Задачи к экзамену

-3-
1. ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ
Задача № 1.1. Разделить отрезок АВ точкой С в отношении
АС 3

СВ 2
Рис. 1
Так как делению отрезка в каком-либо отношении соответствует такое же
деление его проекций, то делим проекцию А1В1 (можно было бы начать и с
фронтальной проекции) на 5 частей. Для этого через точку А1 проводим
произвольную прямую и откладываем на ней пять каких-либо равных между
собой отрезков. Точку 5 соединяем с точкой В1.Через точку 3 проводим прямую,
параллельную прямой В1-5 до пересечения с А1В1 в точке С1. По точке С1 строим
проекцию С2. В точке С отрезок АВ разделен в отношении 3 : 2, считая от точки
А.
Задача № 1.2. Найти недостающую проекцию точки К, лежащей на
прямой (АВ).
Рис. 2
Чтобы построить горизонтальную проекцию К1 точки К, принадлежащей
профильной прямой
(АВ), следует воспользоваться свойством операции
проецирования - отношение длин отрезков, лежащих на одной и той же прямой
или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков. На
основании этого свойства точка К будет принадлежать прямой (АВ), если её
проекции К1 и К2 будут делить отрезки А1В1 и А2В2 в одинаковом отношении.
Горизонтальная проекция точки К определена с помощью прямой А0В0, при
построении которой прямые А2А0 В2В0 К2К0 и А1А0 В1В0 К0К1 проведены
произвольно.
-4-
Задача № 1.3. Через точку К (К1, К2) провести горизонталь h (h1, h2) под
углом 30 к плоскости проекций П2 и фронталь f (f1, f2) под углом 45 к
плоскости проекций П1.
Рис. 3
Так как все точки прямой h находятся на одинаковом расстоянии от
плоскости П1, то на эпюре фронтальная проекция h2 параллельна оси Х12 и
проходит через точку К2, а горизонтальная проекция h1 через точку К1 и
составляет с осью Х12 угол 30.
Фронталь f параллельна плоскости проекций П2, следовательно на эпюре
горизонтальная проекция f1 фронтали f параллельна оси Х12 и проходит через
точку К1, фронтальная проекция f2 фронтали f проходит через точку К2 и
составляет с осью проекций Х12 угол 45.
Задача № 1.4. Через точку К (К1, К2) провести прямую n параллельно
прямой m (m1, m2).
Рис. 4
Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную
данным прямым) - параллельны. Это свойство параллельного проецирования
остается справедливым и для ортогональных проекций, т.е. если n m, то n1m1 и
n2 m2 и горизонтальная проекция прямой n1 проходит через горизонтальную
проекцию К1 точки К, а фронтальная проекция прямой n2 проходит через К2
точки К и n2 m2.
-5-
Задача № 1.5. Найти недостающие проекции точек М, К, N, лежащих в
плоскости α, заданной треугольником АВС.
Рис. 5
Известно, что если точка принадлежит плоскости, то она принадлежит какойлибо прямой этой плоскости. Поэтому точку М2 находим на фронтальной
проекции А2В2 отрезка АВ на одной линии связи с точкой М1. Для построения
точки К1 через точки А2 и К2 проводим фронтальную проекцию вспомогательной
прямой l, лежащей в данной плоскости. Получив точку 12, находим точку 11 на
проекции В1С1. Теперь проводим прямую из точки А1 через точку 11 и на этой
прямой находим горизонтальную проекцию точки К. Аналогично строится точка
N2 с помощью вспомогательной прямой m (m1m2), принадлежащей плоскости .
Задача № 1.6. Построить недостающую проекцию А2В2С2 треугольника
АВС, лежащего в плоскости  (h  f).
Рис. 6
Чтобы построить фронтальную проекцию треугольника АВС, надо найти
фронтальные проекции точек А, В и С. Проекцию А2 находим по линии связи на
f2 (фронтальной проекции фронтали f), проекцию В2 строим с помощью
горизонтали α, проведенной в плоскости. Сначала проводим проекции α1
параллельно h1 через точку В1, затем через точку А2 - фронтальную проекцию
горизонтали α2 параллельно оси Х12
и на ней находим проекцию В2.
Фронтальную проекцию точки С находим при помощи фронтали b, хотя конечно,
можно было бы и для этой точки применить горизонталь. Через точку С1
-6-
проводим горизонтальную проекцию b1 фронтали b параллельно оси Х12, находим
точки 11 и 12.. Фронтальная проекция b2 фронтали b проходит через точку 12
параллельно f2; на этой проекции получаем точку С2. Искомая проекция
треугольника АВС определяется точками А2, В2 и С2.
Задача № 1.7. Определить в плоскости (аb) точку А, расположенную
на расстоянии 15 мм от плоскости П1 и 25 мм от плоскости П2.
Рис. 7
Для построения точки А, расположенной в плоскости  на определенном
расстоянии от плоскостей П1 и П2, необходимо в плоскости провести горизонталь
h на расстоянии 15 мм от плоскости проекций П1 и на расстоянии 25 мм от
плоскости проекций П2 построить фронталь f . На пересечении горизонтали h и
фронтали f находим искомую точку А. На эпюре проводим фронтальную
проекцию h2 горизонтали h на расстоянии 15 мм от оси проекций Х12. Отмечаем
точки 12 и 22 на проекциях а2 и b2 и находим проекции 11 и 21 на а1 и b1.
Горизонтальная проекция h1 горизонтали h проходит через точки 11 и 21. Затем
построим горизонтальную проекцию f1 фронтали f на расстоянии 25 мм от оси
Х12. Отмечаем точку пересечения прямой h1 с прямой f1 в точке А1, а точка А2
строится по линии связи на прямой h2.
Задача № 1.8. Через точку А (А1А2) провести горизонтально
проецирующую плоскость  и фронтально проецирующую плоскость β,
параллельные прямой l.
Рис. 8
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых,
лежащих в этой плоскости.
Чтобы построить искомые плоскости  и β через точку А, так чтобы эти
плоскости были параллельны прямой l, сначала через точку А надо провести
-7-
прямую m параллельно прямой l; на эпюре m1 строится через точку А1
параллельно l1, а m2 проводится через точку А2 параллельно l2. Затем заключаем
прямую m в горизонтально проецирующую плоскость ; на эпюре 1 и
горизонтальная проекция плоскости  совпадёт с горизонтальной проекцией m1
прямой m. А чтобы заключить прямую m во фронтально-проецирующую
плоскость β на эпюре β2 - фронтальная проекция плоскости β совпадет с
фронтальной проекцией m2 прямой m.
Решения типовых задач приведены на с.8.
-8-
-9-
Условия задач
Графические условия задач приведены на с. 10… 13.
Через точку А провести плоскость, заданную линии уровня.
Через точку А провести прямую l, параллельную прямой р.
Через точку А провести горизонталь, пересекающую данную прямую р.
Через точку А, фронтальная проекция которой А2 задана, провести прямую
n, лежащую в плоскости (ml) и параллельную прямым m и l.
5. Построить точку С, которая делит отрезок АВ в отношении АС : СВ = 1:2, и
через эту точку провести прямую l, параллельную прямой а.
6. В плоскости (аb) построить точку А, удаленную от плоскости П1 на
расстояние 20 мм и от плоскости П2 - на 45 мм.
7. Через точку А провести прямую l, параллельную прямой р.
8. Через точку А провести прямую l, параллельную прямой р.
9. Через точку А провести горизонталь и фронталь, пересекающие данную
прямую l.
10. В плоскости (аb) построить точку А, удаленную от плоскостей П1 и П2 на
расстояние 30 мм.
11. Через точку А провести горизонталь h и фронталь f.
12. В плоскости (l m) построить точку А, удаленную от плоскости П1 на
расстояние 20 мм и от плоскости П2 - на 15 мм.
13. Достроить фронтальную проекцию плоской фигуры.
14. В плоскости  (АВС) провести горизонталь, отстоящую от плоскости П1 на 25
мм.
15. В плоскости (а b) построить точку А, удаленную от плоскостей П1 и П2
на расстояние 25 мм.
16. Через точку В провести фронталь, пересекающую данную прямую р.
17. В плоскости  ( АВС) достроить проекции точек К, М, l, проекции которых
К2, М2, l1 заданы.
18. Достроить фронтальную проекцию плоской фигуры АВСDEF.
19. В плоскости (а b) построить точки А и В, если заданы проекции А2 и В1
20. В плоскости (lm) построить отрезок АВ, проекции А1 и В2 концов которого
заданы.
21. В плоскости (l, L) построить отрезок АВ, проекции А1 и В2 концов которого
заданы.
22. Определить, принадлежит ли точка К плоскости  (АВС).
23. Определить, лежат ли параллельные прямые l, m, n в одной плоскости.
24. Достроить горизонтальную проекцию плоскостей фигуры АВСDE.
25. В плоскости  ( АВС) построить горизонталь h (h1, h2) через точку А и фронталь f(f1, f2) через точку В.
1.
2.
3.
4.
- 10 -
26. В плоскости (АВС) провести горизонталь, отстоящую от плоскости П1 на 20
мм.
27. В плоскости (f h) построить отрезок АВ, горизонтальная проекция которого
задана.
28. В плоскости (h f) построить АВС, горизонтальная проекция которого
задана
29. В плоскости (АВС) провести фронталь, отстоящую от плоскости П1 на 30 мм.
30. Достроить фронтальную проекцию плоской фигуры.
31. В плоскости (l m) построить отрезок АВ (А1В1), фронтальная проекция которого задана.
32. В плоскости (h f) построить АВС (А1В1С1), фронтальная проекция
которого задана.
- 11 -
- 12 -
- 13 -
- 14 -
- 15 -
2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Задача № 2.1. Построить дополнительную ортогональную проекцию
прямой l на плоскости, параллельной этой прямой.
Рис. 9
Для решения задач взята новая плоскость проекций П4, отвечающая двум
условиям: П4  П1 и П4 l. На эпюре новая ось Х14 проведена параллельно l1.
Чтобы построить дополнительную ортогональную проекцию l4 прямой l, отметим
на этой прямой две точки, например 1 и 2, и построим их дополнительные
проекции 14 и 24.
Задача № 2.2. Построить дополнительную ортогональную проекцию
прямой l на плоскости, перпендикулярной этой прямой. Другими
словами, в новой системе прямая l должна стать проецирующей.
Рис. 10
Преобразование одной из проекций прямой l общего положения в точку
требует двух дополнительных плоскостей проекций, так как в системе П2/П1
плоскость, перпендикулярная l, не будет ортогональной ни к плоскости П2, ни к
плоскости П1.
При переходе от системы П1/П2 к системе П1/П4 плоскость П4 располагают
перпендикулярно П1 и параллельно прямой l, т.е. решают первую задачу,
рассмотренную выше.
- 16 -
При введении второй новой плоскости П5, её располагают перпендикулярно
прямой l . Этим самым будет обеспечено условие ортогональности П4/П5. Ось Х45
построена перпендикулярно l4. На плоскости П5 прямая l изобразится точкой.
Итак, в системе П4/П5 прямая l стала проецирующей относительно плоскости П5.
Задача № 2.3. Построить дополнительную ортогональную проекцию
плоскости  ( АВС) на плоскости, перпендикулярной этой плоскости.
Рис. 11
Пусть плоскость  общего положения задана треугольником АВС. Для
решения поставленной задачи новую плоскость проекций нужно расположить
перпендикулярно АВС и одной из плоскостей проекций. Значит, новая плоскость
должна быть перпендикулярна линии пересечения заданной плоскости с одной из
плоскостей проекций. При этом нет необходимости строить такую линию, так как
её направление можно установить с помощью линий уровня плоскости.
Вот почему в заданной плоскости прежде всего проводят одну из линий
уровня, например, горизонталь h (A-1). Эта горизонталь нужна для ориентировки
новой плоскости проекций П4 .
Расположив П4  h, обеспечиваем сразу выполнение двух условий: новая
плоскость П4 будет перпендикулярна и П1 и плоскости треугольника. Новую ось
х14 проводят под прямым углом к h1(A1-11). Проведя через горизонтальные
проекции треугольника прямые, перпендикулярные новой оси, откладывают на
этих прямых от оси х14 отрезки, равные расстояниям от точек А, В и С до
плоскости проекций П1. Так получается новая проекция А4В4С4 треугольника
АВС, представляющая собой прямую линию.
- 17 -
Задача № 2.4. Построить дополнительную ортогональную проекцию
плоскости (АВС) на плоскости, параллельной этой плоскости.
Рис. 12
Треугольник АВС занимает общее положение. Нужно создать такую новую
ортогональную систему плоскостей проекций, в которой одна из них должна быть
параллельной треугольнику. В системе П1/П2 такую плоскость построить нельзя.
Действительно, плоскость, параллельная треугольнику, не будет перпендикулярна
ни П1, ни П2, т.е. она не образует с плоскостями проекций ортогональной системы.
Решение задачи требует введения двух дополнительных плоскостей
проекций. Первая дополнительная плоскость П4 строится аналогично такой же
плоскости в задаче № 2.3. Смысл первого этапа задачи заключается в
преобразовании плоскости треугольника в проецирующую плоскость. Второй
этап решения задачи заключается в переходе от системы П1/П4 к системе П4/П5.
Новая плоскость устанавливается параллельно треугольнику, а значит, новая ось
х45 на эпюре проводится параллельно прямой, на которой оказались расположены
точки А4, В4 и С4. Как обычно, через указанные точки проводят перпендикуляры к
новой оси и откладывают на них от оси проекций х45 отрезки, равные расстояниям
точек А, В и С до плоскости проекций П4. Построенная проекция А5В5С5
определяет истинную величину треугольника АВС.
Решения типовых задач приведены на с. 17.
- 18 -
Условия задач
Графические условия задач приведены на с. 19… 22.
Построить дополнительную ортогональную проекцию:
1…4 - Прямой l на плоскости ей перпендикулярной,
5…8 - Плоскости (А, l) на плоскости ей перпендикулярной,
9…12 - Плоскости (∆АВС) на плоскости ей параллельной,
13…16 - Плоскости (m n) на плоскости ей параллельной,
17…20 - Прямой l на плоскости ей параллельной,
21.
- Плоскости (А,В,С) на плоскости ей перпендикулярной,
22…24 - Плоскости (m  n) на плоскости ей перпендикулярной,
25… 27 - Плоскости (∆ АВС) на плоскости ей параллельной,
28, 29 - Плоскости (АВСD) на плоскости ей перпендикулярной,
30, 31 - Плоскости (∆ АВС) на плоскости ей параллельной,
32
- Плоскости (АВСD) на плоскости ей перпендикулярной.
- 19 -
- 20 -
- 21 -
- 22 -
- 23 -
3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ
С ПЛОСКОСТЬЮ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается
следующим образом. В плоскости отмечается прямая, лежащая в одной
проецирующей плоскости с заданной прямой. Точка пересечения этих прямых и
будет искомой точкой пересечения прямой с плоскостью.
Задача № 3.1. Построить точку К пересечения прямой l с плоскостью
(ABC).
Рис. 13
Отметим в плоскости  прямую m, которая лежит в одной фронтально
проецирующей плоскости с заданной прямой l. Фронтальные проекции этих
прямых совпадают. Горизонтальная проекция прямой m построена с помощью
точек 1 и 2, принадлежащих плоскости .
Сначала определяем горизонтальную проекцию К1 точки К в пересечении l1 и
m1. Фронтальную проекцию К2 точки К находим по принадлежности точки К
прямой l.
При решении задачи можно воспользоваться и такой прямой плоскости ,
которая лежит в одной горизонтально проецирующей плоскости с заданной
прямой l. В этом случае на эпюре совпадут горизонтальные проекции прямой l и
прямой, принадлежащей плоскости .
Считая АВС непрозрачной пластиной, покажем видимость прямой l. Для
определения видимости относительно плоскости П1 отметим на скрещивающихся
прямых l и ВС точки 3 и 4, у которых горизонтальные проекции 31 и 41 совпадают.
Точка 3, принадлежащая прямой l, ниже точки 4 прямой ВС, о чем можно судить
по фронтальным проекциям 32 и 42. Из этого следует, что прямая l слева от точки
К находится над треугольником и при рассматривании сверху будет видимой. В
точке К видимость изменяется. Справа от точки К прямая l находится под
треугольником и будет невидимой. Горизонтальная проекция невидимой части
прямой изображена штриховой линией.
- 24 -
Видимость прямой l относительно плоскости П2 определена с помощью
точек 1 и 5.
Задача № 3.2. Построить точку К пересечения прямой l с фронтально
проецирующей плоскостью .
Рис. 14
В этом случае сначала отмечается фронтальная проекция К2 точки К в
пересечении l2 с 2. Горизонтальная проекция К1 точки К находится по
принадлежности точки К прямой l
Задача № 3.3. Построить точку К пересечения прямой l, которая
перпендикулярна плоскости проекций П1, с плоскостью .
Рис. 15
Здесь К1  l1, а К2 определяется по принадлежности точки К плоскости
(аb) с помощью прямой m.
- 25 -
Задача № 3.4. Построить прямую l пересечения плоскостей (аb) и
β(сd)
Рис. 16
Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения
которой достаточно найти две точки, общие обеим плоскостям. Каждая из этих
точек может рассматриваться как точка пересечения прямой одной плоскости с
другой плоскостью.
Следовательно, решение задачи на построение линии пересечения двух
плоскостей сводится в основном к двукратному решению задачи на определение
точки пересечения прямой с плоскостью.
Прямая l проведена через точки К и М. Точка К определена как точка
пересечения прямой плоскости β с плоскостью , а точка М - как точка
пересечения прямой d плоскости β с плоскостью . Следует обратить внимание на
то, что t1q1, так как прямые t и q, принадлежащие плоскости , параллельны,
потому что параллельны их фронтальные проекции t2 и q2.
Задача № 3.5. Построить прямую
β(сd)
l плоскости (аb) с плоскостью
Рис. 17
Для построения прямой линии l пересечения двух плоскостей 
необходимо найти две общие для них точки К и М.
и β
- 26 -
Чтобы построить точку К, в плоскости  строим горизонталь h (h1, h2) и
пересекаем эту прямую с плоскостью β, а вторая общая точка М находится в
пересечении второй горизонтали h*, лежащей в плоскости  с плоскостью β.
Задача № 3.6. Построить прямую l пересечения плоскости  П2 с
плоскостью β (АВС).
Рис. 18
Плоскость  является фронтально проецирующей. Фронтальная проекция l2
линии пересечения плоскостей совпадает с фронтальной проекцией плоскости ,
а горизонтальная проекция построена исходя из условия принадлежности прямой
l плоскости β.
Задача № 3.7. Построить прямую h пересечения плоскости (аb) с
плоскостью β ( с d)
Рис. 19
Плоскость  задана двумя пересекающимися линиями уровня: горизонталью
а и фронталью b, а плоскость β задана горизонталью с и фронталью d, по
условию горизонталь а параллельна горизонтали с, следовательно линия
пересечения этих двух плоскостей тоже будет горизонталь h параллельная
горизонталям а и с.
- 27 -
Задача № 3.8. Построить точку К пересечения прямой l c плоскостью
(аb).
Рис. 20
В плоскости (аb) строится прямая m, лежащая в одной фронтально
проецирующей плоскости с прямой l, на эпюре l2m2, точка К1= l1m1, а точки
К2  l 2 .
Решения типовых задач раздела 3. приведены на с. 27, 28.
- 28 -
- 29 -
- 30 -
Графические условия задач приведены на с. 30… 33.
Построить точку пересечения К прямой l с плоскостью  в задачах №№ 1,5,7,
11,13,14,15,17,19,21,22,23,25,27,29,31; в задачах № 7,14,27 отметить видимость
прямой l относительно плоскости .
Построить линию пересечения l двух заданных плоскостей  и β в задачах
№ 2,3,4,6,8,9,10,12,16,18,20,24,26,28,30,32.
- 31 -
- 32 -
- 33 -
- 34 -
- 35 -
4. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ
С ПОВЕРХНОСТЬЮ
Решение задачи на построение точек пересечения прямой с поверхностью
аналогично решению задачи на определение точки пересечения прямой с
плоскостью.
В общем случае указанная задача решается следующим образом. На
поверхности отмечают линию, которая лежит в одной проецирующей плоскости с
заданной прямой. Точки пересечения этих двух линий являются искомыми
точками пересечения.
Одной проекцией, отмеченной на поверхности линии, является отрезок
прямой, принадлежащей одноименной проекции заданной прямой. Другая её
проекция может быть построена исходя из принадлежности линии поверхности.
Если при этом она имеет простую форму (многоугольник, окружность), то задача
решается непосредственно на исходных проекциях. В других случаях для
упрощения решения задачи будет целесообразно построить дополнительную
проекцию этой линии и прямой.
Задача № 4.1. Построить точки К и М пересечения прямой l c
поверхностью трехгранной пирамиды SABC.
Рис. 21
- 36 -
Отметим на поверхности пирамиды линию t(1-2-3), фронтальная проекция t2
которой частично совпадает с фронтальной проекцией l2 заданной прямой l (в
пространстве прямая l и линия t принадлежат одной фронтально проецирующей
плоскости). Линия t представляет собой замкнутую трехзвенную ломаную
линию, сторонами которой являются отрезки прямых 1-2, 2-3, 3-1, расположенные
в соответствующих гранях пирамиды. Точки К и М пересечения прямой l с
линией t - искомые точки пересечения прямой l с поверхностью пирамиды SABC.
Сначала находим горизонтальные проекции К1, М1 этих точек в пересечении
горизонтальных проекций l1 и t1, а затем их фронтальные проекции К2,М2 на
фронтальной проекции l2 прямой l.
Определим видимость прямой l.
Относительно плоскости П1 все три боковые грани видимы, значит видимы
обе точки К и М пересечения прямой l с поверхностью пирамиды. Относительно
плоскости П2 грани SAB и SBC видимы, а грань SAC невидима. Следовательно,
участок прямой l левее точки К невидим, а правее точки М видим.
Задача № 4.2. Построить точки
конической поверхностью.
К и М пересечения прямой l с
Рис. 22
Выделим на конической поверхности линию t, у которой t2  l2 (линии t и l
принадлежат данной фронтально проецирующей плоскости). Линия t
представляет собой эллипс. Эллипсом будет и её горизонтальная проекция t1.
Чтобы избежать построения эллипса t1, спроецируем кривую t и прямую l из
вершины конической поверхности S S на плоскость П m. При этом линия t
- 37 -
проецируется в кривую t m, а прямая l - в прямую l ( прямая l определена
дополнительными проекциями 1 и 2 точек 1 и 2 прямой l).
Точки К и М пересечения кривой линии t с прямой l являются
дополнительными центральными проекциями искомых точек. Точки К и М
получены на прямой l при помощи обратного проецирования точек К и М.
Для определения видимости прямой достаточно, как и в предыдущей задаче,
установить видимость точек её пересечения с поверхностью. Видимость
последних определена по видимости проходящих через них образующих
поверхности.
Задача № 4.3. Построить точки К и М пересечения прямой l с
поверхностью цилиндра.
Рис. 23
Построение точек пересечения прямой l с поверхностью цилиндра
аналогично построению точек пересечения прямой с поверхностью конуса с той
лишь разницей, что дополнительное проецирование в данном случае
параллельное. Направление проецирования s параллельно образующим
цилиндра, а плоскость дополнительных проекций П проходит через линию
основания цилиндра m.
- 38 -
Задача № 4.4. Построить точки К и М пересечения прямой l со сферой.
Рис. 24
Для построения точек пересечения прямой l со сферой на последней
отмечена окружность t с центром в точке С, фронтальная проекция t2 которой
частично совпадает с фронтальной проекцией l2 прямой l (l и t лежат в одной
фронтально проецирующей плоскости). Чтобы не строить эллипс, в который
окружность t проецируется на плоскость П1, построена дополнительная
ортогональная проекция прямой l и окружности t на плоскости П4, параллельной
плоскости, которой принадлежат окружность t и прямая l, и перпендикулярной к
плоскости проекций П2. При этом ось Х24 параллельна t2 l2. На плоскости
проекций П4 заданная прямая l проецируется в прямую l4, а окружность t – в
окружность t4, радиус R которой равен длине отрезка А2С2, а центр С4 строится из
условия принадлежности точки С главному меридиану m сферы. Отметим точки
К4 и М4 пересечения дополнительных проекций t4 и l4 окружности t и прямой l и,
проводя линии связи, определяем на l2 и l1 проекции искомых точек К2 и М2, а
затем К1 и М1.
Видимость прямой l, которая пересекает сферу, устанавливается по
видимости точек К и М. Точка К расположена выше экватора сферы, т.е. на
видимой относительно плоскости проекций П1 половины сферы, а точка М – ниже
экватора, т.е. на невидимой её половине. Поэтому относительно плоскости П1
точка К - видимая, а точка М – невидимая. Относительно плоскости П2 точка К –
невидимая, точка М – видима, так как точка К лежит за главным меридианом, а
точка М перед ним.
Решение типовых задач раздела 4. приведены на с. 38.
Условия задач
- 39 -
Графические условия задач приведены на с. 39… 42.
Построить точки К и М пересечения заданной прямой l с поверхностью.
- 40 -
- 41 -
- 42 -
- 43 -
- 44 -
- 45 -
5. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ
И УГЛОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ВИДА
ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Задача № 5.1. Определить длину отрезка АВ.
Рис. 25
Если отрезок параллелен плоскости проекций, то его длина определяется
длиной проекции отрезка на этой плоскости. Поэтому для решения задачи
построим дополнительную ортогональную проекцию отрезка на плоскости,
параллельной этому отрезку или проходящей через него и перпендикулярной к
одной из плоскостей проекций.
Строим дополнительную ортогональную проекцию А4В4 отрезка АВ на
плоскости П4 проходящей через отрезок и перпендикулярной к плоскости П1. Ось
Х14 совпадает с горизонтальной проекцией А1В1 отрезка АВ. Ось Х12 проведена
через фронтальную проекцию А2 точки А. Расстояние от оси Х14 до
дополнительных проекций А4 и В4 точек А и В равно расстоянию от фронтальных
проекций точек А2 и В2 этих точек до оси Х12. Длина дополнительной
ортогональной проекции А4В4 отрезка АВ на плоскости проекций П4 равна длине
отрезка АВ
Задача № 5.2. Определить расстояние от точки А до прямой l.
Рис. 26
Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка
перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
На эпюре проекции перпендикуляра к прямой можно построить, если прямая
параллельна плоскости проекций. Поэтому сначала строим дополнительную
- 46 -
ортогональную проекцию прямой l и точки А на плоскости проекций П4,
параллельной прямой l и перпендикулярной к плоскости П1. При этом ось Х14
параллельна l1. Для построения дополнительной проекции прямой l на ней
отмечены точки 1 и 2. Проводим дополнительную проекцию А4К4
перпендикуляра (А4К4  l4),а затем строим горизонтальную проекцию
перпендикуляра А1К1 и его фронтальную проекцию А2К2. По двум проекциям
отрезка АК(А1К1 и А2К2) находим его длину путём поворота вокруг фронтально
проецирующей оси i, проходящей через точку А, до положения параллельного
плоскости П1. Длина отрезка А1К1 и есть расстояние от точки А до прямой l.
Задача № 5.3. Определить расстояние от точки А до плоскости (h f).
Рис. 27
Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка перпендикуляра,
опущенного из точки на плоскость.
Из точки А проведём перпендикуляр n к плоскости (h f) - (n2  f2, n1  h1)
и построим точку К, в которой перпендикуляр n пересекает плоскость .
Построение выполняется с помощью прямой t, лежащей с перпендикуляром n в
одной фронтально проецирующей плоскости.
Длина отрезка перпендикуляра АК определяется аналогично длине отрезка
АВ в задаче № 5.1, основная ось Х12 проведена через точку К2, а дополнительная
ось Х14 совпадает с n1. Полученный отрезок А4К4 на плоскости П4 измеряет
расстояние от точки А до плоскости .
Задача № 5.4. Определить расстояние между скрещивающимися
прямыми l и m, l  П1 и m - прямая общего положения.
Рис. 28
- 47 -
Под расстоянием между скрещивающимися прямыми понимается длина
отрезка перпендикуляра, общего для обеих прямых.
Если одна из скрещивающихся прямых l перпендикулярна к плоскости
проекций П1, то их общий перпендикуляр АВ параллелен плоскости проекций П1.
При этом прямой угол между перпендикуляром и прямой m проецируется на
плоскости П1 в прямой угол, и проекция отрезка перпендикуляра А1В1 между
прямыми l и m определяет расстояние между ними.
Задача № 5.5. Определить расстояние между скрещивающимися
прямыми h и f; h П1 и f П2
Рис. 29
Обе прямые h и f занимают положение линий уровня. Для перехода к задаче
№ 5.4 вводим дополнительную плоскость проекций П4  П1 и П4  h, ось Х14
перпендикулярна к h1. Длина проекции А4В4 отрезка АВ общего перпендикуляра
прямых h и f равна искомому расстоянию, так как отрезок АВ параллелен
плоскости проекций П4..
Задача № 5.6. Определить расстояние между двумя параллельными
прямыми m и n.
Рис. 30
Перпендикуляр, опущенный из любой точки одной прямой на другую,
определяет расстояние между прямыми.
Обе параллельные прямые m и n параллельны плоскости П1. Зададим точку А
на прямой m и опустим из этой точки А перпендикуляр на прямую n. Заменим
плоскость П2 на плоскость П4 так, чтобы она была перпендикулярна к прямой n.
- 48 -
Новая ось Х14 проведена перпендикулярно к проекции n1 прямой n. На линиях
связи от новой оси Х14 откладываем отрезки, равные расстояниям от заменяемых
проекций А2 и n2, точки А и прямой n, до оси Х12.
Получим проекцию А4 точки А и проекцию n 4 прямой n.
Расстояние между А4 и n 4 и будет искомым.
Задача № 5.7. Определить расстояние от точки А до плоскости
(m n)П2
Рис. 31
Плоскость  (m n) является фронтально проецирующей. Перпендикуляр,
опущенный из точки А на плоскость , параллелен плоскости проекций П2 и
длина проекции его отрезка на этой плоскости проекций П2 равна искомому
расстоянию.
Задача № 5.8. Определить расстояние между двумя параллельными
плоскостями  (а b) и β (с ),  β П2.
Рис. 32
Решение этой задачи можно свести к определению расстояния от точки К,
взятой в плоскости  до другой плоскости β. См. решение задачи № 5.7.
- 49 -
Задача № 5.9. Определить угол между пересекающимися прямыми l и m.
Рис. 33
Отмечаем в плоскости (l  m) горизонталь h и поворачиваем плоскость
вокруг горизонтали h в положение горизонтальной плоскости. При этом точки 1 и
2, принадлежащие горизонтали, остаются неподвижными. Точка А перемещается
по окружности, плоскость которой перпендикулярна к горизонтали. На плоскость
П1 окружность проецируется в отрезок прямой, перпендикулярной к
горизонтальной проекции h1 горизонтали h. Проводим через горизонтальную
проекцию А1 точки А прямую, перпендикулярную к h1, и отмечаем точку О1, в
которой она пересекает h1. Точка О1 - горизонтальная проекция центра О
окружности, по которой перемещается точка А. Его фронтальная проекция О2
принадлежит h2. Отрезки О1A1 и О2А2 - горизонтальная и фронтальная проекции
радиуса RA указанной окружности.
Находим длину радиуса RA, для чего строим дополнительную ортогональную
проекции О4А4 отрезка ОА на плоскости П4, проведенный через отрезок ОА и
перпендикулярной к П1.Отложив отрезок О4А4 на прямой О1А1 и от точки О1,
находим горизонтальную проекцию А1 точки А после поворота. Соединив точку
А1 с точками 11 и 21, получаем проекции l1 и m1 прямых l и m после поворота.
Угол  между ними равен искомому углу.
Задача № 5.10.Определить угол между скрещивающимися прямыми h и f
Рис. 34
Угол
между
скрещивающимися
прямыми
равен
углу
между
пересекающимися прямыми, параллельными заданным скрещивающимся
прямым.
Через точку А на прямой h проводим прямую l, параллельную прямой f.
Теперь решение задачи сводится к определению угла между пересекающимися
прямыми h и l.
- 50 -
Угол  между пересекающимися прямыми h и l находим поворотом
плоскости, образованной прямыми h и l вокруг фронтали l этой плоскости до
положения фронтальной плоскости. Отмечаем на горизонтали h точку В (В1,В2) и
поворачиваем точку В вокруг фронтали l до положения В2 и угол между
прямыми l2 и h2 =- есть искомый угол между прямыми h и f.
Задача № 5.11. Определить угол между прямой l и плоскостью  (n  f)
Рис. 35
Рис. 36
Углом между прямой и плоскостью считается угол между этой прямой и её
ортогональной проекцией на данную плоскость. Исходя из этого, решение задачи
может быть следующим. Из произвольной точки М прямой l опускаем
перпендикуляр n на плоскости . Находим точку пересечения этого
перпендикуляра с плоскостью (точка М) и точку К пересечения прямой l с
плоскостью . Через точки К и М проводим прямую l - проекцию прямой l на
плоскости . Угол  между прямыми l и l - искомый угол.
Решение задачи упрощается, если определить угол ω ( угол между прямой l
и перпендикуляром n). Зная угол ω, определим искомый угол =90 - ω. Для
построения перпендикуляра n, на эпюре n1 строится перпендикулярно к h1, а n2
строится перпендикулярно к f2. Угол ω между прямой l и перпендикуляром
определяется поворотом плоскости этого угла вокруг горизонтали h*. См.
решение задачи № 5.9. Угол  получается дополнением угла ω до 90.
Задача № 5.12. Определить угол между плоскостями  (а  b) и β (с  d).
Рис.37
Рис.38
Угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим
плоскостям.
- 51 -
Из произвольной точки пространства К(К1, К2) проведены перпендикуляры
t (t1  a1, t2  b2) к плоскости (а  b) и q(q1  c1, q2  d2) к плоскости β(с  d).
Плоскость перпендикуляров t и q повернута вокруг фронтали f(f1, f2) до
положения фронтальной плоскости. Фронтальные проекции t2 и q2 повернутых
перпендикуляров t и q образуют угол , равный искомому углу между двумя
плоскостями  и β.
Задача № 5.13. Определить углы наклона отрезка АВ к плоскостям
проекций П1 и П2.
Рис. 39
Для решения задачи взята новая плоскость П4, отвечающая двум условиям:
П4  П1 и П4АВ. В системе П4 / П1 прямая АВ стала параллельна плоскости П4, а
поэтому Х14А1В1. На плоскость П4 без искажения проецируется и отрезок АВ и
угол , угол между прямой АВ и плоскостью проекций П1. А чтобы определить
угол между прямой АВ и плоскостью проекций П2, введем ещё одну
дополнительную плоскость проекций П5, отвечающую тоже двум условиям:
П5П2 и П5АВ. В системе П5 / П2 прямая АВ становится параллельна плоскости
П5, и поэтому Х25А2В2. На плоскость П5 без искажения проецируется и отрезок
АВ, и угол β, угол между прямой АВ и плоскостью проекций П2.
Задача № 5.14. Определить углы наклона плоскости (а b) к
плоскостям проекций П1 и П2.
Рис. 40
Плоскость  общего положения задана двумя параллельными прямыми а и b.
Для решения поставленной задачи нужно новую плоскость проекций
расположить перпендикулярно  и одной из плоскостей проекций. Вот почему в
заданной плоскости проводим горизонталь и фронталь. Эти линии уровня нужны
- 52 -
для ориентировки новых плоскостей проекций П4 и П5. Расположив П4  h
(горизонтали плоскости), обеспечиваем выполнение двух условий: новая
плоскость П4 будет перпендикулярна и П1, и плоскости , новую ось Х14
проводим под прямым углом к h1 (горизонтальной проекции горизонтали). Новая
проекция плоскости  представляет собой прямую линию 4. На плоскость П4,
которая перпендикулярна плоскости
 и плоскости П1, без искажения

проецируется угол , П1, образованный плоскостью  с плоскостью П1.
Для определения угла, образованного плоскостью  с плоскостью проекций
П2, вводим ещё одну дополнительную плоскость П5 так, чтобы П5  П2 и П5  
нужно расположить П5  f (фронтали плоскости). На эпюре ось Х25 проводим под
прямым углом к f2 (фронтальной проекции фронтали). Проекция плоскости 
представляет собой прямую линию 5. На плоскости П5, которая перпендикулярна
плоскости  и плоскости П2, без искажения проецируется угол , П2,
образованный плоскостью  с плоскостью П2.
Задача № 5.15. Определить натуральный вид треугольника АВС.
.
Рис. 41
Такая задача может быть решена или путём построения дополнительных
ортогональных проекций АВС( см. задачу № 2.4), или путём поворота плоскости
этого треугольника вокруг линии уровня в положение соответствующей
плоскости уровня.
Если задаться целью: одним поворотом расположить треугольник
параллельно плоскости П1, то за ось вращения следует принять горизонталь (А-1).
В тот момент, когда плоскость треугольника будет параллельна П1,
горизонтальные проекции каждой из перемещающихся вершин окажутся
удаленными от оси вращения на расстоянии, равное радиусу вращения данной
точки.
Дальнейшие построения выполняются в такой последовательности:
- 53 -
1) проводим прямые, перпендикулярные А1 - 11, по которым будут
перемещаться горизонтальные проекции вращающихся точек;
2) строим проекции радиуса вращения одной из них, например В. Это будут
отрезки В1О1 и В2О2;
3) по двум проекциям определяем истинную величину радиуса вращения RB
(см. решение задачи № 5.1);
4) отрезок RB откладываем от точки О той прямой, по которой перемещается
горизонтальная проекция вершины В;
5) через полученную точку В1 и неподвижную 11 проводим прямую до
пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция
вершины С;
6) соединяя найденные точки В1 и С1 друг с другом и с неподвижной
вершиной А1, получаем новую горизонтальную проекцию треугольника.
Эта проекция и определяет натуральную величину ∆ АВС.
Фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в прямую,
которая совпадает с h2(А2 -12).
Задача № 5.16. Определить угол  между плоскостями (∆ АВС) и
β(∆АВD).
Рис. 42
Углу между двумя плоскостями соответствует линейный угол между
прямыми, по которым данные плоскости пересекаются третьей плоскостью,
перпендикулярной к линии их пересечения.
Линия пересечения двух заданных плоскостей  и β есть горизонталь АВ.
Чтобы определить угол
 между плоскостями  и β, введем новую
дополнительную плоскость П4  АВ. На эпюре новая ось Х14 проводится
перпендикулярно к А1В1; плоскость П4, перпендикулярная АВ, будет параллельна
сторонам линейного угла, которым измеряется двугранный угол .
Решения типовых задач приведены на с. 52…55.
- 54 -
- 55 -
- 56 -
- 57 -
- 58 -
Условия задач
Графические условия метрических задач приведены на с. 59 … 62.
1.1.
1.2.
Определить длину отрезка АВ.
Определить величину угла наклона плоскости  (∆АВС) к плоскости П1.
2.1.
2.2.
Определить расстояние от точки М до прямой l.
Определить величину угла между прямыми m и l.
3.1.
3.2.
Определить расстояние между параллельными прямыми m и n.
Определить величину угла между скрещивающимися прямыми а и b.
Определить расстояние от точки М до плоскости  (∆АВС),
построить проекции этого отрезка.
4.2. Определить величину угла между плоскостями  (а  b) и β (с  d).
4.1.
5.1.
5.2.
6.1.
6.2.
Определить расстояние от точки М до плоскости  (∆АВС),
построить проекции этого отрезка.
Определить величину угла между прямыми h и f.
Определить расстояние между скрещивающимися прямыми m и n,
построить проекции этого отрезка.
Определить величину угла между прямыми l и m.
7.1. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми m и n,
построить проекции этого отрезка.
7.2. Определить величину угла наклона плоскости  (а  b) к плоскости П2.
8.1.
8.2.
Определить расстояние между параллельными прямыми m и n.
Определить величину угла между прямыми а и b.
9.1.
9.2.
Определить расстояние от точки М до прямой l.
Определить величину угла между прямыми а и b.
10.1. Определить расстояние от точки М до плоскости  (h  f).
10.2. Определить натуральный вид треугольника АВС.
11.1. Определить натуральный вид треугольника АВС.
11.2. Определить величину угла между гранями АВС и АВD.
12.1. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми l и m.
12.2. Определить натуральный вид четырехугольника АВСD.
- 59 -
13.1. Определить расстояние между параллельными плоскостями
 ( а  b) и β (c  d), построить проекции этого отрезка
13.2. Определить величину угла между скрещивающимися прямыми l и m
14.1. Определить расстояние от точки М до плоскости  (∆АВС).
14.2. Определить величину угла между прямыми l и m.
15.1. Определить расстояние от точки К до прямой m.
15.2. Определить натуральный вид треугольника АВС.
16.1. Определить длину отрезка АВ.
16.2. Определить натуральный вид треугольника АВС.
17.1. Определить расстояние от точки М до прямой l.
17.2. Определить величину угла между прямыми m и l.
18.1. Определить расстояние от точки М до прямой l,
построить проекции этого отрезка.
18.2. Определить натуральную величину угла между прямыми l и m.
19.1. Определить длину отрезка АВ.
19.2. Определить величину угла между плоскостями  ( l  m), β (n  c).
20.1. Определить расстояние от точки К до плоскости  (∆АВС).
20.2. Определить величину угла между прямыми l и n.
21.1. Определить длину отрезка АВ.
21.2. Определить величину наклона плоскости  (∆АВС) плоскости П2.
22.1. Определить расстояние от точки А до плоскости  ( l  m) построить
проекции этого отрезка.
22.2. Определить величину угла между прямыми а и b.
23.1. Определить расстояние от точки К до прямой С, построить проекции
этого отрезка.
23.2. Определить величину угла между прямыми а и b
24.1. Определить расстояние между параллельными прямыми m и n.
24.2. Определить величину угла между прямыми f и h.
25.1. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми n и m,
построить проекции этого отрезка.
25.2. Определить натуральную величину плоской фигуры АВСD.
26.1. Определить расстояние от точки К до прямой m.
- 60 -
26.2.
27.1.
27.2.
Определить величину угла между прямыми а и b.
Определить длину отрезка АВ.
Определить величину угла между плоскостями h (a  b) и β (l  m).
28.1.
28.2.
Определить расстояние от точки М до плоскости  (∆АВС), построить
проекции этого отрезка.
Определить величину угла между скрещивающимися прямыми m и n.
29.1.
29.2.
Определить натуральный вид треугольника АВС.
Определить величину угла между гранями АВD и ACD.
30.1.
30.2.
Определить расстояние между скрещивающимися прямыми l и m.
Определить величину угла между прямыми f и h.
31.1.
31.2.
Определить расстояние от точки М до плоскости  (l m).
Определить угол между двумя прямыми а и b.
32.1.
32.2.
Определить длину отрезка АВ.
Определить натуральный вид треугольника АВС.
- 61 -
- 62 -
- 63 -
- 64 -
- 65 -
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Н. Станков, С.В. Борисенкова, Э.В. Солодовникова Начертательная
геометрия/ВИТУ. СПб, 1997.
2. Н.Н. Крылов и др. Начертательная геометрия.М.: Высшая школа, 2001.
- 66 -
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ……………………………………………….……3
Условия задач ………………………………………………………………8
2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ……….…. 14
Условия задач
«Дополнительные ортогональные проекции»………………………...... 18
3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ……………………………………...23
Условия задач………………………………………………………………29
4. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ
С ПОВЕРХНОСТЬЮ ………………………………………………………34
Условия задач……………………………………………………………….37
5. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И
УГЛОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ВИДА ПЛОСКОЙ
ФИГУРЫ…………………………………………………………………….43
Условия задач ………………………………………………………………56
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………63