Дистанционная олимпиада по математике 8 класс(II эx

1. На первом месте должна стоять 1 (меньше для четырехзначного числа нельзя). Если
на втором месте 0, то сумма третьего и четвертого чисел будет равняться 20, что
невозможно. Если на втором месте 1, то сумма третьего и четвертого чисел будет
равняться 19, что тоже невозможно. Значит, на втором месте стоит 2, а сумма
третьего и четвертого равна 18, тогда на третьем и четвертом месте стоят девятки.
Ответ: 1299
2. 713× (1+7+72)=713×57
13
14
15
57 делится на 19, значит и 7  7  7 делится на 19 (так как если в произведении
хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится
на это число).
Ответ: делится.
3. Каждый раз, когда сын младше отца в целое число n раз, разность их возрастов также
в целое число раз больше возраста сына, поэтому требуется найти натуральные числа
от 2 до 72, при которых число n + 2 является делителем числа 26.
26 делится на 1, 2, 13 и 26, поэтому это событие случится ещё 2 раза (когда сыну,
соответственно, будет 13 и 26 лет).
Ответ: 2 раза.
4. f ( x  3)  2 x
f ( x)  2( x  3)  2 x  6
Ответ: f ( x)  2 x  6
5. Докажем, что меньше 20 поворотов быть не может. Рассмотрим 10 улиц одного
направления. Если маршрут проходит по всем этим улицам, то на каждой из них уже
есть не менее двух поворотов маршрута, и всё доказано. Если же найдётся такая
улица, на которой маршрут не проходит вовсе, то он должен проходить по всем
десяти перпендикулярным улицам. И тогда к ним можно применить то же самое
рассуждение.
Ответ: 20 поворотов.
6. x 2  2 xy  3 y 2  2 x  6 y  4  1 .
Выделим полные квадраты:
x 2  2 xy  3 y 2  2 x  6 y  4 = (x+1+y)2+2y2+4y+3=(x+y+1)2+2(y+1)2+1  1 (так как
(x+y+1)2 ˃ 0 и 2(y+1) ˃ 0) ч т.д.
7. Основываться будем на простом наблюдении: сумма нечетного числа нечетных
слагаемых есть число нечетное.
Ответ: нет.
8. x 3 ( x 2  7) 2  36 x = x (x2 –7)2 – 36x = 𝑥 ( 𝑥 (𝑥 – 7) – 6) (𝑥 (𝑥 – 7) + 6)
9. 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
10. В неделе нечетное количество дней, поэтому четность четвергов меняется. Значит,
всего было как минимум 5 четвергов (а больше 5 их быть не может, так как в месяце
максимум 31 день). Первый четверг мог приходиться только на 2 число (иначе в
месяце количество дней превышало бы 31 день), тогда второй четверг – 9 число,
третий четверг – 16 число, четвертый четверг – 23 число и пятый четверг – 30 число.
Значит, 26-го числа этого месяца было воскресенье.
Ответ: воскресенье.