1 - О нас

Введение и краткое резюме
Настоящая работа посвящена исследованию движений
автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием
внешней периодической силы. Такие движения представляют
интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких
движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно
замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это
явление заключается в том, что, когда период внешней силы
достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения
пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания.
Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего
сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды
"исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от
интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами
математически недостаточно строгими; кроме того, бралась
характеристика весьма частного вида - кубическая парабола.
Поэтому мы будем рассматривать
случай произвольной
характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с
периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при
малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные
движения, возможные в исследуемой системы, например
периодические решения с периодом, кратным периоду внешней
силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне
важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических решений воспользуемся
методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для
случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой
целью введем в наше уравнение параметр  таким образом, чтобы
при  = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались
синусоидальными. Этот параметр , который мы предполагать
достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от
выбора системы.
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения
при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя,
чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы
сходимости тех рядов,
с которыми нам придется иметь дело;
грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной
расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в §
2
5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для
устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в
конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается
случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул
совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.
§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно
сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:
x   2 x   sin t   f ( x , x); (1)
При  = 0 это уравнение имеет единственное периодическое
решение

x   (t )  2 sin t; (2)
 1
Рассмотрим случай, когда  бесконечно мало. Согласно Пуанкаре
мы будем искать решение (1) в следующем виде:
x   (t )  A1  B 2  C  F2 ( 1 ,  2 ) (3)
x    (t )  A1  B  2  C   F2( 1 ,  2 )
  (t )  A1  B 2  C   F2   2 ( (t )  A1  B 2  C  F2 )   sin t  f ( , )
Начальные условия выберем так:
x(0)   (0)  1 ; x(0)   (0)   2 (4);
F2 - степенной ряд по 1 2,  начинающийся с членов второго
порядка. Подставим (3) в (1):
  (t )  A1  B 2  C   F2   2 ( (t )  A1  B 2  C  F2 )   sin t  f ( ,  )
Сравнивая коэффициенты при 1 2,  получим уравнение для А,
В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в
(3).
A   2 A  0; A(0)  1; A(0)  0;
B    2 B  0; B(0)  0; B (0)  1;
C    2 C  f ( ,  ); C (0)  0; C (0)  0;
Решая задачи Коши, получим:
3
1
1
A  cos t ; B  sin  t; C 


Для того, чтобы
необходимо
t
 f ( , ) sin(  (t   ))d ; (5)
0
(3) представляли периодические
и
достаточно,
x(2 )  x(0)  1  0; x(2 )  x(0)  2  0; (6)
решения
чтобы
Введем обозначения [ A]  A(2 )  A(0) ; для остальных функций
аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:
 1  [ A] 1 [ B] 2  [C ]   [ F 2 ]
 2  [ A] 1 [ B] 2  [C ]  [ F 2 ] (7)
Если в этой системе можно 1 2 представить в виде функции  так,
чтобы 1 2,  исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое
решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным
условием существования периодического решения при малых 
служит неравенство 0 Якобиана.
 1
 1
 2
 1
 1
 2
 2
 2
 0;
В нашем случае:
[ A] [ B]
 2(1  cos 2 )
[ A] [ B]
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых  и любых
f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
Ф(t )   0 (t )   1 (t )   2  2 (t )  .... (8);
4
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением
(8). Сделаем замену: x = Ф(t) +  ; в уравнении (1) при этом
отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени  и '.
Ф      2 (Ф   )   sin t   f (Ф, Ф)   { f x (Ф, Ф)  f x (Ф, Ф) }
Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим
уравнение первого приближения:
    2    { f x (Ф , Ф )   f x ( Ф , Ф )   } (10 )
Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими
коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде
функции
времени 1  (0);  2   (0) ;
  A 1  B  2 ; (*)
AиB
Удовлетворяют тому же уравнению, что и
, то есть (10).
Начальные условия для них определены следующим образом.
 (0)  A(0) 1  B (0) 2  1  A(0)  1 ; аналогичным образом можно
показать, что A(0)  0; B (0)  0; B(0)  1; (11).
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по .
f  (Ф, Ф)  f  (  ,   )   { f  ( ,  )   f  ( ,   )   }   2 {}  ....
x
x 0 0
xx 0 0 1 xx 0 0 1
f  (Ф, Ф)  f  (  ,   )   { f  (  ,   )   f  ( ,   )   }   2 {}  ..
x
x 0 0
xx
0 0 1 xx 0 0 1
искать
в
A и B будем
2
2
A  A0   A1   A2  ....; B  B0   B1   B2  .. (12).
Подставим (12) в (10) и сравнивая
соответствующих степенях , получим:
5
коэффициенты
виде:
при
A0   2 A0  0; B0   2 B0  0;
A1   2 A1  { f x ( 0 ,  0 ) A0  f x ( 0 ,  0 ) A0 }
A 2   2 A2  { f x ( 0 ,  0 ) A1  f x ( 0 ,  0 ) A1 }  { f xx  1  f xx 1}A0  { f xx 1  f xx 1}A0 (13)
Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы
выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и
сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях ,
получим
A (0)  A0 (0)  A1 (0)   .....  1;  A 0 (0)  1; A0 (0)  0;
Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений
условия будут нулевые. Итак:
A 0 (0)  1; A0 (0)  0; B 0 (0)  0; B0 (0)  1;
(14)
 i  1 A i (0)  B i (0)  Ai (0)  Bi (0)  0;
Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
t
1
A 1  { f x ( 0 ,   0 ) cos    f x ( 0 ,   0 )  sin   } sin  (t   ) d
0
t
1
1
B 1  { f x ( 0 ,   0 ) sin    f x ( 0 ,   0 ) cos   } sin  (t   ) d
0

(15)
Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с
периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет
вид:
  S 1 (t ) e  1 t  S 2 (t ) e  2 t
S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). 1, 2
- характеристические показатели.

e  1 , т.е. колебания затухают, то в этом случае
Если все
выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того,
что периодическое решение уравнения первого
приближения
вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические
показатели можно определить из следующего уравнения:
6
 1
 1  e T
 1
 2
 1
 1
 2
 2
 1  e T
 2
T
2 
 ;
=0 (16) Полагаем e  e
 1  2  0
 1   (2 )   (0)  A (2 )  1 B (2 )  2   1
 2    (2 )    (0)  A  (2 )  1 B  (2 )  2   1
Тогда определитель будет:
A (2 )  
A  (2 )
B (2  )
B  (2  )  
 0; (17)   p  p 2  q ; (18)
A (2 )
1
p  { A (2  )  B  (2  )}; q 
2
A  (2 )
B (2  )
B  (2  )
; (19)
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (),
или что все равно   . Если   < 1 имеет место устойчивость  
= 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса.  > 1
имеет место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом
случае -комплексные; 2 =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 неустойчивость.
Случай второй -  - действительные:   p  p 2  q ; (21)
устойчивость соответствует p  p 2  q  1 p и q нетрудно получить в
виде рядов по степени  из формул (19) (12).
1
p  { [ A 0  B 0 ]   [ A 1 B 1]   2 [ A 2  B 2 ]  ...};
2
(22)






q  [ A 0 B 0  A 0 B 0 ]   [ A 0 B 1 A 1 B 0  A 0 B 1  A 1 B 0 ]  ....;
Если принять во внимание (15)

p  cos 2   [ a sin 2   b cos 2  ]  ...
2
(22a)
q 1   b  ...
7
p 2  q   sin 2 2    sin 2  [a cos 2    b cos 2   ]  ...;
2
1
a   f x ( 0 ,   0 ) d  ; b 
 0
2
 f  (
x
,   0) d  ;
0
(23)
0
Мы видим, что при достаточно малом  и n; n  Z вопрос об
устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b,
если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.
В нашем случае b имеет вид:
2
b

f x (
0


sin

,
cos  ) d 
 21
 21
(23a)
§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.
Тогда о; 2 = 1+ aо , (24) (aо ,  - расстройка , реальный
физический резонанс наступает при aо  0).
Тогда исследуемое уравнение имеет вид :
x  x   (  0 sin t  f ( x , x )  a 0 x) ; (25)
При

=
0
периодическое
решение
будет
x 0   ( t )  P sin t  Q cos t ; P, Q  const (26)
иметь
вид
:
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение
в виде:
x   (t )  A 1  B  2  C   D  1   E  2   G  2   F 2 )
x    (t )  A  1  B  2  C    D 1   E   2   G   2   F 2 )
(27);
Начальные условия возьмем как и раньше:
x ( 0 )   ( 0 )   1 ; x ( 0 )    ( 0 )  
2
( 28 );
Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах.
Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при 1 2,  и
других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым
удовлетворяет A, B, C, D, E, F.
Начальные условия для этих
уравнений определим, если подставим (28) в (27).
8
A  A  0; A ( 0 )  1; A ( 0 )  0;
B   A  0; B ( 0 )  0; B  ( 0 )  1;
C   C  f (  ,   )   0 sin t  a 0  ; C ( 0 )  0; C  ( 0 )  0;
D   D  ( f x (  ,   )  a 0 ) A  f x (  ,   ) A ); D ( 0 )  0; D  ( 0 )  0; (29)
E   E  ( f x (  ,   )  a 0 ) B  f x (  ,   ) B  ); E ( 0 )  0; E  ( 0 )  0;
G   G  ( f x (  ,   )  a 0 ) C  f x (  ,   ) C  ); G ( 0 )  0; G  ( 0 )  0;
Запишем условия периодичности для (27):
  x ( 2 )  x ( 0 )  [ C ]   [ D ]  1   [ E ]  2   [ G ]  2   F 2  0 ;
   x ( 2 )  x ( 0 )  [ C  ]   [ D ]  1   [ E  ]  2   [ G ]  2   F 2  0 ; (30)
Делим на :
[C ]  [ D] 1  [ E ]  2  [G ]   F 2  0
( 30a )
[ C  ]  [ D ]  1  [ E  ]  2  [ G  ]   F 2  0
Необходимым условием существования периодического решения
является:
2
[ C ]   ( a 0   f (  ,   )   0 sin t ) sin  d 
0
2
[ C  ]   ( f (  ,   )   0 sin t  a 0  ) sin  d 
0
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к
которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть
записаны в раскрытой форме :
1

1

2

f ( P sin   Q cos  , P cos   Q sin  ) sin  d   
0
 a 0 Q  0;
0
2

f ( P sin   Q cos  , P cos   Q sin  ) cos  d   a 0 P  0;
0
(31)
9
Для существования искомого периодического решения достаточно
неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).
[D]
[ D ]

[ E ] D (2 )

[ E  ] D (2 )
E (2  )
; (32)
E  (2  )
D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул
аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить 1, 2, в
виде рядов по степеням . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1
представить в виде ряда.
Ф ( t )   0    1   2  2  ....;
 0  P sin t  Q cos t ;
(33)
P,Q-определяются формулами (31) (32).
§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в
области резонанса
Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение
первого приближения, порожденное решением (33).
     { [ f x ( Ф , Ф )  a 0 ]   f x ( Ф , Ф )  }
Решение опять будем искать в виде   A 1  B  2 . Однако нет
необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся
результатами § 2, приняв:
 0  P sin t  Q cos t ;   1 ; f ( x , x )  f ( x , x )  a 0 x0 ;
Из формул (22)
p  1 
b
 ...
2
q  1   b  . . .(34)
.
, тогда
b2
p  q   {  }  ...;  - тот же Якобиан, что и (32). Распишем
4
2
2
его:
10
a11  a12
a0   a11  a12
(35)
a 22  a12  a0 
a 22  a12

2
a11   f x ( 0 ,   0 ) sin  d 
2
2
a11   f x ( 0 ,   0 ) sin 2  d 
0
0
2
2
0
0
a12   f x ( 0 ,   0 ) sin  cos  d  a12   f x ( 0 ,   0 ) sin 2  d 
(36)
 0  P sin   Q cos  ;
Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить  в виде функции P,
Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
2
b   f x ( P sin   Q cos  , P cos   Q sin  ) d  ; (37)
0
Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно
рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при
достаточно малых )
b2
4
b2
2) p2 - q > 0   
4
1) p2 - q < 0   
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или,
что то же самое b < 0.
Во
втором
случае
p  p 2  q  1  п о (34)
b

2
b2
  0
4
(*)
последнее может быть выполнено только, если b < 0, а  > 0.
Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих
случаях является b < 0,  > 0. (Это можно получить из неравенства
(*) ).
11
§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих
параграфах, к теории захватывания в регенеративном
приемнике для случая, когда характеристика - кубическая
парабола.
Мы
рассмотрим
простой
регенеративный
приемник
с
колебательным контуром в цепи сетки, на который действует
внешняя сила Ро sin 1 t.
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура
следующее:
t
di
di
1
L  r i   i d t  M a  P sin  1 t (39)
dt
c0
dt
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а
также, что характеристикой является кубическая парабола:
V 2g
i a  f ( V g )  S Vg ( 1 
) (40)
3K 2
t
i
c
S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения Vg   d t .
0
Далее, вводя обозначения:    1 t
Vg
 02
MS
x
;
 
( M S  c r) ;
K M S cr
1
 02
0
;   2
1
Lc
Получим дифференциальное уравнение для х:
1
2
x   2 x   sin    (1 x 2 ) x (41)
А: (случай далекий от резонанса).
Для него применяем результаты § 1, полагая f ( x , x )  (1  x 2 ) x .
Исходное решение в не посредственной близости, к которому
устанавливается искомое решение следующее:
x

sin 
 2 1
Если  > 1, т.е. о > 1, то разность фаз равна 0, если  < 1, то
разность фаз равна . В этом отношении все происходит в первом
приближении также, как и при обычном линейном резонансе.
Устойчивость определяется знаком b (b < 0).
12
2
2




b   f x ( 2 sin  , 2 cos  ) d   b   (1  ( 2 sin  ) 2 ) d    ( 2  ( 2 ) 2 ) 
 1
 1
 1
 1
0
0

  (2  R 2 ) ; b  0  R 2  2  ( 2 ) 2  2
 1
(42).
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.
В: (область резонанса , § 3, 4).
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной
близости к которому устанавливается искомое, будет решение
следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31)
для нашего случая.
1

1

2
 ( 1  ( P sin 
 Q cos  ) 2 ) ( P cos   Q sin  ) sin  d   0  a 0 Q  0
0
2
 ( 1  ( P sin 
 Q cos  ) 2 ) ( P cos   Q sin  ) cos  d  a 0 P  0
0
Или преобразовав их, получим следующее:
P 2 Q 2
P 2 Q 2
P{
 1}   0  a 0 Q  0;
Q {1 
}  a 0 P  0; (43)
4
4
P0
M S
1
 0
(44)
1 K ( M S  c r) ( M S  c r)
a0 
2(0 1 )
 ( M S  c r)
2
0
Полагая Р = R sin ; Q = R cos . Далее найдем для амплитуды R и
фазы  для того исходного периодического решения, в близости к
которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение
, соотношения связывающие их :
R2
a R  R (1
)   02 ;
4
2
0
2
2
R2
1
tg  
(1
) ; (45)
a0
4
13
Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды.
Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0,
 > 0. Считаем b и  через формулы (35-37).
b   ( 2  R2 );

a 11  a 12
 a 11  a 12  a 0 
3
  2 ( R 4  R 2  1  a 02 ) ;
a 22  a 12  a 0  a 12  a 22
16
(46)
b  0  R2  2
(**) ;
3
  0   2 ( R 4  R 2  1  a 02 )  0
16
Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие
(**).
В заключение выпишем формулы для вычисления aо,
соответствующего
ширине захватывания для рассматриваемого
случая.
1)  0 
32
27
a0 - является общим корнем уравнений
R2
3 4
2
2
2
a 0 R  R (1
)   02 ;
R  R 2  1  a 02 )  0
4
16
2)
0 
32
27
a0  

2
0
2
Сама ширина , отсчитанная от одной границы захватывания до
другой выражается следующим образом:  = aо 2о (MS - c r).
Можно дать простые формулы для вычисления ширины
захватывания в следующих случаях:
а) 2о << 1;  = о Ро/Vоg.
б) для очень сильных сигналов   
P0  0
V
0
g
2
( Vоg - амплитуда
сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).
14
Список литературы
1. Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук
СССР", 1956.
2. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. .
Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
3. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков,
1892.
15