МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский физико-технический институт
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
А.А. Натан,
О.Г. Горбачев, С.А. Гуз,
А.В. Гасников, Е.В. Бурнаев
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Учебно-методическое пособие
Москва 2008
1
УДК 519.7
Натан А.А., Горбачев О.Г., Гуз С.А., Гасников А.В., Бурнаев
Е.В.. Основы теории вероятностей и стохастических процессов:
Учебно-методическое пособие / МФТИ. М., 2008, изд. 2-ое, доп.
Содержит программу, список литературы и задачи одноименного курса, читаемого студентам факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института. Задачи могут быть использованы в качестве упражнений на семинарских
занятиях, заданий, экзаменационного материала, а также при самостоятельном освоении курса. В данное издание добавлены задачи (с
указаниями), предлагавшиеся студентам 3-ко курса ФУПМ МФТИ
при сдаче задания в осеннем семестре 2008 года.
2
ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
«Основы теории вероятностей
и стохастических процессов»
Интуитивные предпосылки теории вероятностей. Множество
элементарных исходов опыта, событие. Классическое и статистическое определение вероятности. Математическое определение вероятности. Алгебра и сигма-алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Вероятностное пространство.
Теорема непрерывности вероятности. Теорема сложения вероятностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность
события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Случайная величина как измеримая функция. Функция распределения случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей.
Конкретные распределения случайных величин. Схема Бернулли, геометрическое и биномиальное распределение. Простейший
поток событий и распределение Пуассона. Показательное, равномерное, нормальное, log-нормальное и отрицательно-биномиальное
распределения. Бета-распределение и гамма-распределение.
Случайный вектор. Функция распределения случайного вектора. Зависимые и независимые случайные величины, условные законы распределения. Функции случайных величин. Невырожденное
функциональное преобразование случайного вектора.
Интеграл Стилтьеса. Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины. Моменты случайной величины. Неравенство
Ляпунова. Условное математическое ожидание. Корреляционная
матрица случайного вектора. Коэффициент корреляции двух случайных величин.
Характеристическая функция и ее свойства. Связь моментов
3
случайной величины с ее характеристической функцией. Разложение характеристической функции в ряд.
Сходимость последовательностей случайных величин с вероятностью единица (почти наверное), в среднем квадратичном, по
вероятности, по распределению. Соотношение между различными
типами сходимости.
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Критерий Колмогорова. Теоремы Хинчина и Чебышева. Леммы Бореля-Кантелли.
Усиленный закон больших чисел. Теорема Колмогорова и Бореля.
Оценивание скорости сходимости частоты к вероятности в схеме
Бернулли.
Интегральная и локальная теоремы Myавра-Лапласа. Дискретная поправка. Теорема Линдберга. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Условие
Ляпунова. Теорема Гливенко.
4
Список литературы
1. Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1986. –:
352 с. (и более поздние издания)
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М: Наука,
1988. – 446 с. (и более поздние издания)
3. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука. 1974. – 120 с.
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука,
1982. – 224 с. (и более поздние издания)
5. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1989. – 640 с. (и
более поздние издания)
6. Натан А.А., Горбачев О.Г., Гуз С.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие. – М.: МЗ Пресс – МФТИ, 2007. – 253 с.
7. Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. - Долгопрудный: Издательский дом “Интеллект”, 2008. – 136 с.
8. Ширяев А.Н. Задачи по теории вероятностей. – М.:
МЦНМО, 2006. – 416 с.
9. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.:
Высшая школа, 1986. – 80 с.
10.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа,
1979. – 400 с. (и более поздние издания)
11.Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник
задач по теории вероятностей. – М.: Наука, 1989. – 320 с.
12.Климов Г.П., Кузьмин А.Л. Вероятность, процессы, статистика. Задачи с решениями. – М.: изд. МГУ, 1985. – 232 с.
13.Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы.
Случайные процессы. – М.: Наука, 1986. – 328 с.
14.Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. – М.:
Факториал, 1999. – 288 с.
15.Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. – М.: РХД, 2003. – 272 с.
16. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. – М.: МЦНМО, 2004. – 424 с.
5
ЗАДАЧИ
по курсу «Основы теории вероятностей и
стохастических процессов»
1. Найти событие S такое, что справедливо соотношение ( S
A) ( S
A) B , где А, В – заданные события.
2. Два игрока играют в шахматы. Событие А означает,
что выиграл первый игрок, событие В означает, что выиграл второй игрок. Что означают следующие события:
à) A B; á ) A B; â) A
B; ã) B \ A; ä) A \ B ?
3. События Y1 и Y2 связаны с событиями X1 и X2 булевыми
функциями
B1 A1A2 , B2 ( A1 \ A2 )( A2 \ A1 ).
Выразить эти функции формулами, содержащими только операции дизъюнкции и отрицания. Каков содержательный смысл этих
функций?
4. Из урны, содержащей черные и белые шары, последовательно наугад извлекаются п шаров (без возвращения в
урну). Пусть Аi - событие, состоящее в том, что i-й по порядку извлеченный шар является белым (1 i n) . Выразить через событие Аi следующие события: а) все извлеченные шары белые; б) хотя бы один из извлеченных шаров белый; в) ровно один шар из извлеченных шаров белый; г) не более k шаров из извлеченных шаров белые
(1 k n); д) по крайней мере k шаров из извлеченных шаров белые; е) все п извлеченных шаров одного цвета.
5. Эксперимент состоит в выборе одной из равновозможных перестановок чисел 1, 2, …, n. Пусть событие Aij
состоит в том, что в выбранной перестановке число i оказалось стоящим на j-м месте (i, j{1, 2, ..., n}). Выразить через
событие Aij следующие события: а) число 1 стоит левее
числа 2; б) число 1 стоит не далее j-го места.
6
6. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных
концентрическими
окружностями
с
радиусами
r1 , r2 , , r10 : r1 r2 r10 . Событие Ak означает попадание в круг
радиуса rk . Что означают следующие события:
а) B A 1 A 3 A 6;
б) C A2 A4 A6 A8 ;
в) D ( A1 A3 ) A6 ?
7. Рабочий изготовил одну за другой п деталей. Пусть
событие Ai состоит в том, что i-я изготовленная деталь
имеет дефект, i {1, 2, , n}. Выразить через событие Ai следующие события: а) ни одна из деталей не имеет дефектов;
б) хотя бы одна деталь имеет дефект; в) только одна деталь
имеет дефект; г) не более двух деталей имеют дефект; д) по
крайней мере две детали не имеют дефектов; е) ровно две
детали имеют дефекты.
8. Некто имеет N ключей, из которых только один от его двери. Какова вероятность, что, используя ключи в случайном порядке,
он откроет дверь а)первым ключом, б) последним ключом? Найти
вероятность, что потребуется не менее k попыток, чтобы открыть
дверь, если ключи, которые не подошли, в) откладываются, г) не откладываются.
9. Ребенок играет с десятью буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того,
что при случайном расположении букв в ряд он получит
слово «МАТЕМАТИКА»?
10. В лотерее участвует n билетов, из которых m билетов являются выигрышными. Какова вероятность хотя бы
одного выигрыша для участника лотереи, имеющего k билетов (m n, k n).
11. Что более вероятно: при одновременном бросании
четырех игральных костей получить хотя бы одну единицу
или при 24 бросаниях по две игральные кости одновременно получить хотя бы один раз две единицы? Найти вероятности указанных событий.
7
12. Из урны, содержащей а белых, b черных и с красных шаров (и только их), одновременно извлечены наугад
три шара. Какова вероятность того, что все они разного
цвета?
13. Из урны, содержащей а белых, b черных и с красных шаров (и только их), последовательно извлекаются три
шара. Найти вероятность следующих событий: а) все три
шара разного цвета; б) шары извлечены в последовательности белый, черный, красный; в) шары извлечены в обратной последовательности.
14. Из урны, содержащей а белых и b черных шаров,
извлекается наугад один шар и откладывается в сторону.
Какова вероятность того, что извлеченный наугад второй
шар окажется белым, если: а) первый извлеченный шар белый; б) цвет первого извлеченного шара остается неизвестным?
15. Партия продукции состоит из десяти изделий, среди которых два изделия дефектные. Какова вероятность того, что из пяти отобранных наугад и проверенных изделий:
а) ровно одно изделие дефектное; б) ровно два изделия дефектные; в) хотя бы одно изделие дефектное? Какое
наименьшее число изделий необходимо проверить для того, чтобы среди них с вероятностью 0,9 содержалось хотя
бы одно дефектное изделие?
16. n человек разного роста случайным образом выстраиваются в шеренгу. Найти вероятность того, что: а)
самый низкий окажется i-м слева; б) самый высокий окажется первым слева, а самый низкий – последним слева; в)
самый высокий и самый низкий окажутся рядом; г) между
самым высоким и самым низким расположатся более k человек.
17. Найти вероятность того, что из 50 студентов, присутствующих на лекции, хотя бы двое имеют один и тот же
дату рождения.
8
18. Известно, что в результате бросания десяти игральных костей выпала по крайней мере одна «шестерка».
Какова вероятность того, что число выпавших «шестерок»
больше единицы?
19. Опыт состоит в подбрасывании монеты до тех пор,
пока два раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Каждому возможному исходу опыта припишем вероятность 1/2 (монета «правильная»). Построить пространство элементарных событий и найти вероятности следующих событий: а) опыт окончится до шестого бросания; б)
для завершения опыта потребуется четное число бросаний.
20. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад берется
шесть карт. Какова вероятность того, что среди них будут
представлены все четыре масти?
21. Каждая из n палок одинаковой длины разламывается на две части – «длинную» и «короткую» так, что все
«длинные» («короткие») обломки одинаковы по своей
длине. 2n полученных обломков случайным образом объединяют в пары, каждая из которых образует новую «палку». Найти вероятность того, что: а) все обломки объединяются в первоначальном порядке, образуя исходные палки; б) все «длинные» обломки объединяются с «короткими».
22. В урне находится m шаров, из которых m1 белых и
m2 черных (m1 + m2 = m). Производится n извлечений одного шара с возвращением его (после определения его цвета)
обратно в урну. Найти вероятность того, что ровно r раз из
n будет извлечен белый шар.
23. Найти вероятность того, что при размещении n
различных шаров по N ящикам заданный ящик будет содержать ровно k : 0 k n шаров (все различимые размещения равновероятны).
24. В урне находится т шаров, из которых m1 – первого цвета, m2 – второго цвета, ..., ms – s-го цвета
9
(m1 m2 , ms m). Производится n извлечений одного шара с возвращением его (после определения его цвета) обратно в урну. Найти вероятность того, что r1 раз будет извлечен шар первого цвета, r2 раз – шар второго цвета, .., rs
раз – шар s-го цвета (r1 r2 rs n) .
25. В гардеробе все шляпы N посетителей оказались
случайным образом перепутанными. Шляпы не имеют
внешних отличительных признаков. Какова вероятность
того, что хотя бы один посетитель получит свою шляпу
(рассмотреть случаи N 4 и N 10000 )?
26. Стержень длины l разрезан в двух случайно выбранных точках. Определить вероятность того, что из полученных частей стержня (отрезков) можно построить: а)
треугольник; б) прямоугольный треугольник.
27. На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Наугад берутся две
карточки. Определить вероятность того, что образованная
из двух полученных чисел дробь сократима.
28. Бросается n игральных костей. Найти вероятность
события, состоящего в том, что на всех костях выпало одинаковое число очков.
29. Монета подбрасывается n раз. Найти вероятность
того, что число выпадений герба нечетно.
30. Брошены шесть игральных костей. Найти вероятность следующих событий: а) на всех костях выпало разное
число очков; б) суммарное число выпавших очков равно 7.
31. Игральная кость бросается n раз. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один раз выпадает «шестерка»;
б) «шестерка» выпадает ровно один раз?
32. Несколько раз бросается игральная кость. Какое
событие более вероятно: а) сумма выпавших очков четна;
б) сумма выпавших очков нечетна?
10
33. Для уменьшения общего количества игр 2п команд
спортсменов разбиваются на две подгруппы. Определить
вероятности того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в одной подгруппе; б) в разных подгруппах.
34. Сорок участников турнира разбиваются на четыре
равные группы. Определить вероятность того, что четыре
сильнейших участника окажутся в разных группах.
35. В урне находятся черные и белые шары, которые
наугад по одному без возвращения извлекаются из урны до
тех пор, пока урна не опустеет. Какое событие более вероятно: а) первый извлеченный шар белый; б) последний извлеченный шар белый?
36. В урне находятся черные и белые шары, причем
отношение числа белых шаров к числу черных шаров равно
L. Найти вероятность того, что при последовательном извлечении наугад всех шаров из урны последним окажется
черный шар.
37. В урне находятся a белых и b черных шаров, Шары наугад по одному извлекаются из урны без возвращения. Найти вероятность того, что k-й вынутый шар оказался
белым.
38. Тридцать шаров размещаются по 8 ящикам так,
что для каждого шара одинаково возможно попадание в
любой ящик. Найти вероятность размещения, при котором
будет 3 пустых ящика, 2 ящика – с тремя, 2 ящика – с шестью и 1 ящик – с двенадцатью шарами.
39. N частиц случайно и независимо друг от друга размещаются в k ячейках так, что каждая из них попадает в i -ую ячейку с вероятностью pi ( i 1, k ,
k
p
i 1
i
1). Найти вероятность того, что число
частиц в ячейках примет заданные значения n1, ..., ni, …, nk (полиномиальное распределение).
11
40. Некто обладает одной облигацией, которую намеревается
продать в один из последующих четырех дней, в которых цена облигации принимает различные значения, априори неизвестные, но
становящиеся известными в начале каждого дня продаж. Предполагается, что цены облигации независимы и их перестановки по торговым дням равновозможны. Какова стратегия продавца, состоящая в
выборе дня продажи облигации и гарантирующая максимальную вероятность того, что он продаст облигацию в день ее наибольшей цены?
41. По схеме случайного выбора с возвращением из множества
чисел {1,2,…,N} выбираются числа X и Y. Найти а) вероятность
P{X+Y <N}, б) предел этой вероятности при N .
42. Из n лотерейных билетов k – выигрышные (n 2k). Какова
вероятность, что среди k купленных билетов по крайней мере один
будет выигрышным?
43. Из совокупности всех подмножеств множества {1,2,…,N}
по схеме выбора с возвращением выбираются множества А и В.
Найти вероятность, что А и В не пересекаются.
44. Двое условились о встрече между 10 и 11 часами утра,
причем договорились ждать друг друга не более 10 минут. Считая,
что момент прихода на встречу каждым выбирается “наудачу” в
пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча состоится.
45. Показать, что борелевская - алгебра в R1, содержащая все
числовые промежутки вида [a,b), содержит все промежутки вида
(a,b), (a,b], [a,b] и отдельные точки прямой.
46. Пусть = [a, b], F – – алгебра, содержащая все отрезки
mes[ , ]
[,] (a < b) с вероятностной мерой P{ [ , ]
.
mes[a, b]
Показать, что а) P{ = c = const} = 0; б) P{1 = 2}=0. Найти вероятность, что для трех исходов 1, 2, 3 третий лежит между первыми двумя.
47. Может ли число всех событий какого-либо вероятностного пространства быть равным 129; 130; 128?
12
48. Число элементарных событий некоторого вероятностного пространства равно п. Указать минимальное и
максимальное возможные значения для числа событий.
49. В урне находится 3 белых и 2 черных шара (и
только они). Эксперимент состоит в последовательном извлечении из урны всех шаров по одному наугад без возвращения. Построить вероятностное пространство. Описать -алгебру, порожденную случайной величиной X, если: а) X – число белых шаров, предшествующих первому
черному шару; б) X – число черных шаров среди извлеченных; в) X X 1 X 2 , где X 1 , – число белых шаров, предшествующих первому черному шару, X 2 – число черных шаров, предшествующих белому шару.
50. Пусть вероятность каждого из событий А и В равна 1/ 2. Доказать справедливость равенства P( A B) P( A B ) .
51. Доказать справедливость равенства
P( AB) P( A) P( B) 2P( A B).
52. Пусть А,В,С – заданные события. Доказать справедливость неравенств
à) P( A B) P( A C ) P( B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) 1;
á ) P( A B) P( A C ) P( B C ) P( A);
â) P( AB) P( AC ) P(C B).
53. В каждую из n пронумерованных ячеек в случайном порядке помещается один из n так же пронумерованных шаров. Найти
вероятность того, что ни в одной из ячеек номер шара не совпадет с
номером ячейки.
54. Имеются две урны. В одной из них находится один
белый шар, в другой – один черный шар (других шаров урны не содержат). Выбирается наугад одна урна. В нее добавляется один белый шар и после перемешивания один из
шаров извлекается. Извлеченный шар оказался белым.
Определить апостериорную вероятность того, что выбран13
ной оказалась урна, которая первоначально содержала белый шар.
55. В условиях предыдущей задачи добавление белого
шара, перемешивание и извлечение одного шара производится n раз. Всегда извлеченный шар оказывался белым.
Определить ту же вероятность, что и в предыдущей задаче.
56. В первой урне содержится a белых и b черных шаров (и только они), во второй – с белых и d черных шаров
(и только они). Из выбранной наугад урны извлекается
один шар, который обратно не возвращается. Извлеченный
шар оказался белым. Найти вероятность того, что и второй
шар, извлеченный из той же урны, окажется белым.
57. Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем в 50% случаев, а второй – в 80%
случаев. Перед выстрелом они бросают правильную монету
для определения очередности. Посторонний наблюдатель
знает показатели меткости стрелков, но не знает, кто из
них в данный момент стреляет. Наблюдатель видит, что
стрелок попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял
первый стрелок?
58. В урне 7 белых и 3 черных шара. Без возвращения
одновременно извлекаются 3 шара. Известно, что среди
них есть хотя бы один черный шар. Какова вероятность того, что другие два шара белые ?
59. Известно, что 96% выпускаемой продукции соответствует
стандарту. Упрощенная схема контроля признает годным с вероятностью 0,98 каждый стандартный экземпляр аппаратуры и с вероятностью 0,05 – каждый нестандартной экземпляр аппаратуры. Найти
вероятность, что изделие, прошедшее контроль, соответствует стандарту.
60. В m + 1 урне содержится по m шаров, причем урна с номером n содержит n белых и m - n черных шаров (n = 0,1,…,m). Случайным образом выбирается урна и из нее k раз с возвращением извлекаются шары. Найти а) вероятность, что следующим также будет
извлечен белый шар, при условии, что все k шаров оказались белыми, б) ее предел при m .
14
61. Показать, что из независимости событий A и B следует независимость событий A и B , A и B , A и B .
62. Показать, что из равенства P( A B) P( A B ) для ненулевых
событий A и B следует равенство P( A B) P( A) P( B) , т.е. их независимость.
63. Подбрасываются три игральные кости. События A, B и C
означают выпадение одинакового числа очков (соответственно) на
первой и второй, на второй и третьей, на первой и третьей костях.
Являются ли эти события независимыми а) попарно, б) в совокупности?
64. В таблице 1 приведены вероятности конъюнкций событий
A1 A22 A33 , где Aii Ai при i = 0 и Aii Ai при I = 1. Найти ве1
роятности событий A1 ,
A1 A2
A1 A2 ,
A1A2 .
Таблица 1
1
2
3
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
P{ A11 A22 A33 }
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
65. В таблице 1 вероятности {pi} равны:
p1 = p4 = p6 = p7 = 0.245,
p2 = p3 = p5 = p8 = 0.005.
Проверить, являются ли события A1, A2 и A3 а) попарно независимыми; б) независимыми в совокупности.
66. В таблице 2 приведены вероятности конъюнкций событий
A1 A22 A33 (обозначения те же, что и в задаче 64).
1
15
Таблица 2
1
2
3
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
P{ A11 A22 A33 }
20/36
5/36
5/36
0
5/36
0
0
1/36
Можно ли наблюдаемые события A1 и A2 использовать как
признаки для обнаружения события A3?
67. Является ли равенство P(ABC)=P(A)P(B)P(C) достаточным условием независимости событий A, B, C в совокупности?
68. При рассмотрении трех случайных событий A, B и C установлено, что при осуществлении события C события A и B независимы. Сохранится ли независимость A и B, когда никаких условий
на событие C не налагается?
69. Пусть X – непрерывная случайная величина такая,
что вероятность попадания ее значения на интервал (a1 , b1 )
пропорциональна длине общей части данного интервала и
интервала (a, b). Найти функцию распределения случайной
величины X и ее функцию плотности вероятностей.
70. Построить графически и выразить аналитически
функцию распределения случайной величины, которая c
вероятностями, равными 1/ 4, принимает значения -1 и 1 и с
постоянной функцией плотности вероятностей распределена в интервале (1/ 2, 1/ 2).
71. Показать, что если случайная величина X имеет
непрерывную функцию распределения F ( x), то случайная
величина Y F ( X ) равномерно распределена на отрезке
[0,1] .
16
72. Показать, что если случайная величина Y равномерно распределена на отрезке [0, 1], то случайная величина X F 1 (Y ), где F () –– заданная функция распределения,
имеет функцию распределения FX ( x) F ( x).
73. Найти функцию плотности вероятностей интервала времени Т между событиями в потоке событий, полученном из простейшего (пуассоновского) потока с интенсивностью путем удаления из него всех событий, кроме
каждого (k 1) -го события, k {0,1, 2, ....}.
74. На складе имеются запасы для удовлетворения N
заявок. Заявки поступают поочередно так, что длины интервалов времени между моментами поступления очередных заявок независимы и имеют показательное с параметром распределение. Определить функцию распределения
времени, на которое хватит запасов склада.
75. Производится ряд независимых опытов, в каждом
из которых событие А осуществляется с вероятностью р.
Опыты прекращаются, как только событие А появится п раз
(п > 1). Найти функцию распределения числа опытов, не
приводивших к появлению события А («неудачных» опытов).
76. Пусть = [0,1), F – минимальная - алгебра с полуинтервалами вида [1-1/2n-1, 1-1/2n), n = 1, 2, …, …Является ли случайной
величиной, заданной в , F , функция Y = x, где x – координата
точки ?
77. Показать, что функция распределения случайной величины
может иметь не более чем счетное число разрывов первого рода.
78. Частица перемещается по целым точкам прямой по следующей схеме: за один шаг частица перемещается в соседнюю правую
точку с вероятностью p и в соседнюю левую точку с вероятностью
q=1 – p. Какова вероятность, что за n шагов точка, находившаяся в
точке 0, перейдет в точку m?
17
79. На складе магазина имеется m экземпляров некоторого товара. Каждый посетитель магазина независимо от других покупает
один экземпляр товара с вероятностью p. Найти распределение вероятностей номера посетителя, который купит последний экземпляр
товара.
80. Допустим, что вероятность столкновения молекулы с другими молекулами в промежутке времени [t,t+t) равна p = Δt +
o(t) и не зависит от времени, прошедшего после предыдущего
столкновения ( = const). Найти распределение времени свободного
пробега молекулы и вероятность того, что это время превысит заданную величину t*.
81. Показать, что если в потоке событий интервал между событиями имеет показательное распределение, то поток является
пуассоновским.
82. Заявки на банковский кредит образуют пуассоновский
процесс с параметром . Каждая заявка удовлетворяется с вероятностью p независимо от других. Найти распределение числа удовлетворенных банком заявок за время .
83. Случайная точка A равномерно распределена на полуинтервале [0,1). Найти функции и плотности распределений величины
большего и меньшего полуинтервалов, на которые точка A делит полуинтервал [0,1).
84. Два магазина торгуют поштучно однотипным товаром,
причем покупатели с равными вероятностями выбирают для очередной покупки тот или иной магазин. В какой то момент в одном из
магазинов весь товар оказался распроданным. Найти вероятность,
что к этому моменту во втором магазине осталось k экземпляров товара, если начальный размер партий товара в обоих магазинах составлял по n экземпляров.
85. X – случайная величина с известной плотностью распределения fY(y). Найти плотность распределения случайной величины Y
= (X), где () – известная строго монотонная взаимно дифференцируемая функция.
86. Случайная величина X имеет функцию распределения
FX(u) и функцию плотности распределения fX(u). Найти функции
18
распределения и плотности распределения (если последние существуют) для случайных величин: а) Y = aX+b; б) Z =eX; в) V = X2 (a и
b – неслучайные величины). Конкретизировать решения при X
N(0,1).
87. Пусть случайные величины X и Y связаны соотношением Y
= (X) ( -1() – непрерывная функция). Найти распределение случайной величины Y, если случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0,1].
88. Объект может принадлежать одному из двух классов H1
или H2 с известными априорными вероятностями P(H1) и P(H2)
(P(H1) + P(H2) = 1). Для классификации объекта используется признак Y – непрерывная случайная величина с известными условными
плотностями распределения f(y|H1) и f(y|H2). Построить алгоритм
классификации объекта по критерию максимума апостериорной вероятности. Выразить вероятности ошибочной классификации (отнесения к классу H2 объекта класса H1, ошибки обратного характера,
ошибки любого типа). Рассмотреть случай нормальных условных
распределений признака:
f(y|Hi) = N(mi,i2), (i = 1, 2)
при вариантах: а)m1 < m2, 12 = 22; б) m1 < m2, 12 < 22; в) m1 = m2,
12 < 22.
89. Пусть Х – случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром , ( x) положительная
строго монотонная дифференцируемая функция. Найти
функцию плотности распределения случайной величины Y ( X ) .
90. Пусть X и Y – независимые случайные величины,
имеющие функции распределения P(x) и G(x) соответственно.
Найти функции распределения следующих случайных величин:
а) max{X, Y}; б) min{X, Y}; в) max{2X, Y}; г) min{X3, Y}.
91. X и Y – независимые случайные величины, имеющие
одинаковое показательное распределение с параметром .
Найти функции распределения и плотности распределения следующих случайных величин:
а) X 3 ; б) X Y ; в) max { X , Y 3} ; г) min { X , Y 3} ;
д) 3 2X ; е) X Y ; ж) X Y ; з) X / Y .
19
92. Пусть X, Y - независимые случайные величины такие, что X имеет показательное распределение с параметром , а Y равномерно распределена на отрезке [0, h].
Найти функцию плотности распределения случайной величины U
= X + Y.
93. Случайные величины X и Y независимы. Найти вероятность P{ X = Y}, если а) X и Y имеют одинаковое дискретно распределение; б) X и Y имеют непрерывные распределения.
94. Могут ли быть независимыми две случайные величины,
функционально связанные с одной и той же случайной величиной?
95. X, Y и Z –случайные величины, причем X не зависит от Y и
от Z. Значит ли это, что X не зависит от Y + Z?
96. Является ли транзитивным отношение независимости (отношение зависимости) на множество событий
произвольного вероятностного пространства?
97.Пусть Х и Y – случайные величины такие, что случайные величины X 2 и Y 2 независимы. Независимы ли
случайные величины Х и Y?
98.Пусть X, Y и Z – случайные величины такие, что Х
не зависит от случайной величины Y Z . Верно ли, что Х не
зависит от Y и от Z?
99. Пусть Х и Y – случайные величины такие, что для
любых вещественных a и b случайные величины min{ a, X } и
min{ b, Y } независимы. Доказать что X и Y независимы.
100. Пусть X и Y – случайные величины такие, что справедливы соотношения Р( X >0 ) = P (Y > 0) = 3/4; P( X+Y >
0 ) = 1/2. Доказать, что X и Y зависимы.
101. Пусть X, Y и Z – случайные величины такие, что X
не зависит от Y и от Z. Верно ли, что X не зависит от случайной величины Y+Z?
20
102. Пусть X, Y и Z – независимые случайные величины с
конечными положительными дисперсиями. Могут ли быть
независимыми случайные величины U и V :U = X + Z, V = Y +
Z?
103. Показать, что из справедливости равенства
M ( X Y ) MX MY не следует, вообще говоря, независимость случайных величин X и Y. Доказать, что независимость
X и Y в этом случае имеет место, если они принимают по
два значения.
104. Пусть Х – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,1], и X 1 / 2 2 / 22 3 / 23 ,
где n 0 или 1, есть двоичное разложение X , n 1, 2,
.
Доказать, что при любом натуральном п справедливы равенства P( n 0) P( n 1) 1/ 2 и случайные величины 1 , 2 ,
взаимно независимы.
105. Пусть Х и Y независимые случайные величины,
имеющие функции плотности распределения f ( x) и g ( x) соответственно. Образуется двумерная случайная величина
Z ; Z ( Z1 , Z 2 ) , где Z1 min { X , Y }, Z 2 max ( X , Y } . Найти функцию плотности распределения случайной величины Z.
106. Пусть Х и Y – независимые случайные величины,
равномерно распределенные на отрезках [a1 , b1 ] и [a2 , b2 ] соответственно. Найти функцию плотности распределения случайной величины Z : Z X Y .
107 Пусть Х и Y – независимые случайные величины,
имеющие распределение Пуассона. Доказать, что случайная
величина Z : Z X Y имеет распределение Пуассона. Выявить вид условного распределения случайной величины Х
при фиксированном значении случайной величины X Y
108. Пусть X и Y – независимые одинаково распределенные случайные величины. Найти условную функцию распределения случайной величины Х при фиксированном значе-
21
нии случайной величины X Y в следующих случаях: а) X и
Y имеют показательное распределение; б) X и Y равномерно
распределены на отрезке [0.1].
109. Время безотказной работы изделия Т – случайная
величина с функцией плотности распределения вероятностей f (t ). Изделие проработало до момента времени без
отказов. Найти распределение оставшегося времени его
безотказной работы T1. Рассмотреть случаи распределения
Т по законам: а) равномерной плотности на отрезке [0, a];
б) показательному с параметром ; в) приближенно нормальному с параметрами m и (m >> ).
110. Найти характеристическую функцию, математическое ожидание и дисперсию числа «неудачных» опытов в
задаче № 75.
111. Начальная масса радиоактивного вещества (выраженная
числом атомов) составляет m0. Определить математическое ожидание массы вещества в момент t, если вероятность распада ядра каждого атома в интервале времени [t, t+t) не зависит от t и равна pt
+ o(t) (p = const). Найти время полураспада вещества (т.е. момент
времени, к которому средняя масса вещества окажется равной половине начальной). Какое распределение имеет время распада каждого
атома?
112. Число частиц N, падающих на единицу поверхности тела, имеет распределение Пуассона с интенсивностью
. Каждая частица независимо от других сообщает телу
энергию , равномерно распределенную на отрезке [0, c].
Найти математическое ожидание и дисперсию энергии, получаемой единицей поверхности тела за время .
113. В каждую i-ую единицу времени живая клетка
получает случайную дозу облучения Хi, причем { X i }ti 1 имеют одинаковую функцию распределения FΧ( x) и независимы в совокупности для t. Получив интегральную дозу облучения, равную v, клетка погибает. Оценить среднее время жизни клетки МТ.
22
114. Пусть X и Y – случайные величины такие, что существуют M (max{ X , Y }) и M (min{ X , Y }). Доказать, что существуют МХ и МY, причем справедливо равенство
MX MY M (max{ X ,Y }) M (min{ X , Y }).
115. Пусть X 1 , X 2 , , X n – случайные величины, имеющие
конечные математические ожидания. Доказать справедливость неравенствo
M max{ X 1 , X 2 , , X n } max{MX 1, MX 2 , , MX n } и
M min { X 1 , X 2 ,
, X n } min {MX 1 , MX 2 ,
, MX n }.
116. Пусть X 1 , X 2 ,
– последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием m, m > 0, и дисперсией 2 , 2 .
Случайная величина Y не зависит от данных случайных величин {Xi} и принимает натуральные значения, причем MY b ,
Y
DY d . Определим случайную величину Z : Z X i . Найти
i 1
MZ и DZ.
117. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X X ( ), определенной на вероятностном пространстве , F , P , представляющем собой отрезок
[0,1] с алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, если:
а) X 2 ; б) X 1/ 2 ; в) X sin ; г) X sin 2 .
118. Брошены две игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков, если известно,
что выпали разные грани.
119. Пусть X – случайная величина такая, что
P{0 X 1} 1 .
Доказать
справедливость
неравенства
DX MX .
120. Пусть Х и Y – независимые случайные величины
такие, что MX 1, MY 2, DX 1, DY 4. Найти математиче-
23
ское ожидание следующих случайных величин:
а) X 2 2Y 2 XY 4 X Y 4; б) ( X Y 1)2 .
121. Доказать, что для любых случайных величин Х и Y,
имеющих конечные дисперсии, справедливы неравенства
( DX DY ) 2 D( X Y ) ( DX DY ) 2 .
122. Пусть X и Y - одинаково распределенные случайные величины. Справедливо ли равенство
M [ X /( X Y )] M [Y /( X Y )]?
123. Случайная величина X принимает значения
с вероятностями, убывающими в геометриче0,1, , n,
ской прогрессии. Найти зависимость между МХ и DX.
Найти вероятности P{ X n}, n 0,1,
при условии MX a,
где а есть заданное число.
124. Урна содержит N шаров с номерами от 1 до N. Пусть K –
наибольший номер, полученный при n их поштучных извлечениях с
возвращением. Найти а) распределение K, б) асимптотику математического ожидания MK при N .
125. Найти математическое ожидание MZ, где Z – k-ая по величине из координат n точек, взятых наудачу на отрезке [0;1] (k n).
126. Пусть случайные величины X и Y – координаты двух точек, взятых наудачу на отрезке [0,1]. Построить график плотности
распределения, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = X - Y.
127. Пусть X и Y – длины, соответственно, наименьшего и
наибольшего из отрезков, на которые разбивается отрезок [0,1] взятой наудачу точкой. Найти отношение математических ожиданий
MY/ MX и математическое ожидание отношения M(Y/X). Рассмотреть
задачу, поменяв местами случайные величины X и Y.
128. Написаны п писем, предназначенные разным адресатам. Имеется п конвертов с соответствующими адресами. Письма в случайном порядке вложены в конверты.
24
Пусть Хn есть число писем, посланных тем адресатам, которым они предназначены. Найти MXn.
129. Пусть X - ограниченная с вероятностью единица
случайная величина: P{|X| < c}=1. Доказать справедливость
неравенства DX cM | X |.
130.. Пусть X и Y независимые случайные величины с
конечными дисперсиями. Доказать справедливость неравенства
D( X Y ) DX DY .
131. Доказать справедливость неравенства
M | X Y | ( M | X | r )1/ r (M |Y | s )1/ s ,
где r > 1, 1/r + 1/s = 1, X и Y – случайные величины.
132. Пусть X – случайная величина с конечным математическим ожиданием, принимающая только положительные значения. Доказать справедливость неравенства
( MX )1 M ( X 1 ).
133. Пусть X и Y – независимые случайные величины,
принимающие только положительные значения. Доказать
справедливость при любом r : r 0 неравенства
M [( X / Y )r ] M ( X r ) / M (Y r ).
134. Пусть k – начальный момент k-го порядка случайной величины X. Показать, что из существования k
следует существование s для s < k.
135. Случайные величины Y1,Y2,… – независимы и одинаково
равномерно распределены на [0;1]. Пусть Sn=Y1+…+Yn, N=min{n: Sn
> 1}, Найти: а) функцию распределения суммы Sn при условии Sn
1; б) математическое ожидание MN ; в) функцию распределения
cуммы SN.
136. Двумерный случайный вектор X ( X 1 , X 2 )' равномерно
распределен на круге единичного радиуса с плотностью
25
c, åñëè x12 x22 1,
f ( x1 , x2 )
0 â î ñòàëüí û õ ñëó÷àÿõ.
Найти частные и условные распределения компонент X 1 , X 2 .
Являются ли они а) зависимыми, б) коррелированными?
137. Некоррелированные случайные величины X1 и X2 имеют
распределения Бернулли с параметрами (соответственно) p1 и p2.
Являются ли эти величины независимыми? Можно ли полученный
результат распространить на пару некоррелированных бинарных
случайных величин Y1 и Y2, имеющих распределения
a ñ âåðî ÿòí î ñòüþ pi ,
Yi i
(i = 1, 2).
b
ñ
âåðî
ÿòí
î
ñòüþ
1
p
i
i
138. Пусть X – центрированная нормально распределенная случайная величина. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y = Xn (n – целое).
139. Случайный вектор Z ( X , Y ) имеет функцию
плотности распределения f(x,y) . Записать вероятности следующих событий:
а) à){ X Y }; á ) { Õ | Y |}; â) {| X | Y }; ã) {X-Y 1}.
140. Найти коэффициент корреляции между числом
выпадений: "единиц" и числом выпадений "шестерок" при
n независимых бросаниях "правильной" игральной кости.
141. Пусть совместное распределение случайных величин X и Y нормально, причем МХ = МY = 0, а коэффициент корреляции X и Y равен величине . Найти, коэффициент корреляции случайных величин X 2 и Y2.
142. Пусть X1, X2 ,…, Xn – случайные величины такие,
что коэффициент корреляции любых двух из них равен величине . Доказать справедливость неравенства
– (n – 1 ) -1.
143. Пусть X и Y независимые случайные величины
такие, что P{ X 1} P{ X 1} 1/ 2 , P{Y 1} P{Y 1} 1/ 4 ,
26
P{Y 0} 1/ 2 . Будут ли независимы случайные величин Y и
Z X Y ? Будут ли они некоррелированными?
144. Пусть Х – случайная величина такая, что P{Х >0}
= , P{X<0} = , MX = a, M | X | = b, где , , a, b есть заданные числа. Найти величину cov( X , sign X ).
145. Пусть X и Y случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями, единичными дисперсиями и
коэффициентом корреляции . Доказать справедливость
неравенства
M max { X 2 , Y 2 } 1 1 2 .
146 В урне находится a белых, b черных и c серых шаров.
Пусть X и Y – количества белых и черных шаров, полученных при nкратном выборе с возвращением. Найти коэффициент корреляции
между X и Y.
147. Случайный вектор W (W1 ,W2 ,..,Wn )' имеет плотность
распределения
n!, åñëè 0 w1 w2 ... wn 1,
fW ( w)
0 â î ñòàëüí û õ ñëó÷àÿõ.
Найти распределение вектора U (U1 ,U 2 ,..,U n )' , если
U1 W1 , U 2 W2 W1,....,U n Wn Wn1.
148. Пусть (X,Y) – вектор с независимыми компонентами, обладающими стандартным нормальным распределением N (0,1) и
(,) – его полярные координаты. Найти распределение (,). Зависимы ли и ?
149. n мерный вектор X имеет известное нормальное распределение: X N (m ,R ) .Найти:
а) распределение вектора Y = AX (A –матрица размерности
kn, k n; рассмотреть случаи рангA = k и рангA < k);
б) частное распределение подвектора X 1 вектора X ;
в) преобразование вектора X, приводящее к нормальному вектору Z с некоррелированными координатами (операция «декорреляции» компонент вектора);
27
г) условное распределение подвектора X 1 относительно подX
вектора X 2 ( X 1 ).
X2
150. Пусть X1 и X2 – независимые случайные величины с
стандартным нормальным распределением N(0,1). Верно ли, что
случайные величины Y1 = 2X1-X2 и Y2 = 2X1+4X2 независимы?
151. Концы двухмерных случайных векторов X и Y с началом
в (0,0) равномерно независимо распределены на окружности с радиусом 1 и с центром в (0,0). Найти плотность распределения случайной величины Z = |X +Y|.
152. Компоненты случайного вектора X ( X 1 , , X n )
попарно некоррелированы. Следует ли из этого их попарная независимость и независимость в совокупности, если а)
X имеет нормальное распределение; б) компоненты { X i }
имеют распределение Бернулли с параметром p, p 0 .
153. Компоненты случайного вектора имеют нормальное распределение. Следует ли из этого, что вектор имеет нормальное распределение?
154. Случайный вектор Z = (X, Y) равномерно распределен в квадрате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с осями координат. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
155. Случайный вектор Z = (X, Y) имеет распределение, сосредоточенное в некоторой прямой. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
156. Коэффициент корреляции случайных величин X
и Y равен единице. Может ли случайный вектор Z = ( X, Y)
иметь функцию плотности распределения?
157. Пусть случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Найти функцию распределения F2(u, v)
случайного вектора Z:
а) Z = (X, X); б) Z = ( X, | X |).
28
158. Пусть случайная величина X имеет функцию
плотности распределения. Будет ли иметь функцию плотности распределения случайный вектор Z = (X, X2, …, Xn )?
159. Найти распределение суммы независимых случайных веn
личин Z X i , обладающих распределениями
i 1
а) Xi Po(i), i 1, n ;
б) Xi N(mi,i2), i 1, n .
160. Пусть случайные величины Х, Y, и Z независимы,
характеристические функции X (t )
и Y (t ) известны,
P(Z 1) 1 P( Z 0) p . Найти характеристическую функцию W (t ) , где W Z X (1 Z ) Y .
161. Найти функции распределения, которым соответствуют следующие характеристические функции:
а) cos t ; б) cos2t ; в) exp(t 2 ) ; г) exp( | t |) ; д) 1/(1 t 2 ) ; е)
exp( | t |)cos t .
162. Пусть случайные величины Х и Y независимы и
одинаково распределены, их характеристическая функция
(t) известна. Найти характеристическую функцию Z (t ) ,
где Z=X – Y.
163. На вероятностном пространстве , F , P , представляющем собой отрезок [0, 1] с -алгеброй борелевских
множеств и мерой Лебега, определена случайная величина
Х(). Найти характеристическую функцию X (t ) , если: а)
Х() = 2 при 0 1/2, Х() = 2 – 1 при 1/2 1;
б) Х() = ln , Х(0) = 0; в) Х() = 1 при 0 1/3, Х() =
0 при 1/3 < < 2/3, Х() = 1 при 2/3 t.
164. Характеристическая функция суммы двух случайных величин равна произведению характеристических
функций слагаемых. Можно ли утверждать, что слагаемые
независимы?
29
165. Доказать, что функция (t), равная (t) = 1 – | t |
при | t | 1, (t) = 0 при | t | > 1, является характеристической функцией.
166. Пусть независимые случайные величины Х и Y
имеют известные функции распределения FX (z) и FY (z) и
известные характеристические функции X (t ) è Y (t ) соответственно. Найти характеристическую функцию Z (t ) , где
Z = X Y.
p
p
167. Пусть X n
X и X n
Y . Доказать справедливость равенства P( X Y ) 1.
p
p
168. Пусть X n an
0 и X n bn
0 , где a1 , a2 ,
последовательности вещественных чисел. Доказать справедливость равенства lim(an bn ) 0 .
n
p
p
169. Пусть X n
X и Yn
Y . Доказать справедливость соотношений:
p
aX bY ; где a, b – постоянные;
а) aX n bYn
p
X ;
б) | X n |
p
XY .
в) X nYn
p
0 . Доказать справедливость
170. Пусть ( X n X )2
p
X2.
соотношения X n2
a.s .
a.s.
X и Yn
Y . Доказать спра171. Пусть X n
ведливость соотношений:
a.s.
aX bY , где a, b – постоянные; б)
а) aX n bYn
a.s.
| X n |
| X |;
a. s.
XY .
в) X nYn
172. Доказать, что для того, чтобы последовательность случайных величин с вероятностью 1 сходилась к некоторой случайной величине, необходимо и достаточно,
чтобы она была с вероятностью 1 фундаментальной.
30
173. Пусть X 1 , X 2 , – последовательность случайных
величин. Доказать справедливость утверждений:
p
p
а) если X n
a 0 , то X n1
a 1 ;
a. s.
a.s.
б) если X n
a 0 , то X n1
a 1 .
d
174. Пусть X n
a где а – постоянная. Доказать
p
справедливость соотношения X n
a .
175. Привести пример, показывающий, что из сходимости по вероятности не следует сходимость в среднем порядка p > 0.
d
X . Привести пример, когда мате176. Пусть X n
матическое ожидание MX n существует, а математическое
ожидание МХ не существует, и наоборот.
L2
177. Пусть X n
X причем M | X n | , n 1, 2, .
Доказать справедливость соотношений: M | X |
и
lim MX n MX .
n
178.
Пусть
n2 DX n , b .
2 DX ?
d
X n
X,
Справедливо
ли
причем
lim n2 b,
где
b 2,
где
n
равенство
179. Пусть lim M | X n | M | X | . Справедливо ли равенn
ство Изменится ли ответ, если дополнительно известно,
p
X?
что X n
180. Множество исходов = {} образовано точками окружности единичной длины, на которой рассматривается система подмножеств –дуг окружности:
A1 = [0, 1/2), A2 = [1/2, 1/2 + 1/3), …,
An = [1/2 + 1/3 + … + 1/n, 1/2 + 1/3 + … + 1/n + 1/(n + 1)), …
длиной |An| и с вероятностной мерой P(An) = |An| = 1/(n+1) каждая.
Пусть Xn – индикатор множества An, т.е.
31
1 ï ðè An ,
Xn
0 ï ðè An .
Проверить сходимость последовательности X n n 1 а) по веро-
ятности; б) в среднем квадратичном; в) почти наверное.
181. Множество исходов = {} совпадает с множеством точек полуинтервала [0, 1). Рассматривается последовательность подмножеств An : An = [0, 1/n), P(An) = 1/n, n =1,2,…, и случайных
величин
n 2 ï ðè An ,
Xn
0 ï ðè An .
Проверить сходимость последовательности X n n 1 а) по вероятности; б) в среднем квадратичном; в) почти наверное.
182. Пусть g(x1,…,xk) непрерывная вещественная функция k
переменных. Доказать, что если для m: m = 1, 2,…, k при n
p
X mn
X m , то
p
g ( X1n ,,X kn )
g ( X 1 ,,X k ) при n .
d
p
, n
c const 0 . Дока183 Пусть при n n
зать, что тогда
d
X n (n n )
c;
d
Yn n n
c ;
Zn
F
n d
.
n
c
184. Пусть в вероятностном пространстве <,F,P> = [0,1),
– - алгебра с полуинтервалами вида in [(i 1) / n, i / n) ,
i=1,…,n, n = 1, 2, …и P –мера Лебега ( (i, n : P{ in} 1/ n) .
Исследовать сходимость следующих последовательностей случайных величин
X (1) ( ), X 2(1) ( ), X 2(2) ( ), X 3(1) ( ), X 3(2) ( ), X 3(3) ( ), , где,
1
а) X n(i ) ( ) n ï ðè in , X n(i ) ( ) 0 ï ðè \ in ;
б) X n(i ) ( ) n1 ï ðè in , X n(i ) ( ) 0 ï ðè \ in ;
32
в) X n(i ) ( ) n ï ðè in , X n(i ) ( ) n1 ï ðè \ in ;
г) X n(i ) ( ) n1 ï ðè in , X n(i ) ( ) 1 n1 ï ðè \ in ;
2
2
д) X n(i ) ( ) N (min , in
), ãäå lim min 3, lim in
1.
in
in
185. Проводятся испытания Бернулли с постоянной
вероятностью успеха. Пусть случайная величина X i имеет
следующий вид: X i 1, если i-ое и (i+1)-ое испытания закончились успехом, X i 0 в остальных случаях. Выполняется ли для последовательности X 1 , X 2 ,
закон больших
чисел?
186. Пусть случайная величина X n принимает значения n , 0 и n с вероятностями 1/ 2n, 1 1/ n, 1/ 2n соответственно. Выполняется ли для последовательности независимых случайных величин X 1 , X 2 ,
закон больших чисел?
187. Пусть случайная величина X n принимает значения 2n и 2n с вероятностями 1/ 2 . Выполняется ли для последовательности
независимых
случайных
величин
X 1 , X 2 , закон больших чисел?
188. Пусть случайная величина X n принимает значения – п,0 и п с вероятностями 1/ 4, 1/ 2, 1/ 4 соответственно. Выполняется ли для последовательности независимых
случайных величин X 1 , X 2 , закон больших чисел?
189. Пусть X n n 1 – последовательность независимых случай
ных величин, причем X n принимает значения n , n с вероятностями ½ каждое. Выполняется для этой последовательности закон
больших чисел?
190. При каких значениях > 0 к последовательности незави
симых случайных величин X n n 1 , таких, что
33
P X n n P X n n 1 ,
2
применим закон больших чисел?
191. Пусть X n n 1 – последовательность случайных величин
с дисперсиями σi2 . Доказать, что если все корреляционные моменты
(ковариации) Rij случайных величин Xi и Xj неположительны и при
1 n 2
n 2 i 0, то для последовательности X n n 1 выполняется
n i 1
закон больших чисел.
192. Пусть X n n 1 – последовательность случайных величин
с равномерно ограниченными дисперсиями, причем каждая случайная величина X n зависит только от X n1 и X n1 , но не зависит от
остальных X i . Доказать выполнение для этой последовательности
закона больших чисел.
193. Пусть X i i 1 – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием a, Yn ( X 1 ... X n ) / n. Доказать, что к последовательности
Yi i 1 применим усиленный закон больших чисел.
194. Случайная величина X имеет распределение Бернулли с
n
неизвестным параметром p, оцениваемым по формуле p X i n
i 1
(Xi – случайная величина X в i-ом измерении). Сколько нужно сделать измерений случайной величины X, чтобы оценка p с вероятностью q 0,95 отличалась от истинного значения p не более, чем на
величину 0,02? Применить неравенство Чебышева и предельную
теорему. Сравнить результаты.
195. 1000 раз бросается игральная кость. Найти пределы, в которых с вероятностью, большей 0.99, будет находиться суммарное число выпавших очков.
196. Сколько необходимо произвести бросаний «правильной» игральной кости для того, чтобы с вероятностью
не менее 1/2 сумма выпавших очков, превысила 780?
34
197. Книга объемом 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной
странице имеется не менее трех опечаток. (Использовать
нормальное и пуассоновское приближения, сравнить результаты).
198. В тесто для выпечки булок с изюмом замешано N
изюмин. Всего из данного теста выпечено K булок. Оценить вероятность того, что в случайно выбранной булке
число изюмин находится в пределах от а до b.
199. Известный опыт Бюффона с бросанием иглы на
плоскость, расчерченную параллельными прямыми, используется для вычисления числа . В некотором опыте
длина иглы l = 36 мм, расстояние между прямыми а =
45мм, игла брошена п = 5000 раз и m = 2532 раза игла пересекла прямые. Доказать, что последовательность случайных бросаний иглы соответствует схеме Бернулли с веро2l
ятностью «успеха» (игла пересекает прямую) p
. В
a
описанном опыте отклонение | m / n p | не превышает
0.0029. Найти число бросаний иглы, при котором с вероятностью большей 1/ 2 имеет место такое отклонение.
200. Необходимо сложить миллион чисел, округленных с точностью до пятого десятичного знака. В предположении, что ошибки округления всех чисел взаимно независимы и имеют равномерное распределение в соответствующем интервале, найти пределы, в которых с вероятностью 0.95 находится суммарная ошибка округления.
201. В поселке N жителей, каждый из которых в среднем п раз в месяц ездит в город, выбирая дни поездки независимо от остальных. Поезд из поселка в город идет один
раз в сутки. Какова должна быть вместимость поезда для
того, чтобы он переполнился с вероятностью, не превышающей заданного числа ?
202. Каждая из n заключаемых фирмой независимых
35
коммерческих сделок приносит прибыль X, представляющую собой случайную величину, распределение которой
определяется типом сделки. Пусть число возможных типов
сделок равно k, их распределение задано вероятностями
{ p j }kj 1 и для каждого j-го типа сделки известны математическое ожидание mj и дисперсия 2j прибыли ( 2j ). Выразить асимптотическое поведение суммы
n
X
i 1
i
при n
в форме закона больших чисел и центральной предельной
теоремы.
36
Задачи, предлагавшиеся студентам ФУПМ МФТИ в
осеннем семестре 2008 года.
Задача 1. Юноша собирается сыграть три теннисных матча со
своими родителями, и он должен победить два раза подряд. Порядок
матчей может быть следующим отец-мать-отец, мать-отец-мать.
Юноше нужно решить, какой порядок для него предпочтительней,
учитывая, что отец играет лучше матери.
Задача 2. Пусть X и Y независимые с.в., равномерно распределенные на b, b . Найдите вероятность qb того, что уравнение
t 2 tX Y 0 имеет действительные корни. Доказать, что существует lim qb q . Найдите q .
b
Задача 3*. Найдите вероятность qn того, что случайная 0,1 матрица размера n n является невырожденной над полем
GF2 0,1 . Доказать, что существует lim qn q 0 .
n
Для решения следующей задачи можно рекомендовать книгу
В.К. Леонтьев Избранные задачи комбинаторного анализа, МГТУ
2001, стр. 63 - 64, 168.
Задача 4. Пусть - с.в., равномерно распределенная на множестве
всех
пар
векторов
x; y 0,1
n
0,1 ,
n
равная
n
x; y x , y xk yk . Найдите:
k 1
Pk P k , E , D .
Указание. Воспользуйтесь аппаратом производящих функций.
Покажите, что
n
n
n
k 0
k 0
z P k z k Pk z k
xi yi
1
z i 1
n
4 x ; y 0,1n 0,1n
1 n
z 3 .
n
z xk yk
4 k 1 xk ; yk 0, 10, 1
4n
n
Для решения следующих двух задач можно рекомендовать книгу Н. Алон, Дж. Спенсер Вероятностный метод, Бином 2006, стр. 21,
38 – 39.
37
Задача 5* (задача на вероятностный метод). На турнир приехало n игроков. Каждая пара игроков, согласно регламенту турнира, должна провести одну встречу (ничьих быть не может). Пусть
Cnk 1 2 k
nk
1.
Докажите, что тогда игроки могли сыграть так, что для каждого
множества из k игроков найдется игрок, который побеждает их
всех.
Указание. Введите на множестве всех турниров равномерную
2
меру, т.е. считайте, что все 2Cn турнира равновероятны. Введите AK
- событие, состоящее в том, что не существует игрока, побеждающего всех игроков из множества K . Докажите, что
nk
P
AK Cnk 1 2 k . Следовательно,
K 1,...,n, K k
P
AK 0 .
K 1,...,n, K k
Задача 6* (задача на вероятностный метод). Рассмотрим
матрицу n n , составленную из лампочек, каждая из которых любо
включена ( aij 1 ), либо выключена ( aij 1 ). Предположим, что для
каждой строки и каждого столбца имеется переключатель, поворот
которого ( xi 1 для строки i и y j 1 для столбца j ) переключает
все лампочки в соответствующей линии: с “вкл.” на “выкл.” и с
“выкл.” на “вкл.”. Тогда для любой начальной конфигурации лампочек можно установить такое положение переключателей, что разность между числом включенных и выключенных лампочек будет
не меньше
2 1 n3 2 .
Указание. Пусть y1 , …, yn - независимые одинаково распреде 1, p 1 2
ленные с.в., с законом распределения y j
. Введите с.в.
1, p 1 2
n
n
j 1
j 1
Ri aij y j , i 1,..., n и R Ri . Покажите, что с.в. Ri , i 1,..., n
n
распределены также, как с.в. Sn y j . Покажите далее, что
E Ri E Sn
2 1
j 1
n (можно получить точную форму-
лу для E Sn из комбинаторных соображений, а затем воспользо-
38
ваться формулой Стирлинга, однако, более простым вариантом явn
ляется применение ц.п.т. к Sn y j ). Далее следует выбирать с.в.
j 1
a.s.
x1 , …, xn так, что xi Ri Ri , i 1,..., n .
Задача 7* (задача на вероятностный метод). Поверхность
некоторой шарообразной планеты состоит из океана и суши (множество мелких островков). Суша занимает больше половины площади
планеты. Также известно, что суша – есть множество принадлежащее борелевской -алгебре на сфере. На планету хочет совершить
посадку космический корабль, сконструированный так, что концы
всех шести его ножек лежат на поверхности планеты. Посадка окажется успешной, если не меньше четырех ножек из шести окажутся
на суши. Возможна ли успешная посадка корабля на планету?
Указание. Обратим внимание на то, что ответ не зависит от того, какое именно множество представляет собой суша, и как располагаются шесть ножек корабля, на которые он совершает посадку.
Эта задача, на первый взгляд, кажется, не имеет ничего общего с
теорией вероятностей (впрочем, как и предыдущие две). Однако метод ее решения базируется на введении вероятностных объектов и
использовании двух простых фактов: 1) линейности математического ожидания (независимость слагаемых не нужна), 2) если математическое ожидание с.в. больше какого то числа, то существует исход
(точнее говоря исходы, вероятностная мера которых больше нуля)
такой, что с.в. принимает на этом исходе значение больше упомянутого числа (напомним, что, по определению, с.в. – это измеримая
функция на множестве элементарных исходов (измеримая относительно -алгебры, введенной на множестве элементарных исходов)).
Для решения следующей задачи можно рекомендовать книгу
Н.Н. Кузюрин, С.А. Фомин Эффективные алгоритмы и сложность
вычислений, М.: МФТИ 2007, стр. 102 – 107.
Задача 8* (задача о сложности в среднем). Рассмотрим “NPполную” задачу
n
x
j 1
j
max
x j 0,1 , j 1,..., n ;
39
n
a x
ij
j 1
j
1, i 1,..., m
(1)
( aij 0,1 , i 1,..., m , j 1,..., n ).
Булев вектор x длины n будем называть допустимыми, если он
удовлетворяет системе (1). Обозначим через T j множество всех
допустимых булевых векторов для системы (1) с n j нулевыми последними компонентами и через e j - вектор длины n с единичной
j –ой компонентой и с остальными нулевыми компонентами.
Рассмотрим алгоритм: 1) строим множество допустимых решений на основе множества T j 1 , пытаясь добавить вектор e j ко
всем булевым векторам T j 1 ; 2) среди T n допустимых булевых векторов ищем “наилучший”.
а) Покажите, что сложность описанного алгоритма составляет
T n mn . При каких aij 0,1 алгоритм будет работать экспо-
ненциально долго?
б) Оцените сложность в среднем (математическое ожидание
времени работы алгоритма), т.е. E T n mn , если с.в. aij
i , j 1
m ,n
независимые и одинаково распределенные по закону Бернулли
Be p ( mp 2 ln n ).
Указание б). Пусть k 0 . Положим: x j1 ,..., jk - вектор с k едини-
цами (на позициях j1 ,..., jk ) и n k нулями; pki - вероятность выполнения i -го неравенства системы (1) для x j1 ,..., jk ; Pk - вероятность
того, что x k - допустимое решение (покажите, что pki и Pk не зависят от набора
Pk e
mp 2 k 1
Докажите, что pki 1 p 2
j1,..., jk ).
n
n
и E T n Cnk Pk 1 n n e
k 0
k 1 ln nmp 2
k 1
e
p 2 k 1
,
.
k 2
Для решения следующей задаче можно рекомендовать книгу
С.М. Гусейн-Заде, Разборчивая невеста, МЦНМО 2003 (см. также
учебное пособие Ю.А. Розанова [7]).
Задача 9* (задача о разборчивой невесте). В аудитории находится невеста, которая хочет выбрать себе жениха. За дверью выстроилась очередь из N 1 женихов. Относительно любых двух
женихов невеста может сделать вывод, какой из них для неё предпочтительнее. Таким образом, невеста задает на множестве женихов
40
отношение порядка (естественно считать, что если A предпочтительнее B , а B предпочтительнее C , то A предпочтительнее C ).
Предположим, что все N ! вариантов очередей равновероятны и невеста об этом знает (равно, как и число N ). Женихи запускаются в
аудиторию по очереди. Невеста видит каждого из них в первый раз!
Если на каком-то женихе невеста остановится (сделает свой выбор),
то оставшаяся очередь расходиться. Невеста хочет выбрать наилучшего жениха (исследуя k –го по очереди жениха, невеста лишь может сравнить его со всеми предыдущими, которых она уже просмотрела и пропустила). Оцените (при N ) вероятность того, что невесте удастся выбрать наилучшего жениха, если она придерживается
следующей стратегии: просмотреть (пропустить) первых по очереди
N e кандидатов и затем выбрать первого кандидата, который
лучше всех предыдущих (впрочем, такого кандидата может и не оказаться, тогда, очевидно, невеста не смогла выбрать наилучшего жениха).
Задача 10**. Пусть , , P - некоторое вероятностное пространство и A - алгебра подмножеств такая, что A ( A
- наименьшая -алгебра, содержащая алгебру A ). Доказать, что
0, B A A : P A B .
Указание. Решите задачу, используя “принцип подходящих
множеств”. Для этого надо рассмотреть совокупность множеств
B 0 AB A : P AB A . Покажите, что является -алгеброй, а значит, ( A) .
Для решения следующих двух задач можно рекомендовать книгу Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Математическая статистика.
Случайные процессы., М.: ФИЗМАТЛИТ 1987, стр.83-87, стр.226233.
Задача 11** (задача о наилучшем приближении). Предположим, что с.в. X L2 , это означает EX 2 . Докажите, что
X E X Y1 ,..., Yn
L2
min X Y1 ,..., Yn
L2
,
(2)
где - подпространство пространства L2 всевозможных борелевских функций Y1,...,Yn L2 ; E X Y1,...,Yn - условное математическое ожидание с.в. X относительно -алгебры порожденной с.в.
Y1 ,..., Yn , часто говорят просто относительно с.в. Y1 ,..., Yn ;
41
X
L2
X , X L
2
E X X EX 2 .
Пояснение. Утверждение задачи означает, что в гильбертовом
пространстве L2 , , всевозможных квадратично интегрируемых с.в. над заданным вероятностным пространством , , ,
ограниченный линейный оператор условного математического ожидания E Y1,...,Yn : L2 L2 X E X Y1 ,...,Yn есть ни что иное,
как проекция X L2 на подпространство .
Задача 12* (задача о линейной регрессии). Докажите, что если
T
в условиях задачи 11 X , Y1 ,..., Yn - является нормальным случайным вектором (без ограничения общности можно также считать, что
T
Y1,...,Yn - невырожденный нормальный случайный вектор), то в
качестве можно взять подпространство всевозможных линейных
комбинаций с.в. Y1 ,..., Yn . Т.е. мы можем более конкретно сказать на
каком именно классе борелевских функций достигается минимум в
(2).
Указание. Будем искать E X Y1,...,Yn в виде
E X Y1,...,Yn c1Y1 ... cnYn .
Поскольку X , Y1 ,..., Yn - нормальный случайный вектор, то из
условий, которые как нетрудно проверить (проверьте), однозначно
T
определяют вектор коэффициентов c1 ,..., cn ,
T
k 1,..., n X c1Y1 ... cnYn , Yk L E X c1Y1 ... cnYn Yk 0
2
следует (объясните почему), что
X E X Y1,...,Yn и Y1 ,...,Yn - независимые с.в..
Функция - произвольная борелевская функция из L2 . Так как (поясните почему)
E X E X Y1 ,...,Yn 0 , E X E X Y1,...,Yn Y1,...,Yn 0 ,
то X E X Y1,...,Yn ортогонален подпространству пространства
L2 всевозможных борелевских функций Y1 ,...,Yn L2 . Следовательно,
E X Y1,...,Yn c1Y1 ... cnYn
удовлетворяет условию (2).
42
Задача 13 (вырожденный нормальный случайный вектор).
2 5 2 7
x1
x x2 N 3 , 2 5 7 .
x
1 7 7 14
3
а) Найдите распределение случайной величины y1 x1 x2 x3 .
б) Найдите распределение случайной величины y2 x1 x2 x3 .
в) Найдите E y2 x1 5, x2 3 .
г) Найдите E y2 x1 5, x2 3 .
д) Найдите P y2 10 x1 5, x2 3 .
1, t [T , T ]
Задача 14. Может ли функция t
- быть ха0, t [T , T ]
рактеристической функцией некоторой с.в.? Изменится ли ответ, если “чуть-чуть” размазать (сгладить) разрывы функции t в точках
t T ?
Указание. Для ответа на первый вопрос покажите, что если
t - непрерывна в точке t 0 , то она непрерывна везде (можно ли
этот результат обобщить на старшие производные t ?).
Для ответа на второй вопрос покажите, что t не является неотрицательно определенной функцией (см. теорему Бохнера - Хинчина). Для этого достаточно показать, что преобразование Фурье
t не является всюду неотрицательной функцией.
Задача 15. Докажите, что
L2
L1
P
a.s .
X n
X X n
X X n
X X n
X
n
n
n
n
d
X n
X
n
С помощью контрипримеров, покажите, что никакие другие стрелки
импликации в эту схему в общем случае добавить нельзя. При каких
дополнительных условиях можно утверждать, что
a.s.
L1
X n
X X n
X ?
n
n
Дополнение. Поскольку L p , p 1 – банахово пространство, т.е.
полное нормированное (метрическое), то справедлив критерий Коши для сходимости в L p , p 1 . Естественно задаться вопросом: а
справедлив ли этот критерий для других типов сходимости? Оказывается, что да. Для сходимости по вероятности и распределению это
43
следует из того, что обе эти сходимости метризуемы (и в этих метриках пространства полные), т.е. подобно тому, что по определению
L2
X n
X L2 X n , X E X n X
0
n
n
2
можно показать, что
Xn X
P
a) X n
X P X n , X E
0;
n
n
1
X
X
n
d
X d X n , X
0 , где d X n , X - метриб) X n
n
n
ка Леви - Прохорова (см., например, § 7 главы 3, А.Н. Ширяев “Вероятность”, МЦНМО 2004, Т. 1).
Сходимость п.н. не метризуема и для неё нужно доказывать
критерий Коши.
* Докажите п. а).
Задача 16 (задача о лампочке). Пусть с.в. X имеет экспоненциальное распределение с параметром ( X Exp ), т.е.
P X x e x , x 0 . Покажите, что имеет место “отсутствие последействия”:
P X x y X x P X y .
Интерпретация 1) Вы включили лампочку и посчитали вероятность того, что она не перегорит в течение следующих 24 часов.
Затем уехали в отпуск на месяц (при этом, не выключая лампочки).
Если, приехав из отпуска, вы обнаружили, что лампочка не перегорела, то вероятность того, что она не перегорит в течение следующих 24 часов будет такой же, как и при её включении.
2) Вы продаете мороженное (1 шт.) и посчитали вероятность того, что его никто не купит в течение часа. Затем ушли на обед (в это
время вас подменяли). Если, вернувшись с обеда, вы обнаружили,
что мороженное еще не купили, то вероятность того, что его никто
не купит в течение часа будет такой же, как и до обеда.
Для решения следующих двух задач можно рекомендовать книгу А.А. Натан, О.Г. Горбачев, С.А. Гуз Основы теории случайных
процессов, М.: М3 Пресс 2003.
Задача 17 (задача о Пуассоновском процессе). Представьте,
что вы владелец киоска по продаже мороженного (одного вида, скажем, пломбира) и хотите оценить, сколько мороженного K T вам
удастся продать за рабочий день T . Ввиду предыдущей задачи и её
интерпретации, естественно предположить, что
44
n
(**)
K T max n : X k T ,
k 1
где X 1 , X 2 , X 3 ,… независимые одинаково распределенные по закону Exp с.в. ( X k интерпретируется как время между k 1 и k
сделкой (продажей)). Покажите, что
1) вероятность P K T t K T k , где t 0 и k 0,1, 2,... ,
не зависит от T 0 ;
2) n , 0 t1 t2 ... tn K tk K tk 1 k 1 - независиn
мые в совокупности с.в.;
3) P K t 1 t , t 0 ;
4)
n , 0 t1 t2 ... tn , 0 k1 k2 ... kn , k1,..., kn
0
k k
k
t t t2 t1
t t1
P K t1 k1 ,..., K tn kn e
e
k1 !
k2 k1 !
k k
t
t
n
n 1
t t
,
... e
kn kn1 !
в частности K T Po T ;
2
1
2
1
n
n
1
1
...
n 1
n 1
** Проинтерпретируйте пп. 1 – 3 и покажите, что свойство 4
можно вывести исходя только из свойств 1 – 3, т.е. не используя
представление (**).
* Какие из свойств 1 – 3 сохранятся, если заменить требование
X k Exp более слабым FX k t P X k t 1 , t 0 .
Указание. Для нахождения распределения с.в.
n
X
k 1
k
восполь-
зуйтесь аппаратом характеристических функций
x X x X x
n
n
k 1
Xk
k 1
k
k
n
.
Задача 18 (задача о сложном Пуассоновском процессе). В течение рабочего дня фирма осуществляет K T Po T сделок
( K T - с.в., имеющая распределение Пуассона с параметром
T 100 [сделок/час] * 10 [часов]). Каждая сделка приносит доход
Vn R a, b ( Vn - с.в. имеющая равномерное распределение на отрезке a, b [$10, $100] , n - номер сделки). Считая, что K , V1 , V2 ,… -
45
независимые в совокупности с.в., найдите математическое ожидание
K T
V
и дисперсию выручки за день Q T
k 1
k
.
Указание. Обоснуйте следующую выкладку
E Q T E E Q T K T E K T E Vk E K T E Vk .
Для расчета дисперсии D Q T E Q T E Q T используй2
2
те аналогичную идею.
Другой вариант решения – посчитать характеристическую
функцию QT x с.в. Q T
def
Q T x E e
ixQT
E E e
E Vk x
ixQT
K T
K T
def
K T
K T
E Vk x
k 1
x ,
Vk
где K T z - производящая функция с.в. K T . Далее с помощью
QT x по известным формулам посчитать моменты с.в. Q T .
Задача 19. В течение трех лет фирма из предыдущей задачи работала N 1000 дней (длина рабочего дня и параметры спроса не
N
менялись). Оцените распределение с.в. Q N Qk T , где Qk T k 1
выручка за k –ый день. Верно ли, что с.в. Q и Qk NT одинаково
распределены?
Указание. Используя ц.п.т. и неравенство Берри – Эссена покажите, что распределение с.в. Q N будет “близко” (определите
насколько “близко” и в каком смысле “близко”) к нормальному распределению с математическим ожиданием N E Q T и дисперсиN
ей N D Q T .
Задача 20. Пусть x1 ,..., xn - независимые одинаково распределенные с.в.. Пусть также характеристическая функция с.в. xk представляется в окрестности t 0 в виде
xk (t ) E eitx 1 i m t o t .
Используя то, что
d
P
Sn
c Sn
c , где c const (не с.в.)
и
46
d
Sn
S Sn t S t равномерно по t в окрестности t 0 ,
найдите
1 n
P
Sn xi
?.
n i 1
Задача 21. Пусть x1 , x2 , x3 , … - последовательность независиn
мых одинаково распределенные с.в.. Положим Sn xk . Покажите,
k 1
что
P
m , где m E xk ;
1) (з.б.ч.) если E xk , то Sn n
n
2) (ц.п.т.) если E xk , то
2
Sn m n
d
n D
N 0,1 , где D D xk .
n
Дополнение 2)* (задача математической статистики)
Предположим, что независимо n раз кидается монетка с вероятностью выпадения орла в каждом опыте равной p (точного значения
p мы не знаем, а знаем лишь то, что 0.1 p 0.9 ), т.е. xk Be p .
Сколько раз нужно кинуть монетку (оцените n ), чтобы оценка
n
p x xk n с вероятностью 0.95 отличалась от истинного
k 1
значения p не более, чем на величину 0.01 ? Применить неравенство Чебышева и предельную теорему (точность, которую дает
ц.п.т. оцените с помощью неравенства Берри – Эссена). Сравнить
результаты.
Задача 22 (л.п.т. Пуассона). Пусть при каждом n независимые с.в. x1n , x2n , x3n , …, xnn таковы, что xkn Be pkn , где
max pkn
0 ,
n
1k n
n
p
k 1
kn
. Тогда
n
P Sn m
e
n
m
n
, m 0,1, 2,.... , где Sn xkn .
m!
k 1
Дополнение. В течение дня вы играете в казино и участвуете в
N 100 независимых розыгрышах. В каждом розыгрыше вы выигрываете с вероятностью p 0.01 . Оцените вероятность того, что вам
не удастся ни разу выиграть. Оцените вероятности того, что вы выиграете ровно один раз и ровно три раза.
Предположим, что вы ходите играть в казино в течении n 100
дней (количество розыгрышей в день и вероятность выиграть не ме-
47
нялись). Оцените вероятность того, что за эти 100 дней вы в общей
сложности выиграете не менее 100 раз, не менее 300 раз.
Задача 23** (метод Монте-Карло). На плоскости дано ограниченное измеримое по Лебегу множество S . Требуется найти площадь (меру Лебега) этого множества с заданной точностью .
Поскольку, по условию, множество ограничено, то вокруг него
можно описать квадрат со стороной a . Выберем декартову систему
координат в одной из вершин квадрата с осями параллельными стоn
ронам квадрата. Рассмотрим n независимых с.в. X k k 1 имеющих
одинаковое равномерное распределение в этом квадрате, т.е.
X k R 0, a . Введем с.в.
2
Тогда Yk k 1
n
1, X k S
Yk I X k S
.
0,
X
S
k
- независимые одинаково распределенные с.в.. Ясно,
что Yk Be p S . Следовательно, по у.з.б.ч.
Y1 Y2 ... Yn
(S )
a.s.
.
E
Y
p
S
1
n
n
a2
Оцените сверху следующую вероятность
Y Y ... Yn ( S )
P 1 2
2 .
n
a
Задача 24* (опыт Бюффона). На плоскости проведены параллельные прямые на единичном расстоянии друг от друга, и на плоскость наугад бросается иголка длинной L 1. Угол между прямыми
и иголкой и расстояние от середины иглы до ближайшей прямой являются независимыми с.в., равномерно распределенными на соответственно 0,2 и 1 2,1 2 . С помощью серии таких опытов
вычислить число с заданной точностью 1% и с вероятностью
ошибки не больше 5% .
Указание. Игла может пересечь не больше одной прямой. Причем вероятность пересечь одну прямую равна 2 L / .
Для решения задач 25, 29 можно рекомендовать книгу В.А. Зорич, Математический анализ задач естествознания, МЦНМО 2008,
тема 2 (задачу 25 см. также в [1], [7]).
Задача 25* (теорема Шеннона – Макмиллан или основная
теорема теории кодирования). Пусть буква X - дискретная с.в.,
48
принимающая значения из алфавита x1 ,..., xm с вероятностями
p1,..., pm . Имеется случайный текст из n 1 букв X (предполагается, что буквы в тексте не зависимы друг от друга). Общее количество таких текстов 2n log m . Поэтому можно закодировать все эти слова, используя n log m бит. Однако, используя то обстоятельство, что
p1,..., pm - в общем случае неравномерное распределение, предложите лучший способ кодирования, основанный на усиленном законе
больших чисел.
Указание. Пусть : X1 , X 2 ,..., X n , X i 1, 2,..., m пространство элементарных исходов. Вероятность появления слова
X1, X 2 ,..., X n равна p p X1 ... p X n . Покажите, что по
у.з.б.ч.
m
def
1
1 n
a.s.
log p log p X i
p
log
p
i
i H p .
n
n
n i 1
i 1
Будем называть текст - типичным если
n H p
n H p
2
p 2
.
Покажите, что
n H p
1) Существует не более 2 типичных текстов;
2) Для n n , существует, по крайней мере, 1 2
типичных текстов.
3) Множество нетипичных текстов имеет вероятность .
Таким образом, можно осуществить эффективное кодирование данных, используя все двоичные последовательности длины
n H p , чтобы закодировать все - типичные тексты и отбросить нетипичные. Вероятность ошибки при таком кодировании будет не больше . Обратно, любой код, использующий двоичные последовательности длины n H p , имеет асимптотически не исчезающую вероятность ошибки, стремящуюся к единице при n .
Функцию H p , которую можно проинтерпретировать как меру количества информации (в битах на передаваемый символ) в случайном тексте, называют энтропией. nH p характеризует меру неопределённости случайного текста. Ясно, что для p1,..., pm =
1 m ,...,1 m энтропия максимальна H p log m и эффективное
кодирование невозможно.
n H p
Задача 26. До проведения схемы испытаний Бернулли разыгрывается с.в. p имеющая равномерное распределение на отрезке
49
0.1, 0.9
(результаты розыгрыша нам неизвестны). После того как
эта с.в. была разыграна, начинают проводиться опыты по схеме Бернулли (независимо n 1000 раз подкидывается монетка) с вероятность успеха (выпадения “орла”) в каждом опыте равной p (после
того как с.в. p была разыграна, она уже приняла какое-то значения
из отрезка 0.1, 0.9 и рассматривается в серии опытов Бернулли уже
как число, причем не меняющееся от опыта к опыту). В результате
опыта было посчитано значение числа успехов r 777 . Определите
апостериорное распределение с.в. p , т.е. найдите условную плотность распределения p p r 777 . Оцените, как изменится ответ,
если точное значение числа успехов нам неизвестно. Известно только, что r 750, 790 . Т.е. посчитайте условную плотность вероятности p p r 750, 790 .
Задача 27. Показать, что при бросании симметричной монеты n
раз отношения числа выпадений герба к числу выпадений решки почти наверное стремится к 1 при n , а вероятность того, что число выпадений герба в точности равняется числу выпадений решки,
при четном числе бросаний, стремится к 0 при n .
Указание. Первое утверждение следует из у.з.б.ч.. Для доказательства второго достаточно заметить, что упоминавшаяся в услови1
1
ях задачи вероятность равна p 2 n C2nn
. Последнее прибли2
n
женное равенство следует из формулы Стирлинга n! 2 n n / e .
n
Задача 28. Пусть с.в. xn , n . Покажите, что из ц.п.т. следует
xn m( ) n
d
N 0,1 .
n
( ) n
Найдите m( ) , ( ) .
Задача 29* (лемма Пуанкаре). Пусть X n случайный вектор с
равномерным распределением на единичной сфере в n . Равномерное распределение характеризуется тем, что оно инвариантно относительно группы ортогональных преобразований. Пусть Yn - обознаd
чает первую координату X n . Докажите, что nYn
N 0,1 .
n
Заметим, что в статистической физике с помощью утверждения этой
50
задачи получался закон распределения Максвелла скоростей частиц
одномерного идеального газа.
Указание. Пусть 1 , 2 , …, n - независимые в совокупности
с.в., имеющие одинаковое распределение N 0,1 . Положим
Z n 1 , 2 ,..., n . Тогда, Z n N 0, En , где E n - единичная матрица
размера n . Пусть On :
n
странства
.
On Z n N 0, OnT En1On
1
n
n
- ортогональное преобразование проПокажите,
что
тогда
N 0, E . Как было отмечено в условии
n
задачи, равномерное распределение характеризуется тем, что оно
инвариантно относительно группы ортогональных преобразований.
d
X n Zn Zn
Поэтому
Zn Zn
n
n
(обоснуйте эту формулу), т.е.
и
- одинаково распределенные с.в.. Следовательно,
1
d
nYn
Из
Xn
у.з.б.ч.
следует,
что
.
/ n
... / n 1 ,
2
n
...
2
n
2
n
2
n
a.s.
n
поэтому
d
nYn
N 0,1 .
n
Для решения следующей задачи можно рекомендовать книгу
А.Н. Ширяев “Вероятность”, МЦНМО 2004, Т. 2, стр. 531.
Задача 30** (закон “0 или 1” А.Н. Колмогорова). С помощью
задачи 12 докажите справедливость следующего утверждения:
Пусть 1 , 2 ,… - последовательность независимых в совокупности с.в. и A (событие A принадлежит “хвостовой” -алгебр).
Тогда P A может принимать лишь два значения 0 или 1.
Пояснение. Пусть , , P - вероятностное пространство, 1 ,
2 ,… - некоторая последовательность с.в.. Обозначим
n (n ,n1,....) - -алгебру, порожденную с.в. n , n1 ,… и пусть
n .
n 1
Поскольку пересечение -алгебр есть снова -алгебра, то есть -алгебра. Эту -алгебру будем называть “хвостовой” или
“остаточной”, в связи с тем, что всякое событие A не зависит от
значений с.в. 1 , 2 ,… n при любом конечном n , а определяется
51
лишь “поведением бесконечно далеких значений последовательности 1 , 2 ,…”.
Задача 31*. Пусть X n - последовательность независимых с.в.,
P
X . Докажите, что
сходящаяся по вероятности к с.в. X : X n
n
a.s .
с.в. X вырождена, т.е. X x , где x - некоторое число.
Указание. Из курса функционального анализа известно, что из
любой сходящейся по мере (в частности по вероятностной) последовательности измеримых функций (с.в.) можно выделить подпоследовательность сходящуюся почти всюду (п.н.).
a.s.
X nk
X .
k
Теперь утверждение задачи есть следствие закона Колмогорова
0-1.
Для решения следующей задачи можно рекомендовать книгу
Я.Г. Синай Введение в эргодическую теорию, М.: ФАЗИС 1996, стр.
71.
Задача 32. Число из отрезка 0,1 назовем нормально приближаемым рациональными числами, если найдутся c , 0 такие,
что при любом натуральном q
p
c
2 .
p
q q
Используя лемму Бореля - Кантелли докажите, что множество нормально приближаемых чисел на отрезка 0,1 имеет Лебегову меру
1.
Указание. Зафиксируем c , 0 и рассмотрим множество
p
c
Aq 0,1 min 2 .
p
q q
2c
Покажите, что Aq 1 . Таким образом, ряд Aq сходится.
q
q
В силу леммы Бореля-Кантелли отсюда следует нужное утверждение.
Заметим, что эта задача пришла из теории динамических систем
на двумерном торе. Подобного же рода задачи возникают и в КАМ
теории.
min
52
В связи с полученным результатом, будет интересно заметить,
что существует такая бесконечная последовательность qk и соответствующая ей последовательность pk , что
pk
1 1
.
2
qk
5 qk
pk
qk
будет подпоследовательностью последовательности подходящих
1
дробей для числа . Заметим также, что константу
в неравен5
стве уменьшить нельзя.
В теории цепных дробей показывается, что последовательность
53
Контрольная работа по теории вероятностей
ФУПМ МФТИ
24.10.2008 г. (длительность 60 мин.)
Задача 1 (распространение гена). В колонию зайцев внесли
зайца с необычным геном. Обозначим через pk - вероятность того,
что в потомстве этого зайца ровно k зайчат унаследуют этот ген
( k 0,1,2,... ). Это же распределение вероятностей характеризует
всех последующих потомков, унаследовавших необычный ген. Будем считать, что каждый заяц дает потомство один раз в жизни в
возрасте одного года (как раз в этом возрасте находился самый первый заяц с необычным геном в момент попадания в колонию).
Обозначим через G z - производящую функцию распределе
ния pk , k 0,1,2,... , т.е. G z pk z k . Пусть X n - количество зайk 0
цев в возрасте одного года с необычным геном спустя n лет после
попадания в колонию первого такого зайца. Производящую функцию с.в. X n обозначим n z E z X n .
1) Получите уравнение, связывающее n1 z с n z посредством G z .
Указание. Покажите, что E z X n 1 X n G z . Затем возьмите математическое ожидание от обеих частей равенства.
Xn
2) Покажите,
что
вероятность
вырождения
гена
qn P X k 0; k n n 0 .
Существует
ли
предел
q lim qn ? Если существует, то найдите его.
n
Указание. Легко видеть, что функция G z - выпуклая. Уравнение z G z имеет два корня: один в любом случае равен 1,
другой q 1 . Если G 1 1, то q 1 . Если 1 , то q 1 .
Задача 2 (о несимметричной монетке). 1) Имеется монетка
(несимметричная). Несимметричность монетки заключается в том,
что либо орел выпадает в два раза чаще решки; либо наоборот
(априорно (до проведения опытов) оба варианта считаются равновероятными). Монетку бросили 10 раз. Орел выпал 7 раз. Определите
апостериорную вероятность того, что орел выпадает в два раза чаще
54
решки (апостериорная вероятность считается с учетом проведенных
опытов (иначе говоря, это просто условная вероятность)).
2) Определите апостериорную вероятность того, что орел выпадает не менее чем в два раза чаще решки. Если несимметричность
монетки заключается в том, что либо орел выпадает не менее чем в
два раза чаще решки; либо наоборот (априорно оба варианта считаются равновероятными).
Указание. Условия задачи 2) можно понимать, например, следующим образом. Рассмотрим два события A p R 0,1 3 и
A p R 2 3,1 , где p - вероятность выпадения орла, запись
p R 0,1 3 - означает, что с.в. p имеет равномерное распределение
на отрезке 0,1 3 . По условию P A P A 1 2 . Нужно найти
P A r10 7 , где r10 Bi p,10 . Заметим, что
Pr
1
P r10 7 A
10
7 p P p A dp
23
1
3 P r10 7 p dp 3 C
7
10
23
1
p 1 p
7
3
dp .
23
Задача 3 (о кинотеатре). Восемь мальчиков и семь девочек купили билеты в кинотеатр на 15 подряд идущих сидячих мест. Предположим, что все 15! возможных способов сесть равновероятны.
Вычислите среднее число пар рядом сидящих мальчика и девочки.
Например, м, м, м, м, м, м, ж, м, ж, ж, ж, ж, ж, ж содержит три такие
пары.
Указание. Пусть X n , n 1,...,14 - индикатор события, что на n ом и n 1-ом месте сидят мальчик и девочка (неважно в каком порядке). Тогда, EX n P X n 1 . Искомое среднее число пар равно
E X1 ... X 14 .
55
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
, – объединение множеств, дизъюнкция событий;
, – пересечение множеств, конъюнкция событий;
A – дополнение множества A, отрицание события A;
Δ – симметричная разность множеств, строгое «или»
для событий;
\ – разность множеств (событий);
A - мощность множества A (число элементов в A )
a - наибольшее целое, не превосходящее a ( 1.75 1 )
<,F,P> – вероятностное пространство ( – множество исходов, F – -алгебра, P – вероятностная мера);
MX = EX – математическое ожидание случайной величины X;
DX – дисперсия случайной величины X;
N(m,2) – нормальное распределение с параметрами:
m (математическое ожидание) и 2 (дисперсия);
Po() – распределение Пуассона с параметром (интенсивностью) ;
Be(p) – распределение Бернулли с параметром (вероятностью успеха) p;
R[a,b] – равномерное распределение на отрезке [a,b];
*() – функция распределения стандартного нормального распределения N(0,1);
p
– сходимость по вероятности;
a.s.
ï .í .
=
– сходимость почти наверное или с вероятностью 1 (almost significant);
L1
– сходимость в среднем (в смысле L1 );
ñ.ê .
L2
– сходимость в среднем квадратичном
=
(в смысле L2 );
d
– сходимость по распределению;
с.в. – случайная величина;
з.б.ч. – закон больших чисел;
у.з.б.ч. – усиленный з.б.ч.;
ц.п.т. – центральная предельная теорема;
л.п.т. – локальная предельная теорема.
56