Интегрированный урок по теме «Применение производной»

Интегрированный урок по теме
«Применение производной»
«…каждый школьник знаком теперь с истинами,
за которые Архимед отдал бы жизнь»
Жозеф Эрнест Ренар
Форма проведения урока
- деловая игра.
Цели урока:
 показать, как понятие производной используется для изучения многообразных
явлений и процессов реального мира;
 создать ситуацию применения знаний, полученных на уроках математики,
физики, экономики, истории;
 активизировать познавательную деятельность.
Положительные признаки урока состоят в том, что систематическое использование
интеграции знаний позволяет расширить границы изучаемого материала, оживляет
сложный теоретический материал и способствует более глубокому усвоению; раскрывает
творческие способности учащихся, которые не могут быть развиты в рамках одной
дисциплины. Данный урок не претендует на глубину раскрытия всех возникших по его
ходу проблем. Главное, чтобы эти проблемы возникли в сознании учащихся и вызвали
желание решать их.
Содержание игры - подготовка пакета документов для отправки на конкурс.
Цель конкурса: определить десять величайших открытий человечества, сыгравших
ключевую роль в истории человечества и обладающих универсальным использованием.
Учащимся предстоит подтвердить универсальность открытия английским ученым
Исааком Ньютоном дифференциального исчисления.
Для работы организованы четыре группы: математиков, физиков, экономистов и
историков. Каждая группа специалистов получает задание.
Задания для групп.
1. Задание историкам ( философам)
1) В 490-430 гг. до н. э. древнегреческий философ Зенон Элейский привел
логические доказательства невозможности движения, выраженные в знаменитых
парадоксах – апориях (по-гречески «а» означает отрицание «порос» - выход, слово
же «апория» переводится как «затруднение», «безвыходное положение»).
Так в апории «Дихотомия» говорится:
«Чтобы преодолеть некоторое расстояние АВ, человек должен сначала пройти половину
этого расстояния АС. А чтобы пройти половину расстояния АС, ему нужно пройти
половину половины АД - и так до бесконечности. В итоге мы придем к выводу, что
человек вообще не в состоянии сдвинутся с места, так как всегда можно поставить перед
ним условия пройти половину сколь угодно малого пути».
Пользуясь понятием мгновенной скорости, поясните, в чем состоят заблуждения
Зенона.
Ньютон определил производную как скорость механического движения. Но движение —
одно из основополагающих понятий философии. Философский аспект открытия
производной — направление вашего исследования.
2. Задание математикам.
1) Подготовьте краткое выступление о сути открытия производной.
2) Объясните следующее высказывание Ньютона: «Когда величина является
максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад».
3) Ответьте на вопрос:
какие задачи называются задачами на оптимизацию или экстремальными?
4) Решите задачи.
А. Командиру межгалактического космического корабля, движущемуся по закону Х(t) = 1
+ 6t + 3t2- t3 сообщили о том, что приборы зафиксировали неопознанный летающий
объект, стремительно приближающийся к кораблю. Чтобы избежать столкновения,
необходимо максимально увеличить скорость. Каким должно быть ускорение корабля в
момент, когда скорость станет максимальной?
Б. Сопротивление f (V) дороги движению автомобиля при скорости движения автомобиля
Vкм/ч выражается следующими формулами:
а) На асфальте:f(V) =14,5 + О,25V.
б) На шоссейной дороге:
f(V) = 24— 2/3V+ 1/16V2.
в) На мягкой грунтовой дороге:
f(V)= 36,5— 3/4V+ 1/3ОV2.
Определите скорость, при которой сопротивление будет наименьшим.
3. Задание физикам.
Открытие Ньютоном производной стало переворотным пунктом в истории
естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых
различных неравномерно протекающих процессов, исследуемых физикой, химией,
биологией аналогична связи между путем и скоростью.
Покажите, как различные физические понятия получают единую трактовку c точки зрения
производной.
Для получения ответа на главный вопрос, можете выполнить следующие
заданиями.
1) При равномерном движении тела по окружности угловой скоростью тела называется
угол поворота в единицу времени. Дайте определение угловой скорости для
неравномерного движения. (Запишите формулу, используя производную.)
2) При равномерном протекании заряда по проводнику силой тока называется заряд,
протекающий за единицу времени. Сформулируйте определение силы тока при
неравномерном протекании заряда. (Запишите формулу, используя производную.)
3) Используя понятие производной, сформулируйте определение:
а) линейной плотности неоднородного стержня;
б) теплоемкости;
в) давления;
г) ускорения при прямолинейном неравномерном движении;
д) мощности.
При подготовке к ответу можете использовать справочник по физике: О. Ф. Кабардина и
энциклопедический словарь юного физика.
4) Решите задачи:
1. Сила тока I изменяется в зависимости от времени t по закону I = 2t— 5t (I— в амперах,
t — в секундах.) Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.
2. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону S= 3t2 + t +4. Найти
кинетическую энергию тела чрез 4 сек. после начала движения.
3.Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону: х(t) = t3— 3t2 +2, где х(t) измеряется
в метрах, время t— в сек. Найти силу, действующую на тело в момент времени t = З сек.
4. Закон движения частицы:
х(t) = t3 — 3t, где х(t) измеряется в метрах, время t в секундах. Каково ускорение частицы
в момент времени, когда скорость ее равна 11 м/с?
4. Задание экономистам.
1. Классическая экономика оперирует средними величинами: средняя цена, средняя
производительность труда и т. д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные
закономерности нужно искать в области не средних, а предельных величин. Предельные
или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя
величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная
выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по
времени или относительно другого исследуемого фактора.
Приведите примеры предельных величин в экономике.
2. Производная — скорость изменения функции.
Задав различные экономические процессы функционально, исследуя полученные функции
с помощью производной, можно с большей достоверностью делать экономические
прогнозы.
Приведите примеры экономических функций.
3. Решите задачи.
1) Цементный завод производит Х тонн цемента в день. По договору он должен
ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производственные
мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90т в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими, если
функция затрат имеет вид k(х) = -х3 + 98х2 + 200х.
(Удельные затраты — это затраты на единицу продукции.)
2) Пиццерия «Сицилия» специализируется на приготовлении особого вида пиццы и
славится изысканным обслуживанием посетителей, что позволило ей полностью
монополизировать рынок производства данного вида пиццы на острове Сицилия. Ее
общие издержки (С) за один день работы зависят от количества выпускаемой пиццы (Q)
следующим образом:
С(Q) = Q2+ 500. Зависимость дневной выручки пиццерии (R) от количества проданных
пицц задается так:
R(Q)= 400Q—Q2
Сколько пицц в день нужно выпекать поварам из «Сицилии», чтобы пиццерия получала за
день максимально возможную прибыль? Чему равна величина этой прибыли?
3) Затраты на перевозку груза пароходом между двумя портами складываются из двух
частей: одна часть прямо пропорциональна времени, затраченному на перевозку (с
коэффициентом а), вторая скорости движения (с коэффициентом в). Найти оптимальную
по затратам скорость перевозки груза, если расстояние между портами равно 900 км, а: Ь
= 1 : 4, время измеряется в часах, а расстояние в километрах.
После выполнения заданий либо руководители групп, либо сами «эксперты»
отчитываются перед ученым советом, состоящим из трех-четырех учащихся,
принимавших активное участие в подготовке заданий (они могут быть делегированы
группами как лучшие эксперты в своей области).
Отчеты должны быть краткими и четкими. Если это задача, то зачитывается ее текст,
сообщается идея, план решения и полученный ответ. В конце выступления каждая группа
предлагает свои варианты аргументов, подтверждающих вывод о том, что создание
дифференциального исчисления является одним из главных открытий человечества.
В конце игры председатель ученого совета подводит итоги, зачитывает выводы,
подтверждающие универсальность открытия производной. На основании этих выводов
Ученый совет утверждает пакет документов, посылаемых на конкурс.
Выводы:
1) Ньютон — создатель первой научной «механической картины мира», в которой
«земные» и «небесные» движения объединились в единое механическое движение
материальных тел. А дал описания движения Ньютон создал математический аппарат —
дифференциальное исчисление.
2) Открытие позволило более полно и точно изучать многообразные явления
окружающего мира, мира движущейся, изменяющейся, бесконечно разнообразной
материи.
3) Движение, в широком смысле этого слова, охватывает все происходящие во вселенной
изменения и процессы, начиная от механического, теплового и т. д. и кончая движением
мысли. Производная как скорость является характеристикой любого вида движения.
4) Различные физические понятия, такие как мгновенная скорость и ускорение движения,
линейная плотность неоднородного стержня, теплоёмкость, давление, сила тока в цепи и
т. д. на основе использования производной получают единую трактовку.
5) Использование аппарата производной позволяет углубить геометрический и
математический смысл экономических законов, определить оптимальные значения того
или иного показателя, осуществить экономический анализ и прогнозирование.
6) Дифференцирование — уникальный математический метод, применяемый не только в
математике, но и в других науках, изучающих процессы и явления окружающего мира.