Решения заданий 1 этапа.

Задания
Задача 1. В октябре Коле Смекалкину исполнилось 12 лет, а его учителю
математики Олегу Николаевичу – 42 года. Через сколько лет Коля будет вдвое
младше учителя?
Ответ: через 18 лет.
Решение. 1 способ. Арифметический.
1) 42 – 12 = 30 разница в возрасте.
2) 30  2 = 60 лет Олегу Николаевичу
3) 60 – 42 = 18
2 способ. Алгебраический
Пусть х – количество лет которое должно пройти, чтобы Олег Николаевич
был в 2 раза старше, тогда (12 + х) возраст Коли Смекалкина, (42 + х) возраст
Олега Николаевича. Учитывая условие задачи, составим уравнение:
2 12  x   42  x,
24  2 x  42  x,
x  42  24,
x  18
Задача 2. Ко дню рождения Олегу Николаевичу 20 учеников из пяти различных
классов собрали букет из 30 цветов. Ученики одного класса принесли по
одинаковому числу цветов, а из разных – по разному количеству цветов.
Сколько учеников подарили по пять цветов, если каждый принёс хотя бы один
цветок?
Ответ: один ученик.
Решение. Если взять по одному ученику из каждого класса (их будет 5), то
всего они принесли, по крайней мере, 15 цветов (1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15).
Следовательно, оставшиеся не более 30 – 15 = 15 цветов принесли остальные 20
– 5 = 15 учеников. Так как каждый ученик принёс хотя бы один цветок, то
осталось ровно 15 цветов и каждый из 15 учеников принёс ровно по одному
цветку. Таким образом, букет из пяти цветов подарил учителю один ученик.
Задача 3. Коля Смекалкин любит решать и придумывать задачи по математике,
поэтому ему требуется много тетрадей в клетку. В канцелярском магазине Коля
купил на 100 рублей тетради двух видов: по 7 рублей и по 12 рублей. Сколько
всего тетрадей купил Коля?
Ответ: 10 тетрадей.
Решение. Пусть Коля Смекалкин купил х тетрадей по 7 рублей и у тетрадей по
12 рублей, тогда на сто рублей он купит 7 x  12 y  100 , т.е. 4 тетради по 7
рублей и 6 тетрадей по 12 рублей, всего 10 тетрадей.
Задача 4. Для урока математики Коля Смекалкин вырезал из бумаги несколько
пятиугольников и шестиугольников. Всего у вырезанных фигур 37 вершин.
Сколько пятиугольников вырезал Коля?
Ответ: 5 пятиугольников.
Решение. У пятиугольника – 5 вершин, у шестиугольника – 6 вершин, пусть
Коля Смекалкин вырезал из бумаги n – пятиугольников и
m –
шестиугольников, тогда количество вершин у вырезанных фигур равно:
5n  6m  37 . Коля Смекалкин вырезал 5 пятиугольников и 2 шестиугольника.
Задача 5. Коля Смекалкин утверждает, что число 2015! оканчивается на 15
нулей. (Число п ! называется факториалом и равно произведению всех
натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. 2015!  1 2  3  ...  2014  2015 ).
Прав ли Коля?
Ответ: Коля Смекалкин не прав, 2015! оканчивается 502 нулями.
Решение. Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения
чисел 2 и 5 - других вариантов нет. Эти числа являются множителями, на
которые раскладываются перемножаемые в факториале целые числа. Очевидно,
множителей 5 будет меньше множителей 2. Значит, количество нулей
определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой
множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, ..., 2015 - всего их насчитывается
2015:5 = 403. Два множителя содержат числа 25, 50, ..., 2015, всего их 2015 : 25
– 80. Три множителя содержат 2015:125 – 16 чисел, а четыре – только три
числа. Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем
общее их количество: 403+80+16+3 = 502. Столько нулей в конце факториала.
Задача 6. Коля Смекалкин отметил на плоскости пять точек А, В, С, D и Е и
измерил некоторые расстояния. Оказалось, что АС = 5 см, AE = 4 см, ВС = 14
см, BD = 2 см, DE = 3 см. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и
CD.
Ответ: 3,5 см.
Решение. Так как BD + DE + EA + AC = BC, то
точки A, D и E лежат на отрезке ВС так, как это
показано на рисунке. Тогда AB = 9 см; CD = 12 см. Искомое расстояние можно,
например, вычислить так: середина отрезка АВ удалена от точки В на половину
длины АВ, то есть, на 4,5 см. Середина отрезка CD удалена от точки C на
половину длины CD, то есть, на 6 см. Следовательно, расстояние между
серединами отрезков AB и CD равно 14 – 4,5 – 6 = 3,5.
Для вычисления расстояния можно также рассмотреть координатный луч ВС и
воспользоваться координатными формулами середины отрезка и расстояния
между точками координатной прямой.
Задача 7. Коля Смекалкин и его папа измеряли шагами размеры дачного
участка. Первый раз папа прошел вдоль большей стороны участка, а Коля вдоль
меньшей, и сделали они в общей сложности 350 шагов. Второй раз Коля
прошел вдоль большей стороны, а папа вдоль меньшей, и насчитали они всего
400 шагов. Найдите размеры участка, если длина шага папы – 75 см, а длина
шага Коли – 50 см.
Ответ: 150 м и 75 м.
Решение. Пусть а – длина дачного участка (большая сторона), а b – ширина
дачного участка, тогда количество шагов папы и Коли в первом случае равно:
a
b
a
b

 350 , а во втором случае –

 400 . Избавимся от знаменателей
75 50
50 75
в данных выражениях, получим: 2a  3b  52500, 3a  2b  60000 . Сложим
почленно эти выражения:
 2 a  3b  52500,
3a  2b  60000
5a  5b  112500,
a  b  22500
Выразим утроенную сумму сторон прямоугольника и вычтем результат первого
выражения:
 3a  3b  67500,
 3a  3b  67500,
2a  3b  52500 , а 3a  2b  60000
a  15000
a  7500
Эти величины в метрах: 150 м и 75 м.
Задача 8. Скоро зима. На дачном участке семьи Смекалкиных
собран весь урожай. Пора готовить почву к весне. Папа Коли
Смекалкина разделил весь участок, имеющий форму
прямоугольника, на четыре части, три из которых с
площадями 2 м 2 , 4 м 2 , 6 м 2 он уже вскопал. Найдите площадь четвертого
невскопанного участка.
Ответ: 12 см2.
Решение. Так как верхние прямоугольники имеют общую сторону и площадь
правого в 2 раза больше, то и его вторая сторона в 2 раза больше. Аналогично
и вторая сторона правого нижнего прямоугольника будет больше стороны
верхнего левого прямоугольника в 3 раза. А это означает, что площадь нижнего
правого четырехугольника будет в 6 раз больше площади левого верхнего
прямоугольника, то есть будет равна 12 см2. Поэтому площадь всего
прямоугольника будет равна 24 см2.
Задача 9. Утром, собираясь в школу, Коля Смекалкин нашел 1 чёрный и 1
серый носок. В ящике комода лежат 10 чёрных, 10 серых, 10 коричневых и 10
синих носков. Сколько носков необходимо достать Коле, не заглядывая в ящик,
чтобы среди них обязательно нашлись, по крайней мере, ещё 1 чёрный и 1
серый носок?
Ответ: 31 носок.
Решение. Худший вариант: 10 синих + 10 коричневых + 10 чёрных + 1 серый =
31 носок.
Задача 10. В выходной день Коля Смекалкин и его друзья отправились в парк.
Анатолий прокатился на карусели один раз, Дмитрий – два раза, Виктор – три
раза, Коля – четыре раза. Ольга каталась столько раз, сколько её брат, Полина –
вдвое больше, Марина – втрое больше, а Татьяна – вчетверо больше, чем их
братья. Всего эти 4 пары братьев и сестёр катались на карусели 32 раза. Как
зовут сестру Коли Смекалкина?
Ответ: Полина.
Решение. По условию, мальчики прокатились на карусели 10 раз, тогда
девочки – 22 раза. Это число является суммой произведений чисел 1, 2, 3, 4 на
те же числа, но неизвестно, на какие именно. Так как это число чётное, то 2 и 4
можно умножить на любые из чисел 1, 2, 3, 4, а 1 и 3 — или оба на чётные
числа, или оба на нечётные. Если их умножить соответственно на 3 и 1, то
сумма этих произведений будет равняться 13 + 31 = 6 или 11 + 33 = 10.
Сумма двух остальных произведений должна равняться 22 – 6 = 16 или 22 – 10
= 12. Первую сумму можно получить, если 2 умножить на 4, а 4 — на 2. Число
12 нельзя получить умножением чисел 2 и 4 на эти же числа ни в каком
порядке. Если числа 1 и 3 умножить соответственно на 2 и 4, то сумма этих
произведений будет равняться 12 + 34 = 14. Сумма двух остальных
произведений равна 22 – 14 = 8. Её нельзя получить умножением 2 и 4 на 1 и 3.
Из равенства 13 + 24 + 31 + 42 = 22, где первые множители равны количеству
катаний мальчиков, а произведения равны количествам катаний их сестёр,
следует, что Ольга прокатилась столько раз, сколько её брат Виктор, Полина –
вдвое больше, чем Коля, Марина – втрое больше Анатолия, Татьяна – вчетверо
больше своего брата Дмитрия, Коля брат Полины. Ответ: Полина.
Задача 11. Помогите Коле Смекалкину разрезать по линиям
сетки на равные части фигуру, изображённую на рисунке.
Ответ: фигуру можно разделить на 2, 4, 10 и 20 равных частей.
Решение.