Конкурс научных проектов школьников в рамках краевой научно-практической конференции «Эврика»

1
Конкурс научных проектов школьников
в рамках краевой научно-практической конференции
«Эврика»
Малой академии наук учащихся Кубани
Секция: Естественнонаучная
ТЕМА: Удивительные
свойства чисел
Автор: Анисимов Владислав Александрович
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
учреждение средняя образовательная школа №10
х.Куликовского муниципального образования
Ленинградский район Краснодарского края
10 класс
Научный руководитель: Колган Марина
Александровна, учитель математики,
муниципально бюджетное общеобразовательное
учреждение средняя образовательная школа №10
х.Куликовского муниципального образования
Ленинградский район Краснодарского края
2012 год.
2
Удивительные свойства чисел
Анисимов Владислав Александрович
Россия, Краснодарский край, Муниципальное бюджетное общеобразовательное
учреждение средняя образовательная школа №10 х.Куликовского
муниципального образования Ленинградский район Краснодарского края, 10 класс
Введение
Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты
счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических
теорий. Числа находят широкое применение в физике, механике, астрономии, химии и
многих других науках. Числами постоянно пользуются в повседневной жизни.
Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить
себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна.
Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел,
разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. В
школьном курсе математики постепенно знакомят со всеми числами, в том числе с
натуральными, действительными, рациональными и иррациональными. Изучаются
действия с ними, их свойства. Актуальность исследования данной темы заключается в
том, что изучение
свойств чисел в школьном курсе математики ограниченно. Наше
исследование нацелено на выявление удивительных свойств чисел, то есть тех, о которых
нельзя прочесть на страницах школьных учебниках. Интерес к данной теме вызван тем,
что многие столетия ума ученых были заняты отысканием различных видов чисел и их
свойств, некоторые из них были найдены только после развития компьютерной техники.
На сегодняшний день эти поиски продолжаются.
Предметом
исследования являются натуральные удивительные числа и их
свойства.
Цель работы: классифицировать удивительные натуральные числа, по их свойствам
и закономерностям, выявить новый вид удивительных чисел и исследовать их свойства.
Задачи исследования:
1. Рассмотреть основные этапы развития натуральных чисел;
2. Дать определение удивительных чисел;
3. Классифицировать удивительные числа;
4. Выделить новый вид чисел;
5. Установить ряд удивительных свойств, законов и закономерностей этих чисел.
3
Основная часть
I. Этапы развития натуральных чисел
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа
развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.
Считается, что термин "натуральное число" впервые применил римский
государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций
(480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то
есть природном ряде чисел.
Понятием "натуральное число" в современном его понимании последовательно
пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер
(1717-1783 гг.)
Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при
переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков
до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление.
Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он
придумал числа: "один" и "два". Остальные количества для него оставались
неопределенными и объединялись в понятии "много". Росло производство пищи,
добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи, с
чем придумывались новые числа: "три", "четыре"… Долгое время пределом познания
было число "семь".
О непонятном говорили, что эта книжка "за семью печатями", знахарки в сказках
давали больному "семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять
на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек".
Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так дошли до нового
предела. Им стало число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем
временам числом "сорок сороков", равным 1600.
Большой интерес вызывает история числа "шестьдесят", которое часто фигурирует
в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа.
Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол
из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением
(неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в
Вавилоне легло в основу шестидесятеричной системы исчисления, следы которой
сохранились до наших дней при измерении времени и углов.
Следующим пределом у славянского народа было число "тьма", (у древних греков
– мириада), равное 10 000, а запределом – "тьма тьмущая", равное 100 миллионам. У
4
славян применяли также и иную систему исчисления (так называемое "большое число"
или "большой счет").
В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в "исчислении
песчинок" - до числа 10, возведенного в степень 8×1016 , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.)
в своих парадоксах – до бесконечности ∞.
Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто
веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы
до бесконечности:1, 2, … ∞ . Натуральных потому, что ими обозначались реальные
неделимые объекты: люди, животные, вещи… Самое трудное было придумать нуль. Его
придумали на много веков позже, чем другие цифры. Первая точно датированная запись, в
которой встречается знак нуля, относится к 876 г.
II. Удивительные числа.
Числа или действия с ними, обладающие индивидуальными, неповторяющимися
для остальных чисел свойствами, будем считать удивительными.
Классификация удивительных чисел:
 Простые числа, имеющие только два различных делителя: самого себя и 1.
Например, 7=1∙7, 23=1∙23 и т. д. Самое маленькое простое число – 2. Это
единственное четное простое число.
 Совершенные числа, сумма всех его собственных делителей, отличных от
самого совершенного числа, в точности равна этому числу. Например, число
6 имеет делители 1,2,3. Найдем их сумму: 1+2+3=6. Может быть, именно
поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних
римлян. Число 28 имеет делители 1,2,4,7,14. Их сумма: 1+2+4+7+14=28. По
мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа
встречаются
всё
реже.
Третье
совершенное
число
—
496
(1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое — 8128, пятое — 33 550 336,
шестое — 8 589 869 056, седьмое — 137 438 691 328.
 Дружественные числа – это два натуральных числа, для которых сумма всех
делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма
всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу.
История дружественных чисел теряется в глубине веков. Эти удивительные
числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы
знали только одну пару дружественных чисел – 220 и 284. Проверим эту
пару чисел на свойство дружественных чисел:
5
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
 Счастливые числа, в результате манипуляций с цифрами, входящими в них,
демонстрируют удивительные числовые закономерности.
III. Удивительные свойства удивительных чисел
III. I. Свойства простых чисел
Простые числа можно обнаружить только путем долгих кропотливых расчетов.
Недавно было найдено простое число, содержащее 25692 цифры! Чтобы доказать, что оно
простое,
быстродействующему
компьютеру
потребовалось
несколько
недель.
Удивительными являются свойства некоторых простых чисел. Рассмотрим некоторые
свойства 7.
Рассмотрим арифметическую прогрессию, первым членом и разностью которой
является число 15 873. Будем умножать каждый из членов данной прогрессии на 7, то
получим очень странные произведения. Числа 15873, 31746, 47619, 63492, 79365, 95238,
..., 142857, умножаемые на 7, всегда дают число, состоящее из шестикратно повторенной
одной и той же цифры:
15873 • 7 = 111111
31746 • 7 = 222222
79365 • 7 = 555555
142857 •7 = 999999
Это любопытное сочетание цифр можно легко объяснить, если заметить, что
79365 • 7 = (5 • 15873) • 7 = 5 • (15873 • 7) = 5 • 111111.
Значительно труднее объяснить следующее необычное явление: если между двумя
цифрами второй степени числа 7, между цифрами числа 49, будем вставлять число 48, то
составленные таким образом числа, а именно:
49, 4 48 9, 44 48 89, 444 48 889,... всегда будут полными квадратами:
49 = 72
4489 = 672
444889 = 6672
44448889 = 66672
III. II. Свойства совершенных чисел
Первые четыре совершенные числа: 6, 28, 496, 8128 были обнаружены очень давно,
2000 лет назад. Эти числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое
совершенное число было выявлено лишь 500 лет назад, в 1460г. Это число 33 550 336
6
обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый
Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. В начале
XX века были найдены ещё три совершенных числа. В дальнейшем поиск затормозился
вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными
вычисления, превосходившие человеческие возможности. На апрель 2010 года известно
47 чётных совершенных чисел.
Все
чётные
совершенные
числа
(кроме
6)
являются
суммой
кубов
последовательных нечётных натуральных чисел: (13+33+53+…).
Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само),
равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:
Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи
на 16, 28, 36, 56 или 76.
Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 в.,
отмечал, что совершенные числа красивы, а красивые вещи редки и немногочисленны. Он
не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего
времени нет ответов на два важных вопроса:
1) Существует ли наибольшее чётное совершенное число?
2) Существует ли нечетное совершенное число?
До сегодняшнего дня не обнаружено ни одного нечетного совершенного числа,
хотя и не доказано, что такого числа не существует.
IV. Счастливые числа
IV. I. Определение счастливых чисел
Многие размышления древних математиков о числах, стоят на границе с чем-то
мистическим и необъяснимым. Выясняя какие-то закономерности и свойства чисел,
ученые, в основном, опирались на чувства и восприятия.
Идет двадцать первый век. Кажется, что уже все, казалось бы, открыто и
переоткрыто. Рассмотрев различные удивительные свойства чисел, нам стало интересно, а
возможно ли в наше время отыскать числа, которые не относятся к ранее исследуемым
нами, обладающие какими-то индивидуальными
свойствами.
В поле нашего
исследования попали числа, в которых необходимо расставить арифметические знаки
между цифрами так, чтобы из двух пары чисел получилось верное равенство. В конце
7
двадцатого века многие "играли в числа", по номерам государственной регистрации
автомашин. Тогда эти номера были четырехзначными. (Приложение 1. Рисунок 1)
Номера автомашин разделялись, как известно (как и номера трамвайных билетов)
на «счастливые» и остальные … не особенно счастливые.
В частности (Приложение 2. Рисунок 2), числа, у которых сумма цифр, стоящих на
четных местах, равнялась сумме цифр, стоящих на нечетных местах, считались
«счастливыми».
Была и другая система вычисления счастливых номеров.
В ней нужно было обнаружить присутствие числа «11».
В частности, было известно, что на одиннадцать делятся такие номера, у которых
разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и суммы цифр, стоящих на нечетных
местах, делится без остатка на одиннадцать. (Приложение 3. Рисунок 3)
IV. II. Свойства счастливых чисел.
Автоматически сортируя номера автомашин; на те, которые делятся и на те,
которые
не
делятся
на
одиннадцать,
нами
неожиданно
замечена
некоторая
закономерность. Числа, которые делятся на 11, все без исключения, обладают ещё одним
забавным свойством: после ряда несложных операций (числовых манипуляций) они
сводятся к двузначным числам, которые состоят из … одинаковых цифр.
После каких же манипуляций?
Сначала нужно разбить число справа налево на двухразрядные числа. Сложив их,
получим некоторую сумму.
Если разрядность суммы больше двух, нужно повторить первую и вторую
операции.
И тогда, если число делится на 11, в результате обязательно получится двузначное
число, состоящее из одних и тех же цифр.
Рассмотрим, например, число 2574 (Приложение 4. Рисунок 4). Разбиваем его на 74
и 25. Сложив эти числа, получим 99, которое делится на число «11».
Или возьмем другое число – 9581 (Приложение 5. Рисунок 5).
Разбиваем его на 81 и 95. Сложив их, получим 176. Число 176 снова разбиваем,
теперь на числа 76 и 1; сложив их, получаем 77. Оба рассмотренных выше числа - 2574 и
9581 - делятся на 11.
После некоторых размышлений мы пришли к выводу, что этим свойством
обладают все числа, которые имеют делители, состоящие из одних единиц.
8
В любой системе счисления все числа, делящиеся без остатка на «n» - разрядные
делители, состоящие из одних единиц, приводятся к «n» -разрядным числам, состоящим
из одинаковых цифр.
Отметим сразу, что признак делимости для произвольного делимого и делителя,
состоящего лишь из одних единиц, в произвольной системе счисления доказать мне пока
не удалось. Однако, теорема о произведении доказывается достаточно просто.
Сформулируем и докажем ее.
Если умножить некоторое «n»-разрядное число, состоящее из одних единиц, на
любое целое число N, то полученное произведение можно привести к «n» - разрядному
числу, состоящему из одних и тех же цифр.
Для этого нужно проделать следующее:
1. Разбить произведение справа налево по разрядности «n».
2. Сложив части числа и получить некоторую сумму.
3. Если разрядность суммы больше «n», то для нее (как для произведения)
повторить операции 1 и 2.
4. Операции 1, 2 и 3 повторять до тех пор, пока разрядность суммы не станет
равной «n».
Для ясности рассмотрим численные примеры в десятичной системе счисления
(Приложение 6. Рисунок 6.).
Умножив, например, 111 на 9876, получим 1 096 236.
Разбиваем 1 096 236 на трехразрядные числа.
Имеем числа 236, 096 и 1.
Сложив их, получим число 333.
Заключение
Из огромного многообразия натуральных чисел ученые выделили дружественные и
совершенные числа, обладающие рядом очень интересных свойств.
Анализируя
научно-популярную
литературу
о
простых,
совершенных,
дружественных чисел, можно убедиться, что формулы общего вида для нахождения
простых,
всех пар дружественных, совершенных чисел не существует. Вопрос о
существовании: бесконечности множества четных совершенных чисел, нечетного
совершенного числа, четно-нечетной пары дружественных чисел и взаимно простых
дружественных чисел открыт до сих пор.
Нами проведены исследования, классификация свойств простых, дружественных,
совершенных чисел. Выделен новый вид удивительных чисел – счастливые числа,
проведена их систематизация, рассмотрены некоторые закономерности.
9
Следует отметить, что рассмотренные нами манипуляции с счастливыми числами
на являются результатом каких-то алгебраических следствий и закономерностей, они не
имеют теоретического обоснования, но открывают новые способы действий с числами, с
которыми, обращаются, прежде всего, как с цифровыми структурами. Открываемые
новые манипуляции демонстрируют, как правило, удивительные свойства чисел и реально
продвигают теорию чисел. Цифровые структуры (чисел) в таких манипуляциях позволяют
увидеть ранее не обнаруженные математикой закономерности.
Список используемых источников и литературы
1. Я. Познаю мир. Детская энциклопедия: Математика /А.П. Савин и др. М.: ООО "Издательство АСТ", 2001.
2. История математики в школе. Пособие для учителей /Г.И.Гейзер. – М.:
Просвещение, 1981.
3. Живая математика. Математические рассказы и головоломки /Я.И.
Перельман. - М: Триада – литера, 1994.
4. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов/
И.Я.Депман, Н.Я.Виленкин. –М.: Издательство"Просвещение", 1989.
5. Internet ресурсы
10
Приложения
Приложение 1
Рисунок 1
11
Приложение 2
Рисунок 2
12
Приложение 3
Рисунок 3
13
Приложение 4
Рисунок 4
14
Приложение 5
Рисунок 5
15
Приложение 6
Рисунок 6