дистанционная олимпиада по матем 10 классx

Дистанционная олимпиада по математике 10 класс (II тур)
Задача №1
Пусть m и n – количество цифр в числах 21971 и 51971. Тогда 10m–1 < 21971 < 10m, 10n–1 < 51971
< 10n. Отсюда 10m+n–2 < 101971 < 10m+n, следовательно, m + n = 1972.
Ответ: выписано 1972 цифры.
Задача №2
(x-1)(x-3)(x+5)(x+7)=297
(x-1) (x+5) (x-3) (x+7)=297
(x2+4x-5)(x2+4x-21)=297
Заметив общую часть, заменим ее неизвестным:
X2+4x= a
(a-5)(a-21)=297
a2-26a-192=0
D=262+4*192=1444
a1=
26+√1444
2
=32;
a2=
26−√1444
2
= -6
x2+4x=32
x2+4x=-6
x2+4x-32=0
x2+4x+6=0
D=16+128=144
X1=
X2=
−4−12
2
−4+12
2
= -8
D=16-24=-8
Нет корней
=4
Ответ: 4;-8
Задача №3
Найти некоторое четырехзначное число abcd кратное 7 и представляющие собой сумму
куба и квадрата некоторого целого числа.
Решение:
Допустим, что t – это некоторое число, тогда искомое будет равняться t2+t3. Разложим на
множители: t*t*(t+1), тогда, чтобы все число делилось на 7, каждый множитель должен
делиться на 7.
Чтобы некоторое число было четырехзначным, t должно быть двухзначным.
Первое подходящее число – 13, т.к. 13+1 делиться на 7. 132+133= 2366; 2366/7 = 338.
Второе – 14, т.к. 14 делиться на 7. 142+143= 2940; 2940/7 = 420.
Третье – 20, 20+1 делиться на 7. 202+203 = 8400; 8400/7 = 1200.
Четвертое – 21, 21 делиться на 7. 212+213 = 9702; 9702/7 = 1386.
Далее, к условию подходит число 27, но 272+273 = 17496. Оно пятизначное, что не
удовлетворяет условию.
Ответ: 2366,2940,8400,9702.
Задача №4
1
Зная, что x2+x+1=0, определить x14 + 𝑥 14
Разделим уравнение x2+x+1=0 на x:
𝑥2
𝑥
𝑥
1
+𝑥+𝑥=0
1
x+1+𝑥 = 0
1
x+ 𝑥 = -1
Умножим уравнение x2+x+1=0 на x:
x3+x2+x=0
x3=-(x2+x)=1 т.к. из уравнения x2+x+1=0 выражаем 1; 1=-(x2+x)
Мы знаем, что x3=1, поэтому:
1
1
1
x14 + 𝑥 14 = (x3)4x2+(𝑥 3 )4 𝑥 2 = 14x2 + 14 x2
1
1
𝑥
1
(x + 𝑥)2 = x2 + 2*𝑥x + 𝑥 2 = x2+𝑥 2 -2
1
1
X2+𝑥 2 = (x + 𝑥)2- 2 = 1-2=-1
Ответ: -1
Задача №5
Дано:
y=
2𝑥 2 +6𝑥+6
𝑥 2 +4𝑥+5
Найти: унаиб -? и yнаим - ?
Решение:
1. Выделяем целую часть
y=
2𝑥 2 +6𝑥+6
𝑥 2 +4𝑥+5
𝑥 2 +3𝑥+3
𝑥+2
= 2 𝑥 2 +4𝑥+5 = 2(1 − 𝑥 2 +4𝑥+5)
2. Раскрываем скобки
𝑥+2
2𝑥+4
2(1 − 𝑥 2 +4𝑥+5) = 2 - 𝑥 2 +4𝑥+5
3. Исследуем полученную функцию
1. Числитель всегда меньше или равен знаменателю.
Когда они равны по модулю:
2x+4 = x2+4x+5
x2+4x+5 = -2x-4
X2+2x+z = 0
x2+6x+9 = 0
(x+1)2 = 0
(x+3)2 = 0
X = -1
x = -3
2. Возможно два случая развития функции:
y=2–1=1
2𝑥+4
y = 2 +1 = 3 т.к.максимальное и минимальное значения дроби 𝑥 2 +4𝑥+5 1 и -1
т.е максимальное значение функции - 3, минимальное - 1.
Ответ: у(наим)=1, у(наиб)=3
Задача №6
Доказать, что в круге радиусом 10 нельзя поместить 400 точек так, чтобы расстояние
между каждыми двумя было больше 1.
Доказательство:
Допустим, что вместо круга мы имеем квадрат со сторонами 20 см.
Тогда, максимально количество точек,
помещающихся в этот квадрат – 400 (если расстояние
между ними будет равно 1).
Вписав в него круг, радиусом 10 см, некоторое
количество точек окажутся за окружностью ( как
минимум 4, находящиеся на вершинах квадрата). В
итоге получаем, что в круг радиусом 10 см, нельзя
вписать точек так, чтобы расстояние между каждыми
двумя было больше 1.
20 см
Задача № 7
Дано: a>b>0
Среднее арифметическое:
𝑎+𝑏
2
Среднее геометрическое: √𝑎𝑏
Доказать:
𝑎+𝑏
2
− √𝑎𝑏 является числом, находящимся между чисел
Решение:
1.
𝑎+𝑏
2
− √𝑎𝑏 =
(√𝑎 −√𝑏)
2
2
(𝑎−𝑏)2
8𝑎
и
(𝑎−𝑏)2
8𝑏
2. Если
(√𝑎 −√𝑏)
2
(𝑎−𝑏)2
больше
2
8𝑎
, то
(𝑎−𝑏)2
8𝑎
(√𝑎 −√𝑏)
−
2
2
<0
3. Доказываем:
(𝑎−𝑏)2
(√𝑎 −√𝑏)
−
8𝑎
2
=
2
2
4𝑎(√𝑎−√𝑏)2 −(𝑎−𝑏)2
8𝑎
2
(√𝑎−√𝑏) (4𝑎−(√𝑎+√𝑏) )
8𝑎
2
2
=
4𝑎(√𝑎−√𝑏) −((√𝑎−√𝑏)(√𝑎+√𝑏))
8𝑎
2
=
(√𝑎−√𝑏) (3𝑎−𝑏−2√𝑎𝑏)
8𝑎
2
=
2
=
(√𝑎−√𝑏) (𝑎−𝑏)+2√𝑎(√𝑎−√𝑏)
8𝑎
>0, так как
(√𝑎 − √𝑏) > 0, (𝑎 − 𝑏) > 0 √𝑎(√𝑎 − √𝑏)>0 и 8𝑎 >0 (следует из условия a>b>0).
4. Если
(√𝑎 −√𝑏)
2
меньше
2
(𝑎−𝑏)2
8𝑏
, то
(𝑎−𝑏)2
8𝑏
−
(√𝑎 −√𝑏)
2
2
>0
5. Доказываем:
(𝑎−𝑏)2
−
8𝑏
(√𝑎 −√𝑏)
2
2
2
=
(𝑎−𝑏)2 −4𝑏(√𝑎−√𝑏)2
8𝑏
2
(√𝑎−√𝑏) (−4𝑏+(√𝑎+√𝑏) )
8𝑏
2
=
2
((√𝑎−√𝑏)(√𝑎+√𝑏)) −4𝑏(√𝑎−√𝑏)
8𝑏
=
2
=
(√𝑎−√𝑏) (𝑎−𝑏)+2√𝑏(√𝑎−√𝑏)
8𝑏
>0
Задача №9
Доказать, что:
Cosα + cos (72⁰+α) + cos (144⁰+α) + cos (216⁰+α) + cos (288⁰+α)
Не зависит от α.
Решение:
1. Сложим первое слагаемое со вторым, и третье слагаемое с четвертым:
Cosα + cos (72⁰+α) + cos (144⁰+α) + cos (216⁰+α) + cos (288⁰+α) = 2cos (α+36⁰)*cos 36⁰ 2cosα*cos36⁰+ cos (288⁰+α) = 2cos36⁰ (cos (α+36⁰) – cos α) + cos (288⁰+α) = 2cos36⁰ (-2sin
(α+18⁰)*sin18⁰) + cos (288⁰+α) = -4sin18⁰*cos36⁰*sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) .
2. Пользуясь формулой, sin2x = 2sinx*cosx, вычисляем:
-(
2∗2sin18⁰∗cos36⁰∗cos18⁰
) *sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) =-
𝑐𝑜𝑠18⁰
(288⁰+α) =
(288⁰+α) = -
sin72⁰
2sin36⁰∗cos36⁰
- 𝑐𝑜𝑠18⁰ *sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) = cos 18⁰
cos 18⁰
𝑐𝑜𝑠18⁰
sin(900 −180 )
cos 18⁰
*sin (α+18⁰) + cos
*sin (α+18⁰) + cos
*sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) = -sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α).
3. -sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) = -sin (α+18⁰) + cos (270⁰+18⁰+α) = -sin (18⁰+α) + sin (18⁰+α)
=0
Задача №10
I способ
Занявшие четыре последних места, сыграли друг с другом 6 партий, разделив между
собой 6 очков. Поэтому, у шахматиста, занявшего второе место, не может быть менее
шести очков.
Докажем, что и более шести очков у него быть не может. Действительно, 7 очков у него
может быть только в одном случае: если он выиграл у всех игроков, занявших более
низкие места, и не проиграл победителю. Но тогда количество очков победителя турнира
будет не больше, чем у шахматиста занявшего второе место.
Следовательно, шахматист на втором месте набрал ровно 6 очков, значит, игроки,
занявшие четыре последних места, проиграли все партии игрокам, занявшим места выше
них.
Ответ. Выиграл шахматист, занявший третье место.
II способ
Решение: Для начала нужно посчитать количество сыгранных партий и очков.
Каждый игрок сыграл по 7 партий, т.е. победитель мог набрать максимум 7 очков; тогда
игроки, занявшие каждое последующее место, набрали на одно очко меньше предыдущего.
1-е место – 7 очков
2-е место – 6 очков
3-е место – 5 очков
4-е место – 4 очка
5-е место – 3 очка
6-е место – 2 очка
6 очков
7-е место – 1 очко
8-е место – 0 очков
Именно в таком случае, шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько
четыре последних вместе. Тогда шахматист, занявший 3-е место, набрал 5 очков, а 7-е место
– 1 очко.
Ответ. Выиграл шахматист, занявший третье место.
Выполнила
Фамилия Акчурина
Имя Сабина
Отчество Ильдаровна
Класс 10
Школа МОБУ СОШ №2
Село Киргиз-Мияки
Район Миякинский
Ф.И.О. Хафизова Раушания Хамитовна