Загрузить

2.2 Изучение броуновского движения
и определение постоянной Больцмана
по пробегу броуновской частицы
Цель работы: изучение броуновского движения и определение
постоянной Больцмана по пробегу броуновской частицы.
Мелкие (доли микрона) макроскопические частицы при
наблюдении в микроскоп представляются находящимися в
непрерывном хаотическом движении вроде дрожания, которое
никогда не прекращается. Это движение открыто в 1827 г.
ботаником Р. Броуном, изучавшим под микроскопом взвесь
цветочной пыльцы. Сначала исследователи предполагали, что
таким свойством обладает только живая материя, но позднее
подобное движение было открыто и у частиц неорганического
происхождения. Молекулярная теория объясняет броуновское
движение
нерегулярными
соударениями
хаотически
движущихся молекул с броуновской частицей.
Случайное блуждание
Движение каждой броуновской частицы в результате
столкновений ее с молекулами является случайным
блужданием, как и движение самих молекул.
Будем
рассматривать

положение
броуновской
q1
частицы через некоторые
фиксированные
О
промежутки
времени.
Считаем, что в начальный

момент времени частица
q3

находится
в
начале
q2
координат (точка О). Пусть

qi – вектор перемещения
Рис. 1
частицы между (i–1)-м и
i-м наблюдением. Через n наблюдений частица сместится из

нулевого положения в точку с радиусом-вектором rn , ясно, что


rn   qi
(1)
i
Конечно, в промежутках времени между наблюдениями
частица двигалась не по прямой линии (как схематично
показано на рисунке), а по сложной изломанной и запутанной
траектории, столь же сложной, как и вся траектория движения.
Если проделать аналогичный опыт с другой частицей, то она
будет двигаться по другой траектории и через n наблюдений
попадет в другую точку (считаем, что начальная точка та же, что
и в первом опыте – точка О). Можно провести серию таких
опытов, и для каждого опыта радиус-вектор конечного
положения будет другим, причем одинаково часто конечное
положение частицы будет слева и справа от начального, сверху
и снизу и так далее.
Среднее значение квадрата отклонения частицы от
начального положения за n наблюдений (см. формулу (1)):

 
rn2  rn  rn 


 qi   q j
i
 
  qi  q j .
j
i
j
Разбивая последнюю сумму на две: с одинаковыми и
отличающимися значениями i и j, получаем:


rn2   qi2  
i
i
  
qi  q j .

(2)
j
В этих формулах точка означает скалярное произведение, а
угловые скобки – усреднение по разным частицам. В последней
сумме индексы суммирования i и j не равны друг другу, о чем
говорит штрих у значка суммы.
В
(2) величина

qi2
– это средний квадрат смещения
частицы за i-й шаг в серии опытов. Ясно, что ввиду хаотичности
броуновского движения и равноправия всех промежутков
2
времени эта величина одинакова для каждого шага, т. е. q1 =
2
2
2
2
= q 2 = q3 = ... = q n . Другими словами, qi
= const = a,
где константа а имеет некоторое характерное для данной серии
опытов значение.
Величина
 
qi  q j
при i  j – это среднее значение
скалярного произведения вектора перемещения частицы на i-м
шаге и никак не связанного с ним вектора перемещения этой же


частицы на j-м шаге. Векторы qi и q j имеют случайный
характер, их модули и направления независимо друг от друга
могут быть различными, а их скалярное произведение для
разных частиц могут быть как большими, так и маленькими, как
положительными, так и отрицательными. Поэтому ясно, что
 
среднее значение qi  q j  0 .
Таким образом, выражение (2) примет вид rn2  = a2 n, где
n  t t – число измерений за время движения частицы t, а t –
промежуток времени между измерениями. Если обозначить
постоянную величину a 2 t через , то эта формула примет
вид
r 2  t .
(3)
В формуле (3) индекс n опущен, и r2 – это средний квадрат
отклонения частицы от первоначального положения за время t.
Таким образом, хотя частицы совершают случайные
блуждания, и направление их движения на каждом шаге
совершенно случайны, но в среднем они удаляются от
исходного положения. Это становится особенно ясным, если
представить
себе
множество
броуновских
частиц,
первоначально сосредоточенных в сравнительно малой области.
Понятно, что с течением времени это пятно из броуновских
частиц будет размываться, что и говорит об увеличении со
временем среднего значения r2.
Формула Эйнштейна-Смолуховского
Рассмотрим уравнение движения броуновской частицы. На
нее действует при движении сила вязкого трения со стороны
окружающей жидкости или газа (сила сопротивления Стокса),


пропорциональная ее скорости, Fсопр  bv . Кроме того, на
частицу действует результирующая сила от ударов молекул с

разных сторон. Эта сила F (сила Ланжевена) носит случайный
характер. Отметим, что сила сопротивления тоже возникает
вследствие ударов молекул, вследствие того, что при движении
броуновской частицы молекулы, налетающие на нее спереди, в
среднем ударяют по ней сильнее и чаще, чем молекулы,
догоняющие
ее
сзади.
Однако
последняя
сила

Fсопр –
регулярная,
она
пропорциональна
скорости,
причем
коэффициент пропорциональности b зависит от размеров и
формы частицы и вязкости среды. Влияния силы тяжести на
движение броуновской частицы учитывать не будем.
Таким образом, уравнение движения частицы примет вид:
 

ma  F  bv ,
или в проекции на ось x:
m x = Fx – bx.
Умножим обе части этого уравнения на х и заметим, что


2
xx  x 2 2  x , а xx  x 2 2 . Тогда уравнение примет




вид:


2
m x 2  2  mx  Fx x  b x 2  2 .
Такое уравнение можно записать для каждой броуновской
частицы, а затем провести усреднение по всем частицам,
используя то, что среднее значение от производной равно
производной от среднего значения:
m x2

2  mx 2  Fx x  b x 2

2.
(4)
Квадрат отклонения частицы от начального положения (от
начала координат) r2 = x2 + y + z2, т. е. среднее значение этой
величины r
2
 x 2  y 2  z 2 . При этом ввиду полного
равноправия направлений х, у, z средние значения квадратов х,
у, z равны друг другу. Тогда x 2  r 2 3  t 3 (см. формулу
(3)). Первая производная от этой величины по времени равна
константе, а вторая – нулю, т. е. в формуле (4) x 2

0.
Координата частицы х и соответствующая проекция силы
Ланжевена Fх являются случайными и никак не зависящими
одна от другой величинами, поэтому обе они могут независимо
друг от друга быть положительными и отрицательными,
большими и малыми. Ясно тогда, что
Fx x  0 .
Следовательно, уравнение (4) примет вид:
mx2  b x 2
Так как x
2


2.

 t 3   3 , то mx2  b 6 , или:
mx 2 2  b 12 .
Величина
mx 2 2  mv 2x 2
(5)
– это средняя энергия,
приходящаяся на одну степень свободы. В состоянии
термодинамического равновесия она равна kT 2 . Таким
образом, из формулы (5) можно найти величину :
  12 mx2 2 b  6kT b .
Тогда выражение (3) примет окончательный вид:
r 2  6kT b  t .
(6)
Формулу (6) называют формулой Эйнштейна–Смолуховского. Напомним, что в этой формуле r2 – среднее значение
квадрата отклонения частицы от начального положения через
время t, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура,
b – коэффициент вязкого трения, т. е. коэффициент
пропорциональности между силой сопротивления и скоростью
частицы. Отметим, что коэффициент вязкого трения для
шарообразной частицы можно найти по формуле Стокса:
(7)
b  6R
где  – коэффициент вязкости жидкости или газа, в котором
движется частица, R – ее радиус.
Ход работы
В данной лабораторной работе моделируется движение
броуновской частицы на экране компьютера. Кадр из работы
приведен на рис. 2. При нажатии кнопки "сброс" частица
устанавливается в начале координат, а при нажатии кнопки
"пуск" она начинает хаотически двигаться. Время движения
частицы можно установить в окне "Выдержка", а можно
останавливать ее вручную, нажимая на "стоп". Для контроля
времени на экране имеется секундомер. Температура и
коэффициент сопротивления должны быть предварительно
введены в соответствующие окна, а сам коэффициент
сопротивления нужно предварительно рассчитать, зная вязкость
жидкости. Диаметр частицы постоянен и равен половине
микрона.
1. Выбрать жидкость и ввести температуру.
2. Убедиться, что установлена выдержка в 20 секунд, и
нажать кнопку "Пуск". При этом расположенная в начале
координат броуновская частица начнет хаотически двигаться в
течение
указанного
времени, а затем остановится. В
соответствующем окне высвечиваются ее конечные координаты
и квадрат отклонения частицы от начального положения.
Запишите полученное значение квадрата отклонения. Для
выполнения следующего опыта снова нажмите кнопку "Пуск",
опыт следует проделать 20 раз.
3. Выполнить эксперимент при других значениях
промежутка времени.
Рекомендуется провести опыт при значениях выдержки 5,
10 и 15 с. При каждой выдержке проделайте 20 измерений.
4. Вычислить среднее значение квадрата отклонения частицы
для каждой серии.
Aahhhhhhhhhhjjjlliooooooooooooooooorfhgtyuikjhgfdsvbgfjbnjbghjkggjfuhjugkgjh
uthggughjgjujhrtaaaaaaaaaaaaaaaaakliikhkthjgugjuvkigjgugjpoiedgftyuuiop[;kkiuytr
ewadfgtyhjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjooooiooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooyytuytuttikhkyhijkyihikitjtihkiykitjhygigktigkrogjyuhjhiyjutkgitjytjtjijy
tuyutghutjuytiiktrutthythtugiutgjthtihtughtuyuyugjgutjgtugjugjugjutujujrgj9rgjigiuriii
jrtjuyurtju9rjurjurgjuijrjirgjurgjugujgtugjrifkdktuhhtyjgertyhjuioplkuyhgtffrtgyhujiii
oyhuujhuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuurjgjjkujgjijufjjgjckdjhcnhuhukfkgjhuijgugkgiuy
hjkgfdsssssssssssssssssssssaaaaaaaaaaajjjjhjuuuuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiilulylhhkhkd
hgjyitjuihkokklllnkkkkkiopoiuytrewasdfghjkl;poiyuuytresdfghjklloiuyftrcfvnfnngvfd
eujhjfhyguhtugyuthgjtttjhytgujkiijujhytttfdfeesefgjjaahyygbmaghaaaaaadgm,nnayuy
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooopoooooooooooooooooooooo
oooooloooollllllouopu0yglyjhukygtkhiujytoyitpjuoyityphityoikthykhtkogithyothiyhy
ytyiyyuyyytyitiyiyohktoyjtygkthjhjtgkthjtjhjhyiytyjtyjytyiyhuyiyjyiyyyitytihjthjithjth
jiotjiothjiothkithmithjiojiojiojiojiojiojiojtjththjiethjiohjiohjiogtjiojiogtjiogtthjhjohjnjrt
Рис. 2
5. Построить график зависимости среднего значения квадрата отклонения частицы от времени.
Эта зависимость должна быть линейной. График следует провести так, чтобы экспериментальные
точки в среднем были на наименьшем расстоянии от проведенной прямой.
6. Определить постоянную Больцмана. Для этого определите тангенс угла наклона построенной
прямой как отношение катетов и вычислите постоянную Больцмана, воспользовавшись формулой
Эйнштейна-Смолуховского.
7. Выполнить описанную выше последовательность действий при других начальных условиях.
Для этого нажмите кнопку "Изменить начальные условия" и по указанию преподавателя выберите
новую жидкость и введите нужную температуру. После этого нажмите кнопку "Условия заданы".
Контрольные вопросы
1. Участвует ли макроскопическое тело, помещенное в сосуд с газом, в тепловом движении?
2. В воздухе находятся шарообразные броуновские частицы. Что больше: средняя энергия
молекулы воздуха или средняя энергия броуновской частицы?
3. Как зависит от времени среднее значение квадрата пробега броуновской частицы?
4. Каков смысл силы Ланжевена?
5. Какие еще силы действуют на броуновскую частицу?
6. Получить формулу Эйнштейна-Смолуховского?
7. Как в данной работе определяется постоянная Больцмана?