2.1 Изучение распределения броуновских постоянной Больцмана
реклама
2.1 Изучение распределения броуновских частиц в поле тяжести и определение постоянной Больцмана Цель работы: изучение распределения определение постоянной Больцмана из броуновских частиц в поле тяжести. Больцмана и распределения Введение Броуновское движение было открыто английским ботаником Броуном в 1827 г. Это явление заключается в непрерывном хаотическом движении маленьких частиц вещества независимо от их происхождения. До создания молекулярной теории строения вещества броуновского движения исследователи не могли объяснить. В молекулярной теории это явление объясняется хаотическим движением молекул и их столкновениями с броуновскими частицами. Сила и частота ударов молекул о броуновскую частицу с разных сторон различна, и поэтому частица в данный момент движется туда, куда молекулы ее сильней всего толкают. Спустя мгновение броуновская частица будет двигаться совсем в другую сторону и с другой скоростью. Таким образом, броуновские частицы участвуют в тепловом движении наряду с молекулами, и они сами фактически могут рассматриваться как гигантские молекулы, имеющие такую же среднюю энергию, как и обычные, но гораздо более медленные. Распределение Больцмана Рассмотрим идеальный газ из одинаковых молекул, находящийся в состоянии термодинамического равновесия. Пусть Т – абсолютная температура, которая всюду постоянна. Газ находится в потенциальном поле, потенциальная энергия молекулы U(z) в котором зависит лишь от одной координаты z. Для идеального газа справедливо уравнение состояния Клапейрона-Менделеева, которое можно записать в виде: p = nkT, (1) 85 где р – давление газа, n – концентрация частиц в этой точке, k – постоянная Больцмана. Поскольку газ находится в состоянии термодинамического равновесия, то наряду с постоянством температуры должно выполняться также и условие механического равновесия, то есть полная сила, действующая на любой мысленно выделенный макроскопический объем газа, равна нулю. Рассмотрим бесконечно малый объем газа между двумя бесконечно близкими плоскостями z = const и z + dz = const. На газ в этом объеме действуют три силы: сверху вниз действует сила давления верхних слоев газа (p + dp)S, снизу вверх – сила давления нижних слоев газа pS, где S – площадь слоя. Кроме того, на z+dz этот объем действует сила со стороны потенциального поля, равная z F ( dU )nSdz , где Sdz – величина dz объема, nSdz – число частиц в этом объеме. Эта сила направлена в сторону наибыстрейшего убывания потенциальной энергии, т.е. в нашем случае либо вверх, либо вниз. Таким образом, полная сила равна: Рис. 1 dU pS ( p dp) S nSdz 0 . dz Отсюда –dp – ndU = 0. Подставляя в эту формулу уравнение состояния (1), получим –kT dn – n dU = 0, или dn dU . n kT Интегрируя правую и левую часть этого выражения, получим: ln n U ln n0 , kT где ln n0 – константа интегрирования. Потенцируя это выражение, получим: 86 n n0 e U kT . (2) Выражение (2) называется распределением Больцмана. Величина n0 в этом выражении – концентрация частиц в точке, в которой потенциальная энергия равна нулю, n – концентрация частиц в той точке, в которой потенциальная энергия равна U. Распределение Больцмана справедливо только для классического (не квантового) идеального газа в состоянии термодинамического равновесия. В частном случае, когда идеальный газ находится в однородном поле тяжести, потенциальная энергия молекулы U = mgh и распределение Больцмана (2) примет вид: n n0 e m gh kT , (3) где m – масса молекулы, g – ускорение свободного падения, h – высота, отсчитанная от того уровня, на котором концентрация молекул равна n0. В частности, эта формула применима к распределению молекул газов, составляющих земную атмосферу, для относительно небольших высот, пока g можно считать константой. Опыты Перрена Если систему броуновских частиц одинаковой массы поместить в жидкость, то частицы будут подчиняться распределению Больцмана. При этом вследствие большой массы частиц коэффициент при высоте в показателе экспоненты будет большим, поэтому концентрация частиц резко уменьшается с высотой: при изменении высоты на несколько десятков микрон концентрация частиц изменяется в несколько раз. Поэтому можно измерить число частиц в слоях одинаковой толщины, отстоящих друг от друга на несколько десятков микрон, при помощи микроскопа с малой глубиной резкости, который позволяет увидеть только частицы в очень тонком слое. После этого, измерив массу броуновской частицы и учтя архимедову силу, из распределения Больцмана можно легко определить постоянную Больцмана. Этот метод применил в своих 87 знаменитых опытах французский физик Ж. Перрен в 1908–1910 гг. Эксперименты Перрена стали решающими в победе молекулярно-кинетических взглядов на строение вещества, и после этих опытов существование молекул признали почти все исследователи. Если поместить одинаковые броуновские частицы в некоторую жидкость, то на них действуют сила тяжести и сила Архимеда, которая равна силе тяжести, действующей на жидкость в объеме, равном объему частицы. Таким образом, результирующая сила, действующая на частицу, равна F m m0 g , то есть F 0 Vg 0 g d 3 6 где m – масса частицы, m0 – масса вытесненной жидкости, и 0 – их плотности, d – диаметр частицы. Тогда с учетом выталкивающей силы распределение Больцмана примет вид: nn ( 0 ) gd 3h 6 kT . 0 (4) Если пересчитать числа частиц в двух слоях, находящихся на высоте h друг относительно друга, то, измерив предварительно плотности вещества броуновских частиц и жидкости, а также диаметр частиц, по этой формуле можно определить постоянную Больцмана k. Зная постоянную Больцмана, можно найти число Авогадро N A R k , где R – универсальная газовая постоянная, которая была известна еще в конце XIX века. Прологарифмировав (4), получим: ln n ln n0 ( 0 ) gd 3 h. 6kT (5) Отсюда видно, что зависимость логарифма концентрации от высоты является линейной, причем коэффициент линейной зависимости связан с постоянной Больцмана k. Эта формула является рабочей формулой в данной лабораторной работе. Опыты Перрена были очень кропотливыми и трудоемкими, сопровождались большими техническими трудностями. 88 Главными из них были получение большого числа частиц одинакового размера и измерение их диаметра. Перрену удалось найти вещество гуммигут, для которого легко получить частицы примерно одинаковых размеров. Диаметр броуновских частиц составляет десятые доли микрона – порядка длины волны видимого света, поэтому его трудно измерить, так как из-за дифракции броуновская частица видна в поле зрения микроскопа в виде туманного пятна. Для измерения диаметра частиц Перрен воспользовался тем, что в жидкости частицы гуммигута иногда образуют довольно длинные цепочки, общую длину которых под микроскопом можно было измерить, а число частиц в них пересчитать. Ход работы В данной лабораторной работе моделируется опыт Перрена на компьютере. На экран выводится изображение круга – "поля зрения микроскопа", в котором видны маленькие случайным образом движущиеся кружочки, изображающие броуновские частицы (рис. 2). В левой части экрана находятся кнопки управления. Температура Т задается путем введения ее значения в соответствующее окно. Выбирается жидкость из списка, при этом в программу автоматически вводятся необходимые характеристики этой жидкости. Для измерения диаметра частицы следует нажать кнопку "Измерение диаметра", при этом в поле зрения микроскопа появляется координатная сетка и цепочка из расположенных 89 Рис. 2 90 вплотную друг к другу частиц. Следует быстро (так как они движутся) пересчитать число частиц и количество клеточек, которые они занимают. Рекомендуется следующий порядок работы 1. Ввести температуру и выбрать жидкость. 2. Измерить диаметр частиц и ввести его в предназначенное для этого окно. Эту операцию следует выполнить несколько раз. 3. Ввести в соответствующее окно первоначальную высоту, равную нулю. 4. Пересчитать число частиц в поле зрения микроскопа при этой высоте. Для этого нужно пользоваться кнопкой «новое измерение». Опыт следует повторить не менее 10 раз, так как число частиц в слое сильно изменяется со временем, и поэтому распределение Больцмана можно применять лишь для средних значений чисел частиц на каждой высоте. 5. Подобрать опытно такую высоту, при которой число частиц (конечно, в среднем) уменьшается примерно в 1,5 раза. При характерных для этой работы параметрах эта высота порядка 10 - 30 микрон в зависимости от жидкости и температуры. 6. Пересчитать число частиц в поле зрения микроскопа при этой высоте. Опыт на каждой высоте выполнить не менее 10 раз. 7. Повторить этот опыт на удвоенной, утроенной и т.д. высоте, так чтобы получились измерения на 8 - 10 разных высотах. Для каждой высоты вычислить среднее значение числа частиц и логарифм этой величины. 8. Построить график зависимости логарифма среднего числа частиц от высоты, который должен быть прямой линией, и по тангенсу угла наклона этого графика определить постоянную Больцмана. Можно также (по указанию преподавателя) для нахождения тангенса угла наклона воспользоваться методом наименьших квадратов. 91 Контрольные вопросы 1. Когда применимо распределение Больцмана? 2. Что изменяется с высотой сильнее: общее давление воздуха или парциальное давление кислорода? 3. Когда давление воздуха сильнее зависит от высоты: зимой или летом? 4. Участвует ли макроскопическое тело, помещенное в сосуд с газом, в тепловом движении? 5. В воздухе находятся шарообразные броуновские частицы. Что больше: средняя энергия молекулы воздуха или средняя энергия броуновской частицы? 6. Имеется две системы броуновских частиц: одна в воздухе, другая в воде. В каком случае концентрация частиц сильнее изменяется с высотой? 7. Почему в опыте Перрена трудно измерить диаметр броуновской частицы? 8. Каким образом определял диаметр броуновских частиц сам Перрен? 92