Текст - Вятская средняя школа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Вятская средняя общеобразовательная школа
Некрасовского МР Ярославской области
Коллективный образовательный проект
по геометрии
«Задачник «Черепахи»
Выполнили: ученики 8 класса
Руководитель: Коряковцева Н.В.
2012г.
Идея проекта заключается в том, что геометрия – наука неподвижная,
все фигуры в ней рассматриваются во взаимном расположении друг к другу.
Интересно рассмотреть ситуации, в которых можно видеть движение по
линиям фигур: треугольников, четырёхугольников, окружностей.
Цель проекта: Составить набор задач на движение, в которых
используются теоретические положения геометрии.
Задачи:
 Рассмотреть ситуации, в которых можно видеть движение.
 Составить задачи в соответствии с ситуациями.
 Составить сборник задач.
Ценность проекта.
Наш проект может быть интересен всем, кто увлекается математикой,
он также может заинтересовать математикой тех, кто не видит в ней
интересного содержания. Сборник, который мы растиражируем, можно будет
предлагать, как готовый продукт математического творчества учеников
нашего класса.
Срок реализации: 2011 – 2012г.г.
Ситуация Даминовой Алины «Путь к центру».
Три мудрые черепахи двигаются с равными скоростями из вершин
треугольника.
Задача 1.
По какому пути должны двигаться черепахи, чтобы они встретились в одной
точке?
Решение 1.
Черепахи должны двигаться по биссектрисам углов А, В и С, так как по
свойству биссектрис углов, биссектрисы пересекаются в одной точке.
Задача 2.
Каким должен быть путь, чтобы черепахи встретились в одно время?
Решение 2.
Для того, чтобы черепахи встретились в одно время, они должны двигаться
по серединным перпендикулярам к сторонам АВ, СВ и АС, так как каждая
точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов
отрезка.
Задача 3.
Какой из путей короче: представленный в задаче 1 или в задаче 2?
Решение 3.
Первый способ добраться до точки встречи черепах оказался более
рациональным, чем второй, потому что расстояние в первом случае меньше,
так как движение происходит по прямой линии, а прямая всегда короче
ломаной.
Ситуация Булатовой Евгении.
Из точки О к сторонам АВ и СД ромба двигаются две черепахи.
Задача 1.
При каком условии сумма пройденных ими расстояний будет наименьшей?
Решение.
Мы знаем, что расстояние от точки до прямой будет наименьшим, если оно
измеряется по перпендикуляру.
Значит, черепахи должны двигаться по перпендикулярам к сторонам.
Задача 2.
Где должны находиться точки на сторонах ромба, к которым стремятся
черепахи?
Решение.
Черепахи должны учесть, что малые и большие треугольники, образованные
внутри ромба, подобны, поэтому отрезки, на которые точка финиша делит
сторону ромба, пропорциональны диагоналям ромба.
Ситуация Карповой Виктории.
Три черепахи двигаются по сторонам разностороннего треугольника от точки А до
точки F,от точки В до О и до F, и от С до О и до F.
Задача 1.
В каком случай они придут одновременно?
Решение.
Если О будет точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника, то она будет равноудалена от вершин А, В и С, поэтому черепахи
пройдут одинаковые пути и придут в точку F одновременно.
Задача 2.
При каком условии черепахи, вышедшие из В и С придут одновременно?
Решение.
Отрезки ОВ и ОС будут равны, если точка О лежит на серединном перпендикуляре к
отрезку ВС. Это возможно только в том случае, если АF будет высотой и медианой
треугольника АВС, значит он должен быть равнобедренным (АВ=АС).
Задача 3.
При каком условии черепахи пройдут наименьшие пути?
Решение.
Отрезки ОА, ОВ и ОС будут наименьшими, если точка пересечения серединных
перпендикуляров будет совпадать с точкой пересечения высот треугольника. Это
возможно только в том случае, если треугольник равносторонний.
Ситуация Виноградова Дениса.
Черепахи двигаются из точки А к окружности по касательным.
Задача 1.
Одна черепаха двигается из А через D, другая – через С. Какая из черепах
будет в точке Х окружности быстрее?
Решение.
Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны.
АD=DХ, АВ=АС. Пути, пройденные черепахами, будут равны, значит, они
придут одновременно.
Задача 2.
Изменится ли результат, если точка встречи Х будет находиться с другой
стороны окружности?
Решение.
Отрезки ВМ и СD не равны, поэтому пути АВМХ и АСDХ не рвны.
Задача 3.
При каком условии черепахи в задаче 2 встретятся в точке Х одновременно?
Решение.
Если точка Х будет равноудалена от точек D и М. Это возможно если она
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку МD, то есть треугольник
АМD должен быть равнобедренным.
Ситуация Гаровой Дарьи.
Две мудрые черепахи вооружились угломером и двигаются из диаметрально
противоположных точек А и В.
Задача 1.
Как им следует двигаться, чтобы встретиться на линии окружности?
Решение.
Угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой, поэтому черепахам
необходимо двигаться по перпендикулярным линиям, тогда они обязательно
встретятся на окружности.
Задача 2.
Как следует двигаться черепахам, чтобы прийти в место встречи
одновременно?
Решение.
Чтобы отрезки АС и ВС были равны необходимо, чтобы точка С лежала на
серединном перпендикуляре к отрезку АВ, треугольник АВС должен быть
равнобедренным.
Задача 3.
Как должны двигаться черепахи из точки А в противоположные стороны,
чтобы они были видны из точки Х под одним углом?
Решение.
Скорости черепах одинаковые, значит они описывают одинаковые дуги, если
дуги равны, то и равны вписанные углы, опирающиеся на эти дуги. Как бы
ни двигались черепахи, они будут видны из точки Х под одним и тем же
углом.
Ситуация Швачко Виктории.
Между двумя равными окружностями натянуты верёвки. Черепахам
необходимо перебраться на другую окружность.
Задача 1.
Какая из черепах дойдёт до другой окружности быстрее?
Решение.
Четырёхугольник АВDС – прямоугольник, т.к. АС и ВD – диаметры, то они
перпендикулярны касательным АВ и СD. У четырёхугольника все углы
прямые, значит это прямоугольник, значит АВ=СD. Пути черепах
одинаковы, значит они придут одновременно.
Задача 2.
Будет ли путь по скрещивающимся верёвкам короче, чем путь из задачи 1?
Решение.
Совместим линии движения задачи 1 и 2. Сравним отрезки АВ и СD.
АВ=ОМ, ОМ=2ОК, СD=2СК. ОК больше, чем СК, т.к. ОК – гипотенуза
прямоугольного треугольника СОК. 2ОК больше, чем 2СК, значит ОМ
больше СD и АВ больше СD. Таким образом, путь по скрещивающимся
верёвкам короче.
Выводы.
1.Во время реализации проекта мы научились использовать теоретические
положения геометрии на практике.
2.Рассмотрели геометрические ситуации, в которых можно движение связать
с геометрическими фигурами: треугольниками, четырёхугольниками,
окружностями.
3.Составили сборник интересных задач по геометрии, которые мы придумали
сами.