качестве идеальных объектов. Вот, например, цитата из того самого письма Рассела: «…Отсюда я делаю заключение, что при некоторых обстоятельствах заданная
определением совокупность не представляет собой целостности …».
Каково значение этих парадоксов для математики? Как мы уже отмечали, вся математика к концу XIX века была сведена к теории множеств. Это сведение дало возможность в терминах множеств и последовательностей точно определить все математические
понятия и проводить о них рассуждения. Однако для этого потребовалось признать существование актуально бесконечных совокупностей. Существование, естественно, в некотором идеальном мире, причём всех совокупностей, которые можно хоть как-то определить.
Если же это существование признать, то тогда вся математика сводится к обнаружению
объектов с определёнными свойствами в мире множеств. И получает обоснование в виде
веры в существование мира множеств.
Даже и без теоретико-множественных парадоксов такая объективноидеалистическая установка вызвала бы нарекания. Однако ситуация была бы совсем иной:
теория множеств стала бы сильнейшим аргументом в пользу платонизма. Но получилось
наоборот: обнаружились парадоксы и «математический платонизм» потерпел крах. Вера
(в существование мира определяемых множеств) противоречила разуму и отсутствовали

То есть из парадокса Рассела — примечание автора реферата.
какие-либо гарантии того, что, доказывая какую-нибудь гипотезу из математического анализа, нельзя получить утверждение типа «0=1».
Математики оказались перед достаточно неприятной альтернативой:
1. Принять теорию множеств и допустить существование актуально бесконечных
объектов. В этом случае математика лишается своего метода, и с этого момента
«доказательство истинно лишь для самого себя; оно не свидетельствует ни о чём,
кроме наличия доказательств, а это ничего не доказывает»;
2. Отвергнуть существование актуально бесконечных объектов. В этом случае все математические знания, кроме арифметики и комбинаторных теорем, теряют своё
обоснование, большинство математических понятий лишается точных определений
и доказательство как метод при отсутствии чётких определений опять теряет
смысл.
Было предложено несколько попыток разрешить этот кризис. Конструктивизм
можно рассматривать как одну из таких попыток. Конструктивному направлению будет
посвящена отдельная глава, а пока рассмотрим некоторые другие попытки.
Большинство математиков никакого кризиса вовсе и не заметили. Это связано с
тем, что противоречия теории множеств затронули лишь такие области этой теории, которые имеют очень абстрактный характер и не находят никакого применения в других областях математики. Множества, для которых предположение о существовании ведёт к парадоксу, не используются ни в каких других конструкциях, кроме теоретикомножественных.
Кроме того, после аксиоматизации теории множеств были устранены все известные
парадоксы. Конечно, такая аксиоматизация не даёт никакого обоснования этой теории,
напротив, ещё больше запутывает и усложняет дело. Мы на этом вопросе подробно останавливаться не будем. Отметим лишь, что аксиоматическая теория множеств допускает
обоснование в духе программы Гильберта и что она более «конструктивна», чем «наивная» теория множеств (в ней «присутствуют» процесс последовательного порождения ординалов и аксиома регулярности).
Из собственно попыток обоснования математики мы коснёмся трёх: интуиционизма, формализма и конструктивизма.
Интуиционизм. Весьма радикальная попытка переосмысления математики. Интуиционисты не ставят себе задачу обосновать существующую математику, а, напротив, пытаются построить свою математику на новом основании.
Философские истоки интуиционизма — интуитивизм Бергсона. По мнению интуиционистов, источником математических понятий является чистая интуиция времени и вся
математика имеет субъективное происхождение. Математические объекты в понимании
интуиционистов — это конструкции сознания, обязанные своим происхождением способности человека удерживать в своей памяти качественно различные впечатления. Благодаря памяти имеется возможность говорить о последовательности событий, о последовательности актов сознания. Различение элементов последовательности следующих друг за
другом переживаний даёт исходный материал для мысленных построений.
Вот что пишет, например, один из видных представителей интуиционизма А. Гейтинг: «В восприятии любого предмета мы представляем его себе как сущность, отвлекаясь
от его частных свойств. Мы познаём так же возможность неограниченного повторения
этой сущности. Здесь-то и лежит источник понятия натурального числа». А вот цитата из
речи основоположника интуиционистского направления Д. Брауэра: «…Математика возникает в тот момент, когда от удвоения, порождаемого движением времени, отнимаются
все качества субъекта и когда остающаяся пустая форма универсального субстрата удвоения подвергается, в качестве глубинной математической интуиции, неограниченному раскрытию, порождая новые математические сущности в форме предопределённых или более
или менее естественно формирующихся бесконечных последовательностей полученных
прежде математических сущностей, и в форме математических категорий, то есть свойств,
которые мы предполагаем присущими прежде полученным математическим сущностям и
удовлетворяющим условию, что если они относятся к определённой математической сущности, то они относятся и ко всем другим сущностям, определённым таким же образом».
В последней цитате очень точно отражена точка зрения интуиционистов на характер математических объектов. В противоположность взглядам основной массы математиков, стоящих на позициях «математического платонизма» и говорящих об актуально существующих бесконечностях, приверженцы интуиционистского направления говорят
лишь о потенциально бесконечных, «становящихся» последовательностях. Объекты интуиционистов как бы, если можно так выразиться, субъективно-конструктивный характер. А
объекты классической математики, напротив, объективно-неконструктивный.
Объекты интуиционистской математики имеют незавершённую, незаконченную
природу. Соответственно и обычная, аристотелевская логика, которая появилась в результате практики оперирования с актуальными, завершёнными объектами, к интуиционистским объектам неприменима. Так, например, не верен закон исключённого третьего. Это
связано с тем, что существование объекта интуиционисты мыслят как возможность его
построения на каком-то этапе генерирования членов бесконечной свободно становящейся
последовательности. «Математические сущности», объекты мыслятся ими генетически,
как члены последовательности, как мысленные конструкции. Если же, скажем, доказано
утверждение вида ¬¬xP(x), то есть опровергнуто утверждение о невозможности существования объекта со свойством P, то тем самым никак не доказано существование такого
объекта, поскольку не приведён способ его построения. Были подвергнуты пересмотру и
другие логические законы.
К достоинствам интуиционистов относится то, что они первыми поставили вопрос
о соответствии правил рассуждения природе рассматриваемых объектов.
Формализм. Другая попытка обоснования математики связана с именем Давида
Гильберта и получила название формализма. Формализм можно в какой-то степени рассматривать как реакцию на интуиционизм. Признавая справедливость критики интуиционистов, Гильберт и его сотрудники не принимали их основных установок.
Наибольшее возражение вызывали два пункта. Во-первых, вызывал возражение основной тезис интуиционистов об изначальной интуиции времени как надёжном базисе для
введения первичных математических объектов. Во-вторых, низкая эффективность интуиционистской математики сводила на нет все её положительные достижения. Отказ от закона исключённого третьего приводил к резкому сужению круга решаемых проблем. Так,
Гильберт даже писал, что отнять у математика этот закон всё равно что забрать у астронома телескоп или запретить боксёру пользоваться кулаками.
Гильберт предлагал оставить в математике и абстракцию актуальной бесконечности, и закон исключённого третьего. Таким образом, удавалось сохранить весь гигантский
объём достижений классической математики. Парадоксы теории множеств можно устранить с помощью ограничения класса рассматриваемых объектов и введения соответствующей аксиоматизации. Проблему же обоснования он предлагал решить несколько неожиданным образом.
Гильберт предлагал обосновывать не достоверность математических знаний, а их
внутреннюю непротиворечивость. Суть программы Гильберта в следующем: для каждой
области математического знания построить формальное исчисление и, обладая чёткими
правилами преобразования формул этого исчисления, задавать объекты теории набором
аксиом и доказывать невозможность получения противоречивого следствия из аксиом в
рамках этого формального исчисления.
Подход, по сути дела, очень здравый. Установки «математического платонизма»
несмотря на то, что могут быть подвергнуты критике с различных философских позиций,
принесли математике, а вместе с ней и всей науке в целом, немалую пользу. И философская критика этих установок не может служить причиной отказа от актуальной бесконечности как удобного способа представления математических знаний. А от парадоксов можно избавиться при помощи доказательства непротиворечивости соответствующей формальной системы. Это уже дело самой математики.
Остаётся только сожалеть о том, что в связи с теоремами Гёделя о неполноте программа Гильберта потерпела крах. Гёдель фактически показал невозможность полной непротиворечивой аксиоматизации арифметики. Кроме того, он доказал, что невозможно
показать непротиворечивость любой аксиоматизации арифметики средствами самой
арифметики. Из всего этого видно, что надежды на реализацию программы Гильберта относительно арифметики остаётся довольно мало.
Конструктивное направление в математике.
И вот, наконец, мы добрались до цели нашего рассмотрения.
В двух словах суть конструктивного направления можно выразить следующим образом: конструктивизм — это интуиционизм, переосмысленный с материалистических
позиций.
Мы уже отмечали в начале реферата, что математические знания возникают из
практики. Математика в снятом виде содержит опыт оперирования с объектами реальности, характеризуя этот опыт с количественной стороны. Гипостазирование понятий, отражающих количественные характеристики практического опыта, привело к пониманию чисел и других математических образований как объектов некоторого идеального мира. Попытка связать воедино картину идеального мира привела к возникновению идеи о существовании актуально бесконечных объектов, что, в свою очередь, привело к парадоксам
теории множеств и к кризису оснований математики конца XIX – начала XX века.
Таким образом, можно считать, что парадоксы и кризис оснований проистекают из
идеализации первичных математических понятий и являются результатом последовательного принятия парадигмы «математического платонизма». Наиболее радикальные попытки разрешить кризис требуют переосмысления статуса математических объектов.
Одной из таких радикальных попыток является интуиционизм. Мы уже имели возможность в этом убедиться. Посмотрим, как то же самое пытаются сделать конструктивисты.
Основными, первичными объектами конструктивной математики являются конструктивные объекты и способы (алгоритмы) их преобразования. Попытаюсь подробно
раскрыть содержание этих понятий.
Конструктивный объект — это абстрактное понятие, характеризующее вещи объективного мира как объекты человеческой деятельности, направленной на изменение их
количественных характеристик. Например, стопка из трёх книг, лежащих на столе — конструктивный объект: я могу снять с этой стопки верхнюю книгу, и она превратится в
стопку из двух книг. Также конструктивным объектом является ряд последовательно
написанных на бумаге вертикальных палочек; можно дописать ещё одну палочку в конец
ряда или стереть часть палочек, или сделать с ними что-нибудь ещё.
Алгоритм преобразования конструктивных объектов — это абстрактное понятие,
отражающее качественную специфику человеческой деятельности, направленной на изменение количественных характеристик конструктивных объектов и протекающей по
определённым правилам, чётко регламентирующим последовательность элементарных
актов деятельности в зависимости от характеристик преобразуемого объекта. Например,
алгоритмом является предписание, указывающее, как последовательность из N вертикальных палочек превратить в последовательность из N+1 вертикальной палочки.
Большое значение для конструктивистов имеет система обозначений. Дело в том,
что интересующие нас количественные характеристики конструктивных объектов можно
задать в определённой знаковой системе путём задания соответствующей интерпретации.
А правила преобразования объекта, изменяющие его количественные характеристики,
можно отобразить в виде предписаний для работы со знаками. Таким образом, появляется
возможность формализации конструктивной математики.
Собственно конструктивная математика имеет дело не с произвольными конструктивными объектами, а лишь с некоторыми из них — со словами какого-то конечного алфавита. Как уже было сказано, такое сужение класса рассматриваемых объектов не ведёт
к ограничению общности рассмотрений. Точнее, не ведёт к ограничению общности рассмотрений в рамках предмета математической науки, как в конструктивистском, так и в
любом другом её понимании.
При рассмотрении конструктивных объектов — слов конечного алфавита конструктивист принимает две абстракции: абстракцию отождествления и абстракцию потенциальной осуществимости. Первая означает, что конструктивисты отождествляют одни и те же знаки, но написанные на разной бумаге, разным почерком и т.д. Вторая — что
они абстрагируются от трудностей чисто физического плана: слишком большая длина
слова или слишком большое время работы алгоритма, то есть от трудностей, связанных с
ограниченностью человеческих возможностей. И та, и другая абстракции вполне естественны — абстрагируются от несущественных характеристик конструктивных объектов,
не упуская ничего в их конструктивной природе.
Формализовав конструктивные объекты и приняв абстракции отождествления и
потенциальной осуществимости, конструктивисты получают возможность формализовать
также и понятие алгоритма. Алгоритмы, представленные одним из известных способов: в
виде машин Тьюринга или нормальных алгорифмов Маркова, могут быть записаны в некоторой формальной системе обозначений в виде слов конечного алфавита. И, таким образом, алгоритмы также становятся конструктивными объектами и могут быть подвергнуты конструктивным преобразованиям.
Конструктивное понимание природы математических объектов требует, как и в
случае с интуиционистами, логики рассуждений, отличной от классической. Так, неприятие абстракции актуальной бесконечности, которая в каком-то смысле является абстракцией от конструктивных характеристик математических объектов, влечёт за собой неприятие также и закона исключённого третьего. Логика конструктивистов в общих чертах похожа на логику интуиционистов. Однако имеется одно существенное отличие, которое
связано с так называемым принципом конструктивного подбора.
Вот этот принцип. Предположим, что есть алгоритм, порождающий последовательность конструктивных объектов: a0,a1,… .Предположим также, что удалось доказать
утверждение вида ¬¬(x  {a0,a1,…})P(x). Для интуиционистов это утверждение не равносильно утверждению (x  {a0,a1,…})P(x), поскольку доказательство косвенными методами не даёт способа сконструировать такой x, что будет выполнено P(x). Это связано с тем,
что интуиционисты понимают свободно становящиеся последовательности как некие
вольные творения человеческой интуиции. До тех пор, пока соответствующий член последовательности не был сгенерирован, он просто не существует. Для конструктивистов
же последовательность, являющаяся результатом работы некоторого наперёд заданного
алгоритма, в некотором смысле уже задана всеми своими членами (хотя ни в коем случае
не является единым, актуально завершённым объектом) и, в силу этого можно утверждать, что верно высказывание (x  {a0,a1,…})P(x), поскольку существует алгоритм
нахождения такого x: следует последовательно проверять элементы последовательности
до тех пор, пока не встретится элемент, обладающий свойством P; этот элемент и будет
результатом работы соответствующего алгоритма.
Конструктивисты утверждают, что для обоснования принципа конструктивного
подбора абстракция актуальной бесконечности не привлекается. Мне кажется, что это не
так и что, тем не менее, конструктивисты были правы, введя в конструктивную математику принцип конструктивного подбора. Дело в том, что, абстрагируясь от бесконечной
природы объекта, не всегда абстрагируются от его конструктивной природы. Поясню свой
тезис на примере. Предположим, что есть некоторый «естественный» бесконечный класс
конструктивных объектов (например, все слова одного и того же алфавита) и в этом классе есть некоторый бесконечный подкласс. Обозначим его буквой A. Класс A, если его рассматривать как нечто целое, является актуально бесконечным объектом. Предположим
теперь, что существует алгоритм D(x), перерабатывающий слова имеющегося у нас алфавита в однобуквенные слова алфавита {0,1}, причём D(a)=1 для слова a в том и только в
том случае, если a  A. Тогда можно говорить о том, что бесконечное множество A задано
одновременно всеми своими элементами конструктивным образом, при помощи алгоритма D и, следовательно, является конструктивным объектом. Множество A здесь можно
просто отождествлять с парой <D,1>.
В случае принципа конструктивного подбора ситуация похожа на только что описанную.
Вот, пожалуй, и всё о тех принципах, которыми руководствуются конструктивисты
при обосновании математики. На мой взгляд, их обоснование достаточно надёжно. Что же
касается конкретных результатов, то у конструктивистов их гораздо меньше, чем у классиков, и конструкции их зачастую имеют более сложный характер. В заключении я хочу
дать общее представление о том, как конструктивисты интерпретируют объекты классической математики.
Натуральные числа можно закодировать словами конечного алфавита и рассматривать их как конструктивные объекты. То же самое можно сделать и с рациональными числами. Действительные числа можно представить в виде последовательностей Коши рациональных чисел, задаваемых алгоритмами, причём необходимо потребовать и алгоритмической оценки сходимости. Отождествляя соответствующие последовательности с порождающими их алгоритмами, можно получить в качестве конструктивных объектов так
называемые конструктивные действительные числа. На этом основании есть возможность
разрабатывать конструктивную теорию пределов и конструктивный анализ. Объекты алгебры можно так же задавать конструктивно.
Пожалуй, более детально ничего уточнять не стоит. Иначе пришлось бы углубиться
в чисто математические трудности, а это не является целью данного реферата. О философских же аспектах проблемы было сказано уже достаточно.
Литература:
1. В. Н. Тростников, Конструктивные процессы в математике, М., 1975.
2. А. К. Сухотин, Философия в математическом познании, ТГУ, 1977.
3. А. А. Марков, О логике конструктивной математики // Вестник МГУ, С. 1 Математика, механика, 1970, №2.
4. Н. М. Нагорный, Современные основания математики: восхождение к конструктивности // Закономерности развития современной математики, М., 1987.
5. Н. М. Непейвода, Становление понятия конструктивности в математике // Закономерности развития современной математики, М., 1987.
6. Ю. Л. Ершов, К. Ф. Самохвалов, О новом подходе к методологии математики // Закономерности развития современной математики, М., 1987.
7. Х. Роджерс, Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость, М., 1972.
8. Математическая энциклопедия, М., 1979; статьи «Абстракция актуальной бесконечности», «Интуиционизм», «Конструктивная логика», «Конструктивная математика», «Конструктивная семантика», «Конструктивного подбора принцип», «Конструктивный объект».