Решение тригонометрических уравнений».

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Алгебра 10
Колпакова Елена Ивановна ,
учитель математики
МБОУ «СОШ №3 г. Строитель»
Тема « Решение тригонометрических уравнений»
Учебник: Алгебра и начала анализа 10класс: учеб. для
общеобразовательных учреждений /С.М.Никольский, М.К.Потапов и др.
– М., 2011.
Цели урока:
1. Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию
материала темы. Научить при решении уравнений применять
формулы понижения степени. Создать условия контроля усвоения
знаний и умений.
2. Развивающие – способствовать формированию умений применять
приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса
знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора,
мышления и речи, внимания и памяти.
3. Воспитательные – содействовать воспитанию
интереса
к
математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения
общаться, общей культуры.
Методы обучения: частично – поисковый. Проверка уровня знаний,,
работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих
задач, системные обобщения, самопроверка, восприятие нового
материала, взаимопроверка.
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная.
Оборудование и источники информации: Экран; мультимедийный
проектор; ноутбук. У учащихся на партах листы учета знаний;
системно – обобщающая схема; по два подписанных листочка и два
бланка для записи ответов.
План урока:
1. Оргмомент.
2. Проверочная работа по контролю
тригонометрическим уравнениям.
знаний
по
простейшим
3. Сообщение об истории развития тригонометрии.
4. Систематизация теоретического материала.
5. Объяснение нового материала
6. Обучающая самостоятельная работа.
7. Итог урока.
1. Организационный момент.
Историческая справка
Французский писатель Анатоль Франс (1844 – 1924) однажды
заметил: «Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания,
надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке
будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны,
будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся
вам в вашей дальнейшей жизни. Сегодня у нас заключительный урок
по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем,
обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и
приемы решений тригонометрических уравнений.
Перед нами стоит задача – показать свои знания и
решению тригонометрических уравнений.
умения по
2. Проверочная работа.
Ц е л ь : контроль знаний и приведение
простейшим тригонометрическим уравнениям.
в
систему
знаний
по
Работа проводится в двух вариантах. Вопросы проецируются на Т е
м а : «Решение простейших тригонометрических уравнений».
экран.
В а р и а н т 1.
1. Каково будет решение уравнения
В а р и а н т 2.
1. Каково будет решение уравнения
cos x  a при a  1 ?
sin x  a при a  1 ?
2. При каком значении а уравнение
cos x  a имеет решение?
2. При каком значении а уравнение
sin x  a имеет решение?
3. Какой формулой выражается это
решение?
3. Какой формулой выражается это
решение?
4. В каком промежутке находится
arccos a ?
4. В каком промежутке находится
arcsin a ?
5. В каком промежутке находится
значение а?
5. В каком промежутке находится
значение а?
6. Каким будет решение уравнения
cos x  1 ?
6. Каким будет решение уравнения
sin x  1 ?
7. Каким будет решение уравнения
cos x  1 ?
7. Каким будет решение уравнения
sin x  1?
8. Каким будет решение уравнения
cos x  0 ?
8. Каким будет решение уравнения
sin x  0 ?
9. Чему равняется arccos а  ?
9. Чему равняется arcsin  а ?
Работа окончена, собираются бланки с ответами. Учащиеся
отмечают на листочках неправильные шаги и количество правильных
ответов, заносят в лист учета знаний.
На экране – слайд 6. (Ответы)
№
Вариант 1.
Вариант 2.
1.
Нет решения
Нет решения
2.
а 1
а 1
3.
х   arccos a  2n , n  Z
x   1 arcsin a  k , k  Z
4.
На оси Ох
На оси Оу
5.
0;  
  
 2 ; 2 
k
6.
 1; 1
 1; 1
7.
х  2п , n  Z
х
8.
9.
x    2n , n  Z
х

2
 п

 2k
2
х

2
 2k
, k Z
х  k , k  Z
, nZ
10.
n  arccos a
 arcsin a
11.
  
 ; 
 2 2
0;  
12.
, k Z
x  arctg a  n ,
nZ
x  arcctg a  k ,
k Z
4. Систематизация теоретического материала.
1. Найти ошибку. (Презентация. Слайд 7)
Цель: повторение
арккотангенс числа.
понятий
арксинус,
арккосинус,
арктангенс
и
Устные задания на определение вида простейших тригонометрических
уравнений. Слайды 8 и 9.
Цель: обобщение знаний по видам простейших тригонометрических
уравнений.
На слайдах вы видите схемы решений тригонометрических уравнений.
Как вы думаете, какая из схем представленной группы является
лишней? Что объединяет остальные схемы?
Ответы:
Слайд 8. 5 – я схема лишняя, так как эта схема изображает решение
уравнения вида ; 1, 2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида .
Слайд 9. 1 – я схема лишняя, так как она изображает решение
уравнения вида ;
5 – я схема лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения
вида ;
2, 3, 4, 6 – изображают решение уравнений вида .
Слайды 10, 11 Установить соответствие: Уравнение Корни.
Установите соответствие:

1
sin x = 0
2
cos x = -1
3
sin x = 1
4
cos x = 1
5
tg x = 1
6
sin x = - 1
7
cos x = 0
2
 2k , k  Z
2k , k  Z
k , k  Z

2


 k , k  Z
 2k , k  Z
2
  2k , k  Z

4
 k , k  Z
2. Экспресс – опрос (Презентация. Слайды 12, 13, 14, 15)
Учащимся
предлагается
определить,
тригонометрического уравнения показано на
окружности. Записать его корни
Уравнение
1.
Слайд
12
2.
sin x 
Слайд
13
3.
1
2
ctgx  3
Слайд
14
4.
Слайд
15
tgx  
Корни
2
2
cos x 
3
3
решение
какого
тригонометрической
х
х
х

6

6
х
 2п, п  Z
 п, п  Z

6
 п, п  Z

4
 2п, п  Z
3. Классификация тригонометрических уравнений.Цель: привести в
систему знания по типам и методам решения тригонометрических
уравнений.
Слайды 16 – 20 . Составление
тригонометрических уравнений.
таблицы
по
методам
решения
Учащимся
предлагается
решить
уравнения
( по вариантам)
предварительно определив, что это за уравнение и каким методом оно
решается. У доски данную работу выполняет один ученик – решение
уравнения одного варианта. Учащиеся, выполняющие работу другого
варианта, решают уравнение на листочках.
В а р и а н т 1.
В а р и а н т 2.
1) Разложение на множители.
3 sin 2 x  3 sin x cos x  0
3 cos 2 x  3 sin x cos x  0
2) Уравнения сводимые к алгебраическим.
cos 2 x  sin 2 x  sin x  0,25
3 cos 2x  5 cos x  1
3) Введение новой переменной.
3 cos 2 x  5 sin 2 x  sin 2 x  0
cos 2 x  cos 2 x  sin x cos x  0
4) Уравнения решаемые с помощью формул сложения.
sin x  sin 3x  4 cos3 x
cos 3x  cos 5x  sin 4x
5) Введение вспомогательного аргумента
sin x  3 cos x  2
21.)Цель:
2 cos x  2 sin x  1
5.Объяснение нового материала. (Презентация Слайд
Познакомить учащихся с еще одним методом решения
тригонометрических уравнений – методом понижения степени уравнений.
Если в уравнении имеется синус или косинус в четной степени, то,
выражая
cos 2  
квадраты синуса (
sin 2

2

1  cos 
2
)
и косинуса (
1  cos 
2
) половинного угла
через косинус угла, можно понизить степень уравнения
Опираясь на формулы квадрата половинных углов, записываем формулы
понижения степени
sin 2  
1  cos 2
2
cos 2  
и
1  cos 2
2
.
Учащимся для рассмотрения новой темы предлагается к решению
уравнение:2sin2 x + cos 4x = 0
Решение:
1
1  cos 2 x   cos 2  2 x  0
2
1  cos 2 x  cos 2 2 x  sin 2 2 x  0
2
cos 2 2 x  cos 2 x  cos 2 2 x  0
2 cos 2 2 x  cos 2 x  0
cos 2 x2 cos 2 x  1  0
1) cos 2 x  0
2x 
x


4
2
или
 k , k  Z

k
2
, k  Z.
2) 2 cos 2 x  1  0
1
cos2 x 
2
2x  
x


6
3
 2n, n  Z
 n, n  Z
Ответ: уравнение имеет три серии решений:

4

k
2
, k  Z;

6
 n, n  Z ;


6
 m,
mZ .
6. Самостоятельная работа (обучающего характера).
В а р и а н т 1.
В а р и а н т 2.
Решить уравнение, применяя
формулы понижения степени.
Решить уравнение, применяя
формулы понижения степени.
sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  1,5
cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  1,5
7.Подведение итогов урока.Рефлексия
1. сегодня я узнал…
2. меня удивило
3. было интересно…
4. было трудно…
5. я выполнял задания…
6. я понял, что…
7. теперь я могу…
8. я почувствовал, что…
9. я приобрел…
10.я научился…
11.у меня получилось …
12.я смог…
13.я попробую…
14.меня удивило…
15.урок дал мне для жизни
16.…мне захотелось
8.Домашнее задание:
№11.19(а,б);11.18(а,б);11,23; 207 (а, б, в, д), стр. 389 – «Алгебра и
начала анализа – 10» Никольский С.М. (2007 г.)