Решения заданий 1 этапа.
реклама
Задания Задача 1. В октябре Коле Смекалкину исполнилось 12 лет, а его учителю математики Олегу Николаевичу – 42 года. Через сколько лет Коля будет вдвое младше учителя? Ответ: через 18 лет. Решение. 1 способ. Арифметический. 1) 42 – 12 = 30 разница в возрасте. 2) 30 2 = 60 лет Олегу Николаевичу 3) 60 – 42 = 18 2 способ. Алгебраический Пусть х – количество лет которое должно пройти, чтобы Олег Николаевич был в 2 раза старше, тогда (12 + х) возраст Коли Смекалкина, (42 + х) возраст Олега Николаевича. Учитывая условие задачи, составим уравнение: 2 12 x 42 x, 24 2 x 42 x, x 42 24, x 18 Задача 2. Ко дню рождения Олегу Николаевичу 20 учеников из пяти различных классов собрали букет из 30 цветов. Ученики одного класса принесли по одинаковому числу цветов, а из разных – по разному количеству цветов. Сколько учеников подарили по пять цветов, если каждый принёс хотя бы один цветок? Ответ: один ученик. Решение. Если взять по одному ученику из каждого класса (их будет 5), то всего они принесли, по крайней мере, 15 цветов (1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15). Следовательно, оставшиеся не более 30 – 15 = 15 цветов принесли остальные 20 – 5 = 15 учеников. Так как каждый ученик принёс хотя бы один цветок, то осталось ровно 15 цветов и каждый из 15 учеников принёс ровно по одному цветку. Таким образом, букет из пяти цветов подарил учителю один ученик. Задача 3. Коля Смекалкин любит решать и придумывать задачи по математике, поэтому ему требуется много тетрадей в клетку. В канцелярском магазине Коля купил на 100 рублей тетради двух видов: по 7 рублей и по 12 рублей. Сколько всего тетрадей купил Коля? Ответ: 10 тетрадей. Решение. Пусть Коля Смекалкин купил х тетрадей по 7 рублей и у тетрадей по 12 рублей, тогда на сто рублей он купит 7 x 12 y 100 , т.е. 4 тетради по 7 рублей и 6 тетрадей по 12 рублей, всего 10 тетрадей. Задача 4. Для урока математики Коля Смекалкин вырезал из бумаги несколько пятиугольников и шестиугольников. Всего у вырезанных фигур 37 вершин. Сколько пятиугольников вырезал Коля? Ответ: 5 пятиугольников. Решение. У пятиугольника – 5 вершин, у шестиугольника – 6 вершин, пусть Коля Смекалкин вырезал из бумаги n – пятиугольников и m – шестиугольников, тогда количество вершин у вырезанных фигур равно: 5n 6m 37 . Коля Смекалкин вырезал 5 пятиугольников и 2 шестиугольника. Задача 5. Коля Смекалкин утверждает, что число 2015! оканчивается на 15 нулей. (Число п ! называется факториалом и равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. 2015! 1 2 3 ... 2014 2015 ). Прав ли Коля? Ответ: Коля Смекалкин не прав, 2015! оканчивается 502 нулями. Решение. Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения чисел 2 и 5 - других вариантов нет. Эти числа являются множителями, на которые раскладываются перемножаемые в факториале целые числа. Очевидно, множителей 5 будет меньше множителей 2. Значит, количество нулей определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, ..., 2015 - всего их насчитывается 2015:5 = 403. Два множителя содержат числа 25, 50, ..., 2015, всего их 2015 : 25 – 80. Три множителя содержат 2015:125 – 16 чисел, а четыре – только три числа. Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем общее их количество: 403+80+16+3 = 502. Столько нулей в конце факториала. Задача 6. Коля Смекалкин отметил на плоскости пять точек А, В, С, D и Е и измерил некоторые расстояния. Оказалось, что АС = 5 см, AE = 4 см, ВС = 14 см, BD = 2 см, DE = 3 см. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD. Ответ: 3,5 см. Решение. Так как BD + DE + EA + AC = BC, то точки A, D и E лежат на отрезке ВС так, как это показано на рисунке. Тогда AB = 9 см; CD = 12 см. Искомое расстояние можно, например, вычислить так: середина отрезка АВ удалена от точки В на половину длины АВ, то есть, на 4,5 см. Середина отрезка CD удалена от точки C на половину длины CD, то есть, на 6 см. Следовательно, расстояние между серединами отрезков AB и CD равно 14 – 4,5 – 6 = 3,5. Для вычисления расстояния можно также рассмотреть координатный луч ВС и воспользоваться координатными формулами середины отрезка и расстояния между точками координатной прямой. Задача 7. Коля Смекалкин и его папа измеряли шагами размеры дачного участка. Первый раз папа прошел вдоль большей стороны участка, а Коля вдоль меньшей, и сделали они в общей сложности 350 шагов. Второй раз Коля прошел вдоль большей стороны, а папа вдоль меньшей, и насчитали они всего 400 шагов. Найдите размеры участка, если длина шага папы – 75 см, а длина шага Коли – 50 см. Ответ: 150 м и 75 м. Решение. Пусть а – длина дачного участка (большая сторона), а b – ширина дачного участка, тогда количество шагов папы и Коли в первом случае равно: a b a b 350 , а во втором случае – 400 . Избавимся от знаменателей 75 50 50 75 в данных выражениях, получим: 2a 3b 52500, 3a 2b 60000 . Сложим почленно эти выражения: 2 a 3b 52500, 3a 2b 60000 5a 5b 112500, a b 22500 Выразим утроенную сумму сторон прямоугольника и вычтем результат первого выражения: 3a 3b 67500, 3a 3b 67500, 2a 3b 52500 , а 3a 2b 60000 a 15000 a 7500 Эти величины в метрах: 150 м и 75 м. Задача 8. Скоро зима. На дачном участке семьи Смекалкиных собран весь урожай. Пора готовить почву к весне. Папа Коли Смекалкина разделил весь участок, имеющий форму прямоугольника, на четыре части, три из которых с площадями 2 м 2 , 4 м 2 , 6 м 2 он уже вскопал. Найдите площадь четвертого невскопанного участка. Ответ: 12 см2. Решение. Так как верхние прямоугольники имеют общую сторону и площадь правого в 2 раза больше, то и его вторая сторона в 2 раза больше. Аналогично и вторая сторона правого нижнего прямоугольника будет больше стороны верхнего левого прямоугольника в 3 раза. А это означает, что площадь нижнего правого четырехугольника будет в 6 раз больше площади левого верхнего прямоугольника, то есть будет равна 12 см2. Поэтому площадь всего прямоугольника будет равна 24 см2. Задача 9. Утром, собираясь в школу, Коля Смекалкин нашел 1 чёрный и 1 серый носок. В ящике комода лежат 10 чёрных, 10 серых, 10 коричневых и 10 синих носков. Сколько носков необходимо достать Коле, не заглядывая в ящик, чтобы среди них обязательно нашлись, по крайней мере, ещё 1 чёрный и 1 серый носок? Ответ: 31 носок. Решение. Худший вариант: 10 синих + 10 коричневых + 10 чёрных + 1 серый = 31 носок. Задача 10. В выходной день Коля Смекалкин и его друзья отправились в парк. Анатолий прокатился на карусели один раз, Дмитрий – два раза, Виктор – три раза, Коля – четыре раза. Ольга каталась столько раз, сколько её брат, Полина – вдвое больше, Марина – втрое больше, а Татьяна – вчетверо больше, чем их братья. Всего эти 4 пары братьев и сестёр катались на карусели 32 раза. Как зовут сестру Коли Смекалкина? Ответ: Полина. Решение. По условию, мальчики прокатились на карусели 10 раз, тогда девочки – 22 раза. Это число является суммой произведений чисел 1, 2, 3, 4 на те же числа, но неизвестно, на какие именно. Так как это число чётное, то 2 и 4 можно умножить на любые из чисел 1, 2, 3, 4, а 1 и 3 — или оба на чётные числа, или оба на нечётные. Если их умножить соответственно на 3 и 1, то сумма этих произведений будет равняться 13 + 31 = 6 или 11 + 33 = 10. Сумма двух остальных произведений должна равняться 22 – 6 = 16 или 22 – 10 = 12. Первую сумму можно получить, если 2 умножить на 4, а 4 — на 2. Число 12 нельзя получить умножением чисел 2 и 4 на эти же числа ни в каком порядке. Если числа 1 и 3 умножить соответственно на 2 и 4, то сумма этих произведений будет равняться 12 + 34 = 14. Сумма двух остальных произведений равна 22 – 14 = 8. Её нельзя получить умножением 2 и 4 на 1 и 3. Из равенства 13 + 24 + 31 + 42 = 22, где первые множители равны количеству катаний мальчиков, а произведения равны количествам катаний их сестёр, следует, что Ольга прокатилась столько раз, сколько её брат Виктор, Полина – вдвое больше, чем Коля, Марина – втрое больше Анатолия, Татьяна – вчетверо больше своего брата Дмитрия, Коля брат Полины. Ответ: Полина. Задача 11. Помогите Коле Смекалкину разрезать по линиям сетки на равные части фигуру, изображённую на рисунке. Ответ: фигуру можно разделить на 2, 4, 10 и 20 равных частей. Решение.