6 класс, серия 8, угадалки

6 класс, серия 1, кресты и флаги
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Каким образом необходимо разрезать данный
крест, чтобы из полученных кусков можно было
собрать квадрат с пустотой внутри него в виде
такого же по форме и размерам креста.
Дед звал внука к себе в деревню: "Вот посмотришь, какой я необыкновенный сад посадил! У
меня там растут груши и яблони, причём яблони
посажены так, что на расстоянии 10 метров от
каждой яблони растёт ровно две груши". — "Ну
и что тут интересного, — ответил внук. — У тебя, значит, яблонь вдвое меньше, чем груш". "А вот и не угадал, — улыбнулся дед. — Яблонь у меня в саду
вдвое больше, чем груш". Нарисуйте, как могли расти яблони и груши в саду
у деда. Это была задача а).
б) Можно ли сделать так, чтобы яблонь было в
2013 раз больше, чем груш?
В стене имеется маленькая дырка (точка). У хозяина есть флажок следующей формы (см. рисунок).
Покажите на рисунке все точки, в которые можно
вбить гвоздь, так чтобы флажок закрывал дырку.
Из восьмизначного числа вычеркнули две средние
цифры и исходное число разделили на полученное. В частном оказалось натуральное число. Каким оно может быть?
Жители города Натуральный живут в домах с номерами от 1 до а) 29; б)24;
в)2000 (каждый житель — в своем доме с уникальным номером). Некоторые
из них дружат между собой. В журнале «National Geographic» написали, что у
двух жителей есть общий друг тогда и только тогда, когда номер дома одного из них делится на номер дома другого. Докажите, что журнал врёт.
За круглым столом сидят 30 девочек. У Маши есть 2013 конфет, а у остальных
девочек конфет нет. Любая девочка, имеющая хотя бы две конфеты, может
дать по одной конфете двум следующим за ней по часовой стрелке девочкам
или двум следующим за ней против часовой стрелки девочкам. Могут ли все
конфеты собраться у другой девочки?
Вася разрезал полоску, на которой было написано 44-значное число и получил кусочки, на которых оказались написаны все целые числа от 2001 до
2011. Докажите, что исходное число не было простым.
6 класс, серия 2, делимость и квадрируемая фигура
8.
За круглым столом сидят 29 учениц и учительница. У учительницы есть
2013 конфет, а у учениц конфет нет. Любая из сидящих за столом, имеющая хотя бы две конфеты, может дать по одной конфете двоим следующим за ней по часовой стрелке или двоим следующим за ней против часовой стрелки. Можно ли сделать так, что все конфеты окажутся у двоих: у
учительницы 2000 конфет, а у одной из учениц — 11?
9. Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.
10. Имеется натуральное число. У него вычеркивают последнюю цифру и
прибавляют к получившемуся числу вычеркнутую цифру, умноженную на
5. Эту операцию повторяют несколько раз. В итоге получилось число 7.
Докажите, что исходное число тоже делилось на 7.
11.
x, y
- целые числа, такие, что 29x = 41y. Докажите, что
x  y 10.
12. Докажите, что, если число делится на 99, то сумма его цифр не меньше 18.
13. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.
14. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из чисел от 1 до 100
так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 26?
15. Что больше: сумма цифр всех четырехзначных чисел или сумма цифр
всех пятизначных чисел, кратных 9?
16. Можно ли разрезать фигуру на четыре
равные части так, чтобы из них можно
было сложить квадрат?
17. Докажите, что из 65 целых чисел либо найдутся 9 таких, что каждое из чисел этой девятки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним,
либо найдется девять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.
18. Числа 1, 2, …, 9 разбиты на три группы. Докажите, что произведение чисел
хотя бы в одной из групп а) меньше 72; б) не меньше 72.
г) Докажите, что [ca, cb] = c [a, b].
6 класс, серия 3, теория по делимости
Необходимые воспоминания: простые и составные числа, НОК и НОД и
почему они оба существуют..
Мы не как в школе… НОД (a, b) = (a, b), НОК (a, b) = [a, b]
(*) – не сдаем
19. Найдите, чему может быть равно а) (n, n+1); б) (n, n+6); в) (2n+3;
7n+6); г) (12n+1; 30n+2); д) (n2;n+1); е)((n+2)2; 3n).
20. (*)Все простое о НОДе
а) Докажите, что для любых двух натуральных чисел a и b наибольший
общий делитель (a, b) существует и единственен.
б) когда (a, b) = a?
в) докажите, что (a, b) делится на любой общий делитель a и b.
г) Докажите, что (ca, cb) = c (a, b).
𝑎
𝑏
д) Докажите, что числа (𝑎,𝑏) и (𝑎,𝑏) взаимно просты.
21. Дан прямоугольник 2013111. От него отрезают квадраты со стороной, совпадающей с меньшей стороной прямоугольника до тех пор, пока
это возможно, после чего повторяют ту же операцию с получившимся
меньшим прямоугольником. Это продолжается пока процесс не оборвется. Сколько квадратов и каких размеров получится в итоге?
22. а) Придумайте такие три числа, что любые два не взаимно просты, а в
совокупности все взаимно просты; б) Придумайте такие четыре числа,
что попарно они не были взаимно прост, а в совокупности все взаимно
просты. в) придумайте пять таких чисел, что если взять несколько их
(только не все сразу), то это множество не будет взаимно просто в совокупности, а все вместе – взаимно просты.
23. (*) Все простое о НОКе
а) Докажите, что для любых двух натуральных чисел a и b наименьшее
общее кратное [a, b] существует и единственно.
б) когда [a, b] = a?
в) докажите, что любое кратное a и b lделится на [a, b]
д) Докажите, что числа
[𝑎,𝑏]
𝑎
и
[𝑎,𝑏]
𝑏
взаимно просты.
24. В некоторый момент Таня измерила транспортиром угол между часовой и
минутной стрелками часов. Через полчаса она вновь измерила угол между
стрелками и получила тот же результат. Какой именно?
25. В однокруговом чемпионате по матбоям участвовали 16 команд из 16 разных школ. Каждый бой проходил в одной из школ-участниц. В газете написали,
что каждая команда сыграла во всех школах, кроме своей. Докажите, что журналисты ошиблись.
26. На доске 20132013 на каждой клетке одной из главных диагоналей
стоит по шашке. Два игрока, делая ходы по очереди, играют в следующую
игру. За один ход игрок сдвигает одну из шашек на одну клетку в фиксированном направлении (вниз). Если при этом шашка сходит с доски, игрок забирает её себе. Какое наибольшее количество шашек может гарантированно забрать себе первый игрок при правильной игре обоих, если
второй стремится помешать ему взять много шашек?
27. Найдите а) (210-1, 225-1); б) (2111-1, 22013-1)
28. Найдите (11…1, 11…1), если в записи первого числа 111 единиц, а в
записи второго – 2013 единиц.
28. Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность любых двух
из которых равна их НОДу.
29. В прямоугольнике с целыми сторонами m и n на клетчатой бумаге
проведена диагональ. Через какое число узлов она проходит? На сколько
частей эта диагональ делится линиями сетки?
30. У каждого жителя города Ижевск есть свои тараканы в голове, не у
всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в
частности, каждый таракан сам себе товарищ).
Что больше: среднее количество тараканов,
которыми владеет ижевчанин, или среднее
количество товарищей у таракана?
6 класс, серия 4, комби-тестик – от сложного к простому
1. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду
из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
2. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду
олимпиадников из 5 человек (по одному на каждый предмет, а на математику - двое) – математика, русский язык, литература и ОБЖ?
3. В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду
олимпиадников из 8 человек (по двое на каждый предмет) – математика,
русский язык, литература и ОБЖ?
4. В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)
5. В корзине лежат много яблок, много апельсинов, много грейпфрутов и кучакуча манго. Сколькими способами четыре девочки могут взять себе по одному фрукту?)
6. Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигров, при этом нельзя, чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими
способами он сможет расположить
зверей?
7. Строится лестница, ведущая из т. А в
точку В, длина ее равна 4,5 м, а высота – 1,5 м. Высота каждой ступеньки
равна 30 см, а ширина – число, кратное 50 см. Сколькими способами можно
построить лестницу?
8. Сколько шестибуквенных слов можно составить из букв {р, о, к }, в которых
согласных больше, чем гласных?
9. Сколько семибуквенных слов можно составить из букв {у, р, о, к }, в которых
согласных больше, чем гласных?
10.Найдите количество шестизначных чисел, у которых последняя цифры больше остальных.
11.Найдите количество шестизначных чисел, у
меньше остальных.
которых последняя цифры
12.Сколькими способами можно представить число 18000 в виде произведения
двух натуральных сомножителей?
13.Сколькими способами можно разбить группу из 15 человек на три команды
по 5 человек для участия в карусели?
14.Сколькими способами можно выбрать из группы в 15 человек две команды
по 5 человек для проведения внутреннего матбоя?
15.Сколько существует перестановок цифр 1, …, 9 таких, что тройка стоит на четвертом месте и единица не стоит на первом месте?
16.Сколькими способами можно выложить в ряд 10 красных и 3 синих шара так,
чтобы 2 последних шара были одного цвета?
17.Сколькими способами можно разбить 12 человек на пары?
18.Трамвайный билет называется счастливым по-питерски, если сумма первых
трех цифр равна сумме последних трех цифр. Трамвайный билет называется
счастливым по-московски, если сумма его цифр, стоящих на четных местах,
равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Сколько существует билетов,
счастливых и по питерски и по московски, если для записи билета используются цифры от нуля до 9?
19.Из колоды в 36 карт вытаскивают случайным образом 5 карт. Подсчитайте количество наборов, в которых: количество дам равно количеству карт червовой масти, если никаких карт, кроме дам и червей, в наборе нет.
20.Из колоды в 36 карт вытаскивают случайным образом 5 карт. Подсчитайте
количество наборов, в которых как количество десяток, так и количество
черных карт больше половины.
6 класс, серия 5, делим шары на перегородки
31. При записи цифр четырехзначного числа в обратном порядке получается
другое четырехзначное число, произведение которого с исходным делится на
1000. Найдите все такие четырехзначные числа. Напомним, что четырехзначное
число не может начинаться с нуля.
32. Сколькими способами можно разложить а) 10 одинаковых орехов; б) 10 разных шаров по трем мешкам?
33. На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6 (с каждой цифрой — ровно
одна карточка). Двое по очереди берут по одной
карточке. Выигрывает тот, кто впервые из своих
карточек сможет составить натуральное число,
делящееся на 17. Кто выиграет при правильной
игре — начинающий или его противник?
34. В вершинах шестиугольника записаны числа,
а на каждой стороне — сумма чисел в ее концах.
Назовем округлением замену нецелого числа на одно из двух ближайших целых
(ближайшее большее или ближайшее меньшее), а целое пусть при округлении
не меняется. Докажите, что можно все 12 чисел округлить так, чтобы попрежнему на каждой стороне стояла сумма чисел в ее концах.
35. 6 ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно
разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров а) так, чтобы ни один ящик не
оказался пустым? б) если некоторые ящики могут оказаться пустыми)?
36. а) Из трех простых чисел одно равно среднему арифметическому двух других. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим числом не
меньше 12. б) 15 простых чисел образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что ее разность больше 30 000.
37. Найдите, чему равно а) [a,(a,b)]; б) (a,[a,b]); в) [a, b, c](ab, ac, bc); г) в) (a, b,
c)[ab, ac, bc].
38. Докажите равенства а) [1, 2, 3, …, 2n]= [n, n+1, n+2, n+3, …, 2n]; б) (a1, a2,…,an)
=(a1, (a2,…,an)); в) [a1, a2,…,an] =[a1, [a2,…,an]
39. Сколькими способами натуральное число n можно представить в виде суммы а) k натуральных слагаемых? б) k неотрицательных целых слагаемых?
(Представления, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.)?
40. Докажите, что в трехзначном числе, делящемся на 37, всегда можно переставить
цифры
так,
чтобы
новое
число
делилось
на
37.
6 класс, серия 6, лунные НОДы и НОКи
41. В квадрате отметили 20 точек и соединили их
непересекающимися отрезками друг с другом и с
вершинами квадрата так, что квадрат разбился на
треугольник. Сколько получилось треугольников?
42. На карточках написаны числа: 1, 19, 199, … (Каждое число встречается только один раз). Можно ли
выбрать из них несколько карточек так, чтобы в записи суммы чисел на выбранных карточках, участвовала только цифра 2?
43. Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения
трех множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей, а)
считаются различными? б) считаются тождественными?
44. На Луне 10 городов и 10 платных дорог, соединяющих некоторые из них,
причем нет двух дорог, проезд по которым стоил бы одинаково. Стоимость проезда по пути, проходящему через несколько городов, определяется как цена
проезда по самой дорогостоящей дороге этого пути. А стоимость
поездки между двумя городами определяется как стоимость самого дешевого пути между ними. Жители Луны очень экономны. Докажите, что хотя бы одну дорогу можно закрыть, потому что по ней
никто не ездит
45. На Луне n городов, некоторые из которых соединены платными
дорогами так, что из любого города можно добраться до любого другого. Стоимость проезда – как в задаче 44. Докажите, что в прайс-листе лунного турагентства не более n–1 различных цен.
46. Числа от 1 до 101 выписаны в произвольном порядке. Докажите, что можно
вычеркнуть 90 из них так, чтобы оставшиеся 11 чисел шли в порядке возрастания.
47. Докажите, что количество делителей числа n не больше, чем 2√𝑛.
48. Решите уравнение [x2; y] + [x, y2] =2013.
49. Докажите, что при любом натуральном n число n(2n+1)(3n+1)…(2009n+1) делится на каждое простое число, меньшее 2009.
50. На доске написаны несколько натуральных чисел. За одну операцию вместо двух
чисел, не делящихся друг на друга, можно написать их НОД и НОК. Докажите, что а) эту
операцию можно сделать лишь конечное число раз; б) итоговый результат не зависит от
порядка действий.
НЕДЮЖИННЫЙ ТЕСТИК НА 50
НЕДЮЖИННЫЙ ТЕСТИК НА 50
1. Сколькими способами можно построить 50 шестиклассников в шеренгу?
1. Сколькими способами можно построить 50 шестиклассников в шеренгу?
2. Сколько сторон и диагоналей у 50-угольника?
2. Сколько сторон и диагоналей у 50-угольника?
3. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером 5050 пятьдесят ладей, не бьющих друг друга?
3. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером 5050 пятьдесят ладей, не бьющих друг друга?
4. Сколькими способами победитель ``Поля чудес" может выбрать два приза из 50 имеющихся?
4. Сколькими способами победитель ``Поля чудес" может выбрать два приза из 50 имеющихся?
5. Сколькими способами можно выдать 50 шестиклассникам два наряда: на уборку
апельсиновых корок и помойку доски?
5. Сколькими способами можно выдать 50 шестиклассникам два наряда: на уборку
апельсиновых корок и помойку доски?
6. Сколькими способами можно из 50 участников собрания выбрать председателя и секретаря?
6. Сколькими способами можно из 50 участников собрания выбрать председателя и секретаря?
7. Есть два письма и 50 разных конвертов. Сколькими способами можно упаковать
письма в конверты?
7. Есть два письма и 50 разных конвертов. Сколькими способами можно упаковать
письма в конверты?
8. Есть 50 разных конфет. Сколькими способами можно раздать их по одной 50 шестиклассникам?
8. Есть 50 разных конфет. Сколькими способами можно раздать их по одной 50 шестиклассникам?
9. Сколькими способами можно расставить в таблице 5×10 числа от 1 до 50?
9. Сколькими способами можно расставить в таблице 5×10 числа от 1 до 50?
10. Сколькими способами можно отметить в таблице 5×10 две клетки?
10. Сколькими способами можно отметить в таблице 5×10 две клетки?
11. Есть 50 разных конфет. Сколькими способами можно раздать их 50 шестиклассникам, если кому-то можно давать по несколько, а кому-то – ни одной?
11. Есть 50 разных конфет. Сколькими способами можно раздать их 50 шестиклассникам, если кому-то можно давать по несколько, а кому-то – ни одной?
12. Сколькими способами можно расставить в таблице 5×10 натуральные числа от 1 до
50, если числа могут повторяться?
12. Сколькими способами можно расставить в таблице 5×10 натуральные числа от 1 до
50, если числа могут повторяться?
13. Сколькими способами можно расставить в таблице 5×10 натуральные числа от 1 до
50, если числа не должны повторяться?
13. Сколькими способами можно расставить в таблице 5×10 натуральные числа от 1 до
50, если числа не должны повторяться?
14. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы 5×10 в 50 разных цветов
(цвета не должны повторяться), если таблицы, которые можно совместить поворотом,
считаются одинаковыми?
14. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы 5×10 в 50 разных цветов
(цвета не должны повторяться), если таблицы, которые можно совместить поворотом,
считаются одинаковыми?
15. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы 5×10 в 50 разных цветов
(цвета не должны повторяться), если таблицы, которые можно совместить поворотом и
ПЕРЕВОРОТОМ, считаются одинаковыми?
15. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы 5×10 в 50 разных цветов
(цвета не должны повторяться), если таблицы, которые можно совместить поворотом и
ПЕРЕВОРОТОМ, считаются одинаковыми?
14. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы 5×10 в 50 разных цветов
(цвета могут повторяться), если таблицы, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми?
14. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы 5×10 в 50 разных цветов
(цвета могут повторяться), если таблицы, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми?
15. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы 5×10 в 50 разных цветов
(цвета могут повторяться), если таблицы, которые можно совместить поворотом и ПЕ-
15. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы 5×10 в 50 разных цветов
(цвета могут повторяться), если таблицы, которые можно совместить поворотом и ПЕ-
РЕВОРОТОМ, считаются одинаковыми?
РЕВОРОТОМ, считаются одинаковыми?
6 класс, комбисерия 7 - для обучения
6 класс, комбисерия 7 - для остановки
51. Докажите, что в любом остроугольном треугольнике найдутся два угла, разность которых меньше 30 градусов.
51C. На бесконечном клетчатом холсте художник каждый день закрашивает два квадрата, а хулиган каждую ночь стирает один из них. Докажите, что вне зависимости от действий хулигана художник может нарисовать любую задуманную им картину. Картиной
называется кусок холста, который можно вырезать и сдать в музей.
52. Сколько существует перестановок цифр 1, 2, …, 9 таких, что сумма номеров
мест, на которых стоят цифры 1 и 2, равна 7?
53. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, ..., 9 так, чтобы
одинаковые цифры не стояли рядом?
54. Из десяти офицеров различных званий пятеро должны уехать в командировку. Сколькими способами они могут это сделать, если генерал, полковник и
майор одновременно уезжать не должны?
55. Переплетчик должен переплести 12 одинаковых книг в красный, зеленый и
синий переплеты. Сколькими способами он это может сделать?
56. Летучая ладья ходит как обычная, только не может становиться на соседнюю
клетку. Может ли она пройти по доске 4×4, побывав на каждой ее клетке ровно один раз?
57. Хромая ладья ходит как обычная, но только на соседнюю
клетку. Может ли она пройти по доске 4×4, побывав на каждой ее клетке ровно один раз?
58. Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения
трех множителей, если произведения, отличающиеся, порядком множителей,
считаются а) одинаковыми; б)различными?
59. У квадрата отметили все вершины и внутреннюю точку, не лежащую ни на
одной из его диагоналей. Докажите, что найдется треугольник с вершинами в
отмеченных точках, один из углов которого не
меньше 120.
60. На бесконечном клетчатом холсте художник
каждый день закрашивает два квадрата, а хулиган
каждую ночь стирает один из них. Докажите, что
вне зависимости от действий хулигана художник
может нарисовать любую задуманную им картину.
Картиной называется кусок холста, который можно
вырезать и сдать в музей.
52C. а) На плоскости даны 4 точки. Докажите, что можно выбрать три из них так, чтобы
треугольник, образованный ими, не был остроугольным. б) На плоскости даны 5 точек.
Докажите, что можно выбрать три из них так, чтобы треугольник, образованный ими,
имел угол не менее 1080.
53C. На плоскости даны 6 точек. Докажите, что можно выбрать три из них так, чтобы треугольник, образованный ими, имел угол не менее 1200. б) ну и обобщите для n точек.
54C. Найдите количество способов раздать каждому из 20 детей по одной две или три
конфеты так, чтобы общее количество конфет делилось на три.
55C. Из картона вырезано несколько прямоугольников. На плоскости нарисован квадрат,
сторона которого не меньше любой стороны любого из прямоугольников, а периметр не
меньше суммы периметров прямоугольников. Докажите, что все прямоугольники можно без наложений разместить в квадрате.
56C. Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в два
раза. Докажите, что их можно разложить в 150 пакетов по два яблока так, чтобы любые
два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.
57C. Назовем билет с номером от 000000 до 999999 “отличным”, если в записи его номера есть две соседние цифры, отличающиеся на 5. Сколько всего существует “отличных” билетов?
58C. На доске выписаны числа от 1 до 2150. Каждую минуту каждое число подвергается
следующей операции: если число делится на 100, то его делят на 100; если же не делится, то из него вычитают 1. Найдите наибольшее среди чисел на доске через 87 минут.
59C. Учитель записал в ряд а)91; б)22; в)21; г)20 число. Каждое из записанных чисел равно 1 или –1. Ученик может назвать любые 19 мест ряда, и учитель сообщит ему произведение чисел, стоящих на этих местах. Какое наименьшее количество вопросов необходимо задать ученику, чтобы найти произведение всех чисел ряда?
60C. На плоскости расположены 1000 точек в общем положении. Докажите, что можно
найти не менее
1
5
C1000
выпуклых 4-х угольников с вершинами в этих точках.
1000
6 класс, серия 8, угадалки
6 класс, серия 8, угадалки
61. Компания из 10 человек провела ряд встреч. На каждой
встреч е присутствовали 5 человек из этих 10. Никакие два человека не встречались более двух раз. Каково наибольшее число таких встреч?
61. Компания из 10 человек провела ряд встреч. На каждой
встреч е присутствовали 5 человек из этих 10. Никакие два человека не встречались более двух раз. Каково наибольшее число таких встреч?
62. В классе 21 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым количеством мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в
классе?
62. В классе 21 человек. Никакие две девочки не дружат с одинаковым количеством мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в
классе?
63. На занятие кружка по математике пришло 11 учеников. Во время занятия каждый из
них решил 3 задачи из предложенных. Известно, что для любых двух кружковцев есть
задача, которую один из них решил, а другой нет. Доказать, что было не менее 6 задач.
63. На занятие кружка по математике пришло 11 учеников. Во время занятия каждый из
них решил 3 задачи из предложенных. Известно, что для любых двух кружковцев есть
задача, которую один из них решил, а другой нет. Доказать, что было не менее 6 задач.
64. Электрик был вызван для ремонта гирлянды из 4 соединенных последовательно
лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды
уходит 10 секунд, на завинчивание – 10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, пренебрежимо мало. За какое минимальное время электрик заведомо может
найти неисправную лампочку, если у него есть одна запасная лампочка?
64. Электрик был вызван для ремонта гирлянды из 4 соединенных последовательно
лампочек, одна из которых перегорела. На вывинчивание любой лампочки из гирлянды
уходит 10 секунд, на завинчивание – 10 секунд. Время, которое тратится на другие действия, пренебрежимо мало. За какое минимальное время электрик заведомо может
найти неисправную лампочку, если у него есть одна запасная лампочка?
65. На клетчатой бумаге построены несколько прямоугольников со сторонами, параллельными линиям сетки и общим центром О в одном из узлов сетки. За один вопрос
можно про любой из узлов узнать, у скольких прямоугольников он лежит внутри. Как за
четыре вопроса узнать, сколько прямоугольников содержат только один узел О?
65. На клетчатой бумаге построены несколько прямоугольников со сторонами, параллельными линиям сетки и общим центром О в одном из узлов сетки. За один вопрос
можно про любой из узлов узнать, у скольких прямоугольников он лежит внутри. Как за
четыре вопроса узнать, сколько прямоугольников содержат только один узел О?
66. Имеется четыре монеты, три из которых – настоящие, весящие одинаково, а одна –
фальшивая, отличающаяся от них по весу. Имеются также чашечные весы без гирь. Весы
таковы, что если положить на их чашки одинаковые по массе грузы, то любая из чашек
может перевесить, а если грузы различны по массе, то всегда перевесит чашка с более
тяжелым грузом. Как за три взвешивания на таких весах наверняка выявить фальшивую
монету и определить, легче она или тяжелее настоящих?
66. Имеется четыре монеты, три из которых – настоящие, весящие одинаково, а одна –
фальшивая, отличающаяся от них по весу. Имеются также чашечные весы без гирь. Весы
таковы, что если положить на их чашки одинаковые по массе грузы, то любая из чашек
может перевесить, а если грузы различны по массе, то всегда перевесит чашка с более
тяжелым грузом. Как за три взвешивания на таких весах наверняка выявить фальшивую
монету и определить, легче она или тяжелее настоящих?
67. Все натуральные числа от 1 до 37 расставлены без повторений в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число. Какое число
стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором - число 1.
67. Все натуральные числа от 1 до 37 расставлены без повторений в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число. Какое число
стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором - число 1.
68. В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте.
Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то
загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.
68. В колоде 52 карты, по 13 каждой масти. Ваня вынимает из колоды по одной карте.
Вынутые карты в колоду не возвращаются. Каждый раз перед тем, как вынуть карту, Ваня загадывает какую-нибудь масть. Докажите, что если Ваня каждый раз будет загадывать масть, карт которой в колоде осталось не меньше, чем карт любой другой масти, то
загаданная масть совпадет с мастью вынутой карты не менее 13 раз.
69. Фирме требуется, чтобы каждый день на работу выходило не менее десяти сотрудников. Каждый сотрудник желает иметь не менее двух выходных дней в неделю. Каким
наименьшим числом сотрудников может обойтись фирма?
69. Фирме требуется, чтобы каждый день на работу выходило не менее десяти сотрудников. Каждый сотрудник желает иметь не менее двух выходных дней в неделю. Каким
наименьшим числом сотрудников может обойтись фирма?
6 класс, серия 9, бесконечные гангстеры, эскалаторы и олимпиады
6 класс, серия 9, бесконечные гангстеры, эскалаторы и олимпиады
70. На городскую олимпиаду пришли школьники и учителя (конечно, школьников
больше). Каждый школьник взял с собой по пять ручек и совсем не брал тетрадей, а
каждый учитель взял лишь по две ручки, но зато также взял по семь тетрадей. Оказалось, что общее количество ручек на столько же превосходит общее количество
тетрадей, на сколько процентов школьников больше, чем учителей. Сколько учителей пришло на олимпиаду?
70. На городскую олимпиаду пришли школьники и учителя (конечно, школьников
больше). Каждый школьник взял с собой по пять ручек и совсем не брал тетрадей, а
каждый учитель взял лишь по две ручки, но зато также взял по семь тетрадей. Оказалось, что общее количество ручек на столько же превосходит общее количество
тетрадей, на сколько процентов школьников больше, чем учителей. Сколько учителей пришло на олимпиаду?
71. В конкурсе по решению задач участвовали шесть учеников. Катя решила 3/4 всех
задач и еще 2/3 от того, что решил Петя. Лена решила 1/2 всех задач и еще 1/10 того, что решил Вася. Маша решила 3/5 всех задач и еще 1/7 от того, что решил Федя.
Первенство определялось по числу решенных задач. Две девочки показали одинаковый результат, а больше одинаковых результатов не было. Определите, кто какое
место занял.
72. Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил ее на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по
эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться
вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости
ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от
направления движения?
71. В конкурсе по решению задач участвовали шесть учеников. Катя решила 3/4 всех
задач и еще 2/3 от того, что решил Петя. Лена решила 1/2 всех задач и еще 1/10 того, что решил Вася. Маша решила 3/5 всех задач и еще 1/7 от того, что решил Федя.
Первенство определялось по числу решенных задач. Две девочки показали одинаковый результат, а больше одинаковых результатов не было. Определите, кто какое
место занял.
72. Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил ее на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по
эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться
вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости
ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от
направления движения?
73. Две шайки гангстеров охотятся друг за другом. Каждый гангстер охотится ровно
за одним противником, и за каждым гангстером охотится не более одного противника. Главарь одной из шаек обнаружил, что не за всеми противниками охотятся. Докажите, что обе шайки
бесконечны.
74. Обозначим через А количество наборов из натуральных чисел от 1 до 600, сумма чисел в которых дает
остаток 5 при делении на 6, а через В - количество
наборов из натуральных чисел от1 до 700, произведение чисел в которых дает остаток 5 при делении на 7.
Что больше: А или В?
75. Что больше: сумма всех натуральных десятизначных чисел, в записи которых
встречается комбинация из стоящих подряд цифр 1 и 2 , или сумма всех натуральных десятизначных чисел, в записи которых встречается комбинация из стоящих
подряд цифр 2 и 1, и насколько?
73. Две шайки гангстеров охотятся друг за другом. Каждый гангстер охотится ровно
за одним противником, и за каждым гангстером охотится не более одного противника. Главарь одной из шаек обнаружил, что не за всеми противниками охотятся. Докажите, что обе шайки
бесконечны.
74. Обозначим через А количество наборов из натуральных чисел от 1 до 600, сумма чисел в которых дает
остаток 5 при делении на 6, а через В - количество
наборов из натуральных чисел от1 до 700, произведение чисел в которых дает остаток 5 при делении на 7.
Что больше: А или В?
75. Что больше: сумма всех натуральных десятизначных чисел, в записи которых
встречается комбинация из стоящих подряд цифр 1 и 2 , или сумма всех натуральных десятизначных чисел, в записи которых встречается комбинация из стоящих
подряд цифр 2 и 1, и насколько?
76. Пусть n — некоторое натуральное число. Известно, что числа 3n–1 и n–10 делятся на простое число p. Найдите, чему равно p.
76. Пусть n — некоторое натуральное число. Известно, что числа 3n–1 и n–10 делятся на простое число p. Найдите, чему равно p.
6 класс, серия 10, много делимости
6 класс, серия 10, много делимости
77. На окружности расположены 2n точек, делящих ее на равные дуги. Точки покрашены в красный, синий и зеленый цвета. Известно, что напротив каждой красной точки — синяя, а
рядом с каждой синей точкой (слева или справа) — зеленая.
Известно, что красных точек не меньше, чем синих. Докажите,
что зеленых точек не меньше, чем красных.
77. На окружности расположены 2n точек, делящих ее на равные дуги. Точки покрашены в красный, синий и зеленый цвета. Известно, что напротив каждой красной точки — синяя, а
рядом с каждой синей точкой (слева или справа) — зеленая.
Известно, что красных точек не меньше, чем синих. Докажите,
что зеленых точек не меньше, чем красных.
78. Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 1000,
можно выбрать таким образом, чтобы никакая сумма двух выбранных чисел не делилась на их разность?
78. Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 1000,
можно выбрать таким образом, чтобы никакая сумма двух выбранных чисел не делилась на их разность?
79. В суперлиге играет n футбольных команд. Чемпионат
разыгрывается в один круг (каждые две команды играют
между собой один раз, за победу дают 3 очка, за ничью
1, за поражение очков не дают). По итогам чемпионата
составили турнирную таблицу, в которой команды упорядочены по количеству очков. (На первом месте, как это
ни странно, команда с наибольшим количеством очков.)
Какая наибольшая разница может быть между двумя
командами, занимающими соседние строчки турнирной таблицы?
79. В суперлиге играет n футбольных команд. Чемпионат
разыгрывается в один круг (каждые две команды играют
между собой один раз, за победу дают 3 очка, за ничью
1, за поражение очков не дают). По итогам чемпионата
составили турнирную таблицу, в которой команды упорядочены по количеству очков. (На первом месте, как это
ни странно, команда с наибольшим количеством очков.)
Какая наибольшая разница может быть между двумя
командами, занимающими соседние строчки турнирной таблицы?
80. Можно ли выписать 14 трехзначных чисел в ряд так, чтобы каждое следующее
число было меньше предыдущего, но его сумма цифр была бы больше, чем у
предыдущего?
80. Можно ли выписать 14 трехзначных чисел в ряд так, чтобы каждое следующее
число было меньше предыдущего, но его сумма цифр была бы больше, чем у
предыдущего?
81. Существует ли такое натуральное число n, что число 2013n имеет ровно 9 различных делителей?
81. Существует ли такое натуральное число n, что число 2013n имеет ровно 9 различных делителей?
82. Внутри квадрата дана точка, расстояния от которой до некоторых трех вершин
квадрата равны 3, 4, 5. Докажите, что эта точка не лежит на диагонали квадрата.
82. Внутри квадрата дана точка, расстояния от которой до некоторых трех вершин
квадрата равны 3, 4, 5. Докажите, что эта точка не лежит на диагонали квадрата.
83. Докажите, что если число вида 33...33 (записываемое одними тройками) делится
на 7, то оно делится и на 39.
83. Докажите, что если число вида 33...33 (записываемое одними тройками) делится
на 7, то оно делится и на 39.
84. Произведение k последовательных натуральных чисел (k>1) оказалось равно
5040. Найдите три различных значения k, при которых такое могло произойти.
84. Произведение k последовательных натуральных чисел (k>1) оказалось равно
5040. Найдите три различных значения k, при которых такое могло произойти.
85. Известно, что для некоторого натурального n числа n–1 и n+1 оба являются простыми числами. Докажите, что числа от 1 до n можно выстроить в строку так, чтобы
сумма любых двух рядом стоящих чисел являлась простым числом.
85. Известно, что для некоторого натурального n числа n–1 и n+1 оба являются простыми числами. Докажите, что числа от 1 до n можно выстроить в строку так, чтобы
сумма любых двух рядом стоящих чисел являлась простым числом.