Уравнение Шредингера (конкретные)

6 Квантовая физика. Физика атома 4 Уравнения Шредингера (конкретные ситуации)
Стационарное уравнение Шрёдингера для свободной частицы:
Его решение   x, t   Ae
E
2 mE 
i  t 
x 



 Be
d 2 2m

E  0 .
dx 2  2
E
2 mE 
i  t 
x 



.
Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в
одномерной
бесконечно
глубокой
потенциальной
яме:
2
n x
 2 2m
 2 E  0 . Его решение  n x    sin  .
2
x

mO2 2 
d 2 2m 


E

x   0 .
dx 2  2 
2

O 
1
  n  O , n  0,1, 2, ... .
Собственные значения энергии линейного гармонического осциллятора: En  2n  1
2
2

2

2 m (U 0  E )
I прох
Коэффициент прозрачности D 
прямоугольного потенциального барьера: D  D0e 
.
I пад
Уравнение Шрёдингера для линейного гармонического осциллятора:
Коэффициент прозрачности D 
I прох
I пад

потенциального барьера произвольной формы: D  D0 e
2

X2

2 m[U ( x ) E ]dx
X1
.
Коэффициент отражения потенциального барьера R = 1 – D.
Ф6.4.1-1
На рисунках приведены
картины
распределения
плотности
вероятности
нахождения микрочастицы
в потенциальной яме с
бесконечно
высокими
2:
3*:
стенками. Состоянию с 1:
квантовым числом n = 4
соответствует …
Решение уравнения Шрёдингера для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
ψ-функция
2
l
имеет
вид:

2  n 
sin  x  , а
l
 l 

2
–
плотность
вероятности,
имеет
вид
 n 
x  , где n – определяет количество экстремумов (вершин) графика функции. Т.о. для n=4
 l 
  sin 2 
2
соответствует график с 4 вершинами:
Ответ: 3
Ф6.4.1-2
На рисунках приведены
картины
распределения
плотности
вероятности
нахождения микрочастицы
в потенциальной яме с
бесконечно
высокими
стенками. Состоянию с
2*:
3:
квантовым числом n = 4 1:
соответствует …
Решение уравнения Шрёдингера для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
ψ-функция
2
l
имеет
вид:

2  n 
sin  x  , а
l
 l 

2
–
плотность
вероятности,
соответствует график с 4 вершинами:
Ответ: 2
Ф6.4.1-3
Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной L имеет
вид:
вид
 n 
x  , где n – определяет количество экстремумов (вершин) графика функции. Т.о. для n=4
 l 
  sin 2 
2
имеет
. Величина импульса этой частицы в основном состоянии равна:
1:
2:
*
3:
4:
Решение I
2mE . Из уравнения волновой
2
2
2
n . Получаем:  n 
n
p
2m m 2
m 2 2
n m
 n 
функции можно утверждать, что  
 .



. 

  2
 
2
L
L


2

L

 L 
 L 


n


Итоговая формула выглядит следующим образом: p 
. Для основного состояния n=1, а p 
.
L
L
Из уравнения Шрёдингера для частица в потенциальной яме следует следующая формула  2 
Решение II



Импульс частицы определяется соотношением p  k , где k – волновой вектор (волновое число
k
2 ),
2 – постоянная Планка. Отсюда модуль импульса
h

p  . В основном состоянии



(n=1) картина волновой функции ψ=ψ(l) имеет вид, представленный на рисунке.
Отсюда следует L 
 , тогда
h
  2  .
p


2
2L
2L
L
Ответ: 2
Ф6.4.1-4
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с
бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле
вероятности, определяемая
-функцией. Если
, где
-функция имеет вид, указанный на
рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке
1:
*
– плотность
равна…
2:
3:
4:
Решение I
Решение уравнения Шрёдингера для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ψ –функция имеет
2
 n     – плотность вероятности, имеет вид

sin  x  , а
L
 L 
условиях задания ( L  x  5 L , n=3) будет равна:
6
6
2
вид  
5L
6
5L
6
2
2
2
 3 
P    dx   sin 2 
x dx 
L
 L 
L
L L
6

1
x |
L
6
5L
6
L
6

L
 6
sin 
6
 L
5L
6
1
1
 6 
L 2 1  cos L x  dx  L
6
2

2
 n 
sin 2  x  . Соответственно вероятность в
L
 L 
5L
 56L

6


6

1


 6  

L 1  cos L x  dx  L  L dx  L cos L x dx 
 6

6
6
5L
6
L
  1  5L L L
 6 5L  L
 6 L  1  4 L L
 2
x |     
sin 
sin 

sin 5  
sin   

  
L
6
6
6

L
6
6

L
6
L
6
6

6

 





 3

5L
6
L
6
.
Решение II
L
Полная вероятность

2
dx  1 . График полной вероятности в данном случае показан на
0
рисунке. С геометрической точки зрения полная вероятность равна площади под графиком. Всю
площадь под графиком можно разделить на 6 равных частей, из которых только 4
(закрашенные) входят в заданный участок, следовательно Р 
Ответ: 1
4 2
 .
6 3
Ф6.4.1-5
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с
1:
бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле
вероятности, определяемая
-функцией. Если
, где
-функция имеет вид, указанный на
рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке
*
– плотность
равна…
2:
3:
4:
Решение I
Решение уравнения Шрёдингера для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ψ –функция имеет
2
 n     – плотность вероятности, имеет вид

sin  x  , а
L
 L 
условиях задания ( L  x  5 L , n=3) будет равна:
3
6
2
вид  
2

2
 n 
sin 2  x  . Соответственно вероятность в
L
 L 
5L
 56L

6
2
2 1
1 
1
2

 6 
 6 
 6  
2  3
P    dx   sin 
x dx   1  cos
x  dx   1  cos
x  dx    dx   cos
x dx 
L L2
L L
L L
L  
 L 
 L 
 L 

L
L L
L
 3

3
3
3
3
3
5L
5L
1
L
L
 6  6  1  5L L L
 6 5L  L
 6 L  1  3L L
 1
  x | L6 
sin 
x |L     
sin 
sin 
sin 5  
sin 2  

   
L 3
6
6
 L  3  L  6 3 6
 L 6  6
 L 3  L  6 6
 2
5L
6
5L
6
5L
6
5L
6
.
Решение II
L
Полная вероятность

2
dx  1 . График полной вероятности в данном случае показан на
0
рисунке. С геометрической точки зрения полная вероятность равна площади под графиком. Всю
площадь под графиком можно разделить на 6 равных частей, из которых только 3 (закрашенные)
входят в заданный участок, следовательно Р  3  1 .
6
2
Ответ: 1
Ф6.4.1-6
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с
бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле
вероятности, определяемая
-функцией. Если
, где
– плотность
-функция имеет вид, указанный на
рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке
равна…
1:
2:
3:
4:
Решение I
*
Решение уравнения Шрёдингера для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ψ –функция имеет
2
 n     – плотность вероятности, имеет вид

sin  x  , а
L
 L 
условиях задания ( L  x  L , n=3) будет равна:
6
2
2
вид  
2
2
 n 
sin 2  x  . Соответственно вероятность в
L
 L 

L
 L2

2
2
2 1
1 
1
2

 6 
 6 
 6  
2  3
P    dx   sin 
x dx   1  cos
x  dx   1  cos
x  dx    dx   cos
x dx 
L L2
L L
L L
L  
 L 
 L 
 L 

L
L L
L
 6

6
6
6
6
6
L
2

L
2
L
2
L
2
L
L
1 2
L
L
 6  2  1  L L L
 6 L  L
 6 L  1  2 L L
 1
sin 
x  |L     
sin 
sin 

sin 5  
sin 2   .

  
x |L 
L  6 6
6
 L  6  L  2 6 6
 L 2  6
 L 6  L  6 6
 3
Решение II
L
Полная вероятность

2
dx  1 . График полной вероятности в данном случае показан на
0
рисунке. С геометрической точки зрения полная вероятность равна площади под графиком. Всю
площадь под графиком можно разделить на 6 равных частей, из которых только 2 (закрашенные)
входят в заданный участок, следовательно Р  2  1 .
6
3
Ответ: 1
Ф6.4.1-7
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с
бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле
вероятности, определяемая
-функцией. Если
, где
-функция имеет вид, указанный на
рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке
1:
*
– плотность
равна…
2:
3:
4:
Решение I
Решение уравнения Шрёдингера для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ψ –функция имеет
2
 n     – плотность вероятности, имеет вид

sin  x  , а
L
 L 
условиях задания ( L  x  L , n=3) будет равна:
6
2
вид  
L
L
P    dx  
2
L
6

L
6
2
 3
sin 2 
L
 L
2 1

 6
x dx   1  cos
L
2

 L

L
L
2

1 

 6
x  dx   1  cos
L

 L
L
L
6
6
2
 n 
sin 2  x  . Соответственно вероятность в
L
 L 
L
L
1

 6
x  dx    dx   cos
L

 L
L
 L6
6

 
x dx  
 

1 L
L
L L
L
 6  L  1 
 6  L
 6 L  1  5L L
 5
sin 
x  | L   L  
sin 
L 
sin 
sin 6  
sin    .
   
x |L 
L  6 6
6 6
6
 L  6 L
 L  6
 L 6  L  6 6
 6
Решение II
L
Полная вероятность

2
dx  1 . График полной вероятности в данном случае показан на рисунке.
0
С геометрической точки зрения полная вероятность равна площади под графиком. Всю площадь
под графиком можно разделить на 6 равных частей, из которых только 5 (закрашенные) входят в
заданный участок, следовательно Р  5 .
6
Ответ: 1
Ф6.4.1-8
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с
1:
бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле
вероятности, определяемая
-функцией. Если
, где
-функция имеет вид, указанный на
рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке
*
– плотность
равна…
2:
3:
4:
Решение I
Решение уравнения Шрёдингера для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ψ –функция имеет
2
 n     – плотность вероятности, имеет вид

sin  x  , а
L
 L 
условиях задания ( L  x  L , n=4) будет равна:
8
2
2
вид  
2

2
 n 
sin 2  x  . Соответственно вероятность в
L
 L 
L
L
L
 L2

2
2
2




2
4

2
1
8

1
8

1






 8  

2
P    dx   sin 
x dx   1  cos
x  dx   1  cos
x  dx    dx   cos
x dx 
L L2
L L
L L
 L 
 L 
 L 
 L  
L
L L
L

8
8
8
8
6
6

L
L
1
L
L
 8  2  1  L L L
 8 L  L
 8 L  1  3L L
 3
  x | L2 
sin 
x |L     
sin 
sin 

sin 4  
sin    .

 
L  8 8
8
 L  8  L  2 8 8
 L 2  8
 L 8  L  8 8
 8
L
2
2
L
2
Решение II
L
Полная вероятность

2
dx  1 . График полной вероятности в данном случае показан на рисунке.
0
С геометрической точки зрения полная вероятность равна площади под графиком. Всю площадь
под графиком можно разделить на 8 равных частей, из которых только 3 (закрашенные) входят в
заданный участок, следовательно Р  3 .
8
Ответ: 1
Ф6.4.1-9
Вероятность обнаружить электрон на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с
бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле
вероятности, определяемая
-функцией. Если
, где
– плотность
-функция имеет вид, указанный на
рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке
равна…
1:
2:
3:
4:
Решение I
*
Решение уравнения Шрёдингера для микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками ψ –функция имеет
2
 n     – плотность вероятности, имеет вид

sin  x  , а
L
 L 
условиях задания ( 3L  x  L , n=4) будет равна:
8
2
вид  
2

2
 n 
sin 2  x  . Соответственно вероятность в
L
 L 
L

L
L
L
2
2 1
1 
1

 8 
 8 
 8  
2  4
P    dx   sin 
x dx   1  cos
x  dx   1  cos
x  dx    dx   cos
x dx 
L 3L 2 
L 3L 
L 3L
L  
 L 
 L 
 L 

3L
3L L
3L
 8

8
8
8
8
8
L
L
2

1 L
L
3L L
L
 8  L  1 
 8  L
 8 3L  1  5L L
 5
sin 
x  |3L    L 

sin 
L 
sin 
sin 8  
sin 3   .
   
 x |3L 
L  8 8
8 8
8
 L  8  L
 L  8
 L 8  L  8 8
 8
Решение II
L
Полная вероятность

2
dx  1 . График полной вероятности в данном случае показан на
0
рисунке. С геометрической точки зрения полная вероятность равна площади под графиком. Всю
площадь под графиком можно разделить на 8 равных частей, из которых только 5 (закрашенные)
входят в заданный участок, следовательно Р  5 .
8
Ответ: 1
Ф6.4.1-10
1*
2
3
4
Ф6.4.1-11
Правильный ответ 1.
0
1/2
1/4
3/4
Ф6.4.1-12
На рисунках приведены картины распределения плотности вероятности нахождения
микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с
квантовым числом n=1 соответствует
1*
2
3
4
Ф6.4.1-13
1*
2
3
4
1/2
1/4
3/4
0
Ф6.4.2-1
Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
1:
шириной L имеет вид:
*
.
2:
3:
4:
Величина импульса в первом возбужденном состоянии (n = 2) равна:
Решение I
2mE . Из уравнения волновой
2
2
2
n . Получаем:  n 
n
p
2m m 2
m 2 2
n m
 n 
функции можно утверждать, что  
 .



. 

  2
 
2
L
L


2

L

 L 
 L 


n
2


Итоговая формула выглядит следующим образом: p 
. Для первого возбуждённого состояния n=2, а p 
.
L
L
Из уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме следует следующая формула  2 
Решение II



Импульс частицы определяется соотношением p  k , где k – волновой вектор (волновое число
k
2 ),
2 – постоянная Планка. Отсюда модуль импульса
h

p  . В первом возбуждённом



состоянии (n=2) картина волновой функции ψ=ψ(l) имеет вид, представленный на рисунке. Отсюда следует L   , тогда
p
h   2 2   .


L
L
L
Ответ: 1
Ф6.4.2-2
Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
1:
шириной L имеет вид:
*
.
2:
3:
4:
Величина импульса во втором возбужденном состоянии (n = 3) равна:
Решение I
Из уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме следует следующая формула  2 
2mE . Из уравнения волновой
2
n . Получаем:  n 
n
p
2m m 2
m 2 2
n m
 n 
 .



. 

  2
 
2
L
L

L

2
L

L







n
3  .
Итоговая формула выглядит следующим образом: p 
. Для второго возбуждённого состояния n=3, а p 
L
L
2
функции можно утверждать, что  
Решение II
2



Импульс частицы определяется соотношением p  k , где k – волновой вектор (волновое число
k
2 ),
2 – постоянная Планка. Отсюда модуль импульса
h

p  . В первом возбуждённом



состоянии (n=3) картина волновой функции ψ=ψ(l) имеет вид, представленный на рисунке. Отсюда
следует L 
3 , тогда
3h 3  2 3   .
p


2
2L
2L
L
Ответ: 1
Ф6.4.2-3
Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
шириной L имеет вид:
Если величина импульса частицы равна
.
1: n=1*
2: n=2
3: n=3
4: n=4
, то частица находится на энергетическом
уровне с номером…
Решение I
2mE . Из уравнения волновой
2
2
2
n . Получаем:  n 
n
p
2m m 2
m 2 2
n m
 n 
функции можно утверждать, что  
 .



. 

  2
 
2
L
L

L

2
L

L







n
pL
Итоговая формула выглядит следующим образом: p 
. Отсюда n 
После подстановки из условия задания
L

  получаем n  1 .
p
L
Из уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме следует следующая формула  2 
Решение II



Импульс частицы определяется соотношением p  k , где k – волновой вектор (волновое число k 
2 ),
2 –



2  . Ширина потенциальной ямы
n
 L
постоянная Планка. Отсюда модуль импульса p  
L
  . После


2
2 n


n


pL


L
подстановки имеем p 
. Учитывая, что по условию задания p 
, имеем n 
n
 1.
L
 L
L

h
Ответ: 1
Ф6.4.2-4
Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
шириной L имеет вид:
.
Если величина импульса частицы равна
1: n=2*
2: n=1
3: n=3
4: n=4
, то частица находится на энергетическом
уровне с номером…
Решение I
2mE . Из уравнения волновой
2
2
2
n . Получаем:  n 
n
p
2m m 2
m 2 2
n m
 n 
функции можно утверждать, что  
 .



. 

  2
 
2
L
L

L

2
L

L







n
pL
Итоговая формула выглядит следующим образом: p 
. Отсюда n 
После подстановки из условия задания
L

2  получаем
n  2.
p
L
Из уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме следует следующая формула  2 
Решение II



Импульс частицы определяется соотношением p  k , где k – волновой вектор (волновое число k 
2 ),
2 –



2  . Ширина потенциальной ямы
n
 L
постоянная Планка. Отсюда модуль импульса p  
L
  . После


2
2 n
2


n


pL
2


L
подстановки имеем p 
. Учитывая, что по условию задания p 
, имеем n 
n
 2.
L
 L
L

h
Ответ: 1
Ф6.4.2-5
Волновая функция частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
шириной L имеет вид:
.
Если величина импульса частицы равна
1: n=3*
2: n=1
3: n=2
4: n=4
, то частица находится на энергетическом
уровне с номером…
Решение I
Из уравнения Шрёдингера для частицы в потенциальной яме следует следующая формула  2 
функции можно утверждать, что  
n . Получаем:
L
2mE . Из уравнения волновой
2
n
p
2m m 2
m 2 2
n m
 n 
 n 
 .



. 

  2
 
2
L


2

L

 L 
 L 
2
2
Итоговая формула выглядит следующим образом: p 
p
  n . Отсюда
pL После подстановки из условия задания
n
L

3  получаем
n 3.
L
Решение II



Импульс частицы определяется соотношением p  k , где k – волновой вектор (волновое число k 
2 ),
2 –



2 . Ширина потенциальной ямы
n
 L
постоянная Планка. Отсюда модуль импульса p  
L
  . После


2
2 n
3


подстановки имеем p  n    n  pL . Учитывая, что по условию задания p 
, имеем n  3  L  3 .
L
 L
L

h
Ответ: 1