(10 – 11 классы) Задачи с параметрами

Задачи с параметрами
(10 – 11 классы)
Параметры – это те же числа, просто заранее не известные.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция:
- уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловой
коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси
.
Линейные уравнения с параметрами
Уравнение
Если
, уравнение имеет единственное решение.
Если
, то уравнение не имеет решений, когда
решений, когда
.
, и уравнение имеет бесконечно много
Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a2 – 4)x = a + 2
Решение: Разложим коэффициент при
на множители.
Если
, уравнение имеет единственное решение:
Если
, уравнение не имеет решений.
Если
, то уравнение имеет бесконечно много решений
Пример 2. При всех значениях параметра а решить уравнение:
Решение: ОДЗ:
.
.
.
.
. При этом условии уравнение равносильно следующему:
. Проверим принадлежность к ОДЗ:
, если
. Если же
, то уравнение не имеет решений.
Пример 3. При всех значениях параметра а решить уравнение:
|х + 3| - a|x – 1| = 4.
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком
модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
, если
1)
. Найденный
будет решением, если
.
, если
2)
. Найденный
неравенству, следовательно, является решением при
, то решением является любой
. Если же
.
, если
3)
. Найденный
неравенству, следовательно, не является решением при
, то решением является любой
Ответ:
при
при
не удовлетворяет нужному
. Если же
. Сформируем
при
;
;
является также решением при всех
;
удовлетворяет нужному
.
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a =
2 – 3ax + 6a меньше 2 .
Решение: Найдем решения уравнения при каждом .
, если
. Решим неравенство:
.
При
уравнение не имеет решений.
Ответ: а  (-5 , 4) .
Линейные неравенства с параметрами
неравенства
,
,
,
Пример 1. Решить неравенство:
Если
любой
, то
, а при
.
Если
, то
решений нет.
. Если
, то при
решением является
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство
.
Решение.
, то
, то
Если скобка перед
. Если скобка перед
. Если же
или
положительна, т.е. при
отрицательна, т.е. при
, то решений нет.
Пример 3. Для всех значений параметра а решить неравенство
|х – а| – |x + a| < 2a .
Решение. При
имеем неверное неравенство
, т.е. решений нет. Пусть
, тогда
при
оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство
, т.е.
решений нет. Если
, то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и
получаем неравенство
, т.е.
, т.е., решением является любой
. Если
оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство
, т.е. ,
решением является любой
. Объединяя оба ответа, получим, что при
.
Пусть
, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части
неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа
Т.о., при
решений нет.
Ответ. При
, при
.
решений нет.
Замечание. Решении данной задачи получается быстрее и проще, если использовать
геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками.
Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до
точек а и -а .
Пример 4. Найти все а , при каждом из которых все решения неравенства
удовлетворяют неравенству
Решение.
неравенства
.
Решением неравенства
является множество
является множество
, а решением
. Чтобы
удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (
условие выполнится тогда и только тогда, когда
). Это
Ответ.
.
Пример 5. Найти все значения a , при которых неравенство
выполняется для
всех x из отрезка [1, 3] .
Решение. Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо
выяснить, какой корень больше.
и
. Т.о., при
и чтобы неравенство
выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чт При
и чтобы
неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы
.
При
вид :
(когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает
.
Ответ.
.
Пример 6. При каких значениях параметра а неравенство
справедливо при всех отрицательных значениях х ?
Решение. Функция
монотонно возрастает, если коэффициент
при неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при отрицательный.
Выясним знак коэффициента при
.
.
.
Пусть
. Тогда функция
монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено,
если
. Вместе с условиями
получим :
Пусть
. Тогда функция
быть выполнено.
Ответ.
монотонно убывает, и условие задачи никогда не может
.
2. Векторы на плоскости
Пусть два вектора на плоскости заданы своими координатами:
Модуль (длина) вектора:
.
Скалярное произведение:
где
,
- угол между векторами.
Условие параллельности двух векторов:
. Т.е.
у параллельных векторов координаты пропорциональны.
Условие перпендикулярности двух векторов:
. Т.е. два вектора
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Если вектор задан своими концами
Задача 1. Через точку
Решение. Пусть точка
и
, то вектор
провести прямую, параллельную вектору
- текущая точка искомой прямой. Тогда вектор
параллелен вектору
. Тогда выписывая условие
параллельности, получим уравнение искомой прямой:
.
.
.
Переписав в виде
получим уравнение с угловым коэффициентом
,
, проходящей через заданную точку
Задача 2. Через точку
Вектор
.
провести прямую, перпендикулярную вектору
.
, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором к прямой или
нормалью к прямой.
Решение. Пусть точка
- текущая точка искомой прямой. Тогда вектор
перпендикулярен вектору
. Тогда выписывая условие
перпендикулярности, получим уравнение искомой прямой:
.
Раскрыв скобки и обозначив число
, получим так называемое общее уравнение
прямой:
.
В этом уравнении коэффициенты при
и
являются координатами нормального вектора
прямой.
Всякая прямая
разбивает плоскость на две полуплоскости, где
одной стороны прямой и
с другой стороны. При этом точки той
части плоскости, куда смотрит вектор
Поэтому: направлении вектора
вектора
с
, удовлетворяет неравенству
функция
.
возрастает, а в направлении
она убывает.
Пример 5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
.
Решение. У параллельных прямых нормальные вектора тоже параллельны, т.е.
Согласно задаче 2 получим искомое уравнение:
или
3. Системы двух линейных уравнений с параметрами
.
.
Система уравнений
Решениями системы двух линейных уравнений являются точки пересечения двух прямых:
и
.
Возможны 3 случая:
. В
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е.
этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но
сдвиги различны, т.е.
.
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е.
. В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.
Пример 1. При всех значениях а и b решить систему уравнений
.
Решение. Выразим из первого уравнения
и подставим во второе уравнение. Получим:
.
Если
- единственное решение. Если
, то решений бесконечно много:
же
, то решений нет
. Если
, то если
Пример 2. При каком значении параметра а система уравнений
2(a + 1)x + 2y = 21
не имеет решений?
5(a - 3)x + y = 13
Решение. Система не имеет решений, если
Т.е.
Ответ.
.
.
.
Пример 3. При всех значениях а решить систему уравнений
Решение. Система равносильна совокупности двух систем:
. При этом
Прямые параллельны , если
прямые не совпадают, поэтому при
Если
, то выражая
решений нет.
из второго уравнения и подставляя в первое, получим:
.
Пример 4. Найти все такие значения а, что для любого значения b
найдётся хотя бы одно с такое, что система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Прямые не параллельны, если
В этом случае система имеет единственное решение при любом c.
По условию задачи система должна иметь решение при всех b.
Если
то система принимает вид:
. Чтобы при
решения, нужно, чтобы уравнение
система также имела
относительно c имело хотя
бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
Аналогично, если
то система принимает вид:
Чтобы при
система также имела решения, нужно, чтобы уравнение
относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о.,
дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е.
4. Системы двух линейных неравенств с параметрами
Пример 1. При каких значениях а система неравенств
не имеет решений?
Решение. Система имеет решения
Ответ:
при
при
только если
решением будет любой
.
;
решений нет.
Пример 2. При каких значениях а система неравенств
имеет хотя бы одно решение?
Решение. При
решений
первое неравенство не имеет решений. А тогда и вся система не имеет
Пусть
, тогда
. Пусть
, а
рения есть при
запишется в виде
Ответ:
и эта система не имеет решений, так как
, тогда
, и , так как при
т.е.
выполнено неравенство
, то решение
.
при
решением будет любой
при
решений нет.
;
Пример 3. При всех значениях а решить систему
Решение. Перепишем систему неравенств в виде
. Рассмотрим все
возможные случаи
. Тогда система неравенств принимает вид
1)
выражения в правых частях . Имеем:
всех
. Сравним между собой
при
. Поэтому
x > (4a+1)/(a+4) .
2)
. Тогда первое неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
. Тогда система неравенств принимает вид
3)
. Сравним между собой выражения
в правых частях . Имеем:
. Поэтому (4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) .
при всех
4)
. Тогда второе неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
. Тогда система неравенств принимает вид
5)
выражения в правых частях . Имеем:
всех
. Поэтому
x < (2a-3)/(a-1) .
Ответ: x < (2a-3)/(a-1) при a < -4 ;
(4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) при -4 < a < 1 ;
при
и при
решений нет.
Пример 4. При всех значениях а решить систему
Решение.
. Сравним между собой
при
При
система не имеет решений.
Пусть
, тогда
и эта система не имеет решений.
Пусть
, тогда
и эта система будет иметь решения, если выполнено
неравенство:
Ответ.
.
.