Самостоятельная работа по теме «Основные свойства функций

Самостоятельная работа по теме «Основные свойства функций»
1 вариант
1. По графику функции (см. рисунок):
1) найдите область определения и область значений функции;
2) выясните, четная или нечетная функция;
3) укажите точки пересечения графика с осью 𝑂𝑥 и осью 𝑂𝑦;
4) укажите промежутки знакопостоянства функции;
5) укажите промежутки возрастания и убывания функции;
6) найдите точки максимума и минимум; максимум и минимум
функции
2. Исследуйте функцию 𝑦 = 10 − 4𝑥 и постройте ее график
Самостоятельная работа по теме «Функция. Свойства функций»
1 вариант
3
1. Найдите область определения функции: а) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4 ;
𝑓(𝑥) =
√𝑥−1
3𝑥−6
б)
Самостоятельная работа по теме «Основные свойства функций»
2 вариант
1. По графику функции (см. рисунок):
1) найдите область определения и область значений функции;
2) выясните, четная или нечетная функция;
3) укажите точки пересечения графика с осью 𝑂𝑥 и осью 𝑂𝑦;
4) укажите промежутки знакопостоянства функции;
5) укажите промежутки возрастания и убывания функции;
6) найдите точки максимума и минимум; максимум и минимум
функции
2. Исследуйте функцию 𝑦 = 4𝑥 + 1 и постройте ее график
Самостоятельная работа по теме «Функция. Свойства функций»
2 вариант
5
1. Найдите область определения функции: а) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 −2𝑥 ; б)
𝑓(𝑥) =
𝜋
√𝑥+5
2𝑥+4
𝜋
2. Дана функция 𝑓(𝑥) = 3 cos 𝑥 − 1. Найдите: 𝑓(𝜋); 𝑓(− 3 )
2. Дана функция 𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥 + 1. Найдите: 𝑓(0); 𝑓(− 6 )
3. Найдите область значений функции 𝑦 = 2 sin (𝑥 + 3 ) − 5
4. Исследуйте функции на четность или нечетность:
а) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − cos 𝑥; б) 𝑔(𝑥) = sin 2𝑥 + 𝑥 3
3. Найдите область значений функции 𝑦 = 3 cos (𝑥 − 4 ) + 1
4. Исследуйте функции на четность или нечетность:
а) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 + cos 𝑥; б) 𝑔(𝑥) = t𝑔 𝑥 − 4𝑥 5
𝜋
Самостоятельная работа по теме «Четность и периодичность
функций»
1 вариант
1. Исследуйте функции на четность или нечетность: а) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 −
𝑐𝑜𝑠𝑥; б) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑥 3 ; в) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 𝑐𝑡𝑔𝑥
2. Найдите наименьший положительный период функции:
𝑥
а) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 3 + 5; б) 𝑦 = 2𝑡𝑔4𝑥
Самостоятельная
работа по теме «Исследование функции на
монотонность и экстремумы»
1 вариант
1. Найдите критические точки функции: а) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 6𝑥 2 ;
б)
𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥 − 𝑥
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции 𝑓(𝑥) =
𝑥 3 − 4𝑥 2 + 5𝑥 − 1
𝜋
Самостоятельная работа по теме «Четность и периодичность
функций»
2 вариант
1. Исследуйте функции на четность или нечетность: а) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 +
𝑐𝑜𝑠𝑥; б) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 − 4𝑥 5 ; в) 𝑓(𝑥) = 𝑥 7 𝑠𝑖𝑛3𝑥
2. Найдите наименьший положительный период функции:
𝑥
а) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠6𝑥 − 2; б) 𝑦 = 4𝑐𝑡𝑔 5
Самостоятельная работа по теме «Исследование функции на
монотонность и экстремумы»
2 вариант
1. Найдите критические точки функции: а) 𝑓(𝑥) = 12𝑥 −
𝑥3;
б) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + √2 cos 𝑥
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции 𝑓(𝑥) = 3 +
24𝑥 − 3𝑥 2 − 𝑥 3
𝑥 2 −3
𝑥 2 +3
3. Найдите точки экстремума функции 𝑓(𝑥) = 𝑥−2
4. Докажите, что функция на множестве 𝑅 является возрастающей,
если 𝑓(𝑥) = 2𝑥 5 + 4𝑥 3 + 3𝑥 − 7
3. Найдите точки экстремума функции 𝑓(𝑥) = 𝑥+1
4. Докажите, что функция на множестве 𝑅 является убывающей, если
𝑓(𝑥) = 5 − 2𝑥 − 𝑥 3 − 4𝑥 7
Самостоятельная работа по теме «Корень -ой степени»
Вариант 1
3
3
1. Вычислите: а) √25 ∙ 135;
7
√5 + √26
3
7
4
3
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) 3 ;
б)
√3
4
5
6𝑎 √𝑎 : (3 𝑎)
18
3
в) √5 − √26 ∙
б) √3 ∙ √9 + √(−2)4 ;
3
Самостоятельная работа по теме «Корень 𝒏 -ой степени»
Вариант 2
1
√2+1
4
3. Упростите выражения: а) √√𝑎 +
б)
√
4
4. Вынесите множитель из-под знака корня (𝑥 > 0, 𝑦 > 0): а) √81𝑥 5 𝑦 9
5
5. Внесите множитель под знак корня (𝑥 > 0): а) 2𝑥 √𝑥
√𝑎3 ;
5
5
9
6
в) √6 + √35 ∙ 35
5
4
а) 5 ;
б) 3−1
1. Вычислите: а) √9 ∙ 375;
б)√8 ∙ √−4 + √(−3)6 ;
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические функции»
1 вариант
𝜋
1. Отметьте на единичной окружности точку 𝑃𝛼 , если: а) 𝛼 = 3 , б) 𝛼 =
5𝜋
20
5
√
√5
5
20
3. Упростите выражения: а)
− √√𝑎;
б)
− √√𝑎
4
4. Вынесите множитель из-под знака корня (𝑥 > 0, 𝑦 > 0): а) √0,0016𝑥 7 𝑦 8
3
5. Внесите множитель под знак корня (𝑥 > 0): а) 4𝑥 2 √𝑥
√𝑎2
√𝑎2
Самостоятельная работа по теме «Тригонометрические функции»
2 вариант
𝜋
1. Отметьте на единичной окружности точку 𝑃𝛼 , если: а) 𝛼 = − 4 , б)
4𝜋
7𝜋, в) 𝛼 = 3
2. Найдите координаты точки 𝑃𝛼 единичной окружности, если 𝛼
3𝜋
3𝜋
равно: а) 2𝜋, б) 4 , в) − 2
𝛼 = 4𝜋, в) 𝛼 = 5
2. Найдите координаты точки 𝑃𝛼 единичной окружности, если 𝛼 равно:
𝜋
𝜋
а) 3𝜋, б) − 4 , в) − 2
3. Определите знак числа: а) sin 7 , б) cos 3, в) sin 3 ∙ t𝑔 4
4. Найдите область определения и область значений функции: а) 𝑦 =
−1.5 + sin 2𝑥, б) 𝑦 = −3 cos 𝑥
3. Определите знак числа: а) sin 2, б) cos 5 , в) cos 11 ∙ ct 𝑔 4
4. Найдите область определения и область значений функции: а) 𝑦 =
−4 + cos 𝑥, б) 𝑦 = 2,5 sin 4𝑥
Самостоятельная работа по теме «Формулы сложения. Формулы
двойного угла»
1 вариант
𝜋
2𝜋
1. Вычислите: а) 𝑐𝑜𝑠 8 − 𝑠𝑖𝑛2 8
б) 2𝑐𝑜𝑠 2 15°𝑡𝑔15°
Самостоятельная работа по теме «Формулы сложения. Формулы
двойного угла»
2 вариант
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
1. Вычислите: а) 2𝑠𝑖𝑛 8 𝑐𝑜𝑠 8
б) 6𝑐𝑜𝑠 2 12 − 6𝑠𝑖𝑛2 12
4𝜋
2. Вычислите: а) 𝑐𝑜𝑠225°
3. Докажите тождество:
2𝜋
б) 𝑠𝑖𝑛
cos(2𝜋−𝛼)
𝜋
2
sin( +𝛼)
𝑡𝑔40°+𝑡𝑔5°
3𝜋
7
𝑐𝑜𝑠
4𝜋
7
+ 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
7
𝑠𝑖𝑛
= 1−𝑡𝑔40°𝑡𝑔5°
Самостоятельная работа по теме «Формулы суммы и разности
тригонометрических выражений»
4𝜋
7
6𝜋
2. Вычислите: а) 𝑠𝑖𝑛75°
3. Докажите тождество:
б) 𝑐𝑜𝑠
cos(
3𝜋
+𝛼)
2
sin(𝜋−𝛼)
3𝜋
7𝜋
9
𝑐𝑜𝑠
3𝜋
4𝜋
9
+ 𝑠𝑖𝑛
7𝜋
9
𝑠𝑖𝑛
𝑡𝑔55°−𝑡𝑔10°
= 1+𝑡𝑔55°𝑡𝑔10°
Самостоятельная работа по теме «Формулы суммы и разности
тригонометрических выражений»
4𝜋
9
Вариант 1
Вариант 2
1. Преобразуйте в произведение выражение: 𝑠𝑖𝑛6𝛼 − 𝑠𝑖𝑛4𝛼
2. Упростите выражения: а)
2𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( 3 − 𝛼)
3. Докажите тождество:
𝑐𝑜𝑠18°+𝑐𝑜𝑠42°
;
𝑐𝑜𝑠12°
б)
𝑠𝑖𝑛4𝛼+2𝑐𝑜𝑠3𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑐𝑜𝑠4𝛼−2𝑠𝑖𝑛3𝛼−𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑠𝑖𝑛3𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼
;
𝑐𝑜𝑠3𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼
𝜋
в)𝑠𝑖𝑛 (
3
1. Преобразуйте в произведение выражение: 𝑐𝑜𝑠7𝛼 − 𝑐𝑜𝑠3𝛼
− 𝛼) +
3𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( 4 + 𝛼)
3. Докажите тождество:
= −𝑐𝑡𝑔3𝛼
Самостоятельная работа по теме «Простейшие тригонометрические
уравнения»
Вариант 1
1. Вычислите:
1
2
1. Вычислите:
1
2
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(− )
2. Решите уравнения: а) 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = √3; б) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 3 ) = −1;
в)
√3
3
√2
2
3. Решите уравнение 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + = 0 и найдите его корни,
принадлежащие промежутку [0; 𝜋]
Самостоятельная работа по теме «Производная»
Вариант 1
1. Запишите формулы производных:
а) (𝑢 + 𝑣)′
б) (𝐶)′
в) (𝑢 ∙ 𝑣)′
г) (𝑥 𝑛 )′
д) (sin 𝑥)′
е) (tg 𝑥)′
2. Найдите производную функции:
1
а) 𝑓(𝑥) = 6 𝑥 3 − 7𝑥 + 11
3
б) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2√𝑥 + 4cos 𝑥
в) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 − 1)(4𝑥 + 1)
3. Решите уравнение 𝑓ʹ(𝑥) = 0,если 𝑓(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠29°−𝑐𝑜𝑠91°
;
𝑐𝑜𝑠31°
б)
𝑐𝑜𝑠𝛼+2𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑐𝑜𝑠3𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼+2𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑠𝑖𝑛3𝛼
𝑐𝑜𝑠4𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼
;
𝑠𝑖𝑛4𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝜋
4
в)𝑠𝑖𝑛 ( + 𝛼) −
= 𝑐𝑡𝑔2𝛼
Самостоятельная работа по теме «Простейшие тригонометрические
уравнения»
Вариант 2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1+𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(− )
𝜋
𝑡𝑔3𝑥 = −
2. Упростите выражения: а)
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0+𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛(−
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(−
√2
)
2
√2
)
2
2. Решите уравнения: а) 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1;
𝜋
б) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 4 ) = 1;
𝑥
в) 𝑐𝑡𝑔 2 =
−√3
1
3. Решите уравнение 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2 = 0 и найдите его корни,
принадлежащие промежутку [0; 𝜋]
Самостоятельная работа по теме «Производная»
Вариант 2
1. Запишите формулы производных:
а) (𝐶𝑢)′
1
б) (𝑥) ′
𝑢
в) (𝑣 ) ′
г) (√𝑥)′
д) (cos 𝑥)′
е) (ctg 𝑥)′
2. Найдите производную функции:
3
а) 𝑓(𝑥) = 1,5𝑥 3 + 4 𝑥 2 − 4
2
𝑥 3 −3
𝑥+2
б) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 4√𝑥 + 𝑥 4
в) 𝑓(𝑥) = (3 + 6𝑥)(2 − 3𝑥)
3. Решите уравнение 𝑓ʹ(𝑥) = 0,если 𝑓(𝑥) =
Самостоятельная работа по теме «Наибольшее и наименьшее
𝑥 2 +5
𝑥−2
Самостоятельная работа по теме «Наибольшее и наименьшее значения
значения функции»
Вариант 1
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном
1
промежутке: а) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 4𝑥, [0; 3];
функции»
Вариант 2
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном
1
промежутке: а) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 𝑥 3 , [−2; 0];
б) 𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥 − cos 2𝑥 , [ 4 ; 4 ]
2. Материальная точка движется прямолинейно по закону
𝑥(𝑡) = 𝑡 3 − 12𝑡 2 + 60𝑡 (𝑥 − в метрах, 𝑡 − в секундах). Определите,
в какой момент времени из промежутка [1; 5] скорость точки будет
наибольшей, и найдите значение скорости в этот момент
б) 𝑓(𝑥) = 2 cos 2𝑥 − cos 4𝑥 , [0; 2 ]
2. Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥(𝑡) =
18𝑡 2 − 𝑡 3 (𝑥 − в метрах, 𝑡 − в секундах). Определите, в какой
момент времени из промежутка [4; 8] скорость точки будет
наибольшей, и найдите значение скорости в этот момент
𝜋 3𝜋
𝜋