1. 2. – 16

Пенальти-19-20.11.2014.
1. Найдите наибольший простой делитель числа (816 – 168).
2. В одной из двух банок литр воды, другая  пуста. Из первой банки во
вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в
первую  треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую 
четверть имеющейся там воды и т.д. Сколько воды будет в первой банке после 11 переливаний?
3. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр, в
котором сумма любых трёх подряд идущих цифр делится на 2.
4. На Луне имеют хождение монеты достоинством в 1, 15 и 50
фертингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил сдачу на одну монету больше. Какую наименьшую сумму
могла стоить покупка?
5. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота AH. Известно, что BM = AH. Найдите угол MBC.
6. Какое наибольшее целое значение может принимать выражение
Н И ЖН ИЙ
Н О В Г О РО Д
? (Одинаковые буквы – одинаковые
цифры, разные буквы – разные цифры)
7. Решите уравнение: x  3  4 x  1  x  8  6 x  1  1 .
8. Сколько существует несократимых дробей с числителем 2011,
которые больше 1/2012 и меньше 1/2011, и при этом не равны
целому числу?
9. На острове живут только рыцари, которые говорят всегда
правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 100 жителей
острова выстроились в шеренгу, и каждый из них произнес следующую фразу: «Все мои соседи  лжецы». Сколько рыцарей
могло быть среди них?
10. Назовём «остреньким» время, когда угол между часовой и
минутной стрелками равномерно идущих механических часов не
превосходит 45 градусов. Сколько «остренького» времени в сутках?
11. Две стороны треугольника равны 2 и 3. Какую длину должна
иметь третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника
был как можно больше?
12. Представьте сумму 0,(12)+0,(122) в виде обыкновенной несократимой дроби.
13. Про числа a, b, c и d известно, что a=bcd, a+b=cd, a+b+c=d и
a+b+c+d=1. Найдите эти числа.
14. Газету (прямоугольный лист) 8 раз сложили пополам (поочередно вдоль и поперёк), после чего оторвали от неё 4 угла. Если
теперь развернуть газету, то сколько в ней будет дырок?
15. Куб со стороной 2011 разбит перегородками на единичные
кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно
было добраться до границы куба?
16. Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при
делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.
Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.