Эдгар1x

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ПЕРВОГО ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ ПО КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛАМ
Для группы УК-21. Январь-2013.
Чтобы оживить текст этого образца, поступим следующим образом. Известный американский
поэт и писатель-мистик Эдгар По, оказывается, имел разностороннее (в том числе и математическое)
образование. Если бы он вдруг появился в Москве в 2013 году, он вполне бы решил это задание. Так
представим же, что именно он написал образец решения. Так как эта публикация может попасть в руки
специалисту, мы сочли уместным привести текст задания, который попал в руки Эдгару По. Прочим
читателям (не математикам) рекомендуется оценить только прелести литературного стиля
писателя, не вникая в математическую суть всяких там логарифмов и алгорифмов. «Текст Эдгара По»
выделен жирным шрифтом. В нем вы можете найти (и уточнить через интернет) некоторые факты из
биографии писателя.
ПОПРОБУЙТЕ ДО 1-го февраля сдать следующее ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.
Множество W состоит из (А+В) целых чисел, начинающихся с -3 и постепенно нарастающих на единицу.
(При этом А=количеству букв в Вашей фамилии, В=количеству букв в Вашем полном имени). Так,
студент Пушкин Александр должен взять А=6, В=9, А+В = 15, а в качестве W взять множество {-3, -2, -1,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. На множестве W задаются две операции "необычное сложение" и
"необычное умножение". Сначала берется обычная сумма (или обычное произведение) двух целых
чисел, выбранных из этого множества. Если эта сумма (это произведение) окажется больше девяти,
отнимаем от нее 15. Если окажется меньше (-3), прибавляем к ней 15. Например, 9+11=5 (после
вычитания 15). Далее, (-3) + (-2) = 10 (после прибавления 15). Еще пример; 9*11 = 99. Отнимаем по 15
единиц до тех пор, пока число не попадет в диапазон от (-3) до 11. Получаем: 99-15-15-15-15-15 = 24;
24-15=9. Итак, "необычное произведение" 9*11 равно 9. Далее знаменитый лицеист Александр Пушкин
должен проверить, что такие правила задают две операции (a+b и a*b). А если он это успешно
проверит, надо проверить, отвечают ли такие две операции девяти основным свойствам чисел.
ЖЕЛАЕМ УСПЕХА В ВЫПОЛНЕНИИ ЭТОГО ЗАДАНИЯ.
Итак, в нашем случае А=2, В=5, А+В=7. Множество W = {-3,-2,-1,0,1,2,3}. Назовем это
множество «УЖАС от минус 3 до 3». <Название ничуть не хуже, чем «КОЛОДЕЦ и
МАЯТНИК»>. «Необычное сложение» отличается от обычного просто добавлением или
вычитанием числа 7. «Необычное умножение» же потребует иногда многократного
добавления/вычитания числа 7. Начнем с составления таблицы обычного сложения и
обычного умножения, и используем для этого очень удобное средство, с которым меня
познакомили студенты. Оно называется Excel. А вот и искомые таблицы с обычным
сложением и умножением:
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
-2
-1
0
1
2
3
4
2
-1
0
1
2
3
4
5
3
0
1
2
3
4
5
6
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
9
6
3
0
-3
-6
-9
-2
6
4
2
0
-2
-4
-6
-1
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
-6
-4
-2
0
2
4
6
3
-9
-6
-3
0
3
6
9
Жёлтым закрашены ячейки, к которым надо применять прибавление/вычитание
семёрки. После необходимых поправок получаем таблицы «необычных» сложений и
умножений. <Что-то они мне напоминают. Помнится, эти штуки называлась у нас в
колледже «сложение и умножение по модулю 7»>
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
1
2
3
-3
-2
-1
0
-2
2
3
-3
-2
-1
0
1
-1
3
-3
-2
-1
0
1
2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
-2
-1
0
1
2
3
-3
2
-1
0
1
2
3
-3
-2
3
0
1
2
3
-3
-2
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
2
-1
3
0
-3
1
-2
-2
-1
-3
2
0
-2
3
1
-1
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
2
1
3
-2
0
2
-3
-1
3
-2
1
-3
0
3
-1
2
В левой таблице («необычное сложение») поправленные числа отмечены жёлтым фоном,
а в правой («необычное умножение») – красным шрифтом. Теперь даже беглого взгляда на эти
таблицы достаточно, чтобы увидеть, что и та, и другая задаёт некоторую ОПЕРАЦИЮ на
множестве W: например, 3 + 2 = -2; а 2*2 = -3. <Увидел бы эти жуткие формулы мой приёмный
папаша Аллан – сразу перестал бы платить за моё обучение!>.
Осталось только разобраться, как там насчет свойств 1-9.
№1: выполняется, так как левая таблица из чисел (то бишь матрица) симметрична
относительно главной диагонали, а это и значит, что a+b = b+a. То же верно и для матрицы
справа. Значит, и №2 выполнено.
№3: для исходных таблиц (там, где обычные сложения и умножения), свойство,
естественно, выполняется. А если к обеим частям верного равенства добавлять (или вычитать)
семёрки, то оно так и останется верным. Итак, №3 верно. А тогда, по той же причине, верно и
№4.
№5 и №6. Ясно, как божий день, что для левой таблицы (точнее, для операции, заданной
этой таблицей) особое число «нуль» - это число 0 собственной персоной. А для правой –
«единица» это 1, во всей своей красе. 5-е и 6-е выполнены.
№7 и №8. Ну, с «противоположным» числом всё ясно даже школьнику: измени знак у
исходного числа – вот и получишь противоположное. А вот с «обратным» числом (для
ненулевого исходного числа) дело посложнее. Впрочем, вот эти три равенства (полученные,
глядя на правую таблицу), проясняют ситуацию: (-3)*2 = 1 (значит, (-3) и 2 взаимно обратны).
Аналогичный вывод следует из равенств (-2)*3 = 1 и (-1)*(-1) = 1. Ну и так далее ПО ИНДУКЦИИ,
как шутили мы с ребятами в колледже.
Уф! Ну, и на закуску свойство №9. Как, бишь, оно звучит: (a+b)*c = (a*с) + (b*c) ? или,
пожалуй, (a*b)+c = (a+с)*(b+c)? Подзабыл что-то. Да это не беда. Сделаем «математический
эксперимент», как говаривал наш старикашка-математик. Скажем, для обычных сложений и
умножений, (3*4)+6 отнюдь не равно (3+6)*(4+6). Значит, вторая формула верной уже быть не
может. Значит, верна формула (a+b)*c = (a*с) + (b*c). Да-а… Но ведь теперь надо её доказывать
(или опровергать) для «необычных» сложений и умножений! Ладно. Сначала проверим её для
конкретного случая: верно ли, что (2+3)*3 = 2*3 + 3*3. Слева получается 15, и справа 15. Но от 15-и
можно дважды отнять 7, и получится 1 (и слева, и справа). Ну, теперь я понял: для обычных
сложений и умножений эта формула верна. Значит, и после «урезания на 7» она останется
верной.
Вот и всё. Значит, эти семь чисел образуют вполне серьёзную ЧИСЛОВУЮ СИСТЕМУ. А в
этой системе можно попробовать решить какое-нибудь уравнение. Например, х5 +3х3 -3 = 0. Я
помню, жил когда-то в Париже очень толковый парень – Эварист Галуа. Он по этим уравнениям
был большой дока. Да нет его уже в живых – погиб молодым на дуэли из-за политических
разногласий.
Образец составлен 21 января 2013 г.