Кинематика

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ивановский государственный энергетический университет
имени В. И. Ленина"
Кафедра физики
МЕХАНИКА
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ФИЗИКЕ №1
Иваново 2004 г
Составители: Е.В. СМЕЛЬЧАКОВА
В.Х. КОСТЮК
Н.Г.ДЕМЬЯНЦЕВА
Редактор: М. Н. ШИПКО
Задание предназначено для обеспечения самостоятельной работы
студентов дневной и заочной форм обучения. Даны методические
указания по выполнению расчетно-графического задания №1 (раздел
"Механика"). Приведены типичные примеры решения задач.
Утверждены цикловой методической комиссией ИФФ
Рецензент
кафедра
физики
ГОУВПО
"Ивановский
энергетический университета имени В.И.Ленина"
государственный
МЕХАНИКА
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ФИЗИКЕ №1
Методические указания
Составители: Смельчакова Елена Владимировна
Костюк Владимир Харитонович
Демьянцева Наталья Григорьевна
Редактор Н.С. Работаева
Лицензия ИД № 05285 от 4 июня 2001 года
Подписано в печать
Формат 6084 1/16. Печать плоская. Усл. печ. л. 3,26
Тираж 400 экз. Заказ
ГОУВПО
"Ивановский
государственный
энергетический
университет имени В.И.Ленина"
153003, г.Иваново, ул. Рабфаковская, 34.
Отпечатано в РИО ИГЭУ
2
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ (КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ)
Контрольные работы следует представить до экзаменационной
сессии.
2. Номера задач, которые студент должен включить в свою
контрольную работу, необходимо определить по таблицам
вариантов.
3. В контрольной работе нужно привести сведения о студенте по
следующему образцу:
1.
Студент факультета заочного обучения ИГЭУ
Киселёв А. В.
Шифр 257320
Адрес: Ивановская обл., г. Тейково,
ул. Любимова, 2, кв. 5
Контрольная работа 1 по физике
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Условия задач в контрольной работе надо переписать полностью,
без сокращений. Для замечаний преподавателя на страницах
тетради следует оставлять поля.
Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, студент
обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те
задачи, решения которых оказались неверными. Повторную работу
необходимо представить вместе с незачтённой.
Зачтённые контрольные работы нужно предъявить экзаменатору.
Студент должен быть готов во время экзамена дать пояснения по
существу решения задач, входящих в контрольные работы.
Решения
задач
следует
сопровождать
краткими,
но
исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это возможно,
дать
чертёж,
выполненный
с
помощью
чертёжных
принадлежностей.
Решать задачу надо в общем виде, т.е. выразить искомую
величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии
задачи. При таком способе решения не производятся вычисления
промежуточных величин.
После получения расчётной формулы для проверки правильности
её следует подставить в правую часть формулы вместо символов
величин обозначения единиц этих величин, произвести с ними
необходимые действия и убедиться в том, что полученная при этом
единица соответствует искомой величине.
3
10. Числовые значения величин при подстановке их в расчётную
формулу следует выражать только в единицах СИ.
11. При подстановке в расчётную формулу, а также при записи ответа
числовые значения величин следует записывать как произведение
десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на
соответствующую степень десяти. Например, вместо 3520 надо
записать 3,52103, вместо 0,00129 записать 1,2910-3 и т.п.
ПРОГРАММА ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
РАЗДЕЛ «МЕХАНИКА».
Кинематика
Предмет физики. Методы физического исследования. Связь
между физикой и техникой. Связь физики с математикой и другими
науками. Международная система единиц. Физические основы
механики. Предмет механики. Разделы механики. Механическое
движение и его относительность. Система координат и система
отсчёта. Инерциальные системы отсчёта. Механический принцип
относительности. Преобразование Галилея. Кинематика материальной
точки. Понятие траектории. Уравнение движения. Вектор
перемещения.
Путь.
Скорость.
Относительность
скорости.
Классический закон сложения скоростей. Равномерное прямолинейное
движение. Ускорение. Касательное и нормальное ускорения.
Движение точки по окружности. Угловое смещение, угловая скорость.
Равномерное движение точки по окружности. Число оборотов, частота
и период вращения. Угловое ускорение. Равнопеременное движение
точки по окружности. Связь между линейными и угловыми
кинематическими величинами. Поступательное и вращательное
движение твёрдого тела.
Динамика материальной точки
Первый закон Ньютона. Импульс частицы – векторная мера
механического движения. Понятие силы. Второй закон Ньютона.
Масса – мера инертности частицы. Интегральная форма основного
закона механики. Действие силы во времени. Понятие момента силы.
Принцип
независимости
действия
силы.
Понятие
о
равнодействующей. Действие силы в пространстве. Кинетическая
энергия – скалярная мера механического движения. Понятие работы
как формы передачи кинетической энергии. Теорема кинетической
4
энергии. Формула работы. Понятие мощности. Понятие момента силы
относительно точки. Момент импульса материальной точки. Теорема о
моменте импульса.
Классификация взаимодействий
Фундаментальные и нефундаментальные законы взаимодействия.
Консервативные и неконсервативные взаимодействия. Гравитационное
взаимодействие. Закон всемирного тяготения. Масса – мера тяготения.
Поле тяготения Земли. Понятие силы тяжести и веса тела.
Эквивалентность «инертной» и «тяжёлой» массы частицы (тела).
Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тяготения. Силы трения.
Внешнее и внутреннее трение. Трение покоя, скольжения и качения.
Вязкое трение. Силы сопротивления. Силы упругих деформаций.
Виды деформаций. Закон Гука для упругих деформаций.
Потенциальная энергия упругих деформаций.
Динамика системы материальных точек (частиц)
Импульс системы материальных точек. Закон сохранения
импульса системы материальных точек. Третий закон Ньютона.
Кинематическое определение инертной массы. Центр инерции
системы материальных точек. Закон аддитивности массы. Основной
закон механики системы материальных точек. Механическая энергия
системы частиц – скалярная мера механического движения и
взаимодействия частиц. Кинетическая энергия системы частиц.
Потенциальная энергия взаимодействия частиц. Закон сохранения
механической энергии. Теорема о потенциальной энергии. Связь
между силой и потенциальной энергией. Потенциальные кривые.
Финитное и инфинитное движение.
Динамика вращательного движения твёрдого тела
Кинетическая энергия вращения твёрдого тела. Понятие момента
инерции относительно оси вращения. Момент инерции различных тел
(стержень, цилиндр, диск, шар) относительно оси вращения,
проходящей через центр масс. Теорема Штейнера. Понятие момента
силы относительно оси вращения. Работа момента силы. Понятие
момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения.
Закон сохранения момента импульса тела и изотропность
пространства.
5
Колебания
Гармонические колебания. Амплитуда, фаза, частота и период
колебаний. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
Пружинный, математический и физический маятники. Энергия
гармонических колебаний. Затухающие колебания. Дифференциальное
уравнение
затухающих
колебаний.
Декремент
затухания.
Вынужденные
колебания.
Дифференциальное
уравнение
вынужденных колебаний. Зависимость амплитуды вынужденных
колебаний от частоты вынуждающей силы. Явление резонанса.
Элементы специальной теории относительности (СТО).
Постулаты теории относительности. Преобразования Лоренца.
Относительность
одновременности.
Релятивистские
эффекты
замедления времени, сокращения длин. Релятивистский закон
сложения скоростей. Релятивистская динамика. Основной закон
релятивистской динамики материальной точки. Зависимость массы от
скорости. Эквивалентность энергии и массы. Связь между импульсом
и энергией в СТО. Граница применимости классической механики.
1. КИНЕМАТИКА
Положение материальной точки в пространстве задается радиус
вектором r :

  
r  i x  j y  kz ,
  
где i , j , k - единичные векторы, x,y,z- декартовы координаты точки.
Быстроту изменения положения точки в пространстве с течением
времени характеризует скорость.
Средняя скорость


r
,
 V 
t

где r - перемещение точки за время t.
Мгновенная скорость

 dr 

V
 i V x  j V y  k Vz ,
dt
dx
dy
dz
где Vx  ;V y  ;Vz 
.
dt
dt
dt
Модуль скорости
V  Vx2  V y2  Vz2 .
6
Быстроту изменения вектора скорости с течением времени
характеризует ускорение.
Среднее ускорение


V
 a 
.
t
Мгновенное ускорение



 dV 
a
 i ax  ja y  kaz ,
dt
dV y
dV
dVz
; az 
где a x  x ; a y 
.
dt
dt
dt
При движении точки вдоль оси OX
t
V x  V0 x   a x dt ;
0
t
x  x0   V x dt ,
0
где V0X и х0 - скорость и координата в момент времени t=0.
При равнопеременном движении(aX=const) вдоль оси ОХ
Vx  V0 x  a xt;
axt 2
.
2
В случае криволинейного движения
 
  
a  an  a , an a ,

где an - нормальное ускорение, характеризует изменение скорости по
направлению и направлено к центру кривизны в данной точке

траектории; a - тангенциальное ускорение, характеризует изменение
скорости по величине и направлено вдоль касательной в данной точке
траектории.
Модуль полного ускорения
x  x0  V0 x t 
a  a n2  a2 ,

dV
V2
, a 
, R - радиус кривизны траектории.
где an 
R
dt
Положение твердого тела при вращении вокруг оси определяется
углом поворота .
Средняя угловая скорость
7

,
t
где  - изменение угла поворота за интервал времени t.
Мгновенная угловая скорость
d

.
dt
Угловое ускорение
d d 2


.
dt
dt 2
Кинематические уравнения при вращении твердого тела:
  
t
   0   dt;
0
t
   0   dt,
0
где 0 и 0 - начальные угловая скорость и угол поворота.
При равнопеременном вращении
  0  t;
   0  0 t 
t 2
.
2
Связь
между
линейными
характеризующими движение точки:
V  R ; a  R .
и
угловыми
величинами,
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением
x  5t  0,2t 2  0,1t 3 (м). Определить скорость точки в моменты
времени t1=2 с и t2=4 с, а также среднюю скорость в интервале
времени от t1 до t2.
Точка прямолинейно движется
мгновенной скорости в этом случае
V  dx  5  0,4t  0,3t 2 (м/с).
dt
Найдем V1 и V2:
8
вдоль
оси
OX.
Модуль
V1  5  0,4t1  0,3t12 ,
V1  7 м/с;
V2  5  0,4t 2  0,3t 22 ,
Средняя скорость
x x2  x1
 V 

,
t
t 2  t1
V2  11,4 м/с.
где x1  5t1  0,2t12  0,1t13 ( м), x2  5t 2  0,2t 22  0,1t 23 ( м),
 V  9 м/с.
Ответ: V1=7 м/с, V2=11,4 м/с,  V  9 м/с.
Задача 2. С башни высотой Н = 25 м бросили камень со
скоростью V0 = 15 м/с под углом  = 300 к горизонту. Через какое
время tп и на каком расстоянии S от основания башни камень упадет на
землю?
Начало отсчета возьмем у основания башни.
y

V0 y
H
0

V0


V0 x
s
x
Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – горизонтально.
Движение камня вдоль оси OX равномерное, вдоль оси OY –
равнопеременное:
 x  x0  V0 x t ,


a yt 2
y

y

V
t

,

0
0y
2

где x0  0 , V0 x  V0 cos , y0=H , V0 y  V0 sin  , a y   g.
Общие уравнения движения камня в выбранной системе отсчета
примут вид
 x  V0 cost ,


gt 2
.
 y  H  V0 sin t 
2

9
В момент падения камня t=tn, x=S, y=0.
S  V0 cost n ,


gtn2
.
0  H  V0 sin t n 
2

Решая квадратное уравнение (2), найдем tn=3,1c.
Подставим tn в (1), получим S=41м.
Ответ: tn=3,1с, S=41м.
(1)
(2)
Задача 3. Небольшое тело движется по окружности радиусом R
со скоростью V=kt где k=const. Найти зависимость полного ускорения
от времени.
На рисунке покажем полное ускорение тела и его составляющие.

a

a

an
 
 

a  an  a , an a ;
a  a n2  a2 .
Модуль тангенциального ускорения
dV
a 
k.
dt
Модуль нормального ускорения
an 
a
V 2 k 2t 2
.

R
R
Модуль полного ускорения
k 4t 4
R2
 k2  k
Ответ: a  k
k 4t 4
R2
k 4t 4
R2
 1.
 1.
Задача 4. Найти величину углового ускорения лопатки турбины,
расположенной на расстоянии R от оси вращения, через время t1 после
10
пуска турбины. Зависимость линейной скорости лопатки от времени
выражена уравнением V  at  bt 2 , где a и b - постоянные
коэффициенты. Найти число оборотов N2 через время t2 после пуска
турбины. Принять 0=0.
Угловое ускорение
  d dt.
Используем связь угловой скорости с линейной:
  V R  (a R)t  (b R)t 2 .
Найдем зависимость углового ускорения от времени:
a 2b
1
   t  (a  2bt).
R R
R
В момент времени t1
1
 1  a  2bt1  .
R
Угловая скорость
  d / dt, d  dt,
t2
t2
0
0
   0   dt   dt.
Выразив угол  через число оборотов (=2N2) и зная  как
функцию времени, получим
t2
a
b
2N 2   ( t  t 2 )dt.
R
R
0
Число оборотов лопатки
N2 
1 at22 bt23
(

).
2R 2
3
Ответ:  1 
1 at22 bt23
1
(

).
(a  2bt1 ) ; N 2 
2R 2
3
R
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.1. Свободно падающее тело последние 196 м пути прошло за
4 с. Найти время падения.
1.2. Во сколько раз отличается время движения катера туда и
обратно по реке и по озеру? Скорость течения реки 3 км/ч, скорость
катера относительно воды в обоих случаях 9 км/ч. Расстояние считать
одинаковым.
11
1.3. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути
оно прошло за время t = 0,1 с?
1.4. Два тела свободно падают с разных высот и достигают земли
одновременно. Первое тело падало в течение 2 с, второе - 1 с. На какой
высоте было первое тело, когда второе начало падать?
1.5. С балкона бросили мяч вертикально вверх с начальной
скоростью V0 = 5 м/с. Через время τ = 2 c мяч упал на землю.
Определить высоту балкона и модуль скорости мяча в момент удара о
землю.
1.6. Два тела брошены вертикально вверх из одной точки, одно за
другим, через время τ = 2 с с начальной скоростью V01 = V02 = 29,4 м/с.
Через какое время после бросания первого тела они встретятся?
1.7. Свободно падающее тело в последнюю секунду проходит
половину всего пути. Определить высоту, с которой падает тело, и
продолжительность его падения.
1.8. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и
той же высоте h = 8,75 м два раза с интервалом ∆t = 3 с. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость тела.
1.9. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
V0 = 4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета, из того же
начального пункта с той же начальной скоростью V0 вертикально
вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального
пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.10. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением
а=5 м/с2. Определить, на сколько путь, пройденный в n-ю секунду,
будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять
V0 = 0.
1.11. Поезд метро проходит перегон 2 км за 2 мин 20 с.
Максимальная скорость поезда 60 км/ч. В начале и конце перегона
поезд движется с постоянными ускорениями, равными по абсолютной
величине. Определить эти ускорения.
1.12. Два тела свободно падают одно за другим с одной и той же
высоты с интервалом времени τ. Через какое время от начала падения
первого тела расстояние между ними будет равно r?
1.13. Наблюдатель стоит в начале электропоезда. Первый вагон
прошел мимо него за время τ =1 с. Какое время будет двигаться мимо
него седьмой вагон? Движение поезда равноускоренное, его начальная
скорость V0 = 0.
1.14. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью
V0 = 20 м/с. Через сколько секунд камень будет находиться на высоте
12
h = 15 м? Какова будет скорость V камня на этой высоте?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.15. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении.
Через время τ = 2 c он упал на землю на расстоянии S = 40 м от
основания вышки. Определить начальную V0 и конечную V скорости
камня.
1.16. Горизонтально брошенный мяч ударяется о стенку,
находящуюся на расстоянии S = 5 м от нее. Высота места удара мяча о
стенку на 1 м меньше высоты, с которой брошен мяч. Под каким углом
α мяч подлетает к поверхности стенки? Сопротивление воздуха не
учитывать.
1.17. Тело брошено под углом к горизонту. Наибольшая высота
подъема и радиус кривизны траектории движения тела в верхней точке
траектории равны 3 м. Найти начальную скорость тела и угол, под
которым его бросили. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.18. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со
скоростью V0 = 9,8 м/с, равна высоте, с которой брошено тело. Чему
равна эта высота?
1.19. Тело, брошенное под углом α = 30 0 к горизонту, дважды
было на одной и той же высоте h: спустя t1 = 10 с и t2 = 50 с.
Определить начальную скорость тела и высоту его подъема.
1.20. Пуля пущена с начальной скоростью V0 = 200 м/с под углом
α = 600 к горизонту. Определить максимальную высоту подъема h и
радиус кривизны траектории R пули в ее наивысшей точке.
1.21. Тело брошено под некоторым углом α к горизонту. Найти
величину этого угла, если горизонтальная дальность полета тела S в 4
раза больше максимальной высоты траектории h.
1.22. Камень брошен горизонтально. Через время  = 3 с вектор

его скорости V образует с горизонтом угол α = 600 . Какова была
начальная скорость V0 камня?
1.23. Камень брошен под углом α = 60 0 к горизонту cо скоростью
V0 =19,6 м/с. Вычислить нормальную составляющую ускорения камня
через время τ = 0,5 с после начала движения.
1.24. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со
скоростью V0 = 9,8 м/с, равна высоте, с которой брошено тело. Под
каким углом к α горизонту тело упадет?
1.25. Мальчик бросает мяч со скоростью V0 = 10 м/с под углом
α = 450 к горизонту. На какой высоте мяч ударится о стенку, если она
находятся на расстояния S = 3 м от мальчика?
13
1.26. С башни высотой h = 20 м горизонтально бросают мяч со
скоростью V0 = 10 м/с. На каком расстоянии S от башни мяч упадет на
землю?
1.27. Маховик начал вращаться равноускоренно и за время
τ = 10 с его частота стала n = 300 об/мин. Найти угловое ускорение
маховика и число оборотов, которое он сделал за это время.
1.28. Точка движется по окружности радиусом R = 10 м с
постоянным тангенциальным ускорением аτ, если известно, что к
концу пятого оборота скорость точки V = 79,2 см/с. Найти аτ.
1.29. Колесо автомашины вращается равноускоренно. После 50
полных оборотов частота вращения колеса возросла от n1 = 4 об/с до
n2 = 6 об/с. Определить угловое ускорение колеса .
1.30. Движение точки по окружности радиусом R = 200 см задано
уравнением S = 2t3 (м). В какой момент времени нормальная
составляющая ускорения an точки будет равна ее тангенциальной
составляющей aτ? Определить полное ускорение а в этот момент.
1.31. Движение точки в плоскости XY задано уравнениями
X = 2t–0,5t3 (м), Y = 2t – t2 (м). Определить скорость точки V к концу
второй секунды.
1.32. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется точка. В
некоторый момент времени нормальная составляющая ускорения
an = 4,0 м/с2, а векторы полного и нормального ускорений образуют
угол α = 600. Найти скорость и тангенциальную составляющую
ускорения точки.
1.33. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано
уравнением S = 10 + t2 - 2t. Найти тангенциальное aτ, нормальное an и
полное а ускорения точки в момент времени t = 2 с.
1.34. Движение материальной точки задано уравнением Х = 4t - 0,05t2. Определить момент времени, в который скорость точки равна
нулю. Найти координату и ускорение точки в этот момент. Построить
графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого
движения от времени.
1.35. Путь, пройденный телом, задан уравнением S = 2t – t2 + t3
(м). Найти среднюю скорость тела в интервале от 1 до 5 с.
1.36. Путь, пройденный телом, задан уравнением S = 2 + 12t -6t2 + 4t3 (см). Найти среднее ускорение тела в интервале от 1 до 4 с.
1.37. Путь, пройденный точкой по окружности радиусом
R = 7 см, задан уравнением S = 4 + 2t + 0,5t2 (см). Определить полное
ускорение a точки к концу пятой секунды.
14
1.38. Частота маховика уменьшалась с n0 = 10 об/с до n = 6 об/с.
За время торможения он сделал N = 50 оборотов. Определить угловое
ускорение маховика  и продолжительность торможения t.
1.39. Тело вращается вокруг неподвижной оси. Угол поворота
задан уравнением φ = 6t -2t3. Найти угловое ускорение тела  в момент
его остановки.
1.40. Точка движется по окружности радиусом 20 см с
постоянным тангенциальным ускорением 5 см/с2. Через какое время
после начала движения нормальное ускорение точки станет в 2 раза
больше тангенциального?
1.41. Диск радиусом R = 0,2 м вращается вокруг фиксированной
оси, проходящей через его геометрический центр. Зависимость угла
поворота от времени задана уравнением φ = 3 + 0,1t3 - t. Определить
для момента времени t = 5 с тангенциальное аτ, нормальное an и полное
а ускорения точек на краю диска.
1.42. Точка движется по окружности с угловым ускорением ε ~ t.
При t = 0 угловая скорость ω = 0. Модуль нормального ускорения
точки an ~ tk. Найти значение показателя k.
1.43. Зависимость угла поворота тела вокруг неподвижной оси от
времени задана уравнением φ = A + Bt + Ct2 , где A = 10 рад,
B = 20 рад/c, С = -2 рад/c2. Найти для момента времени t = 4 c полное
ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 1 м от оси вращения.
1.44. На цилиндр радиусом R = 4 см, который может вращаться
около неподвижной горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити
привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. За
время t = 3 с грузик опустился на высоту h =1,5 м. Определить угловое
ускорение цилиндра.
1.45. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с
постоянным тангенциальным ускорением aτ = 5 cм/с2. Через какое
время после начала движения нормальная составляющая ускорения
an = 2aτ ?
1.46. Камень брошен с начальной скоростью V0 = 19,6 м/с под
углом α = 300 к горизонту. Определить радиус кривизны траектории
движения R в высшей ее точке.
1.47. Тело брошено со скоростью V0 = 19,6 м/с под углом α = 300
к горизонту. Определить нормальную составляющую ускорения тела
ап через время τ = 1,5 с после начала движения.
1.48. Камень брошен горизонтально со скоростью V0 = 9,8 м/с.
Чему равна нормальная составляющая ускорения камня ап через две
секунды после начала его движения?
15
стена
1.49. Тело брошено под углом к горизонту. Радиус кривизны
траектории движения тела и его скорость связаны соотношением
R ~ Vk. Найти значение показателя степени k. Сопротивлением воздуха
пренебречь.
1.50. Тело брошено под углом к горизонту. Нормальная
составляющая ускорения и скорость тела связаны соотношением
ап ~ Vk. Найти значение показателя степени k. Сопротивлением
воздуха пренебречь.
1.51. Лодка стоит на расстоянии S = 8 м от отвесного берега реки.
Высота берега h = 6 м. С берега на лодку бросают груз. С какой
скоростью V0 надо бросить груз, чтобы его скорость при ударе о лодку
была минимальной? Под каким углом  к горизонту необходимо
бросить груз?
1.52. Мяч бросают в стенку, находящуюся на расстоянии S = 20 м
c начальной скоростью V0 = 20 м/с. Какой наибольшей высоты при
ударе о стенку может достичь мяч? Под каким углом к горизонту его
надо бросать в этом случае?
1.53. С башни высотой h = 10 м со скоростью V0 = 10 м/с бросают
мяч. На какое наибольшее расстояние от основания башни может
улететь мяч? Под каким углом  к горизонту его надо в этом случае
бросать?
1.54. Шарик падает без начальной скорости на поверхность
наклонной плоскости, составляющей угол α = 300 с горизонтом.
Расстояние по вертикали от начального положения шарика до точки
удара с плоскость h = 80,0 см. Считая удар шарика о плоскость
абсолютно упругим и пренебрегая возможным вращением шарика,
найти наибольшее его удаление от плоскости.
1.55. Фонарь висит на расстоянии d = 5 м от стены и
отбрасывает на нее световой
луч
("зайчик").
Фонарь
совершает
затухающие
колебания,
и
его
угол

о
поворота
зависит
от
времени
t
Ф
по закону φ = φ0 e-at sin ωt
d
(φ0 = π/3, a = 1 c-1, ω = 1 с-1).
Найти наибольшее смещение
"зайчика"
от
точки
О,
ближайшей к фонарю. Найти скорость "зайчика" в момент времени
t=0.
16
2. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ
Уравнение движения материальной точки (второй закон
Ньютона) в векторной форме:

dp 
 F.
dt
При m  const уравнение примет вид
 
ma  F .
 n 
В этих уравнениях F   Fi - геометрическая сумма сил,
i 1



действующих на точку, P  mV - импульс, m - масса, V - скорость и

a - ускорение материальной точки.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Тело массой m  2 кг движется по вертикальной стене.

Сила F1 действует под углом  = 300 к вертикали. Коэффициент

трения   0,1 . Найти величину силы F1 , если ускорение тела
направлено вверх и равно a = 2 м/с2.
y

F1


N

mg

FTp
x


На тело действуют четыре силы: сила F1 , сила тяжести mg , сила


реакции опоры N и сила трения FTP . Покажем эти силы на рисунке.
Запишем II закон Ньютона в виде
17
 
  
(1)
ma  F1  mg  N  FTP .
Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – перпендикулярно
стене. В проекциях на оси координат уравнение (1) примет вид
OХ: 0  N  F1 sin  ,
(2)
OY: ma  F1 cos  mg  FTP .
(3)
Сила трения скольжения
FTP  N .
(4)
Используя (2) и (4), перепишем (3):
ma  F1 cos  mg  F1 sin .
Отсюда
m( a  g )
F1 
,
cos   cos
F1  30 Н.
Ответ: F1  30 Н.
Задача 2. В лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением
0,2 м/с 2, вращается столик с угловой скоростью  рад/с. На столике
лежит брусок, коэффициент трения равен 0,1. Найти максимальное
расстояние между бруском и осью вращения, при котором он
удерживается на столике. Принять g = 9,8 м/c 2,  2  10.
y

N

a1
x

FTp

mg
Брусок
участвует
в
двух
движениях
одновременно:

поступательно движется вверх с ускорением a1 и вращается вокруг

неподвижной оси с центростремительным ускорением an . Запишем II
закон Ньютона для бруска:
18
 


  
ma  mg  N  FTP , где a  an  a1 .
Выберем оси координат OX и OY. В координатной форме
основное уравнение движения примет вид
(1)
OX : ma n  FTP ,
(2)
OY : ma1  N  mg ,
2
где an =  R, FTP = μN .
Из (2) N = m (a1 + g),
FTP = m (a1 + g).
Перепишем (1):
2
m R =m (a1 + g).
Получим, что
 (a1  g )
.
R

После подстановки данных и вычислений R = 0,1 м.
Ответ: R = 0,1 м.
Задача 3. С вертолёта, неподвижного висящего на некоторой
высоте над поверхностью земли, сброшен груз массой m.

Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется
Fсопр
пропорционально скорости (Fсопр = kV), определить, через

какой промежуток времени ускорение груза a1 = g/2.
mg
Коэффициент сопротивления k = const.
Учитывая, что a = dV / dt , Fсопр= kV , получим
дифференциальное
уравнение
первого
порядка
с
разделяющимися переменными:
dV
m
 mg  kV ,
dt
dV
k
 g  V,
dt
m
dV
  dt.
k
V g
m
Проинтегрируем:
V
t
dV
   dt,
 k
0
0
V g
m
19
y
k
V  gt
m m
ln
 t ,
k
g
ln 
kV
k
 1   t.
mg
m
Получим:
kt

kV
1
e m,
mg
kt

kV
 1 e m .
mg
Отсюда
k
a
 t
dV
 ge m .
dt
В момент времени t = t1 ускорение a1 = g/2:
kt1

g
 ge m ,
2
kt1

1
e m .
2
После логарифмирования:
k
 ln 2   t1 .
m
Получим
t1  m
ln 2 .
k
ln 2 .
Ответ: t1  m
k
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
2.1. Наклонная плоскость, образующая с горизонтом угол α = 30 0,
имеет длину l = 167 см. За какое время тело соскользнет с нее, если
коэффициент трения тела о плоскость μ = 0,2?
20
2.2. Автомобиль массой m = 2,5 т поднимается в гору (α = 300)
ускоренно и за время t = 5 мин проходит путь S = 9 км. Начальная
скорость автомобиля V0 = 1 м/с, а коэффициент трения μ = 0,1. Какова
сила тяги мотора автомобиля F?
2.3. Брусок соскальзывает с наклонной плоскости, образующей с
горизонтом угол α = 300. Каково ускорение бруска, если коэффициент
трения его о поверхность плоскости μ = 0,4?
2.4. За какое время тяжелое тело спустится с вершины наклонной
плоскости, высота которой h = 2 м, угол наклона α = 450? Предельный
угол, при котором тело находится в покое, для этой плоскости равен
αпр = 300.
2.5. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α = 30 0. Ее
длина l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой
плоскости за время t = 2 с. Определить коэффициент трения тела о
плоскость μ.
2.6. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол α = 300. Ее длина l = 2 м, коэффициент трения тела о
плоскость μ = 0,2. Какова скорость тела в конце наклонной плоскости,
если его начальная скорость V0 = 0?
2.7. Тело скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол α = 300. Зависимость пройденного телом расстояния S
от времени t дается уравнением S = ct2, где с = 1,5 м/с2. Найти
коэффициент трения тела о плоскость μ.
2.8. На наклонной плоскости длиной l = 13 м и высотой h = 5 м
лежит груз массой m = 26 кг. Коэффициент трения груза о плоскость
μ = 0,5. Какую силу F надо приложить к грузу: а) чтобы втащить груз;
б) чтобы стащить груз?
2.9. Мальчик тянет по горизонтальной дороге санки с грузом. С
каким ускорением a движутся санки, если сила тяги F = 200 Н, а
веревка образует с горизонтом угол α = 45 0? Масса санок m = 50 кг.
Коэффициент трения полозьев санок μ = 0,1.
2.10. Два связанных груза массами m1 = 3 кг и m2 = 5 кг лежат на
горизонтальном столе, шнур разрывается при натяжении Т = 24 Н.
Какую максимальную силу F можно приложить к грузу массой m1?
Коэффициент трения принять равным μ = 0,2.
2.11. Ракета движется в поле силы тяжести Земли: а) вниз с
возрастающей скоростью; б) вверх с торможением. В каждом случае
сравнить вес тела, лежащего на полу ракеты, с силой тяжести.
2.12. Шарик массой m висит на нити, которая закреплена. С
каким ускорением a и в каком направлении следует перемещать точку
21
подвеса, чтобы натяжение нити было равно половине силы тяжести
шарика?
2.13. Через блок перекинута нить, к концам
которой привязаны два груза массами m1 = 1 кг,
m2 = 2 кг. Центры масс грузов находятся на
расстоянии h = 1 м друг от друга. За какое время t их
центры масс будут на одной высоте?
m1
2.14. Через блок перекинута нить, к концам
h
которой привязаны два груза массой по m = 95 г
m2
каждый. На левый груз кладут перегрузок массой
m1 = 7,5 г, а на правый – m2 = 2,5 г. Какой путь S
пройдёт левый груз за t = 2 с? Трением пренебречь.
2.15. Неподвижный блок укреплен на углу стола. Два груза
массами m1 = 0,5 кг и m2 = 2 кг соединены
m1
нитью, которая, перекинута через блок.
Коэффициент
трения
второго
груза
о
поверхность стола μ = 0,05. Определить силу
давления F на ось блока.
m2
2.16. Грузы массами m1 = 5 кг и m2 = 2 кг
соединены нитью, которая перекинута через
блок. Определить коэффициент трения между столом и грузом массой
m2, если ускорение грузов a = 5,4 м/с2.
2.17. Невесомый блок укреплен на конце стола. Грузы массами
m1 = 1 кг, m2 = 2 кг соединены нитью, которая перекинута через блок.
Найти коэффициент трения груза  о стол, если сила давления на ось
блока F = 1 Н. Трение в блоке мало.
2.18. Невесомый блок укреплен на вершине наклонной
плоскости, составляющей с горизонтом угол
α = 300. Грузы массами m1 = 20 кг, m2 = 12 кг
соединены нитью, которая перекинута через блок.
m2
Грузы движутся c ускорением a = 4 м/с2.
Определить коэффициент трения груза массой m2
о плоскость. Трением в блоке пренебречь.

m
1


F
m

2.19. Ящик массой m = 300 кг поднимают
равномерно по наклонной плоскости с
углом наклона α = 300, прилагая силу,
направленную под углом β = 600 к
горизонту. Определить эту силу, если
коэффициент трения ящика о плоскость
μ = 0,1.
22
2.20. По столу тянут груз при помощи нити, прикрепленной к
динамометру. Динамометр показывает 30 Н. Затем тот же груз
приводят в движение при помощи нити, перекинутой через невесомый
блок, на конце которой висит груз 3 кг. С одинаковым ли ускорением
будет двигаться груз?

2.21. Тело массой m движется вверх по
F

вертикальный стене под действием силы F ,
направленной под углом α к вертикали. Определить, с
каким ускорением движется тело, если коэффициент
трения тела о стенку равен μ?
2.22. По канатной дороге, идущей с
уклоном α = 300 к горизонту, спускается
m
вагонетка массой m = 500 кг. Определить

V
0
натяжение каната при торможении вагонетки
в конце спуска, если скорость вагонетки

перед
торможением
была
V0 = 2 м/с.
Коэффициент
трения принять равным
μ = 0,01.
2.23. Маневровый тепловоз массой M = 100 т тянет два вагона
массой по m = 100 т с ускорением a = 0,1 м/с2. Найти силу тяги
тепловоза F и силу натяжения сцепок T, если коэффициент трения
равен  = 0,006.
2.24. Ящик массой m = 10 кг перемещают по полу, прикладывая к
нему силу F под углом α = 300 к горизонту. В течение времени τ = 1 с
скорость ящика возросла с V1 = 2 м/с до V2 = 4 м/с. Коэффициент
трения скольжения между ящиком и полом μ = 0,15. Определить силу
F.
2.25. Два одинаковых бруска, связанные нитью, движутся по
горизонтальной плоскости под действием горизонтальной силы F.
Зависит ли сила натяжения нити: а) от массы брусков; б) от
коэффициентов трения брусков о плоскость?
2.26. Два шарика а и b, подвешенные на нитях в общей точке,
равномерно движутся по круговым траекториям, лежащим в одной
горизонтальной плоскости. Сравнить их угловые скорости .
2.27. На тросе длиной l подвешено тело массой m. На какой
максимальный угол можно отклонить его, чтобы при движении груза
трос не оборвался? Трос может выдерживать нагрузку,
превосходящую силу тяжести тела в n раз.
2.28. Грузик, привязанный к шнуру длиной l = 1,5 м, вращается в
горизонтальной плоскости с частотой n = 28 об/мин. Какой угол  с
вертикалью образует шнур?
23
2.29. Велосипедист, движущийся по горизонтальной поверхности
со скоростью V = 36 км/ч, описывает мертвую петлю. Определить
максимальный радиус петли R.
2.30. Шарик лежит на желобе, который может вращаться вокруг
оси 0С. Желоб закреплен в т. 0. На каком
c
расстоянии от точки 0 шарик будет в равновесии

при вращении желоба с частотой n = 45 об/мин?
При этом желоб образует угол α = 450 с
l
0
вертикалью. Коэффициент трения шарика о
желоб μ = 0,2.
2.31. Нить
математического
маятника
отклонили
до
горизонтального положения и отпустили. Какова минимальная
прочность нити F, если масса маятника m?
2.32. Самолет описывает мёртвую петлю радиусом R = 200 м. Во
сколько раз сила, с которой летчик давит на сидение в нижней точке
петли, больше силы тяжести летчика? Скорость самолета V = 100 м/с.
2.33. Грузик, привязанный к нити длиной l = 1 м, вращается в
горизонтальной плоскости. Определить период вращения грузика T
если нить отклонилась на угол α = 600от вертикали.
2.34. Сравнить модуль силы натяжения нити математического
маятника в крайнем положении с модулем силы натяжения нити
конического маятника; длины нитей, массы грузиков и углы
отклонения маятников одинаковы.
2.35. Гиря массой m = 100 г вращается на нити в вертикальной
плоскости с постоянной скоростью. На сколько отличается сила
натяжения нити при прохождении гири через нижнюю и верхнюю
точки ее траектории движения?
2.36. Груз массой m = 25 кг подвешен на цепи длиной l = 2,5 м с
прочностью на разрыв F = 500 Н. На какой угол  можно отвести груз,
чтобы цепь при качаниях груза не разорвалась?
2.37. Дорожка для велосипедных гонок имеет закругление
радиусом R = 40 м. В этом месте дорожка сделана с наклоном в
 = 300. На какую скорость  рассчитан такой наклон?
2.38. Самолет, летящий со скоростью V = 900 км/ч, делает
"мертвую петлю". Каков должен быть ее радиус R, чтобы наибольшая
сила давления летчика на сидение была в пять раз больше силы
тяжести?
2.39. Гирька, привязанная к нити длиной l = 25 см, вращается в
горизонтальной плоскости. Скорость вращения гирьки соответствует
n = 2 об/с, масса ее m = 60 г. Найти натяжение нити F.
24
2.40. Полусферическая чаша радиусом R вращается вокруг
вертикальной оси с угловой скоростью ω. В чаше лежит шарик М,
вращающийся вместе с нею. В каком месте
чаши он находится? (Рассчитать угол α,
который характеризует положение шарика).
41. С какой максимальной скоростью
может ехать по горизонтальной плоскости
мотоциклист,
описывая
дугу
радиусом

R = 90 м? На какой угол от вертикали  он
М
должен при этом отклониться? Коэффициент
трения скольжения μ = 0,4.
2.42. Небольшое тело скользит вниз с вершины сферы радиусом
R. На какой высоте h от вершины сферы тело оторвется от её
поверхности? Трением пренебречь.
2.43. Автомобиль массой m = 3 т движется с постоянной
скоростью V = 36 км/ч по выпуклому мосту радиусом R = 20 м. С
какой cилой F давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия,
соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол
α = 300 c вертикалью?
2.44. С какой минимальной угловой скоростью ω нужно вращать
ведерко в вертикальной плоскости, чтобы из него не выливалась вода?
Расстояние от поверхности воды до центра вращения равно l.
2.45. Автомобиль движется по выпуклому мосту радиусом
R = 40 м. Какое максимальное горизонтальное ускорение может
развить автомобиль в высшей точке моста? Скорость его в этой точке
V = 50,4 км/ч, а коэффициент трения его колес о мост μ = 0,6.
2.46. Какую минимальную скорость V должен иметь
математический маятник, проходя через положение устойчивого
равновесия, для того чтобы он мог вращаться по кругу в вертикальной
плоскости?
2.47. С какой скоростью V должен въехать велосипедист в
нижнюю точку "мертвой петли" радиусом R = 6 м, чтобы не сорваться
вниз?
2.48. Привязанную гирю отвели в сторону так, что шнур принял
горизонтальное положение, и отпустили. Какой угол  с вертикалью
составляет шнур в момент, когда сила натяжения равна силе тяжести
гири?
2.49. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на
расстоянии r = 0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется
сила давления оси на подшипники, если частота вращения маховика
n = 10 об/с. Масса маховика m = 100 кг.
25
2.50. Сосуд с жидкостью вращается с частотой n = 2 об/c вокруг
вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему
равен угол наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на
расстоянии r = 5 см от оси?
2.51. Тело соскальзывает с вершины наклонной плоскости,
основание которой d = 2,0 м. Коэффициент трения равен μ = 0,25. При
какой высоте плоскости время, за которое тело соскользнет с
плоскости, будет наименьшим?
2.52. Тело массой m = 50 кг находится на горизонтальной
поверхности. Коэффициент трения μ = 0,4. Под каким углом к
горизонту α надо приложить к телу силу F = 300 Н, чтобы тело
двигалось с наибольшим ускорением? Каково наибольшее ускорение?
2.53. Ведерко с песком и груз в начальный момент
времени имеют одинаковую массу m0 = 0,5 кг и связаны
нитью, перекинутой через невесомый блок. При t = 0 из
ведерка через отверстие в дне начал высыпаться песок в
количестве μ = 50,0 г/с. Пренебрегая трением в блоке,
найти, какое расстояние пройдет груз за первые 5 cекунд
движения (считать, что за это время песок высыпался не
полностью).
2.54. Два связанных веревкой груза массами
m1 = 10,0 кг и m2 = 20,0 кг тянут по горизонтальной поверхности,
прикладывая cилу F = 100 Н к одному из них. Под каким углом  к
горизонту надо приложить силу F, чтобы ускорение грузов было
наибольшим? Рассчитать наибольшее ускорение, если коэффициент
трения грузов о поверхность μ = 0,3.
2.55. На гладкой цилиндрической поверхности радиусом
R = 1,0 м лежит гибкий шнур. Верхняя точка поверхности делит шнур
на части, длина которых l1 = π/6 м и l2 = π/4 м. Шнур расположен
перпендикулярно образующей цилиндра, и в момент времени t = 0 его
скорость V0 = 0. Пренебрегая трением, найти ускорение шнура, с
которым он начнет соскальзывать с поверхности.
26
3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ
Закон сохранения импульса:

 Pi  const ,
n
i 1
где n – полное число тел, входящих в замкнутую систему.
Работа переменной силы
r2
A   F cos adr.
r1
При F =const
A=Frcos,


где - угол между направлениями силы F и перемещения r .
Средняя мощность за время t
A
.
P 
t
Мгновенная мощность
A
P
 FV cos ,
dt
где A - элементарная работа за промежуток времени dt.
Кинетическая энергия тела при поступательном движении
mV 2
.
2
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести
Eп  mgh ,
где h – высота тела над начальным уровнем отсчёта.
Потенциальная энергия тела при упругой деформации
Eк 
kx2
,
2
где k – коэффициент упругости, x – абсолютная деформация.
В замкнутой системе, где действуют консервативные силы,
Eк+Eп=const.
При действии сил трения необходимо учитывать потери
механической энергии.
Eп 
27
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Частица массой m1, имеющая скорость V2, налетела на
покоящийся шар массой m2 и отскочила от него со скоростью U1 под
прямым углом к направлению первоначального движения. Какова
скорость U2 шара после соударения? Считать удар центральным.
Используя закон сохранения импульса, получим



m1V1  m1U1  m2U 2 .
На рисунке покажем импульсы тел.

m1U1

mV1

mV1

m2U 2
Модуль импульса шара найдём, используя теорему Пифагора:


m2U 2  m12 V12  U 12  m1 V12  U 12 ,
отсюда U 2 
m1
V12  U 12 .
m2
Ответ: U 2 
m1
V12  U 12 .
m2
Задача 2. Шар массой M висит на нити длиной l. В шар попадает

(m  M ) g
l
R=l
l

mV0

(m  M )V
28
x
горизонтально летящая пуля и застревает в нём. С какой скоростью V0
должна лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог
сделать на нити полный оборот в вертикальной плоскости? Размерами
шара пренебречь. В верхней точке сила натяжения нити равна нулю.
Масса пули m.
Обозначим: V - скорость шара с пулей сразу после неупругого
соударения, U - скорость шара с пулей в верхней точке.
В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид
mV0 = (m + M) V.
(1)
Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии,
совпадающий с осью OX .
В нижнем положении шар с пулей обладает только кинетической
(m  M )V 2
(m  M )U 2
; в верхней точке  кинетической
и
2
2
потенциальной (m+M)gh энергиями, где h = 2R =2l.
Закон сохранения механической энергии запишем в виде
энергией
(m  M )V 2 (m  M )U 2

 (m  M ) gh .
2
2
После преобразований
(2)
(2)
V 2  U 2  4 gh .
В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по
условию задачи сила натяжения нити равна нулю. Используем II закон
Ньютона:
(3)
(m  M )an  (m  M ) g ,
U2 U2

.
R
l
Из уравнения (1) выразим V0:
mM
V0 
V.
m
Из уравнения (3)
где an 
U 2  gl.
Подставив (5) в (2), получим
(4)
(5)
V  5 gl.
Найдем V0 , вернувшись к (4)
mM
V0 
5 gl .
m
29
mM
5 gl .
m
Задача 3. Какова работа силы трения за один оборот аэросаней,
движущихся по вертикальной круговой дорожке? Скорость саней
постоянна и равна V, масса саней m, коэффициент трения k.
На рисунке покажем все
силы, действующие на сани в
произвольной точке траектории,
учитывая, что
a  0 , т.к.
V=const.
Полная работа силы трения

Ответ: V0 
N
Fт
2

Aт р   Aт р , где
0

FTp
Aтр  FтрdS cos1800  FтрdS,
Fтр  kN,

mg
dS  Rd .
Силу реакции опоры N
выразим из уравнения второго закона Ньютона, записанного в
проекциях на радиальную ось:
ma n  N  mg cos ,
где an 
V2
, R - радиус окружности.
R
V2
 g cos ).
R
Элементарная работа силы трения
N  m(
V2
 g cos ) Rd.
R
Работа силы трения
Aтр  km(
2
V2
 g cos )d .
0 R
После интегрирования
Aтр  kmR  (
Aтр  2kmV 2 .
Ответ: Aтр  2kmV 2 .
30
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
3.1 .Тело массой m = 2,0 кг падает с высоты h = 20 м из состояния
покоя и в момент удара о землю имеет скорость V = 15 м/с.
Определить работу силы сопротивления и силу сопротивления, считая
её постоянной.
3.2. Какой путь s пройдут санки по горизонтальной поверхности
после спуска с горы высотой h = 1,5 м и уклоном α = 450?
Коэффициент трения μ = 0,2.
3.3. Ящик тянут равномерно за

верёвку. Сила F направлена под углом
F
0
α = 30 . Определить работу, которую при

этом совершают. Масса ящика m = 100 кг,
коэффициент трения μ = 0,33, путь s = 50 м.
3.4. Поезд из состояния покоя за
время τ = 5 мин развивает скорость V = 64,8 км/ч. Масса поезда
m = 600 т, коэффициент трения μ = 0,04. Найти среднюю мощность,
развиваемую локомотивом, если его движение равноускоренное.
3.5. Какую среднюю мощность развивает автомобиль при
подъеме в гору? Начальная скорость автомобиля V0= 36 км/ч, его
конечная скорость VК= 21 ,6 км/ч, коэффициент трения μ = 0,1, высота
горы h = 12 м, длина склона горы l = 80 м, масса автомобиля
m = 41О3 кг.
3.6. Какую нужно совершить работу A, чтобы пружину
жесткостью k = 800 Н/м, сжатую на x1 = 6 см, дополнительно сжать
на ∆х2 = 8 см?
3.7. Санки скатываются с горки высотой h = 8 м по склону
длиной l = 100 м. Масса санок с седоком m = 60 кг. Какова сила
сопротивления движению санок, если в конце спуска они имели
скорость V = 11 м/с?
3.8. Вагонетку массой m = 100 кг поднимают по рельсам в гору с
ускорением a = 0,2 м/с2. Коэффициент трения колес вагонетки о
рельсы μ = 0,1, длина склона горы l = 50 м, угол наклона α = 300.
Какова работа A силы тяги?
3.9. Самолет для взлета должен иметь скорость V = 80 км/ч.
Длина разбега S = 150 м. Какова мощность моторов при взлете, если
масса самолета m = 1000 кг, коэффициент трения колес шасси о землю
μ = 0,02?
3.10. На горизонтальном участке пути длиной S = 2 км скорость
поезда возросла с V1 = 36 до V2 = 72 км/ч. Определить работу и
31
среднюю мощность тепловоза, если масса поезда m = 103 т, а
коэффициент трения  = 0,001.
3.11. Поезд массой m = 106 кг поднимается равномерно со
скоростью V = 36 км/ч по уклону в 10 м на 1 км. Коэффициент трения
равен  = 0,002. Определить мощность, развиваемую паровозом.
3.12. Какой путь l пройдут до полной остановки санки, имеющие
начальную скорость V0, при подъеме на гору с углом наклона α,
коэффициентом трения μ? Известно, что на горизонтальном участке
пути с тем же коэффициентом трения μ санки, имеющие такую же
начальную скорость V0, проходят путь l0.
3.13. Автомобиль массой m = 4 т подъезжает к горке высотой
h = 10 м и длиной склона S = 80 м со скоростью V0 = 36 км/ч. Какую
среднюю мощность развивает автомобиль на подъеме, если его
скорость на вершине горы при постоянной силе тяги оказалась
V = 21,6 км/ч? Коэффициент трения принять равным  = 0,1.
3.14. На подъеме в гору автомобиль движется равномерно со
скоростью V = 14,4 км/ч. Какова мощность автомобиля, если его масса
m = 6 т, угол наклона горы α = 100, коэффициент трения μ = 0,09?
3.15. Под действием постоянной силы вагонетка прошла путь
S = 5 м и приобрела скорость V = 2 м/с. Определить работу силы, если
масса вагонетки m = 400 кг и коэффициент трения μ = 0,01.
3.16. Движение тела массой m = 2 кг под действием некоторой
силы задано уравнением х = А + Bt + Ct2 + Дt3, где А = 10 м, В = -2 м/с,
С = 1 м/с2, Д = - 0,2 м/с3. Найти мощность, затрачиваемую на движение
тела, в моменты времени t1 = 2 с и t2 = 5 с.
3.17. На тело массой m = 10 кг, движущееся по горизонтальной
плоскости, действует сила F = 100 Н, направленная под углом α = 300 к
горизонту. Определить работы всех сил, действующих на тело, а также
их суммарную работу при перемещении тела вдоль плоскости на
расстояние S = 10 м. Считать, что коэффициент трения μ = 0,1.
3.18. Лифт массой m = 103 кг поднимается на высоту h = 9 м за
время t = 3 с. Сравнить работу по подъему лифта в двух случаях: 1)
лифт поднимается равномерно; 2) лифт поднимается равноускоренно.
Начальная скорость лифта в обоих случаях V0 = 0.
3.19. Автомобиль массой m = 2000 кг движется вверх по горке с
углом наклона =100 к горизонту, развивая на пути S = 100 м скорость
V = 36 км/ч. Коэффициент трения μ = 0,05; начальная скорость V0 = 0.
Найти среднюю и максимальную мощности двигателя автомобиля при
разгоне.
32
3.20. При вертикальном подъеме груза массой m = 2 кг на высоту
h = 1 м постоянной силой была совершена работа А = 78,5 Дж. С
каким ускорением a поднимали груз?
3.21. Вагон массой m = 20 т, движущийся равнозамедленно, под
действием силы трения равной F = 6000 Н останавливается. Начальная
скорость вагона равна V = 54 км/ч. Найти работу силы трения и
расстояние, которое вагон пройдёт до остановки.
3.22. Пуля массой m = 10 г подлетает к доске толщиной d = 4 см
со скоростью V1 = 600 м/с и, пробив доску, вылетает со скоростью
V2 = 400 м/с. Найти среднюю силу сопротивления движению пули в
доске.
3.23. В тело массой m1 = 990 г, лежащее на столе, попадает пуля
массой m2 = 10 г и застревает в нем. Вектор скорости пули V = 700 м/с
направлена горизонтально. Какой путь пройдет тело до остановки,
если коэффициент трения между телом и столом μ = 0,05?
3.24. Сила F = 0,5 Н действует на тело массой m = 10 кг в течение
времени t = 2 с. Определить кинетическую энергию тела в конце этого
промежутка времени. Начальная скорость тела V0 = 0.
3.25. Поезд массой m = 1,5106 кг движется со скоростью
V = 37,6 км/ч и при торможении останавливается, пройдя путь
S = 200 м. Какова сила торможения? Как должна измениться сила
торможения, чтобы поезд остановился, пройдя в два раза меньший
путь?
3.26. Пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 600 м/с, попала в
баллистический маятник массой 5 кг и застряла в нем. На какую
высоту h поднялся маятник?
3.27. В подвешенный на нити длиной l = 1,8 м деревянный шар
массой m1 = 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой
m2 = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и
застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол α = 3 0?
3.28. Грузы массами m1 = 10 кг и m2 = 15 кг подвешены на нитях
длиной l = 2 м так, что они соприкасается между собой. Меньший груз
был отклонен на угол α = 60 0 и отпущен. На какую высоту поднимутся
грузы после неупругого удара?
3.29. Шар массой m1 = 3 кг движется со скоростью V1 = 2 м/с и
сталкивается с покоящимся шаром массой m2 = 5 кг. Удар абсолютно
неупругий. Какая работа совершается при деформации шаров?
3.30. Шары массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг двигаются навстречу
друг другу со скоростями V1 = 8 м/с, V2 = 4 м/с. Найти работу
деформации шаров при их абсолютно неупругом столкновении.
33
3.31. Пуля попадает в ящик с песком и застревает в нем. На
сколько сожмется пружина жесткостью k, удерживающая ящик, если
пуля имеет массу m и движется со скоростью V, а масса ящика с
песком М? Поверхность гладкая.
3.32. От удара груза массой M = 50 кг, падающего свободно с
высоты h = 4 м, свая массой m = 150 кг погружается в грунт на
глубину S=10 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее
постоянной, а удар абсолютно неупругим.
3.33. Вагон массой 20 т, движущийся по горизонтальному пути со
скоростью 2 м/с, догоняет вагон массой 40 т, движущийся со
скоростью 1 м/с, и сцепляется с ним. Найти изменение механической
энергии системы двух вагонов.
3.34. Два шара подвешены на тонких параллельных нитях и
касаются друг друга. Меньший шар отводят на 900 от первоначального
положения и отпускают. После удара шары поднялись на одинаковую
высоту. Определить массу меньшего шара, если масса большего 0,6 кг,
а удар абсолютно упругий.
3.35. Два упругих шарика, массы которых m1 = 100 г и m2 = 300 г,
подвешены на одинаковых нитях длиной l = 50 см и касаются друг
друга. Первый шарик отклонили от положения равновесия на угол
 = 900 и отпустили. На какую высоту поднимется второй шарик после
абсолютно упругого удара?
3.36. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой
длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара m1 = 0,2 кг,
масса второго m2 = 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр
поднимается на высоту h = 4,5 см, и отпускают. На какую высоту
поднимутся шары после соударения, если удар абсолютно неупругий?
3.37. Тело массой m = 3 кг движется со скоростью V = 4 м/с и
ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар
центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты Q,
выделившееся при ударе.
3.38. Два тела движутся навстречу друг другу и ударяются
неупруго. Скорость первого тела до удара V1 = 2 м/с, скорость второго
V2 = 4 м/с. Направление скорости тел после удара совпадает с
направлением скорости первого тела до взаимодействия и равна
V = 1 м/с. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была
больше кинетической энергии второго тела?
3.39. Движущееся тело массой m1 ударяется о неподвижное тело
массой m2. Считая удар неупругим и центральным, найти, какая часть
первоначальной кинетической энергии переходит при ударе в теплоту.
34
Задачу решить сначала в общем виде, а затем рассмотреть следующие
случаи: 1) m1 = m2; 2) m1 = 9 m2.
3.40. Молот массой m1 = 200 кг падает на поковку, масса которой
вместе с наковальней m1 = 2500 кг. Скорость молота в момент удара
V1 = 2 м/с. Найти энергию, затраченную на деформацию поковки.
Удар рассматривать как неупругий.
3.41. Определить КПД неупругого удара бойка (ударная часть
свайного молота) массой m1 = 500 кг, падающего на сваю массой
m2 = 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.
3.42. По небольшому куску мягкого железа, лежавшего на
наковальне массой m1 = 300 кг, ударяет молот массой m2 = 8 кг.
Определить КПД удара, считая удар неупругим. Полезной считать
энергию, затраченную на деформацию куска железа.
3.43. Боек (ударная часть) свайного молота массой m1 = 500 кг
падает на сваю массой m2 = 100 кг со скоростью V1 = 4 м/с.
Определить энергию, затраченную на углубление свай в грунт, и КПД
удара бойка о сваю. Удар рассматривать как неупругий. Полезной
считать энергию, затраченную на углубление сваи в грунт.
3.44. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины,
сжимает её на ∆х = 20 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря,
упавшая на конец пружины с высоты h = 50 см?
3.45. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так,
что его длина стала больше на x1=10 см. С какой скоростью полетел
камень массой m = 20 г? Для растяжения резинового шнура на
x =1 см требуется сила F = 10 Н.
3.46. Тело массой M = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой
m = 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической
энергией E = 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти
кинетическую энергию первого тела до и после удара.
3.47. Нейтрон (масса m0) ударяется о неподвижное ядро атома
углерода (m = 12 m0). Считая удар центральным и упругим, найти, во
сколько раз уменьшится кинетическая энергия нейтрона при ударе.
3.48. Тело массой m, движущееся со скоростью V, налетает на
покоящееся тело и после упругого соударения отскакивает от него под
углом  = 900 к первоначальному направлению своего движения со
скоростью V/2. Определить массу второго тела.
3.49. Два шара массами m1 = 2,5 кг и m1 = 1,5 кг движутся
навстречу друг другу со скоростями V1 = 6 м/с и V2 = 2 м/с.
Определить скорость шаров после удара и долю кинетической энергии
35
шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать
центральным и неупругим.
3.50. Шар массой m = 1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром
большей массы М. В результате центрального упругого удара шар
потерял 0,36 своей кинетической энергии. Определить массу большего
шара.
3.51. После упругого столкновения частицы 1 с покоящейся
частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно
первоначального направления движения частицы 1, угол между их
направлениями разлета равен  = 600. Найти отношение масс этих
частиц.
3.52. В результате упругого лобового столкновения частицы 1
массой m1 с покоящейся частицей 2 обе частицы разлетелись в
противоположные направления с одинаковыми скоростями. Найти
массу частицы 2.
3.53. Частица массой m испытала столкновение с покоящейся
частицей массой М, в результате которого первая частица отклонилась
на угол 900, а вторая отскочила под углом 300 к первоначальному
направлению движения частицы массой m. На сколько процентов и
как изменилась кинетическая энергия этой системы после
столкновения, если M/m = 5?
3.54. Шар массой m1, движущийся со скоростью V1, догоняет шар
массой m2, движущийся со скоростью V2. Определить скорости шаров
после упругого соударения. Удар центральный.
3.55. На покоящийся шар налетает со скоростью V1 = 2м/с другой
шар одинаковой с ним массы. В результате столкновения этот шар
изменил направление движения на угол α = 300. Определить скорости
U1, и U2 шаров после удара.
3.56. Между двумя тележками массами m1, и m2 (m1 > m2)
находится сжатая пружина. Разжимаясь, пружина расталкивает
тележки. Сравнить кинетические энергии, приобретенные тележками.
Трением пренебречь.
36
4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Момент инерции материальной точки
J  mr 2 ,
где m - масса точки, r - расстояние от оси вращения.
Момент инерции твердого тела
n
J   mi ri2 ,
i 1
где ri - расстояние элемента массы mi от оси вращения.
При непрерывном распределении массы
r2
J   r 2 dm.
r1
Теорема Штейнера:
произвольной оси равен
момент
инерции
тела
относительно
J  J 0  ma 2 ,
где J 0 - момент инерции тела относительно оси, проходящей через
центр тяжести параллельно заданной оси, a - кратчайшее расстояние
между осями, m - масса тела.
J 0стержня 
стержню.
ml 2
, где l - длина стержня, ось перпендикулярна
12
mR 2
, где R - радиус диска, ось перпендикулярна плоскости
2
основания.
2
J 0шара  mR 2 , где R - радиус шара.
5
J 0кольца  mR2 , где R - радиус кольца, ось перпендикулярна плоскости
J 0диска 
кольца.
Момент импульса вращающегося тела
L  J ,
где  - угловая скорость.
Основное уравнение динамики вращательного движения
твердого тела относительно неподвижной оси
dL
 M,
dt
где M - момент результирующей силы, действующей на тело.
37
M  Fh,
где F - сила, h - плечо силы - кратчайшее расстояние от оси до линии
действия силы.
При J=const
J  M ,
d
где  
- угловое ускорение.
dt
Закон сохранения момента импульса:
n 
 Li  const ,
i 1

где Li - момент импульса i-го тела, входящего в состав замкнутой
системы.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. По наклонной плоскости, образующей угол  с
горизонтом, скатывается без скольжения 1) сплошной однородный
диск, 2) шар. Определить линейное ускорение их центров.
Предварительно вывести общую формулу.
Тело участвует в сложном движении:
1) поступательно движется вниз по наклонной плоскости; 2) вращается
вокруг оси, проходящей через центр тяжести.
На рисунке покажем силы, действующие на тело.
y

N
0

FТр

x


mg
Для поступательного движения запишем II закон Ньютона в
проекциях на ось OX.
38
(1)
ma  mg sin   FTP .
Для вращательного движения используем закон
(2)
J  M ,
a
a
где J - момент инерции,    
- угловое ускорение.
R R
Момент силы M создает сила трения, плечо которой равно R, две
другие силы не создают вращающего момента.
M  FTP R .
Перепишем (2):
a
J  FTP R .
R
Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):
J
ma  mg sin  
a.
R2
Отсюда
g sin 
.
a
J
1
mR 2
Зная моменты инерции диска и шара
2
mR 2
, J шара  mR 2
J диска 
2
5
найдем ускорения диска и шара
g sin  2
aдиска 
 g sin  ,
1
3
1
2
g sin  5
aшара 
 g sin  .
2
7
1
5
2
5
Ответ: aдиска  g sin  , aшара  g sin .
3
7
(4)
Задача 2. Вертикальный столб высотой l подпиливается у
основания и падает на землю, поворачиваясь вокруг основания.
Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о
землю. Трением пренебречь.
39
На рисунке C- центр тяжести столба. Применим закон
сохранения механической энергии. Масса распределена равномерно,
C
h
l
2
C
0
0
поэтому в выражении для потенциальной энергии при вертикальном
положении столба возьмем высоту его центра тяжести h  l 2
l
относительно нулевого уровня отсчета: En  mg .
2
В горизонтальном положении столб приобретает кинетическую
энергию
J 2
,
2
где J - момент инерции относительно оси, проходящей через
неподвижный конец, - угловая скорость.
l J 2
.
(1)
mg 
2
2
По теореме Штейнера
Eк 
l 2 ml 2 ml 2 ml 2
.



4
12
4
3
Угловую скорость выразим через линейную скорость упавшего
конца:
 V l .
Подставив J и  в (1), найдем
J  J0  m
V  3 gl .
Ответ: V  3 gl .
Задача 3. Стержень массой M и длиной l может свободно
вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его верхний
конец. Стержень отклоняют в горизонтальное положение и отпускают.
Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня
40
упруго ударяет о малую шайбу массой m . Определить скорость
шайбы после удара.
C
O
C
0
m
Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии проведем через
центр тяжести стержня С при вертикальном положении стержня.
Запишем закон сохранения механической энергии для стержня до
удара.
l J 02
(1)

,
2
2
Ml 2
где J 
,  0 - угловая скорость стержня.
3
Для описания упругого соударения стержня с шайбой используем
закон сохранения момента импульса
(2)
J0  J  mVl
и закон сохранения механической энергии
Mg
J 02 J 2 mV 2


.
(3)
2
2
2
В уравнении (2) mVl- момент импульса шайбы. Напомним, что
 
для материальной точки
L  pr sin( p,^ r ). У шайбы r = l,
 
sin( p, ^ r )  1.
Перепишем (2) и (3):
(4)
J (0   )  mVl ;
J (02   2 )  mV 2 .
Разделив (5) на (4), найдем связь между  0 ,  и V :
V
   0 .
l
41
(5)
(6)
Подставив (6) и J 
Ml 2
в (4), получим
3
2 Ml 0
.
M  3m
Используем (2), тогда (7) примет вид
2M
V
3 gl .
M  3m
2M
Ответ: V 
3 gl .
M  3m
V
(7)
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
4.1. Через блок в виде однородного сплошного диска, имеющего
массу m = 500 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой
подвешены грузы массами m1 = 100 г и m2 = 120 г. С каким
ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе?
Трением на оси блока пренебречь.
4.2. Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращается с
частотой ν = 8 с-1. К цилиндрической поверхности вала прижали
тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал
остановился через время τ = 10 с. Определить момент и коэффициент
силы трения.
4.3. За какое время t скатится без скольжения обруч с наклонной
плоскости длиной l = 2 м и высотой h = 10 см?
4.4. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается
вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угла поворота от
времени имеет вид φ = А + Bt2 + Сt3 , где В = 4 рад/с2, С = - 1 рад/с3.
Найти закон изменения момента сил, действующего на шар.
Определить момент сил спустя время τ = 2 с после начала движения
шара.
4.5. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой
m = 40 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с2 вокруг
горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню: 1) через
его середину, 2) через один из его концов. Определить вращающий
момент для этих случаев.
4.6. Два тела массами m1 = 0,25 кг и m2 = 0,15 кг связаны тонкой
нитью, перекинутой через блок. Блок укреплен на краю
горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой
m1. С каким ускорением движутся тела? Коэффициент трения тела
массой m1 о поверхность стола μ = 0,3. Масса блока m0 = 0,1 кг, и ее
42
можно считать равномерно распределенной по объему блока. Массой
нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.
4.7. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур,
к концам которого подвесили грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,5 кг.
Определить силы натяжения шнура Т 1 и Т2 по обе стороны блока во
время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по
ободу.
4.8. Маховик в виде однородного диска массой m = 100 кг и
радиусом R = 40 см вращался с частотой n = 480 об/мин. Определить
момент тормозящей силы, если после начала действия этой силы
маховик остановился через время τ = 80 с.
4.9. На шкив радиусом R = 10 см намотана нить, к концу которой
привязан груз массой m = 2 кг. Груз опускается со скоростью,
меняющейся по закону V = 2 – 8 t (м/с). Найти момент инерции шкива
относительно оси вращения. Трением пренебречь.
4.10. Однородный сплошной цилиндр массой m0 = 5 кг и
радиусом R = 20 см может без трения вращаться вокруг неподвижной
горизонтальной оси. На цилиндр намотан тонкий нерастяжимый шнур,
к которому прикреплён груз массой m1 = 3 кг. Найти угловое
ускорение цилиндра и расстояние, пройденное грузом массой m1 за
первые две секунды движения.
4.11. Через блок в виде однородного сплошного диска массой
m0 = 3 кг, радиусом R = 10 см перекинута невесомая нить, к концам
которой привязаны грузы массами m1 = 2 кг и m2 = 1 кг. Определить
угловое ускорение блока. Трением на оси блока и проскальзыванием
нити по блоку пренебречь.
4.12. Маховик, момент инерции которого J = 69,6 кгм2,
вращается с угловой скоростью ω = 31,4 рад/с. Найти тормозящий
момент М, под действием которого маховик останавливается через
время τ = 20 с.
4.13. Через блок перекинута невесомая нить, к концам которой
привязаны два груза. Груз массой m2 = 5 кг поднимается со скоростью,
меняющейся по закону V = 5 + 0,8 t (м/с), груз массой m1 опускается.
Момент инерции блока J = 510-2 кгм2, его радиус R = 0,2 м. Найти
массу опускающегося груза m1. Трением пренебречь.
4.14. На цилиндр радиусом R = 40 см намотана нить, к концу
которой подвешен груз массой m. Груз начал опускаться и за t = 4 с
прошел путь h = 2 м. Какова масса груза? Момент инерции цилиндра
Jц = 1,53 кгм2.
43
4.15. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к которому
привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции барабана, если
известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с 2.
4.16. Вал массой m = 150 кг и радиусом R = 6 см вращался, делая
9 оборотов в секунду. К цилиндрической поверхности вала прижали
тормозную колодку с силой F = 50 Н, и через t = 10 с вал остановился.
Определить коэффициент трения .
4.17. Колесо (обруч и 2 стержня) пустили со скоростью
V0 = 2 м/с. За какое время колесо остановится под действием
тормозящей силы F = 5 Н? Масса обруча m1 = 3 кг, масса одного
стержня m2 = 3 кг.
4.18. На барабан радиусом R = 20 см с моментом инерции
J = 0,1 кгм2 намотан шнур, к которому привязан груз массой
m = 0,5 кг. До начала вращения барабана груз находился на высоте
h = 1 м над полом. За какое время t груз опустится до пола?
4.19. Угол поворота стержня вокруг оси, проходящей через его
центр, задан уравнением φ = At + Bt3, где B = 0,2 рад/с3, А = 2 рад/с.
Определить вращающий момент М, действующий на стержень спустя
время τ = 2 с после начала движения. Момент инерции стержня
J = 0,048 кгм2.
4.20. Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается
под действием сил натяжения нити, к концам которой подвешены
грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,7 кг. Определить силы натяжения
нити Т1 и Т2 по обе стороны блока.
4.21. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м
приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении
диска на него действует момент сил трения М = 2 Нм. Определить
массу m диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и
равно ε = 12 рад/с2.
4.22. При
торможении
частота
вращающегося
колеса
уменьшилась от n1 = 300 об/мин до n2 = 180 об/мин за время t = 1 мин.
Определить момент силы торможения. Момент инерции колеса
J = 2 кгм2.
4.23. В медном диске радиусом R = 5 см и толщиной h = 1 мм
сделаны симметрично относительно его центра два круглых выреза
радиусом г = 2 см каждый, причем их центры удалены от центра диска
на расстояние а = 2,5 см. Определить момент инерции диска с
вырезами относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и
проходящей через его центр. Плотность меди ρ = 8,9 г/см3.
44
4.24. Определить момент инерции цилиндрической муфты
относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии, масса муфты
m = 2 кг, внутренний радиус г = 3 см, внешний  R = 5 см.
4.25. Определить момент инерции полого шара массой m = 0,5 кг
относительно оси, проходящей через центр. Внешний радиус шара
R = 0,02 м, внутренний - г = 0,01 м.
4.26. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около
вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой
m1 = 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет
вдоль её края и, обойдя его, вернется в исходную точку? Масса
платформы m2 = 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать так
же, как для материальной точки.
4.27. На горизонтальной скамье Жуковского (однородный диск,
который может вращаться с малым трением относительно
вертикальной оси, проходящей через его центр) стоит человек и
держит в руках стержень длиной l = 2,4 м и массой m = 8 кг,
расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с
человеком вращается с частотой ν = 1 с-1. С какой частотой будет
вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в
горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и
скамьи J = 6 кгм2.
4.28. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска
радиусом R = 2 м, стоит человек массой m1 = 80 кг. Масса платформы
m2 = 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси,
проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой
угловой скоростью ω будет вращаться платформа, если человек будет
идти вдоль ее края со скоростью V = 2 м/с относительно платформы.
4.29. Диск массой m1 = 10 кг с лежащим на его краю шариком
массой m2 = 1 кг вращается с частотой n1 = 10 об/мин относительно
оси, проходящей через его центр. Шарик перекатывается в центр
диска. Найти частоту n2.
4.30. Однородный стержень длиной l = 2 м и массой m = 8 кг
подвешен за один конец и может вращаться без трения вокруг
горизонтальной оси. В середину стержня ударилась и застряла в нем
пуля массой m1 = 10 г, летевшая со скоростью V = 800 м/с. На какой
угол отклонился стержень?
4.31. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом
R = 1 м вращается с частотой n = 20 об/мин. В центре платформы
стоит человек и держит в вытянутых руках гири. Какой станет частота
вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой
45
момент инерции от J1 = 2,94 кгм2 до J2 = 0,98 кгм2? Считать
платформу круглым однородном диском.
4.32. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна
E = 1000 Дж. Под действием постоянного тормозящего момента
маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 80 оборотов,
остановился. Определить момент силы торможения M.
4.33. Маховик, момент инерции которого равен J = 4,0 кгм2,
начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием
момента силы М = 20 Нм. Вращение продолжалось в течение времени
t = 10 с. Определить кинетическую энергию, приобретенную
маховиком.
4.34. Тонкий прямой стержень длиной l = 1 м прикреплен к
горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень
отклонили на угол  = 600 от вертикали и отпустили. Определить
линейную скорость V нижнего конца стержня в момент прохождения
через положение равновесия.
4.35. Однородный стержень длиной l = 85 см подвешен на
горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую
наименьшую скорость V надо сообщить нижнему концу стержня,
чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
4.36. Горизонтально летевшая пуля попала вертикальный
однородный стержнь массой m = 210 кг и длиной l = 1 м и застряла в
нем. Стержень может свободно вращаться вокруг точки закрепления
верхнего конца в шарнире. Пуля имела импульс Р = 3 кгм/с и попала в
стержень на расстоянии l = 20 см от точки закрепления стержня. Найти
угловую скорость , которую приобретет стержень с пулей.
4.37. На какой угол  надо отклонить однородный стержень,
подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний
конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им
положения равновесия имел скорость V = 5 м/с? Длина стержня
l = 1 м.
4.38. Платформа в виде диска вращается по инерции около
вертикальной оси с частотой n1 = 14 об/мин. На краю платформы стоит
человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота вращения
возросла до n1 = 25 об/мин. Масса человека m = 70 кг. Определить
массу платформы M. Момент инерции человека рассчитывать так же,
как и для материальной точки.
4.39. Маховик в виде сплошного однородного диска массой
m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую
работу требуется совершить, чтобы привести диск во вращение с
46
частотой n = 10 об/с? Какую работу пришлось бы совершить при этом,
если бы диск при той же массе имел вдвое больший радиус?
4.40. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально,
падает на стол. Какие угловую  и линейную V скорости будет иметь
в конце падения: 1) середина карандаша; 2) верхний его конец?
Нижний конец карандаша не проскальзывает.
4.41. Определить линейную скорость V центра шара,
скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.
4.42. Однородный диск вкатывается в горку с начальной
скоростью V0 = 12 км/ч. Определить угол наклона горки α, если до
полной остановки диск пройдет по горке расстояние l = 2 м.
4.43. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После
выключения он сделал до остановки N = 75 оборотов. Работа сил
торможения равна A = 44,4 Дж. Найти: 1) момент инерции
вентилятора J; 2) момент силы торможения M.
4.44. Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск,
поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона  = 300,
если ему сообщена начальная скорость V = 7 м/с, направленная вдоль
наклонной плоскости?
4.45. Диск массой m1 = 5 кг и радиусом R = 5 cм, вращающийся с
частотой n = 10 об/мин, приводится в сцепление с неподвижным
диском массой m2 = 10 кг такого же радиуса. Определить энергию,
которая пойдет на нагревание дисков, если при их сцеплении
скольжение отсутствует. Диски имели общую ось вращения после
сцепления.
4.46. Диск радиусом R = 10 см и массой m = 2 кг вращается с
частотой ν = 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую
работу надо совершить, чтобы увеличить частоту вращения диска
вдвое?
4.47. Шарик массой m = 60 кг, привязанный к концу нити длиной
l1 = 1,2 м, вращается в горизонтальной плоскости с частотой
n1 = 2 об/с. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до
расстояния l2 = 0,6 м. С какой частотой n2 будет при этом вращаться
шарик? Какую работу совершает внешняя сила, укорачивая нить?
4.48. Шар и диск, двигаясь с одинаковой скоростью, вкатываются
вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимается выше?
Найти отношение высот подъема.
4.49. Маховик вращается с частотой n = 10 об/с, его кинетическая
энергия равна Т = 7,85 кДж. За какое время t вращающий момент
М = 50 Нм, приложенный к этому маховику, увеличит угловую
скорость маховика в два раза?
47
4.50. Колесо начинает вращаться с постоянным угловым
ускорением ε = 0,5 рад/с и через время t1 = 15 с после начала движения
приобретает момент импульса L = 73,5 кгм2/с. Найти кинетическую
энергию колеса через t2 = 20 с после начала вращения.
5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Уравнения гармонических колебаний:
x=Acos(t+0), x=Asin(t+0), или их линейная комбинация,
где x - смещение точки от положения равновесия, A- амплитуда,
t+0 - фаза колебаний в момент времени t, - циклическая частота,
0- начальная фаза.
2
  2 
,
T
где  и T - частота и период.
Дифференциальное
уравнение
свободных
колебаний
материальной точки:
mx  kx, или x   02 x  0,
где  02  k m , m- масса точки, k- коэффициент квазиупругой силы.
Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания,
1
1
E  m 2 A2  kA2 .
2
2
Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный
маятник),
m
,
k
где m - масса тела, k- жесткость пружины.
Период колебаний математического маятника
T  2
l
,
g
где l - длина нити, g- ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника
T  2
J
,
mga
где J - момент инерции тела относительно оси колебаний, aрасстояние центра масс маятника от оси колебаний.
T  2
48
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
mx  kx  cx, или x  2x  02 x  0 ,
где c - коэффициент сопротивления,  - коэффициент затухания,
c
k
- собственная циклическая частота колебаний.
, 0 
m
2m
Уравнение
затухающих
колебаний
(частное
решение
дифференциального уравнения):

x  A0 e t cos(t   0 )  A(t ) cos(t   0 ),
где A0- амплитуда колебаний в момент времени t=0,
A(t) - амплитуда затухающих колебаний в момент времени t.
Декремент затухающих колебаний
A(t )
D
 e T .
A(t  T )
Логарифмический декремент колебаний
ln D  T ,
где T - период.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Математический маятник длиной l1=40 см и
физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l2=60 см
синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси.
Определить расстояние a центра масс стержня от оси колебаний.
При синхронном колебательном движении маятников их
периоды равны T1  T2 ,
где T1  2
l1
,
g
T2  2
J
.
mga
Отсюда
J
(1)
l1 
.
ma
Момент инерции физического маятника определяется по теореме
Штейнера:
ml 22
 ma 2 .
12
Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение
J  J 0  ma 2 
(2)
12a 2  12l1a  l 22  0.
Из (3) найдем два корня: a1=10 см, a2=30 см.
(3)
49
Таким образом, при одном и том же периоде колебаний
физического маятника возможны два варианта расположения оси.
Величину (1) называют приведенной длиной физического
маятника.
Ответ: a1=10 см, a2=30 см.
Задача 2. Найти уравнение, связывающее модуль импульса Px и
координату x одномерного гармонического осциллятора. Масса
осциллятора m1, циклическая частота 0, амплитуда колебаний A.
Запишем уравнение гармонических колебаний
(1)
x  A cos(0 t  0 ).
Тогда
(2)
Px  mx   Am0 sin(0 t  0 ).
Выразим из (1) cos(0 t  0 ), а из (2) sin(0 t   0 ) ,
x
cos(0 t  0 )  ;
A
Px
sin( 0 t   0 )  
.
Am 0
Возведем (3) и (4) в квадрат и сложим. Учитывая, что
(3)
(4)
cos2 (0 t   0 )  sin 2 (0 t  0 )  1, получим
x2
A2

Px2
A2 m 202
Ответ:
x2
A2
 1 - уравнение эллипса.

Px2
A2 m 202
1.
Задача 3. Математический маятник совершает малые колебания в
среде, в которой коэффициент затухания   0,9 c 1 . Определить
время  , по истечении которого амплитуда маятника уменьшится в
пять раз.
Вследствие трения колебания маятника будут затухающими:
   0 e t sin t ,
где  - угол отклонения нити маятника от вертикали в момент времени
t, при t=0, =0.
Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по
экспоненциальному закону
50
A(t )   0 e t .
Запишем (1) для моментов времени t и t+:
(1)
A1 (t )   0 e t , A2 (t   )   0 e  (t  ) .
Отношение амплитуд
A1
 e t  5 .
A2
Логарифмируя (2), найдем
ln 5

 1,79 c .
(2)

Ответ: =1,79 с.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
5.1. Под действием грузика пружина растянулась на x = 9 см.
Определить период собственных колебаний T этой системы.
5.2. Найти отношение длин двух математических маятников, если
отношение их периодов Т1/ Т2 = 1 ,5.
5.3. Математический маятник установлен в лифте, который
поднимается с ускорением a = 2,5 м/с2. Определить период T
собственных колебаний маятника. Его длина равна 1 м.
5.4. Лифт, в котором колеблется математический маятник,
опускается с ускорением a = 3 м/с2. Определить период колебаний T
маятника. Его длина равна 1 м.
5.5. Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединённым
"последовательно".
Определить
частоту
колебаний
груза.
Коэффициенты жесткости пружин равны k1 и k2.
5.6. Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединенным
"параллельно". Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты
жесткости пружин равны k1 и k2.
5.7. Медный шарик, подвешенный к пружине, свободно
колеблется. Как изменится период колебаний этой системы, если
вместо медного подвесить алюминиевый шарик таких же размеров?
5.8. На стержне длиной l = 30 см закреплены два одинаковых
грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов.
Эта система может свободно вращаться около горизонтальной оси,
проходящей через свободный конец стержня. Определять период
собственных колебаний T этого физического маятника. Массой
стержня пренебречь.
51
5.9. На стержне длиной l = 30 см и массой m = 1 кг, закреплены
два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном
из его концов. Эта система может свободно вращаться около
горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня.
Определять период собственных колебаний T этого физического
маятника.
5.10. Диск радиусом R = 20 см может свободно вращаться вокруг
горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса
перпендикулярно его плоскости. Определить частоту  собственных
колебаний этого физического маятника.
5.11. Однородный стержень массой m и длиной l может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец.
Определить частоту собственных колебаний стержня.
5.12. Однородный стержень массой m, длиной l может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l/4
от одного из его концов. Определить период колебаний этого
физического маятника.
5.13. На горизонтальном столе лежит шар массой 200 г,
прикрепленный к горизонтально расположенной пружине жесткостью
500 Н/м. В шар попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со
скоростью 300 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и
период колебаний шара. Перемещением шара во время удара,
сопротивлением воздуха и трением между поверхностью шара и стола
пренебречь.
5.14. Однородный стержень массой 0,5 кг и длиной l м может
свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через
один из его концов. В противоположный конец стержня попадает пуля
массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает
в нем. Определить амплитуду и период колебаний стержня.
5.15. Однородный
стержень
может
вращаться
вокруг
горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 1/4 от одного из его
концов. В противоположный конец попадает пуля массой 10 г,
летящая горизонтально со скоростью 200 м/с, и застревает в нем.
Определить амплитуду и период колебаний стержня. Масса стержня
0,5 кг, длина 1 м.
5.16. За 5 мин амплитуда математического маятника
уменьшилась в 2 раза. За какой промежуток времени его амплитуда
уменьшится в 8 раз?
5.17. Математический маятник длиной 1 м колеблется в воздухе.
За 10 мин его амплитуда уменьшилась в 2 раза. Определить
логарифмический декремент затухания.
52
5.18. Грузик массой m, подвешенный к пружине жесткостью k,
колеблется в среде. Логарифмический декремент затухания равен 9. За
какой промежуток времени амплитуда уменьшится в 2 раза? Сколько
полных колебаний совершит тело за это время?
5.19. Два
последовательных
максимальных
отклонения
математического маятника длиной l от вертикали равны φ1 и φ2,
φ2 <φ1 << 1. Вычислить логарифмический декремент затухания и
период колебаний маятника.
5.20. Кусок мяса положили на весы. Три последовательных
крайних положения стрелки весов были такие: a1 = 560 г, a2 = 440 г,
a3 = 520 г. Какова действительная масса куска мяса? Вычислить логарифмический декремент затухания колебаний стрелки весов.
5.21. Под действием вынуждающей силы FX = F0cos(ωt) груз
массой m, подвешенный на пружине жесткостью k, колеблется.
Определить частоту вынуждающей силы, при которой наступит
резонанс.
5.22. Чему равна резонансная амплитуда у системы без трения?
Имеет ли максимум резонансная кривая при коэффициенте затухания,
равном β ≥ ω0 / 2 ?
5.23. Для трех коэффициентов затухания β1 < β2 < β3 нарисовать
на одном чертеже качественные резонансные кривые.
5.24. Уравнение
движения
системы
имеет
вид
2
x  2x  0 x  f 0 cos t . Вычислить период колебаний системы: 1)
если нет вынуждающей силы и нет силы трения; 2) если система
совершает установившиеся вынужденные колебания.
5.25. В молекуле азота частота колебаний атомов равна
4,451014 Гц, масса одного атома 2,3210-26 кг. Найти коэффициент
квазиупругой силы, действующей между атомами.
5.26. Определить период, частоту и начальную фазу свободных
колебаний, заданных уравнением х = Asinω(t + τ), где ω = 2,5 π с-1 ,
τ = 0,4 с, А - константа.
5.27. Колебания материальной точки заданы уравнением
х = Acos(ωt + φ), где А = 2 см, ω = π с-1 , φ = π /4 рад. Построить
графики зависимости смещения точки от положения равновесия, ее
скорости и ускорения.
5.28. Даны амплитуда и период свободных колебаний
пружинного маятника: А = 4 см, Т = 2 с. Написать уравнение этих
колебаний. В момент возникновения колебаний х (0) = 0, х (0) < 0.
5.29. Точка равномерно движется по окружности против часовой
стрелки с периодом Т = 6 с. Диаметр окружности d = 20 см. Написать
53
уравнение движения проекции точки на ось х. Принять, что в момент
времени t = 0 х(0) = 0. Найти смещение, скорость и ускорение
проекции точки в момент времени t = 1 с.
5.30. Пружинный маятник совершает гармонические колебания.
Какие из приведенных выражений для полной энергии колеблющегося
тела верны?
kA 2 m2 A 2 kx 2  mV 2 FmaxA Fmax
;
;
;
;
.
2
2
2
2
k2
Здесь k - жесткость пружины; A - амплитуда; m - масса тела; ω циклическая частота; x - смещение тела от положения равновесия; V скорость; Fmax - максимально упругая сила
5.31. Гармонический осциллятор совершает колебания. Какие из
перечисленных величин достигают максимального значения в крайнем
положении: скорость, ускорение, упругая сила, кинетическая энергия,
потенциальная энергия?
5.32. Колебания материальной точки заданы уравнением
х = Acos(ωt), где А = 5 см, ω = 2 с-1. Определить ускорение тела
в момент времени, когда скорость его будет равна 8 см/с.
5.33. Колебания математического маятника заданы уравнением
φ = φ0sin(ωt + а). Маятник отклонили на угол φ1 = 0,1 π, а затем отпустили. Определить начальную фазу.
5.34. Колебания материальной точки заданы уравнением
х = 7sin0,5πt. За какой промежуток времени она проходит путь от
положения равновесия до максимального смещения?
5.35. Записать
уравнение
гармонических
колебаний
материальной точки, если период колебаний Т = 2 с, максимальное
ускорение аmax = 49,3 см/с2, начальное смещение точки от положения
равновесия х(0) = 25 мм.
5.36. Для гармонического осциллятора массой m с координатой
х = Acos(ωt + π/4) нарисовать графики зависимостей: T(t), u(t), E(u),
T(u), T(x) u(x). Т, u, E - кинетическая, потенциальная и полная механическая энергия осциллятора.
5.37. Колебания гармонического осциллятора заданы уравнением
х = Asin(ωt + φ0). Выразить через амплитуду А и начальную фазу φ0
значения координаты и скорости в момент времени t = 0.
5.38. Изобразить в моменты времени t0 = 0 и t1 = π /2ω на
векторной диаграмме колебания: а) х = Acos(ωt + π/4), б) х = 2Acos(ωt-π/6). Константа А > 0.
5.39. Колебания материальной точки заданы уравнением
х = Acosωt, где А = 8 см, ω = 2π/3 Гц. В момент времени, когда сила,
действующая на тело, в первый раз достигла 5 мН, потенциальная
54
энергия была равна 100 мкДж. Определить этот момент времени и
соответствующую ему фазу.
5.40. Частота затухающих колебаний 103 Гц. Определить частоту
собственных колебаний системы, если резонанс наблюдается при
частоте 998 Гц.
5.41. Пружинный маятник массой m и с жесткостью k колеблется
под действием вынуждающей силы F = F0sin(ωt). Зависит ли
амплитуда колебаний и как она зависит от F0, ω, m и k? Если зависит,
то каким образом?
5.42. Колебания материальной точки заданы уравнением
x = Asin(ωt). В момент времени, когда смещение тела было x1 =2,4 см
его скорость достигла V1 = 3 см/с. В момент времени, когда смещение
было x2 = 2,8 см, его скорость стала равной V2 = 2 см/с. Найти
амплитуду и период этих колебаний.
5.43. Смещение шарика массой m = 10 г от положения
равновесия описывается уравнением х = Asin(πt/5 + π/4), где А = 5 см.
Определить максимальную силу, действующую на тело, и его полную
энергию.
5.44. Записать уравнение гармонических колебаний. Известно,
что максимальная скорость материальной точки равна Vmax = 10 cм/с, а
ее максимальное ускорение amax = 100 см/с2. Принять начальную фазу
колебаний равной нулю.
5.45. Записать
уравнение
гармонических
колебаний
материальной точки. Известно, что ее максимальное смещение
xmax = 10 см, а максимальная скорость Vmах = 20 см/c. Принять
начальную фазу колебаний равной нулю.
5.46. Колебания гармонического осциллятора описываются
уравнением x = Asin(ωt). В некоторый момент времени смещение
осциллятора х1 было равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась
в 2 раза, смещение стало х2 = 8 см. Определить амплитуду колебаний.
5.47. Колебания гармонического осциллятора описываются
уравнением x = Asin(ωt), где А = 10 см, ω = 5 Гц. Вычислить
действующую на осциллятор силу: 1) когда ωt = π/3; 2) когда
смещение осциллятора максимально.
5.48. Амплитуды вынужденных колебаний при частотах
вынуждающей силы 1 = 200 Гц и 2 = 300 Гц равны. Определить
частоту, соответствующую резонансу.
5.49. Три
последовательных
аиплитудных
положения
качающейся стрелки гальванометра соответствуют делениям шкалы:
n1 = 20,0; n2 = 5,6 и n3 = 12,8. Считая декремент затухания постоянным,
55
определить деление, соответствующее положению равновесия
стрелки.
5.50. Каков общий путь, пройденный материальной точкой до
полного затухания колебаний? Амплитуда первого колебания равна
1 мм, логарифмический декремент затухания равен 0,002.
56
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №I
Варианты заданий для студентов заочной формы обучения
Вариант
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.27
1.28
1.29
1.30
1.32
1.33
1.38
1.39
1.40
1.41
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
Номера задач
2.26 3.11 3.37
2.27 3.12 3.38
2.28 3.13 3.39
2.29 3.14 3.40
2.30 3.15 3.41
2.31 3.16 3.42
2.32 3.17 3.43
2.33 3.18 3.44
2.34 3.19 3.45
2.35 3.20 3.46
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.36
4.37
4.38
4.39
4.40
4.41
4.42
4.43
4.44
4.45
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
5.31
5.32
5.33
5.34
5.35
Библиографический список
Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1979.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М: Высш. шк., 1989.
3. Джанколи Д. Физика. – М.:Мир, 1989.
4. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. – Киев: «Днипро»,
1994.
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. - М.: Наука, 1988.
6. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. - М.: Наука,
1989.
7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. Механика. - М.: Наука,
1989.
8. Стрелков С.П. Механика. - М.: Наука, 1975.
9. Трофимова Т.И. Курс физики. Учеб. пособие для вузов. - М.:
Высш. шк., 1989.
10. Фиргант Е.Г. Руководство к решению задач по курсу общей
физики. - М.: Высш. шк., 1978.
11. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. - М.: Высш. шк.
1981.
12. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука,
1980.
1.
57