Комментарии к домашнему заданию по микроэкономике

ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
Решение и разбалловка
Задача 1. В компании ZYX, предоставляющей Интернет услуги, согласно базовому тарифному
плану стоимость мегабайта внешнего трафика составляет p x за Мб.
(а) Определите товары. Выпишите бюджетное ограничение и изобразите исходное бюджетное
множество для агента с доходом m .
(б) Новый тарифный план предлагает скидки за каждый Мб сверх x в размере 20% от базового
тарифа. Полагая, что x  m / p x , выпишите новое бюджетное ограничение и изобразите
соответствующее бюджетное множество.
(в) К началу учебного года компания разработала и предложила новый тариф, согласно
которому агент должен выплачивать ежемесячно абонентскую плату F  m , при этом каждый
мегабайт трафика будет обходиться ему в 0,2 p x . Выпишите бюджетное ограничение и изобразите
соответствующее бюджетное множество агента при пользовании данным тарифом.
(г) Рассмотрим тарифные планы пунктов (б) и (в). Пусть x  1000 , выбор потребителя в пункте
(б) составил 3000 Мб. Известно, что F  1800 p x . Как изменится благосостояние агента при введении
абонентской платы пункта (в) по сравнению с пунктом (б)? Как изменится ваш ответ, если F  2200p x ?
(д) Как ответить на вопрос пункта (г), не используя график? Обобщите свой подход для случая n
товаров.
Решение.
а) (0,5 балла) Товары: X – объем внешнего трафика (в Мб), С – агрегированное потребление (цену
его примем за единицу).
БО: p x x  1  c  m .
С
m
Бюджетное
множество
m/p
б) (0,5 балла)
x
 p x x  c  m; if 0  x  x ,

0,8 p x ( x  x )  c  m  p x x; ifx  x
X
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
С
m
X
в) (0,5 балла)
m/p
X
x
c  m; ifx  0,

0,2 p x x  c  m  F ; ifx  0
С
m
m-F
m/p
(m – F)/0,2px
X
x
г) (1,25 балла)
С
m
m – 1000px
m – 1800px
m – 2200px
m – 2600px
1000
При F  1800p x
3000
X
выбор из пункта (б) остается доступным при бюджетном ограничении (в).
Но так как новый оптимальный набор лежит
Следовательно, благосостояние ухудшиться не может.
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
на бюджетной линии (в), то потребитель не выберет прежний набор. Раз он выбирает новый набор,
когда прежний выбор ему доступен, следовательно, благосостояние его улучшается.
F  2200p x , прежний набор недоступен. Но появились новые доступные наборы,
Когда же
среди которых может оказаться лучший набор. Поэтому мы не можем сделать однозначный вывод о
том, как изменилось благосостояние.
д) (0,5 балла)
Чтобы ответить на вопрос пункта (г), не используя график, нужно вычислить, остается ли
потребителю доступным прежний выбор. Если остается доступным с излишком, то благосостояние
точно улучшается в силу базового предположения о полноте расходования бюджета.
Если прежний выбор становится недоступным, то вывод об изменении благосостояния
сделать невозможно, поскольку невозможно определить, какой набор будет теперь выбираться, а
следовательно, мы не можем сравнить выбираемые наборы.
Задача 2. Потребитель покупает наборы x t по ценам p t , t=0, 1. Изучите в пунктах а) и б),
удовлетворяют ли выборы потребителя слабой аксиоме выявленных предпочтений.
(а) p 0 = (1,3) , x 0 = (5,2); p 1 = (3,2), x 1 = (3,1)
(б) p 0 = (5,2) , x 0 = (4,3); p 1 = (3,5), x 1 = (2,6)
Решение.
а) (0,5 балла) Возможны два пути проверки, либо по определению, данному на лекции, либо по
Вэриану. Здесь приводится второй вариант. Проверим, был ли доступен набор x -t , когда
выбирался набор x t :
p 0 x 0  11  6  p 0 x1 , следовательно, набор x 1 был доступен потребителю при ценах p 0 ,
следовательно, набор x 0 выявлено предпочитается набору x 1 .
p1 x 0  19  11  p1 x1 , следовательно, набор x 0 не был доступен потребителю при ценах p 1 .
Выбор при ценах p 0 и p 1 не противоречит слабой аксиоме выявленных предпочтений.
б) (0,5 балла) Проверим, был ли доступен набор x -t , когда выбирался набор x t :
p 0 x 0  26  22  p 0 x1 , следовательно, набор x 1 был доступен потребителю при ценах p 0 ,
следовательно, набор x 0 выявлено предпочитается набору x 1 .
p1 x 0  27  36  p1 x1 , следовательно, набор x 0 был доступен потребителю при ценах p1 ,
следовательно, набор x 1 выявлено предпочитается набору x 0 .
Следовательно, выбор при ценах p 0 и p 1 противоречит слабой аксиоме выявленных
предпочтений.



Задача 3. В январе потребитель покупал яблоки в магазине по цене 50 р. за кг и выбирал набор 4, x2 , где
первый товар – яблоки. В феврале он обнаружил, что те же самые яблоки продаются на оптовой базе по
следующей схеме: при покупке до 5 кг каждый килограмм стоит 50 руб., а при покупке любого количества больше
5 кг, цена снижается до 30 руб. за каждый приобретаемый кг.
При условии что доход потребителя в феврале не изменился и при предположении, что затраты его как
на посещение магазина, так и на поездку на оптовую базу пренебрежительно малы, ответьте на следующие
вопросы:
(а) Станет ли потребитель в феврале покупать яблоки на оптовой базе?
(а) (0,75 балла) Пусть x1 – количество яблок в наборе, x2 – количество денег, расходуемых
на композитное благо (т.е. предполагаем, что цена композитного блага равна 1 руб.). В январе
потребитель выбирает набор =(4, ) при ценах p=(50, 1). Пусть I – доход потребителя в
январе (заметим, что в феврале доход не изменился), тогда бюджетное множество
потребителя в январе:
B p, I   x  R2 50 x1  x2  I


ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
x2
Бюджетное множество (январь)
I
I
50
X1
Рис.1. Бюджетное множество потребителя в январе
Выбор потребителя определяется базовыми требованиями, предъявляемыми к нему
(единственность, полное расходование бюджета, безразличие к нормировке цен, стабильность
предпочтений). Отсюда можно заключить, что 1) набор находится на бюджетной линии в
силу полного расходования бюджета; 2) набор прямо выявлено предпочитается всем другим
(отличным от ) наборам из бюджетного множества B(p,I) в силу единственности выбора.
x2
Бюджетное множество (январь)
I
Бюджетное множество (февраль)
4 5
I
50
I
30
x1
Рис.2. Бюджетное множество в феврале (I>250 руб.)
В феврале его бюджетное ограничение изменилось:
50 x1  x2  I , 0  x1  5

x1  5
30 x1  x2  I ,
Заметим, что доход потребителя не менее 200 руб. (в противном случае, он бы не смог
приобрести 4 кг яблок в январе). В силу того, что в условии нет никаких ограничений на доход
потребителя, то, варьируя величину дохода, можно получать различные графические
изображения (см. рис.2 и рис.3). Заметим, что если доход потребителя находится в интервале
(200;250), то ему не будет доступно некоторое количество яблок в интервале (4;5) (см. рис.
3).
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
x2
Бюджетное множество (январь)
I
Бюджетное множество (февраль)
4
I
50
5
I
30
x1
Рис.3. Бюджетное множество в феврале (200 ≤ I ≤ 250 руб.)
4 5
Однозначно определить,
станет ли потребитель в феврале покупать яблоки на
5
4
оптовой базе, невозможно. Прежний
выбор остается доступным потребителю при
бюджетном ограничении при условии покупки на оптовой базе, следовательно, при покупке
яблок на оптовой базе ему хуже не станет. Но при покупке яблок на оптовой базе
потребителю станут доступными новые наборы, среди которых может оказаться лучший
набор – тогда он будет приобретать яблоки на базе. Если среди них лучшего набора не
окажется, потребитель может продолжить покупать на розничном рынке.
(б) Улучшилось ли его благосостояние в феврале? Объясните.
(б) (0,5 балла) Положение потребителя в феврале, по крайней мере, не ухудшилось.
Докажем о противного. Пусть в феврале он выбрал набор
. Предположим, что положение
потребителя ухудшилось, т.е. набор
лучше, набора
. Т.к. в феврале ему доступны все
наборы, которые были ему доступны в январе (бюджетное множество января есть
подмножество бюджетного множества февраля), то его выбор в феврале противоречит
тому, что потребитель выбирает наилучший из доступных ему наборов. Таким образом,
положение потребителя, по крайней мере, не ухудшилось.
Либо просто замечаем, что в феврале потребителю остается доступным старый выбор,
поэтому он может его выбрать и его благосостояние не снизится.
(в) Изобразите любой набор, который, по Вашему мнению, он может выбрать в феврале. Объясните все
графические построения.
(в) (0,5 балла) Чтобы найти наборы, которые могут (но не обязаны) быть выбраны в
феврале, воспользуемся тем фактом, что правило выбора потребителя должно не противоречить
WARP. В силу того, что бюджетное множество января является подмножеством бюджетного
множества февраля, то воспользоваться слабой аксиомой можно в определенном направлении:
из того, что
прямо выявлено предпочитается набору (т.е. набор доступен в феврале, но
не выбран) следует, что не может быть того, что прямо выявлено предпочитается набору
(т.е. в январе набор
должен быть не доступен). Таким образом, в феврале могут быть
выбраны наборы не доступные в январе и удовлетворяющие требованиям, предъявляемым к
выбору потребителя (в частности, здесь ключевым является требование полноты расходования
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
бюджета). Графически, потребитель может выбрать любой набор, лежащей на красной линии
на рис.4.
Заметим также, что на бюджетной линии января все наборы, кроме , не удовлетворяют
WARP. Т.к. набор не противоречит WARP, то он также может быть выбран в феврале.
x2
Бюджетное множество (январь)
I
Бюджетное множество (февраль)
Наборы, которые могут быть
выбраны в феврале
4 5
I
30
I
50
x1
Рис.4.
(г) Ответьте теперь на вопросы (а)-(в) при предположении о том, что предпочтения потребителя
строго монотонны и кривые безразличия гладкие. (а) Станет ли потребитель в феврале покупать яблоки на
оптовой базе?
(г.а) (0,25 балла) Обозначим: 50x1  x2  I - уравнение (1), 30x1  x2  I - уравнение (2).
Определим, сколько денег потребитель тратил на композитное благо в январе: подставив x1 = 4
в уравнение (1), получаем x2 = I – 200. Определим, какое количество яблок может купить
потребитель в феврале, по-прежнему тратя x2 = I – 200 (руб.) на композитное благо: подставив
200
2
 6 (кг). Нанесем полученные точки на график
x2 = I – 200 в уравнение (2), получаем x1 
30
3
(см. рис.5).
x2
Бюджетное множество (январь)
I
Бюджетное множество (февраль)
2
M  ( x1 ; x2 )  R2 30 x1  x2  I ; 5  x1  6 
3
I-150
I-200
u
4 5
I
50
6
2
3
Рис.5.
I
30
x1
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
2
рис.5
M  ( x1 ; x 2 )  R2 30 x1  x 2  I ; 5  x1  6  (на
3
обозначено красной линией). Во-первых, любой набор из множества М содержит каждого
товара не меньше, чем в наборе , а значит по аксиоме строгой монотонности любой набор
из М (строго) предпочитается набору . Во-вторых, множество М является подмножеством
бюджетного множества потребителя в феврале в силу построения, а значит любой набор из
М доступен потребителю в феврале. В-третьих, каждая точка множества соответствует
полному расходованию бюджета. Следовательно, прежний выбор заведомо хуже любого набора
из множества M, и не может быть выбором в феврале, и в феврале стали доступны наборы,
4 выбор.
5
точно лучшие, чем прежний
Таким образом, потребитель в феврале станет покупать
яблоки на оптовой базе.
Рассмотрим
множество
(г.б) Улучшилось ли его благосостояние в феврале? Объясните.
(г.б) (0,25 балла) Благосостояние потребителя улучшилось, т.к. (как было показано выше)
ему стали доступны наборы (из множества М), лучшие по сравнению с оптимальным набором
января.
(г.в) Изобразите любой набор, который, по Вашему мнению, он может выбрать в феврале. Объясните
все графические построения.
(г.в) (0,25 балла) Рассуждения аналогичны рассуждениям в пункте (в) за исключением
того, что набор не может быть выбран в феврале (см. пункт (г.а)) в силу строгой
монотонности и того, что потребитель выбирает наилучший из доступных ему наборов.
x2
Бюджетное множество (январь)
I
Бюджетное множество (февраль)
Наборы, которые могут быть
выбраны в феврале
4 5
I
30
I
50
x1
Рис.6.
ОТВЕТЫ:
(а) на
оптовой базе?
(б)
благосостояние
?
(в)
возможный
выбор в
феврале?
4 5
(г) строгая монотонность:
Неизвестно
Да
Не ухудшилось
Улучшилось
=(4,
-
)
( x1 ; x2 )  R2 30 x1  x2
 I ; 5  x1 
I 

30 
( x1 ; x2 )  R2 30 x1  x2
 I ; 5  x1 
I 

30 
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
Задача 4. Рассмотрите потребителя с доходом
функцией полезности u ( x1 , x 2 )  4 x1  x 2 . Известно, что
m  240 , предпочтения которого представимы
p1  80 и p2  40 .
(а) Найдите выбор потребителя и изобразите его графически.
(а) (1 балл)
1) Потребитель потратит весь свой доход полностью в силу того, что полезность растет
по любому аргументу. Следовательно, задача потребителя:
u ( x1 ; x 2 )  4 x1  x 2

x1  0, x 2  0

 80 x  40 x  240
1
2

2) Поиск внутреннего решения. Если оптимум внутренний, то в точке оптимума условия
первого порядка имеют вид:
2
80 p1

~
MRS 1, 2  x   x  40  p
2
1

 ~
~
80 x1  40 x2  240
~
x  0, ~
x2  0
 1

240  80
x2 
 4 . Полезность полученного набора:
Откуда получаем ~
x1  1, ~
40
u(~
x1 ; ~
x2 )  4 1  4  8 .
3) Поиск угловых решений:
Если потребитель отказывается от потребления первого товара, то он выбирает набор
x1 , x2   0, 6 , полезность от которого ux1 , x2   6 .
Если потребитель отказывается от потребления второго товара, то он выбирает набор
xˆ1, xˆ2    3, 0, полезность от которого uxˆ1 , xˆ 2   4 3  6,93 .
4)
Сравнивая
полезности
от
внутреннего
решения
и
угловых
~
ˆ
ˆ
( u( ~
),
получаем,
что
потребитель
выберет
внутренний
набор




x1 ; x2 )  u x1 , x2  u x1 , x2
(~
x1 ; ~
x2 )   1, 4 . Изобразим выбор потребителя:
x2
6
(~
x1; ~
x2 )
4
1
3
Рис.1. Выбор потребителя
x1
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
(б) Правительство ввело адвалорную субсидию на потребление первого товара в размере 75%.
Изобразите бюджетное ограничение потребителя.
(б) (0,25 балла) Введение адвалорной субсидии означает, что субсидия устанавливается в
виде процента от стоимости товара. Таким образом, новое бюджетное ограничение принимает
вид:
(1  0,75)80 x1  40 x2  240 или 20x1  40 x2  240
x2
Старое бюджетное множество
Новое бюджетное множество
(февраль)
6
3
12
x1
Рис.2. Введение адвалорной субсидии
(в) Не проводя расчетов, проанализируйте, как могло измениться потребление товаров и благосостояние
потребителя в результате политики правительства.
(в) (1,25 балла) Обозначим несколько фактов, которыми воспользуемся в дальнейшем.
Во-первых, Предпочтения являются строго монотонными, т.к. функция полезности
возрастает по каждому товару.
2
Во-вторых, MRS 1, 2 x  
убывает с ростом x1, следовательно, предпочтения строго
x1
выпуклые.
В-третьих, кривые безразличия для предпочтений, представимых квазилинейной
функцией полезности, образуются путем параллельного сдвига вдоль оси x2.
Утверждение 1: Потребитель станет покупать больше первого товара.
Доказательство (от противного). Предположим, что после предоставления субсидии
потребитель все же не увеличит потребление первого товара. В силу полноты расходования
бюджета это означает, что он выберет набор из следующего множества:
А  ( x1 ; x2 )  R2 20 x1  40 x2  240; 0  x1  1
На рис.3 множество А обозначено красной линией.
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
x2
А  ( x1 ; x2 )  R2 20 x1  40 x2  240; 0  x1  1
6
5,5
В
(~
x1; ~
x2 )
4
1
3
12
x1
Рис.3.
В силу факта 3 наклон кривой безразличия в точке (В) совпадает с наклоном кривой
безразличия в точке В. В силу факта 2 (убывание MRS) и факта 3 (параллельность сдвига)
любой набор x множества A характеризуется следующим свойством: MRS 1, 2 x   MRS 1, 2 В  , С
другой стороны, наклон бюджетного ограничения в любой точке множества A равна
p1 1
 .
p2 2
Следовательно, для любого набора из множества A не выполнено условие касания и
потребитель не станет выбирать ни один набор из множества A, что противоречит
предположению. Конец доказательства.
Утверждение 2: Потребитель улучшит свое благосостояние.
Доказательство (от противного). Предположим, что потребитель в результате
предоставления субсидии не улучшит свое благосостояние, т.е. его новый выбор x** будет не
лучше его прежнего выбора x*=(1,4) до предоставления субсидии. Рассмотрим множество:
B  ( x1 ; x2 )  R2 20 x1  40 x2  240;1  x1  4
На рис.4 множество B обозначено красной линией.
x2
B  ( x1; x2 )  R2 20 x1  40 x2  240;1  x1  4
6
5,5
4
(~
x1; ~
x2 )
1
3 4
12
Рис.4.
x1
ГУ-ВШЭ 2009-2010 уч.г.
4 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1
Любой набор из множества B характеризуется тем, что в нем каждого товара не меньше,
а какого-то товара даже больше, чем в наборе x*=(1,4). В силу строгой монотонности (факт 1)
предпочтений любой набор из множества B лучше, чем x*. При этом все наборы множества B
доступны потребителю (после предоставления субсидии) по построению множества. Таким
образом, потребителю стали доступны лучшие наборы, следовательно, его благосостояние
улучшится. Конец доказательства.
(г) Найдите расходы правительства на данного потребителя.
(г) (0,75 балла) Найдем выбор потребителя после предоставления ему субсидии.
1) Потребитель потратит весь свой доход полностью в силу того, что полезность растет
по любому аргументу. Следовательно, с учетом изменившегося бюджетного ограничения
задача потребителя имеет вид:
u ( x1 ; x 2 )  4 x1  x 2

x1  0, x 2  0

 20 x  40 x  240
1
2

2) Поиск внутреннего решения. Если оптимум внутренний, то в точке оптимума условия
первого порядка имеют вид:
2
20 p1

~


MRS 1, 2  x  
40 p 2
x
1

 ~
~
20 x1  40 x 2  240
~
x  0, ~
x2  0
 1

240  320
x2 
 2  0 . Таким образом, оптимум не может
Откуда получаем ~
x1  16, ~
40
быть внутренним.
3) Поиск угловых решений:
Если потребитель отказывается от потребления первого товара, то он выбирает набор
x1 , x2   0, 6 , полезность от которого ux1 , x2   6 .
Если потребитель отказывается от потребления второго товара, то он выбирает набор
xˆ1 , xˆ2   12, 0 , полезность от которого u xˆ1 , xˆ 2   8 3  13,86 .
4) Сравнивая полезности от угловых решений ( uxˆ1 , xˆ 2   ux1 , x2  ), получаем, что
потребитель выберет набор xˆ1 , xˆ 2    12, 0 .
5) Правительство просубсидировало 75% от величины расходов на потребление первого
товара. Расходы потребителя на покупку 12 единиц первого товара составили бы 80*12=960
руб. Таким образом, расходы правительства на данного потребителя составляет: 0,75*960=720
руб.