магические_квадратыx
реклама
Авторы: Серова Анастасия Доманина Виктория Учебно-исследовательская работа на тему: Магические квадраты. Руководитель: Николенко Антонина Владимировна Россия, г. Москва ГБОУ СОШ №2100 10 класс 1 Оглавление: Введение………………………………………………………………….......…...3 1. История появления и развития теории магических квадратов ……….........6 2. Исторически значимые магические квадраты……………………...……....9 3. Теоретический материал…………………………………………..................11 Результаты проделанной работы. Заключение……………………………………………………………................15 Список литературы ..............................................................................................16 Приложение №1 "Методы составления магических квадратов"…………….17 Приложение №2 "Разнообразие магических квадратов"..................................21 2 Введение. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял … магические квадраты» – писал Бенджамин Франклин. Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики. Актуальность выбранной проблемы: Предлагаемая вниманию тема "Магические квадраты" посвящена сравнительно специальному вопросу, стоящему довольно далеко от магистральной линии развития математической науки. Актуальность выдвинутой нами проблемы заключается в привлечении учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в современных учебниках по математике. Мы считаем, что магический квадрат является одной из наиболее интересных головоломок. Учение о магических квадратах занимало в математике значительное место лишь в тот период, когда в качестве основных "приложений" математики фигурировали числовые суеверия и астрология; в дальнейшем при возникновении новых, более серьёзных "потребителей" математики выяснилось, что для решения соответствующих естественнонаучных и технических задач теория магических квадратов не нужна. С тех пор она стала рассматриваться лишь в качестве одного из математических курьёзов. Но тем не менее, данная область изучения имеет первооткрывателей и последователей теории. Учение о магических квадратах до сих пор может 3 представлять интерес для любителей математики, в силу изящности построений и простоты и наглядности задач. План графика работы над работой Вид деятельности Изучение информации: Сроки Сентябрь-октябрь Задачи Прочтение информации, выделение для себя а) история создания наиболее подходящей и магического квадрата; наиболее интересной информации б) исторические важные магические квадраты; в) формулы для создания магического квадрата и связанные с этим формулы для вычисления Сбор информации, Создание чернового Ноябрь представление ее в варианта работы, в более удобном для последствии, который использования формате. будет являться вспомогательным Постановка целей и Выявление задач, целей, Декабрь задач, на основе прогнозирование собранной информации работы Составление алгоритма Декабрь-январь Представление для построения алгоритма в виде магического квадрата, последовательности тестирование учеников действий; выявить 4 на возможность его процент учащихся, построения выполнивших задание Работа над проектом в Составление документа Январь электронном виде Создание наглядного в Microsoft Office Word Работа над Февраль пособия презентацией в Microsoft Office PowerPoint Объект исследования: магические квадраты. Предмет исследования: процесс развития теории магических квадратов, свойства, методы составления магических квадратов.. Проблема: В современном мире от мистики уже давно отказались, но так и не отказались от теории магических квадратов, которая теперь нашла своё новое применение в науке и обучении. Почему этот математический конкурс до сих пор находит применение в нашей жизни? В чем особенность этих магических квадратов? Цель: изучить предмет исследования, их свойства, рассмотреть способы их применения в жизни человека. Задачи: определить свойства магических квадратов, рассмотреть возможные сферы их применения на практике, создание упрощенного алгоритма построения магического квадрата (сделать это максимально возможным для всех). Гипотеза: изучение свойств магических квадратов позволит определить общие способы их построения. На сегодняшний день важно рассмотреть теорию магических квадратов в других возможных аспектах с целью поиска ещё не активизированных способов её применения. 5 Работа представляет собой достаточно серьёзное изложение общих методов построения магических квадратов. Несмотря на эту несколько "легкомысленную" тему, всё изложение построено весьма тщательно и "математично". В работе были использованы труды нескольких авторов, справочников и пособий, методический материал, сведения, полученные из Интернета. Работа выполнена сравнительно-литературным способом. 1. История появления и развития теории магических квадратов Мы не знаем страну, в которой были придуманы магические квадраты, не знаем век (и даже тысячелетие), в котором они были впервые составлены. Известно только, что они появились задолго до эры вульгарис, и их родиной был Древний Восток. В Китае и Индии магические квадраты были известны ещё за 4-5 тысяч лет до нашей эры. В Индии разработка математической теории построения магических квадратов достигла значительных успехов, в частности, там знали общий метод построения магических квадратов при любом нечётном n. Из Индии сведения о магических квадратах пришли к арабам. Первый магический квадрат с тремя клетками в основании был описан в арабском манускрипте конца восьмого века, где упоминался его автор - греческий философ-неопифагореец Аполлоний Тианский, живший в начале эры вульгарис. Однако не он был создателем этого древнейшего из всех магических квадратов. Аполлоний лишь вновь открыл то, что было известно за много веков до него. Через арабов магические квадраты становятся известными в Греции и Византии. По-видимому, первое сочинение о магических квадратах было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом (XIII-XIV вв.). В трактате "Наставление по нахождению числовых квадратов" (примерном 1300 г.). Он изложил правила их построения для n = 2k + 1 и n = 4k, пользуясь циклическими перествками, называя их "как бы обходящими кругами". 6 За работой Мосхопулоса последовали труды сотен математиков, в том числе крупнейших ученых, основоположников современной науки (Гаусс, Эйлер, Ферма Штифель, Баше, Паскаль, Бесси.). Наконец, под влиянием арабских и персидских трактатов числовая магия проникает в средневековую Западную Европу. В начале XVI в. магический квадрат появился в искусстве. Вот один из древнейших памятников почти 2000-летней давности. Рис. 1 (талисман Юпитера) В Европе этот квадрат с магическим числом 34 был долго неизвестен. В начале XVI века о нём узнал знаменитый немецкий художник Альфред Дюрер (1471 – 1528 гг.). Он был им так очарован, что даже воспроизвёл его, правда, в несколько изменённом виде, в одной из своих гравюр («Меланхолия», 1514 г.). Говорят, что гравюра А. Дюрера послужила толчком для знаменитых пророчеств его современника Мишеля Нострадамуса (1503- 1566). С глубокой древности и до наших дней сохранилось поверие о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием различных планет. Сангвиникам покровительствуют планеты Юпитер и Венера, холерики находятся под влиянием Марса, флегматики направляются Луной, а меланхолики - Сатурном. Каждой планете, Солнцу и Луне астрологи приписывали магический квадрат определённого порядка: Сатурну третьего, Юпитеру - четвёртого, Марсу - пятого, Солнцу - шестого, Венере седьмого, Меркурию - восьмого, Луне - девятого. Уже в 1533 г. немецкий гуманист Генрих Корнелий Агриппа (1486 – 1535 гг.) из Неттенхейма в своём сочинении «О сокровенной философии» описал семь магических квадратов, имеющих в основании 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 клеток. Число квадратов было 7 выбрано равным числу птолемеевых планетных сфер. Агриппа назвал эти квадраты «планетарными таблицами». Он не дал никакого способа построения этих таблиц, но советовал гравировать их на пластинках или дисках из различных металлов и носить на себе как амулеты. Однако, помимо мистического смысла учёные стали анализировать их математически. В сочинении немецкого математика Штифеля «Полная арифметика», вышедшем в 1544 г., указывается, что некоторые магические квадраты обладают чудесными и дополнительными свойствами, а именно, у них может быть выведена срединная часть, которая также является магическим квадратом. Это был первый случай анализа математической формы магических квадратов. На этом исследования не завершились и о математических квадратах ещё писали такие математики, как Баше де Мезириак (1581 - 1683 гг.), Блез Паскаль (1623 - 1662 гг.), Пьер Ферма (1601 - 1665 гг.), Френикль де Бесси (1602 - 1675 гг.), Антуан Арно (1662 - 1694 гг.), Симон де Лялюбер. Начиная с Пьера Ферма, Френикля де Бесси и их современников, сочинения о магических квадратах теряют не только свой мистический характер, но и развлекательный. Теория магических квадратов развивается одновременно с развитием общей теории чисел и становится её ответвлением. Ею занимается выдающийся математик, механик и физик, один из основоположников гидродинамики Леонард Эйлер (1701 - 1783 гг.). С помощью магических квадратов большого порядка он пытался построить единую картину мира и физических процессов, основывая свои рассуждения на том, что в мире должен существовать совершенный баланс сил, который можно заключить в математическую таблицу. 8 2.Исторически значимые магические квадраты Квадрат Ло Шу Квадрат Ло Шу – важнейший инструмент Фэн-шуй. В нём скрыто множество закономерностей и взаимосвязь с окружающим пространством и временем. Понимание этих закономерностей дает ключ к пониманию законов Вселенной. Квадрат поделён на 9 частей, каждой из которых соответствует определённое число от 1 до 9. Сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям одинакова и равна числу дней в каждом из 24-х циклов китайского солнечного года - 15. Четные и нечетные номера чередуются: причем 4 четных числа (пишутся снизу вверх по убыванию) находятся в четырех углах, а 5 нечетных чисел (пишутся снизу вверх по возрастанию) образуют крест в центре площади. Пять элементов креста отражают землю, огонь, металл, воду и лес. Земля 1 (или вода) находится снизу, огонь 9 (или небо) – сверху. Сумма любых разделенных центром двух чисел равна числу Хо Ти, т.е. десяти. Не исключено, что современное изображение цифры 5 многим обязано китайскому символу двуединственности Инь и Ян. Ло Шу тесно связан с символом Багуа. Каждому квадрату, кроме числа, соответствует компасное направление, триграмма, стихия и т.д. Квадрат Ло Шу используется для деления жилого пространства на сектора, для анализа влияния Летящих звёзд, для составления натальной карты дома, используется в нумерологии для предсказания предстоящих событий, характеристики человека и выработки рекомендаций для достижения успеха и т.д. Магический квадрат Ян Хуэя (Китай) В 13 веке математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не 9 только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причём последний оказался почти ассоциативным (в нём две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37). Квадрат Альбрехта Дюрера В начале XVI века знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на заднем плане своей знаменитой гравюры «Меланхолия». Причём дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Кроме одинаковой суммы, получаемой от сложения чисел, расположенных на каждой прямой горизонтали, вертикали или диагонали, также в круге, захватывающем угловые клетки квадрата, это же числовая сумма (34) получается во всех четырёх угловых квадратах (2х2) и в центральном – тоже 34. Если сложить четыре числа, полученные ходом шахматного коня – будет 34. Если складывать угловые прямоугольники (из двух клеток) с диагонально противоположными угловыми прямоугольниками – будет 34. Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17. В квадрате Дюрера нет хаоса. Цифры располагаются не только в строгой математической последовательности, но и в строгой симметрии. Квадрат как бы синтезирует математическую закономерность, геометрическую упорядоченность и "логическую" связь элементов. Квадраты Генри Э.Дьюдени и Аллана У.Джонсона – мл. Если в квадратную матрицу n×n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат – нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. 10 Первый имеет порядок n=3 (квадрат Эрнеста Дьюдени); второй (размером 4×4) – квадрат Тейлора Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия. Семь планетарных магических квадратов Магические квадраты принято считать математическим выражением влияния соответствующей планеты и соответствующей каббалистической сефиры. Известный немецкий гуманист Корнелий Генрих Агриппа (1486-1535) построил магические квадраты порядков 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — он связал их с семью астрологическими «планетами» — Сатурном, Юпитером,Солнцем,Венерой,Марсом,Меркурием, и Луной. 3.Теоретический материал. Формула магической суммы Для каждого числа n,где n – порядок магического квадрата, значение магической суммы S можно определить по формуле, которую легко вывести. • Во-первых: сумма чисел в каждой строке равна S,а строк всего n,значит, сумма всех чисел магического квадрата равна n×S. • Во-вторых: последовательность чисел от 1 до n2 представляет собой арифметическую прогрессию. Магический квадрат второго порядка не существует В этом легко убедиться испытанием. Учитывая симметрию квадрата, абсолютно безразлично, в какой из четырёх углов мы поставим 1,допустим в левый нижний угол. В расположении чисел по одной диагонали возможны три варианта: Какое бы теперь число мы ни поставили в левый верхний угол, суммы чисел в первой строке и в первом столбце будут разными. Вывод: магический квадрат второго порядка не существует. Существует только один магический квадрат 3-го порядка 11 Представим квадрат 3×3 в общем виде и выясним, какими могут быть эти девять чисел. Из формулы магической суммы следует, что при n=3,S=15.Просуммируем числа второй строки, второго столбца и обеих диагоналей. В эту сумму каждое число, кроме входит по одному разу, а число y2 - четыре раза. 𝐱 𝟐 +𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 +𝐲𝟏 +𝐲𝟐 +𝐲𝟑+ 𝐱 𝟏+ 𝐲𝟐 +𝐳𝟑 +𝐱 𝟑 +𝐲𝟐 +𝐳𝟏 =4S=60 Перегруппируем слагаемые: 𝐱 𝟏 +𝐲𝟏 + 𝐳𝟏 +𝐱 𝟐 +𝐲𝟐 +𝐳𝟐 +𝐱 𝟑 +𝐲𝟑 +𝐳𝟑 +𝟑𝐲𝟐 = 𝟔𝟎 1+2+3+4…+9+3𝐲𝟐 = 𝟔𝟎 3𝐲𝟐 =15, 𝐲𝟐 =5. Однозначно в центре может стоять только число 5. Число 9 не может стоять в углу. Если, например, 𝐱 𝟏 =9,тогда z3 = 1 (𝐱 𝟏 +𝐲𝟐 +𝐳𝟑 =9+5+𝐳𝟑 =15). Квадрат примет вид: 9+ 𝐲𝟏 + 𝐳𝟏 =15,𝐲𝟏 + 𝐳𝟏 =6,𝐲𝟏 <6 и 𝐳𝟏 <6 9+𝐱 𝟐 +𝐱 𝟑 = 15,𝐱 𝟐 +𝐱 𝟑 =6,𝐱 𝟐 <6 и 𝐱 𝟑 <6 Но у нас осталось только три числа меньше шести:2,3,4.Получили противоречие. Следовательно, число 9 должно находиться в середине строки или столбца (но не в центре квадрата, там уже стоит число 5). Число 7 не может стоять в одной строке с числом 9,так как тогда сумма чисел этой строки больше 15.Число 7 не может стоять в одной строке с числом 1,так как тогда третье число в этой строке должно быть также семёркой. Выходит, что число 7 не может стоять в углу и автоматически определяет противолежащее число, это будет число 3. Осталось определить на свои места числа 2,4,6,8.Из них в одной строке с 9 могут стоять 2 и 4,а в одной строке с 1-6 и 8. Кроме того, число 8 не может стоять в одном столбце с числом 7,так как 8+7 уже равно 15.Значит 𝐱 𝟑 =6,𝐳𝟑 =8,𝐱 𝟏 =2,𝐳𝟏 =4. В результате получаем квадрат уже известный нам. 12 Как видим из наших рассуждений, других вариантов расстановки просто нет. Все видимые модификации магического квадрата 3-го порядка получаются в результате поворотов или симметричных отображений. Таких модификаций всего восемь: повороты на 90°,180°,270° и для каждого, включая исходный квадрат, - его зеркальное отражение. Общее число магических квадратов С возрастанием порядка, количество различных магических квадратов увеличивается очень резко. Несимметричных магических квадратов четвертого порядка существует 880, с учетом поворотов и отражений это число увеличивается до 7040. По последним данным для магических квадратов пятого порядка существует 275 305 224 возможных вариантов. Установление формулы для вычисления общего числа различных магических квадратов более высокого порядка – это одна из труднейших задач занимательной математики и на данный момент она не решена. Даже развитие компьютерной техники с миллионами операций в секунду не очень-то продвинуло людей в этом вопросе. 13 Результаты, проделанной работы. Проделав такую масштабную работу мы можем с уверенностью заявить, что помимо знаний эта работа привнесла в нашу ученическую жизнь большее. Во-первых, на основе выведенных формул и выводов можно практиковать построение магических квадратов среди учеников, как дополнительное образование; Во-вторых, эта работа может иметь продолжение, как наглядное пособие для учеников средней и старшей школы, заинтересованных в более глубоком изучении математики (решение олимпиадных заданий); В-третьих, работа будет представлена на школьной презентации исследовательских работ. Мы выявили следующее применение магических квадратов: 1)Защита информации. Сегодня очень актуальна проблема защиты информации. С помощью магического квадрата можно закодировать информацию. Например, (рис. 25) получится : «буду в семь». 2)Судоку – Мудрость Востока. Считается, что популярная игра «судоку» берет свое начало именно из магического квадрата. 3)Магические квадраты находят своё применение и в агротехнике. 14 Заключение. Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Универсального способа заполнения магических квадратов нет. Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка МГ является популярной головоломкой, часто встречается в олимпиадных заданиях. С помощью МГ можно кодировать информацию. Существует много видом МГ. Для каждого МГ определенного порядка существуют различные способы заполнения. Трудно понять классическую музыку без подготовки. Нелегко воспринимать абстрактную живопись, не имея представления о её законах. То же можно сказать о числовых узорах. Удивительная, поистине, магическая красота, содержащаяся в магических квадратах, влечёт к себе лучшие умы человечества в течение тысячелетий. Понять её не всякому дано, но один раз осознав стройность и безжалостную строгость чисел, связанных узами магии, можно получить огромное удовольствие. Мы очень много узнала нового, но на самом деле это ничтожно малая частица такой просторной и бесконечной науки, как математика. Мы благодарны за возможность, которую нам предоставил наш учитель, участие в проекте. В ходе работы над ним, мы почерпнули знания, которые не преподаются в школьной программе, мы изучили другие пособия по математике, для лучшего результата, познакомились с ребятами из младших классов (в ходе тестирования), в свою очередь этот вид деятельности помог ребятам из параллельных классов сплотиться между собой. Возможно, ктото из них станет великим астрологом, дизайнером или математикиком? 15 Список литературы и интернет-ресурсов: 1. http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%E3%E8%F7%E5%F1%EA%E8 %E9_%EA%E2%E0%E4%F0%E0%F2 2. http://xreferat.ru/54/540-1-magicheskie-kvadraty.html 3. Энциклопедический словарь юного математика. М., Педагогика, 1999г. 4. http://www.informio.ru/publications/id192 5. http://www.coolreferat.com/Магические_квадраты_часть=3 16 Приложение №1 4. Методы составления магических квадратов. Метод Баше для квадратов нечётного порядка Самый простой приём составления магических квадратов нечетного порядка придумал в XVII веке французский математик Клод Гаспар Баше. 1)Квадрат дополняется вспомогательными клетками с четырех сторон «лесенкой» или «террасами». 2)Последовательные числа от 1 до n2 выписываются ряд за рядом в направлении, параллельном одной из диагоналей квадрата. 3)Числа, оказавшиеся за рамками квадрата, нужно ввести внутрь. Для этого «террасы» мысленно вдвигаем в квадрат так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Способ Баше очень прост. На практике его можно применять для построения нечётных квадратов сколь угодно высокого порядка, но он дает только один из множества возможных вариантов. Метод А. де ла Лубера для квадратов нечётного порядка Ещё один, довольно простой, способ составления магических квадратов нечётного порядка в одних книгах называется индийским (якобы его знали в Индии ещё до нашей эры). В других, авторство признаётся за французским геометром А. де ла Лубером, служившим посланником короля Людовика XIV в Сиаме (ныне Таиланд) в период 1687 – 1688г.г. Этот способ определяется следующими правилами: 1)В середине верхней строки пишут 1,а в самом низу соседнего справа столбца – 2. 2)Следующие числа пишут по порядку в диагональном направлении вправо вверх. 3)Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки. 17 4)Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца. (Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней, если она не занята, иначе см. правило 5.) 5)Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой. 6)Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце. Магические квадраты порядка двойной чётности. Диагональный метод 1)Выпишите все числа от 1 до n2 по порядку в строках квадрата. 2)Числа, стоящие в диагональных клетках, поменяйте местами с числами симметрично стоящими к ним относительно центра квадрата. Эти правила применимы для построения магического квадрата любой двойной чётности. Только обмену подлежит числа, стоящие на диагоналях, каждого из квадратов 4×4,составляющих большой квадрат. Но центром симметрии по-прежнему является центр большого квадрата. Магические квадраты порядка двойной чётности. Безымянный метод Этому методу никто не умудрился дать название или, на крайний случай, своё имя, поэтому отставим его безымянным. 1)Впишите в квадрат карандашом все числа от 1 до 16 по порядку. В полученном квадрате диагональные ряды дают одинаковую сумму равную 34,т.е. как раз ту, которая должна быть в магическом квадрате четвёртого порядка. Но строки и столбцы имеют другие суммы. 2)Разделите данный квадрат на четыре одинаковых квадратика меньшего размера. 18 3)В левом верхнем квадратике обведите кружком половину всех чисел так,чтобы в каждом столбце и в каждой строке этого квадратика была отмечена ровно половина входящих в них чисел. Это можно сделать различными способами. 4)В правом верхнем квадратике обведите числа симметричные относительно вертикальной оси тем, которые были отмечены в левом верхнем квадратике. 5)Теперь поменяйте местами, отмеченные, симметричные относительно центра квадрата, числа. Магические квадраты порядка простой чётности Рассмотрим метод построения магических квадратов n-го порядка при n=2(2m+1),т.е. n=6,10,14,18,… 1)Разделим исходный квадрат на четыре разных квадрата A,B,C,D. 2)Построим в квадрате A по методу А.де ла Лубера магический квадрат из чисел от 1 до n2 /4.Аналогичные магические квадраты построим в квадратах D (от n2 /4 до n2 /2), C (от n2 /2+1 до 3n2 /4), B (от 3n2 /4+1 до n2 ). 3)В средней строке квадрата A возьмём m клеток от середины строки к левому краю, а в каждой из оставшихся строк возьмём m клеток, ближайших к левому краю квадрата A; числа в этих клетках поменяем местами с числами в соответствующих клетках квадрата B. 4)Возьмём числа в клетках каждого из m-1 правых крайних столбцов квадрата C и поменяем их местами с соответствующими числами квадрата D. Метод окаймления магических квадратов Этот метод построения магических квадратов произвольного порядка придумал Френикл. Для построения магического квадрата n-го порядка, сначала строят, тем или иным способом, магический квадрат (n-2)-го порядка. Затем добавляют к каждому его числу некоторое целое число m,вычисляемое по определённой формуле и, наконец, окаймляют 19 полученный квадрат рамкой из оставшихся чисел, причём так, чтобы квадрат, к которому мы в результате придём, был магическим. Этим способом из квадрата 3-го порядка можно последовательно получить магические квадраты 5-го,7-го, и т.д. порядков, т.е. квадраты любого нечётного порядка. Подобным образом из квадрата 4-го порядка можно последовательно получить все квадраты чётного порядка. Рассмотрим конкретный пример. Возьмём за основу единственный магический квадрат третьего порядка и построим магический квадрат 5-го порядка, а затем 7-го порядка. N=5→n-2=3→𝑆𝑛−2 = [(𝑛 − 2)2 +1×n-2)/2] = 𝑆3 =15 Вычислим по формуле m=2n-2=8. Добавим к каждому числу этого квадрата m=8,тогда сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали станет равной 𝑆 1 =(𝑛2 +1)(n2)/2=39. Из чисел ряда (1,…,25) остались 1,2,3,…,8 и дополнительные к ним 25,24,…,18 (1,2,…,2n-2 и 𝑛2 ,𝑛2 -1,…,𝑛2 -2n+3). Эти числа размещают в 4(n-1)=16 граничных таким образом, чтобы дополнительные числа стояли на противоположных концах каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали – это позволяет обеспечить равенство суммы 𝑆𝑛 =(𝑛2 +1)n/2 чисел вдоль каждого направления. Остаётся только добиться, чтобы сумма чисел и вдоль каждой из граничных линий была равна той же самой величине, но такое их расположение легко получить простым перебором. Хотя для расположения чисел в граничных клетках были предложены различные правила, попробуйте увидеть их сами из приведённых примеров. Продолжим для n=7,2n-2=12. Синтетический метод Ф. де ла Ира Метод Ф. де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. Построим с помощью этого метода квадрат 5-го порядка. В клетки первого 20 квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0,5,10,15,20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз. Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов чётного порядка. Симметрические квадраты Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n,то можно построить квадрат порядка m×n.Суть этого способа показа на рисунке. Здесь m=3 и n=3.Исходный квадрат 3-го порядка строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1‘ (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9,также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2‘ (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18;в клетку с числом 3‘квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получили квадрат 9-го порядка. Такие магические квадраты называются составными. Узоры магических линий Американский архитектор Клод Ф.Брэгдон обнаружил, что, соединив в порядке возрастания чисел центры клеток магического квадрата ломаной линией, в большинстве случаев получится изящный узор. Для квадратов больших порядков можно соединить клетки только с чётными или только с нечётными. Вот примеры подобных орнаментов из магических линий. Интересный узор можно получить, если соединять линиями (не обязательно прямыми) все группы чисел, образующих при сложении магическую сумму. 21 Приложение №2 Разнообразие магических квадратов. Симметрические квадраты Определение. Если в магическом квадрате n-го порядка сумма двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата постоянна и равна n2 +1,то он называется симметрическим (или связанным). Симметрическими будут все квадраты, построенные по методу А. де ла Лубера и все квадраты порядка двойной чётности, построенные по диагональному методу. Вместе с тем доказано, что симметрических магических квадратов порядка простой чётности (n=6;10;14…) не существует. Таковым является квадрат 4-го порядка, изображённый на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера. 16+1=10+7=6+11=4+13=42 + 1 = n2 +1 Дополнительное условие позволяет выделить в квадрате много групп из четырёх чисел помимо строк, столбцов и главных диагоналей, сумма которых также равна магической постоянной квадрата 34. Таковы, например, четыре числа, расположенные в вершинах всего квадрата (16+13+1+4),четыре числа в вершинах каждого квадрата 3-го порядка (16+2+7+9, 3+13+12+6, 5+11+14+4, 10+8+1+15) и четыре числа в каждом из маленьких квадратов 2×2, расположенных в углах большого квадрата (16+3+10+5, 2+13+8+11, 9+6+15+4, 7+12+1+14). Совершенные квадраты Определение: магический квадрат называется совершенным, если условие равенства сумм кроме обычных двух диагоналей квадрата дополнительно распространяется на распадающиеся на части или «ломаные» диагонали (диагонали, образующиеся при сворачивании квадрата в тор). 22 Магический квадрат не теряет своего «совершенства», если над ним производить следующие преобразования: Поворот на 90°,180°,270°; Отражение; Перестановку строки сверху вниз и наоборот; Зачёркивание столбца справа или слева и переписывая его с противоположной стороны и Особую перестановку клеток, схема которой расположена ниже. Путём одного горизонтального разреза и одного вертикального разреза и описанного переноса любой элемент квадрата можно поместить в любую заранее заданную клетку. Единственный магический квадрат третьего порядка не совершенный, а из 880 магических квадратов четвёртого порядка совершенных – 48.Известно также, что совершенных магических квадратов пятого порядка 3600 и более 6,5 миллиардов совершенных квадратов восьмого порядка. Совершенных квадратов порядка простой чётности (n=6;10;14…) не существует. Развлечения Бенджамина Франклина Составлением магических фигур, причём не только квадратов, увлекался в свободное время американский общественный деятель, дипломат, учёный Бенджамин Франклин (1706-1790).Ему принадлежит интересные находки в этой области. Приведём для примера два его достижения в области «квадратостроения»: 8-го и 16-го порядка. Магическая сумма этого квадрата равна 260,но он обладает рядом дополнительных свойств: Сумма чисел в каждой половине любой строки и в каждой половине любого столбца равняется 130,что составляет половину магической суммы. Четыре числа, стоящие в углах, в сумме с четырьмя числами, стоящими в центре квадрата, дают 260. 23 Если разбить данный квадрат 8×8 на квадратики 2×2,то в каждом из них сумма чисел будет равна 130. В любом прямоугольнике 2×4 сумма чисел равна 260. Сумма чисел по наклонному ряду, идущему от числа 16 вправо-вверх до числа 10,а далее по наклонному ряду, идущему от числа 23 вправовниз до числа 17 равна 260.То же самое верно для каждого ряда из восьми чисел, параллельного описанному. Это свойство сохраняется для таких же ломанных, построенных от любой из трёх оставшихся сторон квадрата. Ещё более удивителен квадрат 16×16,который Франклин составил за один вечер. Магическая сумма равна 2056.Если вырезать в листе бумаги квадратное отверстие 4×4 и наложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 чисел большого квадрата и попали в прорезь, то сумма этих чисел будет одна и та же, равная 2056,куда бы мы ни передвигали наш лист с прорезью по большому квадрату. Этому же значению равны суммы вдоль ломанных, как и в квадрате 8-го порядка, от 64 до 52 вверх-вправо и от 77 вниз-вправо до 65,а также по ломанным параллельным этой и полученным из них поворотами на 90°,180,°270°. Магические квадраты из непоследовательных чисел Классические магические квадраты строятся для последовательных чисел от 1 до n2 , но магическим называется также квадрат ,построенный из любых других чисел,если только сохраняется равенство сумм по строкам, столбцам и двум главным диагоналям. Натуральный ряд чисел – это строгий порядок, магический квадрат – это чёткая закономерность. Последовательные числа натурального ряда, являются арифметической прогрессией с первым членом, равным единице и разностью равной единице. Обобщая, легко доказать, что магический квадрат, например, третьего 24 порядка можно составить из 9 порядковых членов любой арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d,т.е. фактически построить его исходя первоначально из двух чисел (a,d).Магическая сумма в этом случае определяется по формуле S=3(a+4d).Расставить члены прогрессии по клеткам квадрата можно по методу Баше. Возьмём, для примера, a=5, d=2, соответствующий ряд чисел 5,7,9,11,13,15,17,19,21, образует следующий магический квадрат. А можно ли составить магический квадрат из чисел, не являющихся членами одной арифметической прогрессии? Наиболее общее утверждение о существовании магического квадрата третьего порядка из непоследовательных чисел звучит так: для существования магического квадрата из 9 попарно различных чисел необходимо и достаточно, чтобы данные числа имели вид: a,a+n,a+2n,a+d,a+n+d,a+2n+d,a+2d,a+n+2d,a+2n+2d. Показанный квадрат однозначно определяется тремя числами. Можно записать его несколько иначе, если исходить из заранее заданной магической суммы. Магический квадрат третьего порядка можно составить с любой, заданной магической суммой, при условии, что это число делится на три. Если магическая сумма равна 3,то квадрат однозначно определяется тремя числами a,b,n,причём числа a и b вы выбираете сами. Клетки квадрата заполняются в соответствии с формулами. Магические квадраты из простых чисел Определение: натуральное число называется простым, если оно делится только на единицу и само на себя. Первый магический квадрат не из последовательных чисел, а только из простых чисел встречается в книгах известных мастеров головоломок Сэма 25 Ллойда и Генри Дьюдени. Кто из них был первым, вопрос спорный и для нас не главный. Магическая сумма равна 111, с меньшей суммой из простых чисел магического квадрата нет. Однако простые числа в квадрате не последовательные. В показанном далее квадрате четвёртого порядка пропущены простые числа 43,59,61,67. Возникает вопрос: можно ли построить магический квадрат из последовательных нечётных простых чисел? В 1913 году Дж.Н.Манси составил квадраты из простых чисел 5-го,6го,…,12-го порядка и только в последнем добился, чтобы простые числа шли без пробелов в их ряду. Манси доказал, что наименьший магический квадрат из последовательных простых чисел должен иметь порядок 12. Вот этот магический квадрат, составленный из 144 первых простых нечётных чисел.S=4514. Все, показанные здесь магические квадраты из простых чисел, имеют существенный математический недостаток – в них входит единица, которая, строго говоря, не является простым числом. Это побуждает математиков продолжать поиски более совершенных вариантов. В настоящее время найдено более 100 арифметических прогрессий из 9 и более простых чисел. Из членов каждой такой прогрессии можно составить магический квадрат, например: Здесь a1 =199,d=210,сумма трёх чисел по всем направлениям равна 3177. В 1969 году математик S.C.Root (США) нашёл арифметическую прогрессию из 16 простых чисел, первый член которой a1 = 2 236 133 941, разность d=223 092 870. Получается следующий квадрат с суммой 15 637 321 864. Двойные и тройные магические квадраты 26 Для некоторых значений n,не меньше восьми, можно построить такой магический квадрат n-го порядка, что если числа в каждой его клетке заменить их квадратами, то получившийся в результате квадрат также будет магическим. Такие магические квадраты называют двойными. Здесь показан двойной магический совершенный квадрат восьмого порядка с магической суммой 260,а магическая сумма квадратов этих чисел будет равна 11180. Исследователи искали также такие магические квадраты, которые оставались бы магическими при замене исходных чисел, как их квадратами, так и их кубами. Такие магические квадраты называют тройными. Наименьший из известных тройных магических квадратов имеет порядок 32. Латинские квадраты Определение: латинским квадратом называется квадратная таблица, состоящая из n различных чисел, всех по n раз, расположенных так, что в каждой строке и в каждом столбце каждое число встречается только один раз. Отсюда следует вывод, что в латинском квадрате суммы по строкам и столбцам равные, а по диагоналям не обязательно такие же. Определение: латинский квадрат называется диагональным, если все элементы каждой диагонали попарно различны (так же, как элементы каждой строки и каждого столбца). Составление Изучение латинских квадратов много занимался великий математик Леонард Эйлер (1707-1783),который дал им это название. Решая задачи в общем виде, он вместо конкретных чисел писал в клетках квадрата латинские буквы. Составить латинский квадрат гораздо проще, чем магический. В первой строке выписываем числа в порядке возрастания, во второй – со сдвигом вправо на одно место, возвращая последнее число на первое место в строке и т.д. Получится самый 27 примитивный латинский квадрат. Этим методом мы получаем простой, не диагональный латинский квадрат, один из великого множества. Есть более изощрённый способ составления латинского квадрата для значений n=p-1,где простое число, т.е. N=4,6,10,12,16 и т.д. Пронумеруем строки квадрата сверху вниз и столбцы слева направо числами от 1 до n.На пересечении строки с номером a и столбца с номером b поставим остаток произведения ab на p.Так как номера строк и столбцов положительные числа, не делящиеся на p,то в клетках будет стоять числа от 1 до n.Докажем, что в каждой строке стоят разные числа. Доказательство ведём методом от противного: пусть в строке a стоят два равных числа, например, в столбцах c и e,это означает, что числа ac и ae имеют равные остатки при делении на p и их разность a(c-e) делится на p.Но оба сомножителя отличны от нуля и по абсолютной величине меньше p.Следовательно, получили противоречие p-простое число и делимость не может иметь место. Доказательство для столбцов повторяется слово в слово. Второй метод дал нам снова не диагональный квадрат. Третий алгоритм составления латинских квадратов. Пусть n-произвольное натуральное число, не имеющее общих c n делителей, больших единицы. Поместим на пересечении строки с номером a и столбца с номером b остаток от деления на n числа ak+b.Если остаток равен 0, то в соответствующую клетку поместим число n. Доказательство, что подобным методом будет построен латинский квадрат аналогично предыдущему. На этот раз повезло, квадрат оказался диагональным. Общее число латинских квадратов Введя определение и рассмотрев примеры построения латинских квадратов, уместно поставить вопрос об их количестве в зависимости от порядка. 28 Существует два латинских квадрата второго порядка. Причём они симметричны как сиамские близнецы. Для определения количества квадратов третьего порядка, сначала построим один специфический, з которого все остальные получаются перестановками строк и столбцов. Впишем числа 1,2,3 в порядке возрастания в первую строчку и в первый столбик, заполнение оставшихся четырёх клеток происходит однозначно. Из полученного квадрата перестановкой столбцов получается 6 различных расположений цифр, и при каждом расположении столбцов перестановкой второй и третьей строк – ещё две модификации. Итак, существует всего 6×2=12 различных латинских квадратов 3-го порядка. Если для квадрата 4-го порядка мы выпишем цифры по аналогии в первую строчку и в первый столбец в порядке возрастания, то остальные клетки заполнить однозначно уже не удаётся, получается четыре различных варианта. Четыре столбца можно переставить между собой 24 способами, а при фиксированном расположении столбцов вторую, третью и четвёртую строчки можно переставить 6 способами. Поэтому, начиная с каждого показанного размещения можно получить 144 латинских квадрата, а всего латинских квадратов четвёртого порядка насчитывается 576. Количество латинских квадратов быстро растёт с увеличением порядка. Известно, что существует не менее n!(n-1)!(n-2)!...2!1! Латинских квадратов размером n×n. Особенности На следующем рисунке показаны два латинских квадрата 4×4,обладающие интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Перейдём от конкретных чисел к буквам. Шестнадцать клеток в одном квадрате заполним латинскими буквами a,b,c,d так, чтобы получился 29 латинский квадрат, а клетки второго квадрата заполним греческими буквами α,β,γ,δ. Если наложить квадраты друг на друга, то получится, что каждая латинская буква появляется один и только один раз в паре с каждой греческой буквой. Два или более латинских квадратов, которые можно так попарно скомбинировать друг с другом, называются ортогональными, а получившийся комбинированный квадрат принято называть греколатинским. Греко-латинские квадраты Определение: квадратная таблица, в каждой ячейке которой расположены различные пары чисел так, что первые и вторые компоненты этих пар образуют в отдельности латинские квадраты, называется греко-латинским квадратом. Таким образом, для получения греко-латинского квадрата нужно составить два латинских ортогональных квадрата и наложить их друг на друга. Вся трудность заключена именно в поиске ортогональных латинских квадратов. В последние годы жизни Леонард Эйлер написал обширное «Исследование магических квадратов нового типа». Он впервые поставил задачу отыскания ортогональных латинских квадратов в следующей формулировке. «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6×6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов и всех родов войск?» Сформулировав задачу, Эйлер не смог найти её решение, но он доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечётных значений n и для таких четных значений n,которые делятся на 4.В частности он решил подобную задачу для 25 офицеров пяти рангов и пяти родов войск. 30 Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n,т.е. если число n при делении на 4 даёт в остатке 2,ортогональных квадратов не существует. Для n=2 в первой клетке может стоять 1 или 2 и этим определены все остальные клетки. Разных вариантов получается только два, но они не ортогональны. В 1901 году французским математиком Гастоном Тарри было доказано, что ортогональных квадратов размером 6×6 не существует. Доказательство было проведено очень трудоёмким методом полной индукции, т.е. перебором всех возможных вариантов и пар квадратов. Следующий неизученный случай n=10 оказался уже слишком сложным для такого исследования и находился за пределами возможностей даже появившихся к тому времени ЭВМ. В 1959 году машина SWAC,проработав 100 часов, не нашла ни одной пары ортогональных квадратов 10-го порядка, но в том же году группе математиков удалось составить греко-латинский квадрат 10-го порядка и тем самым через 177 лет опровергнуть гипотезу Эйлера. Далее процесс пошёл быстрее, да и скорости ЭВМ возрастали день ото дня, и вскоре были найдены греко-латинские квадраты 14,18,22 порядка. Квадромагичечкий числовой квадрат Показанный на рисунке квадрат 4-го порядка не является магическим в обычном понимании этого слова, т.к. суммы чисел по строчкам и столбцам получаются разные. Если же посчитать суммы четырёх чисел в любом выделенном из него квадратике 2×2 (назовём его подквадрат 2-го порядка), то получим одно значение равное 34. 31 Определение: числовой квадрат n-го порядка (n>2) называется квадромагическим, если сумма четырёх чисел в любом его подквадрате 2-го порядка одна и та же. Не трудно установить, что у квадрата n-го порядка можно выделить (n − 1)2 подквадратов 2-го порядка. Построить квадромагический квадрат очень просто. Расставим числа от 1 до n2 по порядку в клетках квадрата, предварительно закрашенных в шахматном порядке. Числа, стоящие на закрашенных клетках, оставим на своих местах, а каждое, из стоящих на белых клетках, поменяем местами с центрально симметричным ему числом. Вот и всё! Получается квадромагический квадрат, причём этот метод универсален и применим для построения квадромагического квадрата любого порядка. Общая формула для магической суммы квадрата n-го порядка: S=a+b+c+d=a+𝐧𝟐 -a+𝐧𝟐 -d+2=2(𝐧𝟐 +1). Мультипликативные магические квадраты Определение: мультипликативные квадраты-квадраты, в которых натуральные неповторяющиеся числа расставлены так, что произведение чисел в каждой строке, в каждом столбце и по обеим диагоналям одинаковое. Самый простой способ построения подобного квадрата состоит в использовании известного правила умножения степеней: при перемножении степеней с одинаковым основанием основание остаётся то же, а показатели складываются. Берём традиционный магический квадрат третьего порядка и рассматриваем его числа как показатели степени некоторого основания, например, числа 2. В результате образуется квадрат с одинаковыми произведениями. Постоянное произведение по всем рядам и двум диагоналям этого квадрата равно 32768. Таким образом, любой магический квадрат с постоянной суммой можно превратить в некоторый квадрат с постоянным произведением. 32 Усовершенствуя этот способ построения мультипликативного магического квадрата, можно построить подобный квадрат из членов произвольной геометрической прогрессии, определяемой двумя числами a и q,где a-первый член геометрической прогрессии,q-её знаменатель. Расставляем члены прогрессии a,aq,aq2 , aq3 , … , aq8 в сетку квадрата по методу Баше. Получается магический квадрат с постоянным произведением P=𝐚𝟑 𝐪𝟏𝟐 . Ещё одна схема построения квадрата получается почленным слиянием двух исходных квадратов с разным основанием степеней. Постоянное произведение P=a3 b3 Заменяя a=2,b=3,получим квадрат с произведением 216. 33