олимпиада 2 турpdfx

Задача №1
Дано:
Найти:
(C+7) / (C+4).
такие целые числа С при которых дробь
является целым числом.
Решение.
Числитель больше знаменателя на 3. При прибавлении к числителю и
знаменателю любого натурального числа и 0, числитель всегда будет больше
знаменателя на 3. Это значит данная дробь не может быть целым числом,
если С будет натуральным числом и 0. Выяснили, что С не может быть ни
натуральным числом ни 0.
Рассмотрим отрицательные числа от -1 до -∞.
Рассматриваем С= -1:
(-1+7)÷( -1+4) = 6 ÷ 3 = 2. Получилось число целое, значит С=-1 подходит.
Рассматриваем С = -2:
(-2 + 7) ÷ (-2+ 4) = 5÷2=2,5. Получилось нецелое число, С=-2 не подходит.
Рассматриваем С=-3:
(-3 + 7) ÷ ( -3 + 4) = 4. Число целое, значит С=-3 подходит.
Рассматриваем С=-4:
(-4+7)÷(-4+4)=0. Не получается при С=-4. На 0 делить нельзя.
Рассматриваем С=-5:
(-5 + 7) ÷ (-5 + 4) = -2. Получается целое число, С=-5 подходит.
Рассматриваем С=-6:
(-6+7)÷ (-6 + 4)= -0,5. Не подходит С=-6, не целое число получилось.
Рассматриваем С=-7:
(-7 + 7) ÷ (-7 + 4)=0. Подходит С=-7.
Рассматриваем С=-8:
(-8 + 7) ÷ (-8 + 4)=1/4. С=-8 не подходит т.к. получилась дробь.
Рассматриваем С=-9:
(-9 + 7) ÷ (-9 + 4) = 2/5. С=-9 не подходит т.к. опять дробь получилась.
Если рассматривать и дальше то разница между числителем и
знаменателем останется неизменной и будет равна 3, а это никогда не даст
целого числа при делении, значит остальные отрицательные числа
отбрасываем как неподходящие к нашим заданным условиям.
Ответ: С принадлежит к множеству {-1; -3; -5; -7}.
Задача №2.
Дано:
Найти:
Первый школьник купил пенал и ластик
Сколько заплатил четвертый
Заплатив 40 руб.
школьник-х ?
Второй школьник купил ластик и карандаш
Заплатив 12 рублей.
Третий школьник купил пенал, карандаш
и две тетради заплатив 50 рублей.
Четвертый купил пенал и тетрадь.
Решение.
Обозначим пенал - п, ластик - л, карандаш - к и тетрадь – т.
Составим систему уравнений.
п+л=40,
л+к=12,
п+к+2т=50,
п+т=х.
Из первых двух равенств системы найдем п. Для этого из первого
равенства вычтем второе равенство системы.
( п + л ) - ( л + к )= 40 – 12,
п + л – л – к = 28,
п – к = 28.
Из третьего равенства системы выразим т.
п + к + 2т = 50, а так как п = к + 28, то
к + 28 + к +2т = 50,
2к +2т =50 – 28,
2к + 2т =22,
к +т =11,
т=11 – к.
Подставим в четвертое равенство системы значения п и т.
п + т =х,
(к + 28) +(11 – к) =х,
28 + 11 =х,
х = 39.
Ответ: 39 рублей заплатил четвертый школьник.
Задача№3
Дано:
Найти:
число 56.
2 слагаемых числа 56, так чтобы 1/3 первого слагаемого
была равна 1/4 второго слагаемого.
Решение.
Пусть первое слагаемое будет х, второе слагаемое будет y. Составим
систему уравнений.
x + y = 56,
x/3 = y/4.
Во втором уравнении системы найдем х:
x= 3у/4.
Найденный х подставим в первое уравнение:
3y/4+у=56,
3у/4+у=56,
7у/4=56,
у=56×4÷7,
у=224÷7,
у=32.
Из первого равенства системы найдём х:
х=56-у,
х=56-32,
х=24.
Проверяем по второму уравнению системы уравнений, подставляя х и у:
24/3=32/4. Получилось.
Ответ: Число 56 разложено на 2 слагаемых 24 и 32 так, что 1/3 первого
слагаемого равна ¼ второго слагаемого.
Задача №4.
Дано:
Найти:
числа a, b, c, так что число а составляет 80% числа b,
Числа a,b,c.
число c составляет 140% числа b и число с˃а на 72.
Решение.
1) 140-80=60%, на 60% с˃а.
2) 72÷60=1.2, составляет 1%,
3) 1.2 ∙ 80=96, число а,
4) 1.2 ∙ 140 = 168, число с,
5) 168÷140∙100=120, число b.
Ответ: a=96, b=168, c=120.
Задача №5.
Дано:
Найти:
Поезд проходит мимо светофора за 5
длину и скорость поезда.
секунд , а мимо платформы длинной
150 метров за 15 секунд.
Решение.
Отсчет времени проезда платформы длинной 150 метров начинается
по пересечении первым вагоном одного края платформы, а заканчивается по
пересечении последним вагоном другого края платформы. Значит из 15
секунд за которые поезд прошёл платформу, нужно вычесть 5 секунд
которые он затратил на прохождение мимо дальнего конца платформы всей
длинны поезда. Это время можно взять из прохождения поезда мимо
светофора, а оно равно 5 секундам.
15-5=10 сек. За это время поезд проходит 150 метров.
Узнаём сколько метров за секунду проходит поезд путём деления на 10
и затраченные секунды и пройденные метры:
если поезд проходит 150 метров за 10секунд, то 15 метров поезд
проезжает за 1 секуну.
Скорость поезда равна 15 м/с. Мимо столба , от начала первого до
конца последнего вагона, он ехал 5 секунд, значит:
5 ∙ 15=75 м. Длинна поезда.
В часе 3600 секунд, в километре 1000 метров, отсюда:
15∙3600÷1000=54км/ч. Скорость поезда.
Ответ: длинна поезда 75 метров, скорость поезда 54 км/ч.
Задача№6
Найти:
Наименьшее число записываемое одними единицами которое делилось
бы на число 3333….3(сто троек).
Сумма цифр в этом числе равна 3∙100=300.
Теперь если это число разделить на 1 то получится наименьшее количество
единиц в числе которое делится на 333…3(сто троек).
300÷1=300. Получается 1111….1 (триста единиц)
Ответ: наименьшим числом записываемым одними единицами которое
делилось бы на число 3333…..3(сто троек) является 1111…1(триста единиц).
Задача №7.
Дано:
Найти:
два катера с одинаковой скоростью в стоячей
в какой реке на
воде . Катера проходят одинаковое расстояние
поездку потребуется
по течению и возвращаются, каждый по своей
больше времени, в
реке, течение одной реки медленнее течения
реке с быстрым или
другой реки.
медленным течением.
Решение:
Пусть скорость катера в стоячей воде будет V.
Пусть скорость течения медленной реки будет VТМ.
Пусть скорость течения быстрой реки будет VТБ.
Допустим, что VТБ ≥ V , тогда катер который едет по реке с быстрым
течением вообще не сможет вернутся.
Ответ: катер идущий по реке с медленным течением не только вернется
назад но и сделает это первым, а катер идущий по реке с быстрым течением
может вообще не вернутся обратно.
Задача №8
Дано :
пятизначное число 42х4у,
Найти:
х, у.
это кратно 72.
Решение.
Раскладываем число 72 на два множителя:
72=8 ∙ 9.
Признак делимости на 9 – сумма цифр числа делится на 9.
Признак делимости на 8 – число образованное его тремя последними
цифрами делится на 8.
Число делящиеся на 8 заканчивается на чётное число или 0.
Значит у может быть только цифрами 0,2,4,6,8, а х может быть любой
цифрой от 0-9.
Рассмотрим у=0:
если у=0 то по признаку делимости на 8 и на 9, х у числа 42х4у может
быть равен только 8 т.к.:
числа 42040, 42140, 42240, 42340, 42440, 42540, 42640, 42740, 42940 не
делятся на 9, а вот число 42840 отвечает признакам делимости на 8 и на 9.
Рассмотрим у=2:
числа 42042,42142, 42242, 42342, 42442, 42542, 42642, 42742, 42842,
42942 не делятся на 8 и 9 одновременно, значит они не подходят.
Рассмотрим у=4:
числа 42044,42144, 42244, 42344, 42444, 42544, 42644, 42744, 42844,
42944 не делятся на 8 и 9 одновременно, значит они не подходят.
Рассмотрим у=6:
числа 42046,42146, 42246, 42346, 42446, 42546, 42646, 42746, 42846,
42946 не делятся на 8 и 9 одновременно, значит они не подходят.
Рассмотрим у=8:
если у=8 то по признаку делимости на 8 и на 9, х у числа 42х4у может
быть равен только 0 т.к.:
числа 42148, 42248, 42348, 42448, 42548, 42648, 42748, 42848, 42948
не делятся на 9, а вот число 42048 отвечает признакам делимости на 8 и на 9.
Проверяем: 42840÷72=592 получилось, 42048÷72=584 получилось.
Ответ: цифра х=8, если у=0 для числа 42840 и цифра х=0 если у=8 для
числа 42048.
Задача №9.
Дано:
Найти:
411 цифр нумерации страниц учебника.
Сколько страниц в учебнике?
Решение.
Для нумерации 9 страниц, с первой страницы по девятую страницу
нужно 9 цифр.
Для нумерации 90 страниц, с десятой страницы по девяносто девятую
страницу необходимо две цифры на одну страницу, поэтому:
(99-9) ∙ 2=180 цифр необходимо для нумерации 90 страниц с 9 по 99
страницы.
На страницы для нумерации которых необходимо три цифры из 411
цифр остаётся:
411-(180+9) = 222 цифры.
222÷3=74, страницы пронумерованы тремя цифрами.
Складываем количества страниц с одной цифрой в нумерации
страницы, с двумя цифрами в нумерации страницы и с тремя цифрами в
нумерации страницы:
9+90+74=173 страницы в учебнике.
Ответ:173 страницы в учебнике.
Задача№10
Найти.
Сколько бабушек и прабабушек было у моих прабабушек и прадедушек.
Решение.
У меня 4 прабабушки и 4 прадедушки. У каждого из них по 4
прабабушки и по 2 бабушки. Умножаем
(4+4)∙(4+2)=48 прабабушек и бабушек было у моих прабабушек и
прадедушек.
Ответ:48 прабабушек и бабушек было у моих прадедушек и прабабушек.
сне менат еле м