Урок 15. Обобщающий урок по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

Урок 15. Обобщающий урок по теме
«Параллельность прямых и плоскостей».
Слайд 1.
Сергеева Ирина Альбертовна
учитель математики
МБОУ СОШ № №36
Урок проводится в форме урока-погружения (не менее 90 минут), обеспечивающей повторение
учебного материала, контроль знаний учащихся, их коррекцию.
Урок разбит на 4 блока:
1. Аксиомы стереометрии
2. Взаимное расположение прямых в пространстве.
3. Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости.
4. Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей.
Каждый блок состоит из учебных элементов (УЭ). УЭ — это последовательные шаги, алгоритм
работы учащихся, с которым школьник работает непосредственно:
1. повторение теории
2. тесты (теория)
3. решение задач
Ученики выполняют задания, составленные учителем, с той степенью понимания, осмысления и
запоминания, которое соответствует индивидуальным возможностям школьника.
Урок дает возможность определить уровень усвоения материала и быстро выявить пробелы в
знаниях, создает условие для мотивации, повышения интереса к предмету, способствует развитию и
совершенствованию самостоятельной деятельности учащихся; обеспечивает непрерывное
образование и устраняет перегрузку домашнего задания.
У учащихся есть возможность:
- работать самостоятельно с дифференцированной программой;
- вернуться к учебному материалу, если в этом есть необходимость;
- получить консультацию и дозированную персональную помощь от учителя или соседа по парте.
На уроке создается комфортная обстановка
- индивидуальный темп (для сильных учащихся предлагаются дополнительные задачи),
- «мягкий» контроль (проверка работы товарищем, с помощью слайда).
Учащиеся развивают личностные качества школьника (самостоятельность; умение ставить цели,
планировать, организовывать и оценивать свою деятельность). Для самостоятельной оценки
деятельности учащимся предлагаются критерии. С помощью которых, ученики подсчитывают свои
баллы, и после 4 блока, выставляют себе оценку самостоятельно. Во время самостоятельной
работы учитель проверяет объективность выставленных оценок.
Четкая структура урока, дает учителю возможность «видеть» весь класс, работать индивидуально с
каждым учеником, оказывать помощь отстающим.
Результат — повышение качества обученности учащихся.
Роль преподавателя на уроке заключается в управлении процессом обучения, консультировании,
помощи и поддержке учеников.
Цели урока:
1. Общеобразовательные:
 организовать работу учащихся по систематизации знаний основных теоретических вопросов
темы;
 закрепить и углубить знания и умения учащихся применять аксиомы стереометрии, следствия из
аксиом, теоремы о параллельности прямых, прямой и плоскости, параллельности плоскостей.
2. Развивающие:
 создать условия для развития познавательной активности учащихся, познавательного интереса к
предмету;
 развивать навыки самостоятельной деятельности учащихся;
 развивать навыки самоконтроля;
 развивать активности учащихся,
 формировать учебно-познавательных действий, коммуникативных, исследовательских навыков
учащихся, умение анализировать и устанавливать связь между элементами темы.
3. Воспитательные:
 создать условия успешности ученика на уроке;
 воспитывать культуру умственного труда; способность к самоанализу, рефлексии;
 развивать умение рецензировать и корректировать ответы товарищей.
 воспитывать умение критически относиться к результатам деятельности;
обеспечить гуманистический характер обучения;
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал, презентация.
План урока
1. Организационная часть – постановка целей и задач урока – 1 минута.
2. Мотивационная – разъяснение необходимости решения задач данного цикла в реальной ситуации
– 1 минута.
3. Погружение.
- Актуализация опорных знаний (повторение теории, доказательство теорем) – 5+5+5+15=30 мин.
- Закрепление полученных знаний (тесты, задачи). 10+10+9+11 =40 минут.
по блокам
4. Контроль полученных знаний. Выполнение самостоятельной работы – 15 минут.
5. Рефлексия. Подведение итогов – 2 минуты.
6. Домашнее задание – 1 минута.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Сегодня мы с вами должны подняться ещё на одну ступеньку вверх, «преодолевая» задачи,
которые будут рассматриваться на уроке. Сегодня мы начинаем повторение темы
«Параллельность прямых и плоскостей в пространстве». Наша задача вспомнить все, что мы
знаем по этой теме.
Учащиеся самостоятельно формулируют задачи урока.
2. Мотивационный момент
Мы должны закрепить и углубить наши знания по этой теме.
Эти знания пригодятся нам для решения практических задач, для успешной сдачи ЕГЭ.
Вы должны научиться анализировать и устанавливать связь между элементами темы. Развить
свою активность, сформировать учебно - познавательные действия, коммуникативные навыки.
Хотелось бы создать условия вашей успешности на уроке; чтобы вы проявили способность к
самоанализу, рефлексии, умение рецензировать и корректировать ответы товарищей. А каковы
пути и средства достижения этих целей?
Домашнее задание к сегодняшнему уроку заключалось в том, чтобы вы повторили пункты 1- 12,
просмотрели и еще раз разобрали задачи, которые мы решали в этих пунктах для обобщения и
закрепления темы «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве».
У вас на столах лежат: памятки для работы на уроке - листы самоконтроля, в них вы сами
оцениваете свои знания и работу на каждом этапе урока. Эти листы помогут организовать
повторение на последующих уроках.
Блок 1. Аксиомы стереометрии
Цели блока:
- повторить аксиомы стереометрии и применение их при решении задач домашнего задания;
следствия из аксиом;
- закрепить умение применять аксиомы стереометрии и следствия из аксиом при решении задач;.
Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.
Учащиеся вспоминают учебный материал (при необходимости пользуются учебником) и
составляют опорный конспект.
1. Сформулируйте три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей.
1. Аксиомы стереометрии
Чертеж
Слайд 2.
•
•
•
(Учащиеся составляют таблицы).
Аксиома
С1: Какова бы ни была плоскость, существуют точки,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Слайд 3.
С2: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Слайд 4.
С3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них
можно провести плоскость, и притом только одну.
•
В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:
а) разъяснить содержание аксиом и иллюстрировать на модели;
б) чтение учащимися текста аксиом;
в) выполнение чертежа;
г) запись содержания с помощью символов.
2. Как формулируются следствия из этих аксиом?
Следствия из аксиом стереометрии.
Чертеж.
Слайд5
.
Слайд6
•
Слайд7
Слайд 8
•
•
Формулировка.
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно
провести плоскость, и притом только одну
•
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая
принадлежит этой плоскости.
•
Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести
плоскость, и притом только одну.
Через две параллельные прямые можно провести плоскость и
притом только одну.
После обсуждения теоретических вопросов закрепление полученных знаний.
Задание 1.
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
Учащиеся самостоятельно выполняют задание (проверяем по слайду – Слайд 9.)
Способы задания плоскостей.
Способы задания плоскостей
Рисунок
I. По трем точкам
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.
- Сколько существует способов задания плоскости?
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, сверяясь со слайдом 9
Критерии:
всё правильно – 3 балла,
1 ошибка– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
- Почему штатив фотоаппарата имеет три ножки, а не более? (Через три точки можно провести
единственную плоскость)
Задание 2.
Ответьте на вопросы
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?
а)
б)
г)
д)
в)
е)
Ответы: а),б), в), г)- одна; д) – 2: е) - 3
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение по чертежу на слайде. Слайд 10.
Критерии:
всё правильно – 3 балла,
1 ошибка– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 3 Определите: верно, ли утверждение?
1. Любые три точки лежат в одной плоскости.
2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
4. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости
треугольника.
5. Пять точек не лежат в одной плоскости. Могут ли какие – нибудь четыре из них
лежать на одной прямой?
6. Через середины сторон квадрата проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью
квадрата?
Да
Нет
Нет
Да
Нет
Да
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение, сверяясь со слайдом 11.
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1 ошибка – 2 балла,
2 ошибки – 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 4 (3 балла) Три вершины параллелограмма лежат в некоторой плоскости. Можно ли
утверждать, что и его четвертая вершина лежит в этой плоскости?
В
С
А
D
Дано: А, В, С  α
Доказать: D  α
Доказательство:
А, В  АВ, С,D  СD, АВ  СD,  АВ, СD  α  D  α
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, сверяясь со слайдом 12.
Задание 5 - дополнительное (4 балла) Докажите, что все вершины четырехугольника АВСD
лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.
Вычислите площадь четырехугольника, если АС ⊥ ВD, АС = 10см, ВD = 12см.
Доказательство:
АС  ВD   α: АС  α, ВD  α
А, С  АС, В, D  ВD  А, С  α; В, D  α.
Решение
1
В
А
О
D
1
1
1
SАВСD = SАВD+ SВСD= 2 АО•ВD + 2 СО•ВD = = 2 ВD (АО + СО) = 2 ВD•АС =
С
1
= 2 •10•12 = 60 см2
Ответ: 60 см2
Блок– 2. Параллельные прямые в пространстве.
Цель блока:
- повторить и обобщить знания по теме параллельные прямые в пространстве;
- систематизировать полученные знания.
Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.
Учащиеся вспоминают учебный материал (при необходимости пользуются учебником) и
составляют опорный конспект.
- Взаимное расположение в пространстве двух прямых. Слайд 13.
а
а в
в
в
а
а в
а в
а и в скрещивающиеся
- Какие прямые в пространстве называются параллельными? (Две прямые в пространстве
называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются)
- Сформулируйте признак параллельности прямых в пространстве. (Две прямые, параллельные
третьей прямой, параллельны).
- Сформулируйте свойство параллельных прямых в пространстве. (Через точку вне данной
прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну)
- Какие прямые в пространстве называются параллельными? (Две прямые в пространстве
называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не пересекаются)
Один ученик доказывает признак параллельности прямых в пространстве (Слайд 14), второй
ученик доказывает свойство параллельных прямых в пространстве (Слайд 15) по чертежу на
слайде.
После обсуждения теоретических вопросов закрепление полученных знаний.
Задание 1 Вставьте пропущенные слова (Слайд 16)
1) Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они … на одной прямой. (не
лежат)
2) Если … точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. (две)
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую … (прямую)
4) Прямые являются … в пространстве, если они не пересекаются и … в одной плоскости.
(параллельными,лежат)
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
В  а, то прямые а и b …(скрещивающиеся)
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение, сверяясь со слайдом 16
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1 ошибка– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?
1. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости
треугольника.
2. Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
Нет
Нет
3. Прямая m параллельна прямой n, прямая m параллельна плоскости α. Прямая n
параллельна плоскости α.
4. Все прямые пересекающие стороны треугольника лежат в одной плоскости.
5. Прямая АВ и точки С, D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и СD
пересекаться?
6. Прямые АВ и СD пересекаются. Могут ли прямые АС и ВD быть скрещивающимися?
7. Прямые а и в не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную
прямым а и в?
8. Прямая а, параллельная прямой в, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой
в. Может ли прямая с лежать в плоскости α?
9. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли на плоскости α прямые,
непараллельные а?
Да
Да
Нет
Нет
Нет
Нет
Да
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, сверяясь со слайдами 17, 18
Критерии:
всё правильно – 3 балла,
1, 2 ошибки– 2 балла,
3,4 ошибки– 1 балл,
более 4 ошибок – 0 баллов.
Задание 3 Тест.
1.Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Что можно сказать о прямых а и b?
а) взаимное расположение точно определить нельзя; +
б) скрещиваются или параллельны;
в) параллельны или пересекаются;
г) совпадают;
д) пересекаются или скрещиваются.
2. Выберите верное утверждение.
а) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек;
б) две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны; +
в) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны;
3. Прямая а, параллельная прямой b, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой b, тогда:
а) прямые а и с пересекаются;
б) прямая с лежит в плоскости α;
в) прямые а и с скрещиваются;
г) прямая b лежит в плоскости α;
д) прямые а и с параллельны. +
4. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести
плоскость, параллельную прямой b?
а) скрещиваются или пересекаются;
б) пересекаются или параллельны;
в) скрещиваются или параллельны; +
г) только скрещиваются;
д) только параллельны.
5. Если две прямые не скрещиваются, то они
а) лежат в одной плоскости; +
б) только пересекаются;
в) совпадают;
г) только параллельны.
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение.
Критерии:
всё правильно – 3 балла,
1 ошибка– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 4 Задача (3 балла)
А
С
А1
В
С1
α
Дано: ВС=АС,
СС1 АА1,
АА1=22 см
Найти: СС1
Решение:
АА1СС1, АС = ВС  С1– середина А1В (по т.Фалеса) 
С С1- средняя линия ∆АА1В 
1
С С1= 2АА1 = 11 см
Ответ: 11см.
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение, сверяясь со слайдом 19.
Задание 5 - дополнительное Задача (4 балла)
Отрезок АВ не пересекается с плоскостью α. Через концы отрезка АВ и его середину точку М
проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А1, В1 и М1.
а) Докажите, что точки А1, В1 и М1 лежат на одной прямой.
б) Найдите АА1, если ВВ1 = 12см, ММ1= 8см.
Решение.
а)АА1ВВ1 через них можно провести плоскость β.
А, В  β  АВ  β, М  АВ  М  β, ММ1ВВ1
М М1  β, β  α = А1 В1 М1  А1 В1
б) АА1ВВ1 АА1В1В – трапеция
М – середина АВ, ММ1ВВ1
М1– середина А1В1 (по т.Фалеса) 
М М1- средняя линия трапеции 
1
М М1= 2(АА1+ ВВ1) = 10 см
В
М
А
А1
М1
В1
α
Ответ: 10 см
Блок – 3. Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости.
Цель блока:
- повторить и обобщить знания по теме взаимное расположение в пространстве прямой и
плоскости;
- систематизировать полученные знания.
Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.
Учащиеся вспоминают учебный материал (при необходимости пользуются учебником) и
составляют опорный конспект.
- Взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости. (Слайд 20.)
а
а
α
аα
α
а  α
аα
- Какие прямая и плоскость называются параллельными? (Прямая и плоскость называются
параллельными, если они не пересекаются)
- Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости в пространстве. (Если прямая,
не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости,
то она параллельна самой плоскости.)
Ученик доказывает признак параллельности прямой и плоскости в пространстве по чертежу на
слайде (Слайд 21, 22.) .
После обсуждения теоретических вопросов закрепление полученных знаний.
Задание 1 Тест. Учащиеся получают задание и выполняют его самостоятельно.
1. Прямые а и b параллельны одной плоскости . Как расположены прямые а и b относительно друг
друга?
а) параллельны +
б) пересекаются +
в) скрещиваются +
2. Прямые а и b параллельны. Через каждую из них проведено по плоскости, которые пересекаются
по прямой с. Как расположена прямая с по отношению к прямым а и b?
а) параллельно +
б) пересекает
в) перпендикулярно
3. Прямая а лежит в плоскости. Как расположена относительно плоскости прямая b, если b
параллельна а?
а) перпендикулярно
б) параллельно +
в) пересекает
4. Сколько плоскостей можно провести через две данные точки?
а) одну
б) две
в) много +
5. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая прямая
а) параллельна плоскости
б) пересекает плоскость +
в) перпендикулярна плоскости
7. Точка А принадлежит плоскости α, точка В не принадлежит плоскости α. Принадлежит ли
плоскости середина отрезка АВ.
а) да
б) нет +
в) не всегда
8. Прямая а параллельна прямой в, а прямая в параллельна плоскости . Взаимное расположение
прямой а и плоскости .
а) параллельны +
б) пересекаются
в) скрещиваются
г) совпадают +
Учащиеся выполняют тест. Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга,
ученики по очереди устно объясняют свое решение.
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1, 2 ошибки– 2 балла,
3, 4 ошибки– 1 балл,
более 3 ошибок – 0 баллов.
Задание 2 (3 балла)
а
Дано: а  α
а Вβ; β ∩ α = в
Доказать: а  в
в
α
Доказательство:
а, в  β
Пусть в ∩ а, тогда а ∩ α, что
противоречит условию.
Значит в II а
β
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение, сверяясь со слайдом 23
В
Задание 3 (3 балла) Плоскость проходит через сторону АС  АВС. Точки D и E - середины
отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE  α.
В
Доказательство:
D
1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 
Е
А
2. DE – средняя линия (по определению)  DE АС (по свойству)
α
С
 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение, сверяясь со слайдом 24.
Задание 4
(3 баллов) - дополнительное
В
Плоскость проходит через основание АD трапеции
Доказательство:
АВСD. Точки Е и F - середины отрезков АВ и СD
соответственно. Докажите, что EF  α
Точки Е и F - середины отрезков АВ и СD 
В
EF – средняя линия трапеции 
A
С
Е
EF  АD  EF  α (по признаку параллельности прямой
и плоскости).
F
A

С
D
Задание 5 (4 баллов) - дополнительное
А
6см
7см
В
С
D
α
Дано: АВ α ; АВ = 7 см
АВК ∩ α = СD; АС = 6 см, СК = 8 см
Найти: СD
Решение: Пусть СD = х
АВ α  АВ СD
∆КСD  ∆КАВ (по двум углам)
АВ
8см
СD
К
7
х
=
х=
АК
= КС
14
8
7•8
14
х = 4 см Ответ: 4 см.
Блок – 4. Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей. (Слайд 26.)
Цель блока:
- повторить и обобщить знания по теме взаимное расположение в пространстве двух плоскостей;
- систематизировать полученные знания.
Актуализация опорных знаний. Проведем теоретическую разминку.
Учащиеся вспоминают учебный материал (при необходимости пользуются учебником) и
составляют опорный конспект.
- Взаимное расположение в пространстве двух плоскостей. (Слайд 25.)
α
α
β
α и β - совпадают
β
α  β
β
αβ
- Какие плоскости называются параллельными? (Две плоскости называются параллельными,
если они не пересекаются)
- На практике в столовой, где встречаетесь с параллельными плоскостями? (Нарезка хлеба, при
нарезке хлеба плоскость ножа остается в параллельных плоскостях. Газовая плита и кастрюли
стоящие на ней. Плоскость газовой плиты должна быть параллельна плоскости пола (т.к.
горизонтальной). Если это не будет выполнятся, жидкость из кастрюли будет выливаться.)
- Сформулируйте признак параллельности плоскостей в пространстве. (Если две
пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.)
- Сформулируйте теорему о существовании плоскости, параллельной данной плоскости. (Через
точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только
одну.)
Ученики доказывают признак параллельности плоскостей в пространстве (Слайд 26.), теорему о
существовании плоскости, параллельной данной плоскости (Слайд 27, Слайд 28) по чертежу на
слайде
- Сформулируйте свойства параллельных плоскостей.
1. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то прямые пересечения параллельны.
2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
По чертежу на слайдах 29, 30 два ученика доказывают свойства параллельных плоскостей.
После обсуждения теоретических вопросов закрепление полученных знаний.
Задание 1 Тест. Учащиеся получают задание и выполняют его самостоятельно.
1. Плоскость α параллельна прямой в, а прямая в параллельна плоскости . Взаимное
расположение плоскостей α и .
а) параллельны +
б) пересекаются +
в) совпадают +
2. Плоскость  пересекает плоскости α и β по параллельным прямым а и в. Взаимное расположение
плоскостей α и β.
а) параллельны +
б) пересекаются +
в) совпадают
3. Каждая из плоскостей α и β параллельна плоскости . Взаимное расположение плоскостей α и β.
а) параллельны +
б) пересекаются
в) совпадают
4. Каждая из плоскостей α и β параллельна прямой а. Взаимное расположение плоскостей α и β.
а) параллельны +
б) пересекаются +
в) совпадают +
Учащиеся выполняют тест. Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга,
ученики по очереди устно объясняют свое решение.
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1 ошибки– 2 балла,
2 ошибки– 1 балл,
более 2 ошибок – 0 баллов.
Задание 2 Верно ли, что
1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.
2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в одной плоскости, параллельна другой
плоскости?
3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны?
4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она
перпендикулярна и другой плоскости.
5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью,
параллельны.
6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то она пересекает и другую.
7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.
Да
Нет
8. Отрезки прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Нет
Нет
Да
Да
Нет
Да
Учитель проверяет выполнение работы, обмениваются решениями и проверяют работы друг
друга, сверяясь с экраном.
(Слайд 31).
Критерии:
Всё правильно – 3 балла,
1, 2 ошибки– 2 балла,
3, 4 ошибки– 1 балл,
более 4 ошибок – 0 баллов.
Задание 3 Задача 1. (3 балла) Через данную точку А провести плоскость, параллельную
данной плоскости α, не проходящей через точку А.
А
β
D
α
С1
D1
В
С
Решение.
1. В плоскости α возьмем т. В.
2. Проведем прямые ВС и ВD.
3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую
ВD, в ней проведем прямую АD1 ВD.
4. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую
ВС, в ней проведем прямую АС1 ВС.
5. Через прямые АD1 и АС1 проведем плоскость β
Так как в плоскости АВС через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную ВС, а
в плоскости АВD через точку А лишь одну прямую, параллельную BD, то задача имеет
единственное решение. Следовательно, через каждую точку пространства можно провести
единственную плоскость, параллельную данной плоскости.
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение, сверяясь со слайдом 32.
Задание 4 Задача 2. (3 балла) Доказать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых
можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
вА в1
Пусть а скрещивается с в. На прямой в возьмем т. А, через прямую а и т. А
проведем плоскость, в этой плоскости через т. А проведем прямую в1 , в1  в.
Через в1  в проведем плоскость α. Аналогично строим плоскость β. По
признаку параллельности плоскостей α  β.
β
а
а1
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг друга, ученики по очереди объясняют
свое решение, сверяясь со слайдом 33.
Задание 5- дополнительное. Задача 3. (4 балла) Через данную прямую а провести плоскость,
параллельную другой данной прямой b.
α
А
а
в1
в
Решение.
1-й случай. Прямые а и b не параллельны.
Через какую нибудь точку А прямой а проводим прямую b1,
параллельную b ;
через прямые а и b1 проводим плоскость. Она и будет искомой.
Задача имеет в этом случае единственное решение.
2-й случай. Прямые а и b параллельны.
В этом случае задача неопределенна: всякая плоскость, проходящая через прямую а, будет
параллельна прямой b.
Учащиеся подсчитывают свои баллы и выставляют себе оценки.
Критерии:
35 – 46 баллов - 5,
24 - 34 баллов - 4,
9 – 23 баллов - 3.
Тетради сдаются учителю для коррекции оценок. Учащиеся в это время выполняют
самостоятельную работу.
3. Контроль знаний и способов действий
Самостоятельная работа
Задание общее, выполняется на подготовленных подписанных листочках.
1. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие ее
основания, плоскость α? (Нет, т.к. средняя линия трапеции параллельна основаниям. Если
прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой
плоскости, то она параллельна самой плоскости - признак параллельности прямой и плоскости в
пространстве.)
2. Докажите, что если данная прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она
параллельна линии их пересечения
в
α
А
.
β
а
•
Доказательство:
α  β = а, в α, в  β.
Возьмем точку А а.
Через А и в проведем плоскость .
α   = а, т.к. имеют общую точку А.
в α  в а
Точка В не лежит в плоскости  АDC, точки М, P, N
– середины сторон АВ, ВС,ВD соответственно.
B
M
а) Докажите, что
плоскости МРN и АCD
параллельны.
б) Найдите площадь  МPN,
N если площадь  АСD равна
48 см2.
P
C
A
3.
D
Доказательство:
а сторон АВ, ВD, ВС 
M, P, N - середины
MP, PN – средние линии AВD, DВC 
а
MP  AD, N P  DС, MP PN, АD  DС 
(MPN) ( ADC) по признаку параллельности плоскостей.
Решение:
NP = 0,5 DC, MN = 0,5 АC,MP = 0,5 АD (по свойству
средней линии) 
 MPN   ADC (по трем сторонам), k = 0,5
𝑆𝑀𝑁𝑃
= k2 , 𝑆𝑀𝑁𝑃 = 0,25 𝑆𝐴𝐷𝐶 = 12 см2
𝑆
𝐴𝐷𝐶
Ответ: 12 см2.
Тем временем учитель проверяет работы учащихся и выставляет оценки. Оценки за
самостоятельную работу объявляются на следующем уроке.
4. Подведение итогов урока.
Молодцы! Трудились с полной отдачей, ощутили радость своего труда.
Оценки получили: «5» - …, «4» - …, «3» - ….
5. Рефлексия.
У каждого ученика в начале урока лежали на столах смайлики. В конце урока они сдают
учителю тот смайлик, который соответствовал их настроению.
Мне всё понятно. Вопросов нет.
Мне ничего не понятно.
У меня есть вопросы.
Перед вами лежат смайлики. Если у вас на уроке все получалось правильно, если остались от
урока положительные эмоции, урок был интересным, то поднимите радостный смайлик. Если вы
таскали тяжёлые камни, если всё было не понятно, то поднимите плачущий смайлик, если в
течение урока вы добросовестно выполняли свою работу, но у вас возникали проблемы –
поднимите читающий смайлик.
Оцените свою активность на уроке по шкале от 0-5.
6. Задание на дом.
Домашнее задание зависит от качества работы на уроке. Если ученик отработал все учебные
элементы и набрал максимальное количество баллов, то ему нет необходимости выполнять
домашнее задание. Если же в ходе классной работы допускались ошибки, то рекомендуется
повторить тот или иной учебный материал и решить оставшиеся задачи.
Список литературы
1. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. - М.: ЮНИТИДАНА, 1998. - 344с.
2. Голощёкина Л.П., Збаровский B.C. Модульная технология обучения: Методические
рекомендации. - СПб: ЮНИТИ-ДАНА, 1993. - 135с.
3. Изучение геометрии 10-11 кл.: книга для учителя / С.М.Саакян, В.Ф. Бутузов. – М.:
Просвещение, 2010.
4. Алтынов П.И. Геометрия. 10-11 класс. Тесты. 2001
5. Шарапова В.К. Тематические тесты по геометрии: 10-11 классы, Феникс, 2007
6. Лаппо Л.Д., Морозов А.В. Геометрия. Типовые вопросы и задачи – М.: «Экзамен», 2008.
7. Геометрия 10 класс. Составители Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. – Волгоград, «Учитель», 2002.