Лекция 3.

Тема 6. Приложения производной
6.1. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция y  f x  достигает
наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x 0 этого промежутка, то
производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f x  0 .
Геометрический
смысл.
В
точке
наибольшего
(наименьшего)
значения
касательная к графику функции параллельна
оси абсцисс (рис. 6.1).
Теорема Ролля. Пусть функция y  f x  удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке a, b ;
2) дифференцируема на интервале a, b  ;
3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f a   f b.
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка   a, b , в которой производная
функции равна нулю:
f    0 .
Другими словами: Между одинаковыми значениями дифференцируемой функции имеется хотя
бы один нуль производной.
Геометрический смысл. В интервале a, b
для функции y  f x  , удовлетворяющей
всем условиям теоремы, найдется хотя бы
одна точка 
такая, что касательная к
графику данной функции в точке  , f  
будет параллельна оси Ox (рис. 6.2).
Теорема Лагранжа. Пусть функция y  f x  удовлетворяет условиям:
1) непрерывна на отрезке a, b ,
2) дифференцируема на интервале a, b .
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка   a, b , в которой
производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом
отрезке, т.е.
f b   f a 
f   
.
ba
Геометрический смысл. Рассмотрим
непрерывную функцию y  f x  . Выберем
на ней две точки Aa, f a  и Bb, f b (рис.
6.3). Тангенс угла наклона прямой,
проведенной через эти точки, равен
f b   f a 
tg 
. Т.е. согласно теореме
ba
Лагранжа
f    tg .
Т.о. теорема Лагранжа утверждает, что в интервале a, b существует точка с координатами
 , f   такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, будет параллельна
прямой AB , соединяющей концы графика функции на данном отрезке.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших
функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если
последний существует в указанном смысле.
0
 
Итак, если имеется неопределенность вида   или   , то
 
0
lim
xx 0
( x  )
f ( x)
f ( x)
 lim
.
x

x
 ( x) ( x 0 )  ( x)
Пример 6.1. Вычислить пределы функций
ln 1  x 
3x 2  2 x  1
а) lim
, б) lim
.
x 0
x  4 x 2  x  5
x
Решение.
1


ln 1  x   0 
ln 1  x 
а) lim
    lim
 lim 1  x  1.
x 0
x 0
x 0

x
0
x
1
 
6x  2   
(3x 2  2 x  1)
3x 2  2 x  1   
 lim
 
lim
б) lim


2
2


x  4 x  x  5
   x  (4 x  x  5) x  8 x  1   


6 x  2
6 3
 lim
 lim  .
 x  8 4
x 
8 x  1
6.2. Возрастание и убывание функции
Определение. Функция y  f x  называется возрастающей (убывающей) в промежутке a, b ,
если большему значению x в этом промежутке соответствует большее (меньшее) значение
функции, т.е. для любого x  a, b :
если x1  x2 , то f x1   f x2  - функция y  f x  возрастающая (рис. 6.4 а);
если x1  x2 , то f x1   f x2  - функция y  f x  убывающая (рис. 6.4. б).
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой
функции положительна внутри некоторого промежутка X , то она возрастает на этом промежутке.
Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой
функции отрицательна внутри некоторого промежутка X , то она убывает на этом промежутке.
Пример 6.2. Найти интервалы возрастания, убывания функции y  xex .
Решение. Найдем производную функции y  e x  xex  e x 1  x  .
При x  1 производная обращается в
нуль, в интервале  ;1 y   0 , в
интервале  1; y   0 .
Следовательно, функция возрастает на
интервале  1; и убывает на интервале
 ;1 (рис. 6.5.).
6.3. Экстремум функции
Экстремумами называются точки максимума и минимума функции.
Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f x  , если в некоторой
окрестности точки x0 выполняется неравенство:
f x   f x0  .
Определение. Точка x1 называется точкой минимума функции f x  , если в некоторой
окрестности точки x1 выполняется неравенство:
f x   f x1 .
Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция y  f x  имела экстремум в
точке x0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( f x  0 ) или не
существовала.
Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. производная в точке x0 может
обращаться в нуль или не существовать, а функция не будет иметь экстремум в этой точке.
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку x0
производная дифференцируемой функции y  f x  меняет свой знак с плюса на минус, то точка
x0 есть точка максимума функции, а если с минуса на плюс, то точка минимума.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная f x дважды
дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке x0 , а вторая производная в этой точке
f x  положительна, то x0 есть точка минимума функции f x  , если же f x  отрицательна, то
x0 - точка максимума.
Схема исследования функции y  f x  на экстремум:
1. Найти производную y  f x  .
2. Найти критические точки функции, в которой производная f x  0 или не существует.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод
о наличии экстремумов функции.
4. Найти значения функции в точках экстремума.
Пример 6.3. Исследовать на экстремум функцию y  x ln 2 x .
1
Решение. 1) Производная функции y  ln 2 x  x  2 ln x   ln xln x  2 .
x
2) Найдем критические точки функции, приравнивая производную к нулю:
x1  1; x2  e2 .
Так как производная не существует в интервале  ;0 и сама функция также не определена в
этом интервале, то других критических точек у функции y  x ln 2 x нет.
3) Определим знаки производной слева и справа от каждой критической точки:


Следовательно, функция возрастает на интервалах 0, e2 и 1; и убывает на интервале
e2 ;1 .
Согласно достаточному условию существования экстремума функции x  e 2 - точка
максимума, x  1 - точка минимума.
f max e 2   4  e 2 ,
f min 1  0 .
4) Находим


6.4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Одна из важных прикладных (оптимизационных) задач есть нахождение наибольшего и
наименьшего значений (глобального max и глобального min ) функции на промежутке X .
Согласно теореме Вейерштрасса, если функция y  f x  непрерывна на отрезке a, b , то она
принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Это могут быть точки экстремумов или концы отрезков.
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:
1) найти производную f x .
2) найти критические точки функции, в которых f x  0 или не существует.
3) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них
наибольшее f наиб и наименьшее f наим .
2x  1
Пример 6.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 
на отрезке  2;0.
2  x2
2 2  x 2  2 x(2 x  1)  2 x 2  x  2
Решение. 1) f  x  
.

2
2
2  x2
2  x2
2) f x  0 , откуда критические точки x1  2 , x2  1.








3) Значения функции в критической точке x2  1 f  1  1 и на концах отрезка f  2   
5
и
6
1
f 0    .
2
Точку x  2 не рассматриваем, так как она не принадлежит отрезку  2;0.
1
Итак, f наиб  f 0    , f наим  f  1  1 .
2
6.5. Асимптоты графика функции. Исследование функций и построение их графиков
Определение. Асимптотой графика функции y  f x  называется прямая, обладающая тем
свойством, что расстояние от точки x, f x до этой прямой стремится к нулю при
неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Различают вертикальные (рис. 6.6 а), горизонтальные (рис. 6.6 б) и наклонные (рис. 6.6 в)
асимптоты.
Теорема. В точках вертикальных асимптот (например, x  x0 ) функция y  f x  терпит разрыв,
ее предел слева и справа от точки x0 равен   :
lim f x    и (или) lim f x    .
x  x0  0
x  x0  0
Теорема. Пусть функция y  f x  определена при достаточно больших x и существуют
конечные пределы
lim  f  x   kx  b .
lim  f x  x   k
и
x 
x 
Тогда прямая y  kx  b является наклонной асимптотой графика функции y  f x  .
Теорема 3. Пусть функция y  f x  определена при достаточно больших x и существует
предел функции lim f  x   b . Тогда прямая y  b есть горизонтальная асимптота графика
x
функции y  f x  .
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда k  0 .
Поэтому, если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом
направлении нет наклонной, и наоборот.
2x2  1
Пример 6.5. Найти асимптоты графика функции y 
.
x
Решение. В точке x  0 функция не определена, найдем пределы функции слева и справа от
точки x  0 :
2x2  1
2x2  1
lim
  ; lim
  .
x 0  0
x 0  0
x
x
Следовательно, x  0 - вертикальная асимптота.
Найдем наклонную асимптоту:
f x 
2x2  1
1

k  lim
 lim
 lim  2  2   2 ;
2
x  
x  
x  
x
x
x 

 2x 2  1

b  lim  f  x   kx  lim 
 2 x  
x 
x 
 x

2x2  1  2x2
1
 lim
 0.
x  
x   x
x
 lim
Таким образом, y  2 x - наклонная асимптота
(рис. 6.7).
Общая схема исследования функций и построения графиков:
1)
Найти область определения функции.
2)
Исследовать функцию на четность-нечетность.
3)
Найти вертикальные асимптоты.
4)
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные
асимптоты.
5)
Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6)
Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные
точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.
Пример 6.6. Исследовать функцию y 
x2  2x  2
и построить ее график.
x 1
Решение.
1)
Область определения  ;1  1; .
2)
Функция общего вида, так как f  x  f x и f  x   f x .
3)
В точке x  1 функция терпит разрыв, найдем пределы
x2  2x  2
lim f x   lim
  ;
x 1 0
x 1 0
x 1
x2  2x  2


lim f x  lim
  .
x 1 0
x 1 0
x 1
Следовательно, прямая x  1 - это вертикальная асимптота.
4)
Найдем наклонную асимптоту.
 2 2
x 2 1   2 
2
f x 
x  2x  2   
x x 
k  lim
 lim
    lim 
1;
x  
x


x


1
x
xx  1
2
 
x 1  
 x
2
 x  2x  2

x 2  2x  2  x 2  x


b  lim  f  x   kх   lim 
 x   lim

x 
x 
x 1
x 1

 x
2

x  1  
 x  2  
x
 lim
    lim 
 1 .
x   x  1
x


 1
 
x 1  
 x
Таким образом, прямая y  x  1 - наклонная асимптота.
5)
Найдем y 
2 x  2x  1  x 2  2 x  2  x 2  2 x ;
x  12
x  12
x 2  2 x  0 , x1  0 , x2  2 .
y  0
y не существует при x  1 . Критическими точками являются только x1  0 и x2  2 , так как
x  1 не входит в область определения функции.
Определяем знаки производной вблизи критических точек:
На интервалах  ;0 и 2; - функция возрастает,
на интервалах 0;1 и 1;2 - функция убывает, поэтому точка x  0 - точка максимума, а точка
x  2 - точка минимума.
f max 0  2, f min 2  2 .
6)
Точки пересечения с осями:
Ox : y  0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось Ox .
Oy : x  0, y  2 , т.е. точка 0;2 - точка пересечения с осью Oy .
График функции изображен на рис. 6.8.
Тема 7. Дифференциал функции
7.1. Понятие дифференциала и его геометрический смысл
Пусть функция y  f x  определена на промежутке X и дифференцируема в окрестности
y
 f x  или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций
точки x  X ,тогда lim
x  0 x
у
 f  x     x  , где  x - бесконечно малая величина при x  0 . Отсюда:
имеем
х
y  f xx   xx .
( 7.1)
Таким образом, приращение функции  y состоит из двух слагаемых:
f  x x
 f  x  ;
1) f x x - линейного относительно x , т.к. lim
x  0
x
 x x
 lim   x   0 .
2)  x x - нелинейного относительно x , т.к. lim
x  0
x  0
x
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно x часть
приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой
переменной:
dy  f x x .
( 7.2)
Пример 7.1. Найти приращение функции y  2 x 2  3x при x  10 и x  0,1:


Решение. y  f x  x   f x   2x  x   3x  x   2 x 2  3x  
2
 2 x  4 xx  2x   3x  3x  2 x  3x  x4 x  2x  3 ,
y  0,14 10  2  0,1  3  3,72
2
2
2
Пример 7.2. Найти дифференциал функции y  x .
Решение. По формуле (7.2.) имеем dy  dx  xx  x .
Определение. Дифференциал независимой переменной x равен приращению этой переменной:
( 7.3)
dx  x
Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:
dy  f xdx
( 7.4)
dy
dy
 f  x  , поэтому
можно рассматривать не только как символическое
dx
dx
обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем dy и знаменателем dx .
Откуда
Геометрический смысл. На графике
функции y  f x  (рис. 7.1.) возьмем
произвольную
точку
Дадим
M x, y  .
аргументу x приращение x , тогда функция
получает приращение y  f x  x  f x .
M
В точке
проведем касательную,
образующую угол  с осью Ox . Из
треугольника MM 1 N : y  KM1  NK . Из
MKN имеем: KN  MN  tg  f x  x .
Таким образом, y  f x  x  KM1 и
соответствует формуле (7.1).
Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение
ординаты касательной, проведенной к графику функции y  f x  в данной точке, когда x
получает приращение x .
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
1) dc  0
4) d uv  vdu  udv
 u  vdu  udv
2) d cu   cdu
5) d   
v2
v
3) d u  v   du  dv
Инвариантность формы дифференциала
Если y  f x  , то из (7.4) имеем dy  f xdx .
Рассмотрим сложную функцию y  f u   f  x, где u   x .
Если функции y  f u  и u   x дифференцируемые функции от своих аргументов, то
dy du

 f uu   ux  x  .
производная сложной функции равна yx 
du dx
Умножим обе части равенства на dx : yx dx  fuu   ux x dx . Таким образом,
dy  fuu du .
Это равенство означает, что формула дифференциала не изменится, если вместо функции от
независимой переменной x рассматривать функцию от зависимой переменной u . Это свойство
дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала.
7.2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Согласно формулы (7.1), y  f xx   xx , т.е. y  dy   xx . При достаточно малых
значениях x приращение функции  y приблизительно равно ее дифференциалу
y  dy ,
(7.5)
f x  x  f x  f xx .
Формула (7.5) часто используется в приближенных вычислениях.
Пример 7.3. Вычислить 6 72 .
Решение.
1
Пусть f  x   6 x . Найдем f  x   5 6 . Положим x  64, x  8 .
6x
В соответствии с (7.5) f x  x  f x  f xx . Для функции f  x   6 x имеем
6
6
1
 x .
6 x5 6
1
1
72  6 64 
8  2 
 2,0417 .
56
6  64
3  23
x  x  6 x 