Основы теории вероятностей - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
УТВЕРЖДАЮ
Директор
_______________________ /Короткова Е.А./
16 сентября 2014г.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методический комплекс
для студентов
Код и направление подготовки
050100- Педагогическое образование
Профиль подготовки
Начальное образование
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
заочная
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
В.Ф.Слинкина
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методический комплекс
для студентов
Код и направление подготовки
050100.62 - Педагогическое образование
Профиль подготовки
Начальное образование
Квалификация (степень) выпускника
бакалавр
Форма обучения
заочная
филиал Тюменского государственного университета в г.Тобольске
2014
ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ
от 15.09.2014
Содержание: УМК по дисциплине «Основы теории вероятностей» для студентов
направления подготовки 050100. 62- Педагогическое образование профиля подготовки
«Начальное образование», квалификации (степени) выпускника бакалавр
Автор(-ы): Слинкина Валентина Францевна
Объем 66 стр
Должность
ФИО
Дата
согласования
Заведующий
кафедрой
дошкольного и
15.09.2014
начального
образования
Результат
согласования
Примечание
Рекомендовано
к электронному
изданию
Протокол заседания
кафедры от __.09.2014
№1
Протокол заседания
УМК от __.__.2014
№ __
Председатель УМК
(Институт)
ФИО
__.__.2014
Согласовано
Директор ИБЦ
ФИО
__.__.2014
Согласовано
Слинкина В.Ф. УМК по дисциплине «Основы теории вероятностей» для студентов
направления подготовки 050100.62- Педагогическое образование, профиля подготовки
«Дошкольное и начальное образование», квалификации (степень) выпускника бакалавр,
форма обучения - очная. Тобольск, 2014, 66 стр.
УМК составлен в соответствии с требованиями (ФГОС ВПО) по направлению подготовки
050100.62- Педагогическое образование профиль подготовки «Начальное образование».
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте филиала ТюмГУ в г.Тобольске:
«Педагогика»
[электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел
«Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой дошкольного и начального образования. Утверждено
директором филиала Тюменского государственного университета в г.Тобольске.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Л.З. Масловская, кандидат биологических наук.
© филиал Тюменского государственного университета в г.Тобольске, 2014.
© Слинкина В.Ф., 2014.
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Цель дисциплины:
Задачи дисциплины:
– раскрыть студентам мировоззренческое значение математики, углубить
их представление о роли и месте математики в изучении окружающего
мира;
– дать студентам необходимые математические знания, на основе которых
строится начальный курс математики, сформировать умения для
глубокого овладения его содержанием;
– способствовать развитию мышления;
– развивать умения самостоятельной работы с учебными пособиями и
другой математической литературой.
Результаты освоения дисциплины востребованы в следующих видах
профессиональной деятельности:
- учебно-воспитательной,
- научно-методической.
Дисциплина ориентирует на следующие виды профессиональной деятельности
учителя начальных классов.
в области учебно-воспитательной деятельности:
– планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и
разделов программы и в соответствии с учебным планом;
– использование современных научно обоснованных приемов, методов и
средств обучения;
– использование технических средств обучения, информационных и
компьютерных технологий;
– применение современных средств оценки результатов обучения;
– воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных
ценностей и патриотических убеждений на основе индивидуального
подхода;
в области научно-методической деятельности:
– выполнение научно-методической работы, участие в работе научнометодических объединений;
– анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и
повышения своей квалификации.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
Студенты, изучившие дисциплину, должны
знать:
–
определения и свойства случайных событий,
–
основные определения вероятности, геометрической вероятности;
–
операции над событиями;
–
теорему сложения вероятностей;
–
определение условной вероятности;
–
вероятность произведения событий;
–
теорему полной вероятности;
–
схему Бернулли, теорему Муавра – Лапласа, теорему Пуассона.
уметь:
–
проводить операции над событиями;
–
применять теорему сложения вероятностей при решении задач;
–
уметь вычислять вероятность по формулам;
–
вычислять вероятность произведения событий;
–
вычислять полную вероятность
владеть навыками:
–
вычисления случайных событий;
–
вычисления полной вероятности.
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Вид учебной работы
Всего
часов
Семестры
I
II
III
IV
V
VI
VII
Общая трудоемкость
36
Аудиторные занятия
4
Лекции
-
Практические
занятия
VIII
IX
4
(семинары)
Лабораторные работы
не предусмотрены учебным планом
Самостоятельная работа
28
Курсовые работы, рефераты
не предусмотрены учебным планом
Контроль
Вид
4
итогового
контроля
зачет
(зачет, экзамен)
4.СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ
№
Раздел дисциплины
Виды занятий
лк
пр
СРС
I
Случайные события
1
10
2.
Условная вероятность
1
10
3.
Случайная величина
2
8
4
28
Итого
4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
4.2.1. Лекционный курс –не предусмотрен
Таблица 2
4.2.3. Задания для самостоятельной работы студентов
Разделы и темы
Перечень заданий и вопросов для самостоятельного
рабочей программы
изучения
для
самостоятельного
изучения
Случайные
Изучить предложенную литературу, составить
конспекты учебного материала, разобраться в
события
формулах, рассмотреть решение задач, выполнить
домашнюю контрольную работу № 1
Условная
Изучить предложенную литературу, составить
конспекты учебного материала, разобраться в
вероятность
формулах, рассмотреть решение задач, выполнить
домашнюю контрольную работу № 2
Случайная
Изучить предложенную литературу, составить
конспекты учебного материала, разобраться в
величина
формулах, рассмотреть решение задач, и
выполнить домашнюю контрольную работу № 3
Кол-во
часов
5
5
4
5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Мантуров О.В. Курс высшей математики. Учебное пособие для вузов. –М.:
Высш.шк., 2001. – 448с.:ил.
2. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М. 2003 г., 328 с. с ил.
Дополнительная:
1. Каченовский М.И., Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа. Ч.2. / под
пед. Г.Н. Яковлева/ – М., 1981
2. Аматова Г.М. Математика: в 2 кн.: Учеб.пособие для студ. высш.
учеб.заведений / Г.М.Аматова, М.А.Аматов. – М.: Издательский центр
«Академия», 2008.
3. Соминский И.С. Элементарная алгебра. Дополнительный курс.- М.: Наука,
1964. – 200 с.
4. Проскуряков И.В. Числа и многочлены. М.: Просвещение, 1965. - 284 с.
5. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. М.: Советская
наука, 1954. – 560 с.
Интернет ресурсы:
6. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Лекционная аудитория новых информационных технологий:

компьютер Celeron 950hz/128DDR/20Gb/Audio/Video/CD-ROM 50x/ATX или
выше;


мультимедиа проектор;
документкамера;

графопроектор.
7. СОДЕРЖАНИЕ ИТОГОВОГО И ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ
7.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. О понятиях случайного события и вероятности
2. Пространство элементарных событий
3. Операции над событиями
4. Теорема сложения вероятностей.
5. Статистический подход к понятию вероятности.
6. Геометрические вероятности.
7. Теорема умножения вероятностей
8. Формула полной вероятности.
9. Теорема Байеса.
10. Последовательность независимых испытаний (Схема Бернулли).
11. Случайная величина
12. Функции случайных величин
13. Распределение суммы двух случайных величин.
7.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЗАЧЕТУ
. О понятиях случайного события и вероятности
2. Пространство элементарных событий
3. Операции над событиями
4. Теорема сложения вероятностей.
5. Статистический подход к понятию вероятности.
6. Геометрические вероятности.
7. Теорема умножения вероятностей
8. Формула полной вероятности.
9. Теорема Байеса.
10. Последовательность независимых испытаний (Схема Бернулли).
11. Случайная величина
12. Функции случайных величин
13. Распределение суммы двух случайных величин.
7.3. ПЕРЕЧЕНЬ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ
ДОМАШНИХ РАБОТ
1. Составить всевозможные перестановки из элементов множества, если:
1) А = {1};
2) А={5, 6};
3) {а, b , с } .
2. Вычислить значения выражений:
1) 5! + 6!;
2) (52!)/(50!).
3. Найти число размещении:
1) из 10 элементов по 4; 2) из п+4 элементов по п - 2 .
4. 4. Решить уравнение А5n = 30A4n-2.
5. Вычислить:
1) С1315;
2) С46 + С 05 ;
6. Составьте всевозможные перестановки из элементов множества А = {a, b, c, d}
7. Сколько элементов должно содержать множество, чтобы число всех перестановок
из элементов этого множества не превышало 100? было не меньше 200?
8. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
9. Сколькими способами можно распределить 12 классных комнат под 12 учебных
кабинетов?
10. 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было
роздано фотокарточек?
11. Число сочетаний из n элементов по 3 в пять раз меньше числа сочетаний из п + 2
элементов по 4. Найти n.
12. 100 выстрелов, стрелок попал в цель 86 раз. Найти частость попадания в цель
данного стрелка.
13. Из урны, в которой находится 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти
вероятность того, что шар окажется черным.
14. Из урны, в которой находится 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два
шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
15. ( З а д а ч а о в ы б о р к е . ) В партии из N деталей находится М бракованных. Наугад
выбирают n деталей. Найти вероятность того, что из n деталей окажется m
бракованных.
16. Среди 4000 первых чисел натурального ряда имеется 551 простое число. Найдите
частость появления простого числа.
17. Среди 1000 новорожденных оказалось 512 мальчиков. Найдите частость рождения
мальчиков.
18. В урне находится 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что: 1)
наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся
черными.
19. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них
стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по
крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А).
20. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным
либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
21. B ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных.
Контролер взял наудачу 3 детали. Вычислите вероятность того, что хотя бы одна из
взятых деталей оказалась стандартной.
22. В урне находится 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вычислите
вероятность того, что вынутый шар окажется белым, черным или красным.
23. В одной урне находится 4 белых и 8 черных шаров, а в другой—3 белых и 9 черных.
Из каждой урны вынули по шару. Вычислить вероятность того, что оба шара
окажутся белыми.
24. В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу
две детали. Вычислить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
25. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга.
Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания
рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найдите
вероятность того, что в течение часа ни один из автоматов не потребует внимания
рабочего.
26. В урне находится 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты два шара.
Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
27. На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40%
деталей от их общего количества, на втором—35% и на третьем—25%, причем на
первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором—80% и на
третьем—70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого
сорта?
28. В первом ящике имеется 8 белых и 6 черных шаров, а во втором—10 белых и 4
черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар—черный. Найти
вероятность того, что был выбран первый ящик.
29. В урну, содержащую три шара, положили белый шар, после чего из нее наугад
вынули один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется
белым, если все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по
цвету) равно- возможны.
30. В ящике сложены детали: 16 деталей с первого участка, 24—со второго и 20—с
третьего. Вероятность того, что деталь, изготовленная на втором участке,
отличного качества, равна 0,6, а для деталей, изготовленных на первом и третьем
участках, вероятности равны 0,8. Найдите вероятность того, что наудачу
извлеченная деталь окажется отличного качества.
31. На двух автоматах производятся одинаковые детали, которые поступают на общий
конвейер.
Производительность
первого
автомата
втрое
больше
производительности второго. Первый автомат в среднем производит 80% деталей
первого сорта, а второй—90%. Взятая наудачу с конвейера деталь оказалась
первого сорта. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым
автоматом.
32. Имеется три партии деталей по 30 шт. в каждой. Число стандартных деталей в
первой, второй и третьей партиях соответственно равно 30, 25 и 20. Из
произвольно
выбранной
партии
наудачу
извлечена
деталь,
оказавшаяся
стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично наудачу извлекают деталь,
которая также оказывается стандартной. Найдите вероятность того, что детали
были извлечены из третьей партии.
33. Вероятность попадания в цель п р и одном выстреле составляет 0,8. Найдите
вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.
34. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность из того, что из
5 посеянных семян взойдет не менее 4?
35. При обработке деталей на станке в среднем 4% из них бывают с дефектами. Какова
вероятность того, что каждые две детали из 30 взятых на проверку окажутся с
дефектами?
36. Число сочетаний из п элементов по 4 относится к числу сочетаний из п + 2
элементов по 5, как 5:18. Найдите п.
37. В ящике находится 6 белых и 10 черных шаров. Наудачу вынимают два шара.
Найдите вероятность того, что оба шара окажутся черными.
38. В первой урне находится 10 белых и 2 черных шара, а во второй—4 белых и 8
черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба
шара окажутся черными?
39. На отдельных карточках написаны буквы «и», «л», «о», «с», «ч». После
перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом.
Вычислите вероятность того, что из этих букв составится слово «число».
40. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в цель для первого,
второго и третьего стрелков соответственно равны 3/4, 4/5 и 9/10. Найдите
вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.
41. Известно, что 3/4 учащихся группы имеют второй спортивный разряд, а 1/4 —
первый. Найдите вероятность того, что среди трех выбранных наугад учащихся
двое имеют второй спортивный разряд и один—первый.
42. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность
того, что по крайней мере один из четырех билетов выиграет?
43. В турнире участвуют 10 шахматистов, имеющих одинаковые шансы на любой исход
в каждой встрече (одной для каждых двух участников). Какова вероятность того,
что один из участников выиграет все встпечи?
44. В ящике находится 60 стандартных и 40 нестандартных деталей. Найдите
вероятность того, что из взятых наудачу двух деталей одна окажется стандартной, а
другая —нестандартной.
45. Талоны,, свернутые в трубочку, занумерованы всеми двузначными числами.
Наудачу берут один талон. Какова вероятность того, что номер взятого талона
состоит из одинаковых цифр?
46. В ящике находятся детали, из которых 12 изготовлены на первом станке, 20—на
втором и 16 — на третьем. Вероятность того, что детали, изготовленные на первом,
втором и третьем станках, отличного качества, соответственно равны 0,9, 0,8 и 0,6.
Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного
качества.
47. В урне 12 шаров. Среди этих шаров 3 белых и 9 черных. Какова вероятность того,
что наудачу вынутый шар окажется белым?
48. На двух поточных линиях производятся одинаковые изделия, которые поступают в
ОТК.
Производительность
первой
поточной
линии
вдвое
больше
производительности второй. Первая поточная линия в среднем производит 70%
изделий первого сорта, а вторая—90%. Наудачу взятое в ОТК на проверку изделие
оказалось первого сорта. Найдите вероятность того, что это изделие произведено
на первой поточной линии.
49. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь,
что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер
набран правильно?
50. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные
наудачу 3 лампы окажутся исправными?
51. Из урны, в которой находятся 3 белых, 4 черных, 5 красных шаров, наудачу
вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется а) белым, б)
черным, в) желтым, г) красным?
52. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма .очков,
выпавших на двух костях, окажется равной 8?
53. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди
первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?
54. Первенство по баскетболу разыгрывают 18 команд, среди которых 2 команды
экстракласса. Для уменьшения общего числа игр команды путем жеребьевки
разбиваются на две равные группы. Какова вероятность того, что две команды
экстракласса окажутся: а)в разных подгруппах; б)в одной подгруппе?
55. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны соответственно
0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определите вероятность: а) хотя бы
одного попадания в мишень; б) одного попадания в мишень.
56. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Вычислите вероятность того, что
студент знает предложенные ему экзаменатором два вопроса.
57. Могут ли несовместные события быть попарно независимыми?
58. Являются ли независимыми в совокупности события, образующие полную систему
событий?
59. Опыт состоит в двукратном подбрасывании монеты. Рассмо-. трите события: А
(герб появился в первый раз), В (герб появился хотя бы один раз), С (герб появился
во второй раз). Определите, зависимы или независимы пары событий А и В, В и
С, С и А.
60. Бросаются две игральные кости. Рассмотрите события:
А — на первой кости выпало нечетное число очков,
В — на второй кости выпало нечетное число очков,
С — сумма очков, выпавших на двух костях, нечетна.
Будут ли события А, В, С попарно независимыми, будут ли они независимыми в
совокупности?
61.Рабочий обслуживает 3 станка, каждый из которых работает независимо от двух
других. Вероятности того, что за смену станки не потребуют вмешательства
рабочего, равны соответственно р1 = 0,4; р2 = 0,3; р3 = 0,2. Найдите вероятность
того, что за смену по крайней мере один станок потребует вмешательства
рабочего.
62. Участок электрической пепи состоит из трех элементов;
каждый из которых работает независимо от двух других. Элементы не выходят из
строя за определенный промежуток времени соответственно с вероятностью
р1=0,9, р 2 =р 3 = 0,7. Определите вероятность нормальной работы всего участка.
63. Два участка электрической цепи составлены по схемам, изображенным на рисунке.
Каждый элемент работает независимо от остальных и не выходит из строя в
течение определенного промежутка времени с вероятностью р. Определите
вероятность нормальной работы каждого участка. Какой участок цепи является
более надежным?
64. В телевизоре 12 ламп. Каждая лампа работает независимо от остальных и не
выходит из строя в течение года с вероятностью р. Какова вероятность того, что в
течение года хотя бы одна лампа выйдет из строя?
65. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы шестерка появилась хотя бы
один раз с вероятностью, большей 0,9?
66. Из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара, двое поочередно извлекают по
одному шару. Определите для каждого участника вероятность первым извлечь
белый шар.
67. Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 — во втором, остальные — в
третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,9, второй цех—с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что
взятая наудачу деталь будет отличного качества?
68. Прибор,работает в двух режимах: в благоприятном и в неблагоприятном, причем в
благоприятном режиме работа прибора происходит в 80% всех случаев.
Вероятность выхода прибора из строя в течение часа при благоприятном режиме
работы равна 0,1, при неблагоприятном — 0,7. Определите вероятность
безотказной работы прибора в течение часа.
69. Три станка производят соответственно 50%, 30% и 20% всех изделий. В их
продукции брак составляет соответственно 1%, 2% и 1,5%. Какова вероятность того,
что выбранное наугад изделие окажется бракованным?
70. Радиолампа поступила с одного из трех заводов соответственно с вероятностями
0,25; 0,50 и 0,25. Вероятность выйти из строя в течение года для ламп,
изготовленных первым заводом, равна 0,1, вторым заводом — 0,2 и третьим — 0,4.
Определите вероятность того, что лампа проработает год.
71. Два автомата производят одинаковые изделия. Производительность первого
автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат дает 60%
первосортных изделий, второй 84%'. Наудачу выбранное изделие оказалось
первосортным. Какова ве< роятность того, что оно изготовлено первым
автоматом?
72.Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенный
контроль признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и
нестандартную — с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие,
прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту?
73. Прибор состоит из двух узлов, причем для работы прибора необходима
исправность каждого узла. Надежность (вероятность безотказной работы в течение
времени t) первого узла равна р1, второго p2. Прибор испытывался в течение
времени t и вышел из строя. Определите,вероятность того, что вышел из строя
только первый узел, а второй исправен.
74. В урне лежат четыре шара, причем все предположения о числе белых шаров в урне
одинаково вероятны. Взятый наудачу из урны шар оказался белым. Какова
вероятность того, что и следующий шар, вынутый из урны, также окажется белым?
75. В урне лежат п шаров, причем все предположения о числе белых шаров,
находящихся в урне, одинаково вероятны. Взятый наудачу из урны шар оказался
белым. Какова вероятность того, что и следующий шар, извлеченный из урны,
также окажется белым?
76. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб появится два
раза?
77. Вероятность того, что суточный расход газа на предприятии не превысит нормы,
равна 0,9. Какова вероятность того, что в течение недели предприятие трижды
допустит перерасход газа?
78. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится не менее
двух раз?
79. Если вероятности выигрыша и проигрыша в одной партии одинаковы и равны 0,5,
то что более вероятно: а) выиграть три партии из четырех или пять из босьми; б)
выиграть не менее трех партий из четырех или не менее пяги партий из восьми?
80. Событие А при однократном осуществлении опыта наступает с вероятностью 2/3.
Определите вероятность того, что при пятикратном осуществлении опыта событие
А произойдет 5 раз, 4 раза, 3 раза, 2 раза, 1 раз, не произойдет ни разу.
81. По мишени производится 100 выстрелов. Каково наивероятнейшее число
попаданий, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 5/6?
82. Рабочий обслуживает 50 станков. Вероятность того, что в течение смены станок
потребует регулировки, равна 1/3. Что более
вероятно: а) регулировки потребуют 17 станков, б) регулировки потребуют 16
станков?
83. В приборе шесть ламп. При повышении напряжения в цепи каждая лампа выходит
из строя независимо от других' с вероятностью 0,3. При перегорании трех или
меньшего числа ламп прибор не выходит из строя. При перегорании четырех ламп
прибор выходит из строя с вероятностью 0,3, при перегорании пяти ламп — с вероятностью 0,7, при перегорании шести ламп — с вероятностью 1. Определите
вероятность выхода прибора из строя при повышении напряжения.
84. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наугад вынимаются два шара.
Найдите MX и DX, если X — число вынутых белых шаров.
85. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в
партии из 5000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с
вероятностью 0,02.
86. Из всей выпускаемой заводом продукции 98% составляют изделия со знаком
качества. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа изделий со
знаком качества в партии из 5000 изделий.
87. Имеются 4 лампы, каждая из которых с вероятностью 1/3 имеет дефект. При
ввинчивании в патрон дефектная лампа сразу перегорает, и тогда ввинчивается
следующая. Рассмотрите случайную величину X — число ввинченных ламп.
Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной
величины X.
88. При бросании трех костей игрок выигрывает 10 рублей, если на всех костях
выпадет шесть очков. В случае выпадения шести очков только на двух костях игрок
получает рубль. Сколько должен стоить билет, дающий право на участие в такой
игре, чтобы игра была выгодной?
89. Мишень в тире представляет собой круг, разделенный на три конгруэнтных
сектора, занумерованных цифрами 1, 2, 3. Во время выстрела мишень вращается,
так что стрелок не различает секторов и стреляет наугад. При попадании в сектор 1
стрелок выигрывает рубль, в сектор 2 — два рубля, в сектор 3 — три рубля.
Стоимость билета, дающего право на один выстрел, — полтора рубля. Выгодна ли
такая игра тому, кто попадает в мишень с вероятностью: а) 0,7; б) 0,8; в) 0,75?
8. ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
Раздел 1. Элементы комбинаторики
Соединения – это группы элементов некоторого конечного
множества.
В
элементарной
алгебре
рассматриваются
3
вида
соединений: размещения, перестановки и сочетания [2][5]. Остановимся на вопросе о подсчёте числа таких
комбинаций.
Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества
данного множества из n элементов (m<n), отличающиеся
друг от друга порядком следования элементов или хотя бы
одним элементом. Например, из 3-х цифр 7,8,9 можно
составить 3 числа по одной цифре: 7, 8, 9 , – шесть
чисел по 2 цифры:
Число всех возможных комбинаций из n элементов по m
обозначается
(arrangement(фр.)
вычисляется по формуле:
-
размещение)
и
Перестановки – упорядоченные n-элементные соединения
из n элементов данного множества, отличающиеся лишь
порядком элементов. Число перестановок из n элементов
(1.2)
Например,
и т.д.
Сочетания – неупорядоченные m-элементные соединения из
n элементов данного множества, отличающиеся хотя бы
одним элементом. Число различных сочетаний из n
элементов по m обозначается
(лат.) - соединять).
символом
(1.3)
Например,
(combinare
Используя основное свойство числа сочетаний
мы упростим вычисления
,
.
Кроме
этого
свойства
используется следующее:
числа
сочетаний
часто
.
Кроме того, принята, по определению, запись:
Задачи
Задача №1. В розыгрыше первенства страны по футболу
приняло участие 16 команд. Сколькими способами могут
быть распределены золотые и серебряные медали?
Решение. Золотую медаль может получить одна из 16
команд. После чего одна из 15 команд может иметь
серебряную медаль. Общее число способов, которыми могут
быть
распределены
золотая
и
серебряная
медали,
равно
(правило произведения).
Задача №2. В кафе предлагают 5 первых блюд, 6 вторых и
4 третьих. Сколькими способами можно составить обед?
Решение. Согласно правилу произведения число способов
равно
.
Задача
№3.
В
классе
изучают
10
предметов.
В
понедельник 6 уроков (все уроки разные). Сколькими
способами можно составить расписание на понедельник?
Решение.
Здесь
нужно
воспользоваться
формулой
размещения из 10 элементов по 6:
.
Задача №4. Сколькими способами можно
шоколадок 14 лицам? (1 место – 1 плитка).
Решение.
1.Все плитки различны. Число способов
размещений из 14 по 6:
.
разделить
равно
6
числу
2.Все плитки одинаковы.
сочетаний из 14 по 6:
Число
способов
равно
числу
Задача №5. В группе 20 мальчиков и 20 девочек. Все
умеют
петь,
танцевать,
декламировать.
Сколькими
способами можно составить дуэты из учащихся групп?
Решение. Число способов выбрать из 20 мальчиков певца,
танцора и декламатора равно числу размещений из 20 по 3
. Аналогично из 20 девочек:
. Общее число
способов выбора дуэтов певцов, танцоров и декламаторов
по правилу произведения равно
способов.
Задача
№6.
Необходимо
укомплектовать
экипаж
космического корабля в составе: командир корабля, I его
помощник, II его помощник, 2 бортинженера, 1 врач.
Командующая
тройка
может
быть
отобрана
из
25
готовящихся к полёту лётчиков; 2 бортинженера – из 20
специалистов,
в
совершенстве
знающих
устройство
космического корабля; врач – из числа 8 медиков.
Сколькими
способами
можно
укомплектовать
экипаж
корабля?
Решение.
.
Задача №7. Из 30 последовательных натуральных чисел:
1, 2, 3, … 30 выбирают 3 числа так, чтобы их сумма была
чётной. Сколько способов такого выбора?
Решение. Сумма трёх чисел чётная, если все они чётные
или из трёх 2 нечётные и 1 чётное. Например,
2 + 4 + 6 =12 и 3 + 5 + 2 = 10.
Следовательно, число способов необходимого выбора
равно сумме числа сочетаний из 15 чётных чисел по 3 и
числа сочетаний из 15 нечётных чисел по 2, умноженного
на число чётных, т.е. 15.
.
Задача №8. Сколькими способами можно расположить на
шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять
друг друга?
Решение. Один из способов показан на рисунке, а общее
число способов равно числу перестановок из восьми:
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
рис.1
Задача
№9.
На
тренировках
занимаются
12
баскетболистов. Сколько разных стартовых пятёрок может
образовать тренер?
Решение. Т.к. нас интересует только состав, то имеем:
Раздел 2. Классическое определение вероятности (теория
урн)
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа
m
результатов
(исходов)
эксперимента,
благоприятствующих появлению события А, к числу n всех
равновозможных результатов эксперимента:
(2.1)
При этом
.
Например, вероятность выпадения числа
бросании правильной монеты равна 1/2.
при
одном
Задачи
Используя формулы и результаты решения задач раздела
1, решим задачи на вычисление вероятности события (по
классическому определению).
Задача №10. В урне 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров,
не различимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны.
Наудачу
достают
1
шар.
Найти
варианты
событий:
извлечённый шар красный (событие А), синий (событие B),
белый (событие С).
Решение. Всего исходов эксперимента, состоящего в
извлечении одного шара, 20=3+8+9, т.е. в формуле (2.1),
n=20. Событию А благоприятствует 8 исходов, т.е. mА=8,
аналогично mВ=3, mС=9.
По формуле (2.1) имеем:
Примечание. Если сложить полученные вероятности, то
получим 1, т.е. Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1, что говорит о
том, что А, В и С составляют полную группу событий (см.
раздел 3).
Задача №11. В расписании 3 лекции по разным предметам.
Всего
на
курсе
изучается
10
предметов.
Какова
вероятность
того,
что
студент,
не
знакомый
с
расписанием, угадает его, если все варианты составления
расписания на день равновозможные.
Решение. Всего комбинаций из 3-х предметов, выбранных
из 10 и отличающихся друг от друга хоть одним предметом
или порядком их следования, т.е. размещений из десяти
элементов по три, можно получить:
.
Нам
нужна
только
угадать расписание:
одна
комбинация
вероятность
.
Задача №12. На 8-ми одинаковых карточках написаны 2,
4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Найти вероятность того, что
образованная из 2-х чисел дробь сократима.
Решение. Всех исходов столько, сколько есть вариантов
выбора двух карточек из 8 одинакового формата Þ
Из них только
.
карточек благоприятствуют событию А,
т.к. только 5 чисел 2, 4, 6, 8, 12 сократимы Þ
.
.
Задача №13. Из 60 экзаменационных вопросов студент
подготовил 50. Найти вероятность того, что вытянутый
билет из 2 вопросов будет состоять из подготовленных
вопросов.
Решение.
Задача №14. Из 30 карточек с буквами русского алфавита
наудачу выбирают 4 карточки. Чему равна вероятность
того, что эти 4 карточки в порядке выхода составят
слово "небо"?
Решение.
15
.
Задача №15. На полке расставлено наудачу 10 книг.
Определить вероятность того, что 3 определённые книги
окажутся рядом.
Решение.
Пояснение. При
принимаем за одну.
.
вычислении
m
три
указанные
книги
Задача №16. В лотерее 1000 билетов. Из них 500
выигрывают, 500 проигрывают. Куплено 2 билета. Найти
вероятность того, что оба билета выиграют.
Решение.
Пусть
случайное
событие
А={2
билета
выигрывают}, тогда:
Задача №17. Наудачу выбирается 5-тизначное число.
Какова вероятность события:
А = {число симметрично относительно центральной
цифры};
В = {число кратно 5};
С = {число состоит из нечётных цифр}.
Решение. Всего пятизначных
(правило произведения).
чисел:
Задача №18. В коробке 15 одинаковых изделий, 5 из них
окрашены. Наугад извлекают 3 изделия. Найти вероятность
того, что
a)
все 3 изделия окрашены;
b)
одно изделие окрашено.
Решение. Рассмотрим события:
А1 = {все 3 изделия окрашены};
А2 = {из всех 3 изделий только 1 окрашено}.
Задача №19. Среди 12-ти студентов, 7 из которых
девушки, раздают 5 билетов. Найти вероятность того, что
среди обладателей билетов будут 3 девушки (событие А).
Решение.
Задача №20. Из колоды карт (36 штук) наудачу извлекают
3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется
туз.
Решение.
.
Задача №21. Из 10 изделий, из которых 3 бракованные,
наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти
вероятность того, что:
a)в полученной выборке все изделия бракованные;
b)в полученной выборке 2 изделия бракованные.
Решение.
А={в полученной выборке все изделия бракованные};
B={в полученной выборке 2 изделия бракованные};
.
Задача
№22.
Дано
пять
отрезков,
длины
которых
составляют соответственно 1, 3, 5, 7, 9. Определить
вероятность того, что из взятых наудачу 3-х отрезков из
данных пяти можно построить треугольник (событие А).
Решение. Всего отобрать 3 отрезка из заданных 5-ти
можно
вариантами, т.е.
; благоприятных
или a-b<c) только 3: (3,5,7), (3,7,9), (5,7,9)
(a b>c
.
Задача №23. Кандидаты в студенческий совет: 3 – от Iго курса, 5 – от II-го, 7 – от III-го. Выбираются
наудачу 5 человек на конференцию. Найти вероятность
того,
что
делегация
будет
состоять
из
1-го
первокурсника, 2-х второкурсников, 2-х третьекурсников.
Решение. Пусть А = {делегация состоит из 1-го
первокурсника,
2-х
второкурсников,
2-х
третьекурсников}.
Тогда:
Задача
№24.
Наугад
выбирают
6
клеток
из
49
(спортлото).
Найти
вероятность
того,
что
будет
правильно угадано 3 клетки (событие А), 6 клеток
(событие В).
Решение.
Раздел 3. Алгебра событий
Исходя из определения суммы и произведения событий,
совместных
и
несовместных
событий,
зависимых
и
независимых событий, основных теорем алгебры событий
[1],[2] запишем основные формулы, связанные с ними.
Пусть рассматриваются события А и В, которые могут
произойти в данном эксперименте с вероятностью Р(А) и
Р(В) соответственно.
Если эти события несовместны, то имеет место формула:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (3.1)
Если события А и В совместные, то:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (3.2)
Если события А и В независимые, то:
, (3.3)
в противном случае
(3.4)
Здесь Р(В/А) и Р(А/В) – условные вероятности.
Задачи
Задача №25. Вероятность попадания стрелком в I-ю
область мишени равна 0,45, во II-ю – 0,35, в III-ю –
0,15. Найти вероятность того, что при одном выстреле
стрелок попадёт в I-ю или во II-ю область мишени
(рис.2).
Рис.2
Решение. Пусть:
А1 ={попадание в I-ю область},
А2 ={попадание во II-ю область}.
События А1 и А2 несовместны при одном выстреле. Поэтому
Задача №26. Из 10 тыс. лотерейных билетов:
10 – по 200 грн., 100 – по 100 грн.,
500 – по 25 грн., 1000 – по 5 грн. выигрыша.
Найти вероятность того, что купленный билет будет
содержать выигрыш не менее 25 грн.
Решение. Пусть события:
А = {выигрыш в случайно купленном билете не менее 25
грн.};
А1 ={выигрыш составил 25 грн.};
А2 ={выигрыш составил 100 грн.};
А3 ={выигрыш составил 200 грн.};
Тогда вероятность выигрыша 25 грн.
.
Аналогично,
Очевидно, что событие А представляет собой сумму
событий А1, А2, А3, несовместных между собой, поэтому:
Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3) = 0,061.
Задача №27. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров.
Во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого
вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара
белые.
Решение. Пусть:
А={белый шар из 1го ящика};
В={белый шар из 2го ящика}.
Тогда:
События A и В независимы
.
Задача №28. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность
попадания для 1-го стрелка (событие А) равна 0,75, для
2-го (событие В) – 0,8, для 3-го (событие С) – 0,9.
Определить вероятность того, что все три стрелка
одновременно попадут в цель (событие D).
Решение. События A, B, C – независимы
Задача №29. В условиях задачи №28 найти вероятность
того, что в цель попадёт хотя бы один стрелок (событие
R).
Решение. Найдём вероятность того, что в цель не
попадёт ни один стрелок (событие
Т.к.
равно
-
событие,
).
противоположенное
событию
R,
оно
Задача №30. Найти вероятность попадания стрелком в
цель при одном выстреле (событие В), если вероятность
события
А={хотя
бы
одно
попадание
в
цель
при
4-х
выстрелах}=0,9984
Решение
=0,9984,
=
{ни
одного
попадания
в
цель
при
4-х
выстрелах}
Вероятность непопадания при одном выстреле равна:
Окончательно получаем:
=
Задача №31. Студент обходит 3 библиотеки. Вероятность
того, что книга есть в каждой из 3-х библиотек равна р1,
вероятность того, что имеющаяся книга не выдана, равна
р2. Какова вероятность того, что студент достанет книгу
хотя бы в одной из библиотек.
Решение.
А1 = {достанет книгу в 1-ой библиотеке};
А2 = {достанет книгу во 2-ой библиотеке};
А3 = {достанет книгу в 3-й библиотеке};
В1 = {книга есть};
В2 = {книга не выдана};
= {не достанет ни в одной библиотеке}.
– вероятность того, что студент достанет
книгу хотя бы в одной библиотеке.
Задача №32. Охотник выстрелил 3
цели. Вероятность попадания в цель
равна 0,8. Вероятность попадания в
выстрела
уменьшается
на
0,1.
попадания в цель 2 раза (событие D).
раза по удалённой
в начале стрельбы
цель после каждого
Найти
вероятность
Решение. Пусть
A= {попадание в цель при 1-ом выстреле};
B= {попадание в цель при 2-ом выстреле};
C={попадание в цель при 3-ем выстреле}.
Тогда
P {A} = 0,8; P {B} = 0,7; P {С} = 0,6.
.
Задача №33. Вероятность того, что первый из 3-х
человек придет, равна 0,8. Вероятность того, что второй
придет, равна 0,4. Вероятность того, что придёт третий,
равна
0,7.
Найти
вероятность
того,
что
встреча
состоится, если для этого нужно, чтобы пришли хотя бы
двое из трёх.
Решение. Пусть
A={придёт первый};
B={придёт второй};
C={придёт третий};
D={придут хотя бы двое из трёх}.
Тогда:
Ответ: 0,488.
Задача №34. В зависимости от наличия сырья предприятие
может
отправить
заказчикам
в
сутки
определённое
количество продукции от 1 до 100 ед. Найти вероятность
того,
что
полученное
количество
продукции
можно
распределить без остатка:
a)
3-м заказчикам (событие А);
b)
4-м заказчикам (событие В);
c)
12-ти заказчикам (событие С);
d)
3-м или 4-м заказчикам (событие D).
Решение.
C=A
B, D=A
B.
События А и В совместные
Задача №35. Рабочий обслуживает 2 станка. В течение 8ми часов каждый из станков приостанавливается по разным
причинам. Получасовые остановки равновероятны. Найти
вероятность того, что в данный момент времени только 1
станок работает. Найти вероятность того, что работают
оба станка.
Решение.
С={в данный момент работает только один станок};
D={в данный момент работают оба станка};
A1={работает первый станок};
A2={работает второй станок}.
Задача №36. В читальном зале 6 учебников по теории
вероятностей
(т.в.).
Из
них
3
–
в
переплете.
Библиотекарь наудачу взял 2 учебника. Найти вероятность
того, что оба учебника в переплете.
Решение. Пусть события:
A = {I-ый учебник в переплете}
B={II-ой учебник в переплете}
С={оба учебника в переплете}.
Тогда:
Иначе:
Задача №37. В ящике детали 3-х сортов: 5 – I-го сорта,
4 – II-го, 3 – III-го. Из ящика наудачу извлекается 1
деталь и не возвращается в ящик. Найти вероятность
того, что при первом испытании появится деталь I-го
сорта (событие А), при втором испытании – II-го сорта
(событие В), при третьем – третьего сорта (событие С).
Решение.
(всего деталей 12)
Задача №38. Вероятность попадания в 1-ю мишень
(событие А) для данного стрелка равно 2/3. Если стрелок
попал в первый раз, то он получает право на второй
выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих
мишеней при 2-х выстрелах равна 0,5. Найти вероятность
поражения второй мишени.
Решение. Пусть:
А={поражение 1-й мишени};
В={поражение 2-й мишени};
С={поражение обеих мишеней}.
, но т.к. А и В – события зависимые, то:
По условию,
Задача
№39.
4%
всей
продукции
–
брак.
75%
небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого
сорта. Найти вероятность того, что выбранное изделие
первого сорта.
Решение.
Пусть:
A={изделие первого сорта};
В={изделие небракованное};
Тогда:
Задача №40. Абонент набирает наугад последнюю цифру
телефона. Определите вероятность того, что:
a)
В1 ={придется звонить не более 3-x раз};
b)
В2 ={то же, но при условии, что неизвестная
цифра нечётная}.
Решение. А1 ={в 1 раз набрал нужную цифру};
А2 ={во 2-й раз набрал нужную цифру};
А3 ={в 3-й раз набрал нужную цифру}.
Вероятность того, что за 3 раза он не набрал нужную
цифру, равна:
Вероятность того, что в течение этих 3-х раз набрал
хотя бы один раз нужную цифру, равна:
При условии, что набираемая цифра нечётная, имеем:
Задача №41. В лотерее имеются 10 билетов, из них 5
билетов стоимостью по 1 грн, 3 билета – по 3 грн, 2
билета – по 5 грн. Наудачу берут 3 билета. Найти
вероятность того, что хотя бы 2 из этих билетов имеют
одинаковую стоимость.
Решение. Всего способов выбрать 3 билета из 10-ти
.
Обозначим A={все 3 билета разные}.
Тогда:
Событие
{хотя бы 2 билета одинаковой стоимости}
является противоположным событию А, поэтому:
Задача №42. Спортсмены на соревнованиях делают 1
упражнение
с
3-х
попыток.
Вероятность
успешного
выполнения 1-й попытки равна 0,8. Вероятность успешного
выполнения 2-й попытки равна 0,7. Вероятность успешного
выполнения 3-й попытки равна 0,4. Найти вероятность
того, что спортсмен успешно выполнить это упражнение
(событие А).
Решение.
А1 = {успех в 1-й попытке};
А2 = {успех во 2-й попытке};
А3 = {успех в 3-й попытке}.
Иначе:
Задача №43. 68% мужчин, достигших 60-летия, достигают
и 70-летия. Найти вероятность того, что 60-летний
мужчина не достигнет своего 70-летия.
Решение. Пусть: событие А={60-летний мужчина достигнет
своего 70- летия}, тогда:
достигнет своего 70-летия}.
{60-летний
мужчина
не
Р( )
Р(А)=
=0,32.
Задача №44. В лотерее n билетов, из которых m –
выигрышные. Вы приобрели k билетов. Найти вероятность
того, что:
а) среди k билетов ровно l выигрышные (событие А);
б) среди k билетов хотя бы 1 выигрышный (событие В).
Решение.
а)
б)
{среди k билетов ни одного выигрышного}
вероятность того, что среди k билетов хотя бы один
выигрышный, равна:
Задача №45. В некотором обществе 70% людей – курят,
40% – с больными лёгкими, 25% – и курят, и болеют.
Найти вероятность того, что наудачу взятый человек из
этого общества:
a) не курит, но с больными лёгкими;
b) курит, но не болеет;
c) не курит и не болеет;
d) курит и болеет;
e) или курит, или болеет.
Решение.
Пусть А={человек курит};
В={человек с больными лёгкими}.
Тогда:
P(A)=0,7; P(B)=0,4; P(
Имеем:
=0,25.
а)
b)
c)
d)
e)
Задача №46 (о легкомысленном члене жюри).
В жюри из 3-х человек 2 члена независимо друг от друга
принимают правильное решение с вероятностью р, а третий
для вынесения решения бросает монету. Окончательное
решение выносится большинством голосов.
Жюри из одного человека выносит справедливое решение с
вероятностью р. Какое из этих жюри вынесет справедливое
решение с большей вероятностью?
Решение. Пусть оба (из 3-х) членов жюри сходятся во
мнениях,
тогда
вероятность
справедливого
решения
равна
. При этом результат голосования 3-го жюри
несущественен. Если судьи расходятся во мнениях, то
вероятность
справедливого
решения
2-х
судей
–
. Полная вероятность вынесения
справедливого решения жюри из 3х членов равна:
2р(1-р)
р2 р-р2
р.
Вывод: Оба типа жюри имеют
вынести справедливое решение.
одинаковую
вероятность
Раздел 4. Основные теоремы теории вероятности
4.1 Формула полной вероятности
Группа гипотез – полная группа несовместных событий
(пусть это будет Н1, Н2 , …, Нn). Пусть событие А может
наступить лишь при появлении одного из них. Тогда
вероятность события А вычисляется по формуле:
(4.1)
которая называется формулой полной вероятности.
Здесь:
- вероятности гипотез;
-условные вероятности события А.
Задачи
Задача №47. В группе спортсменов 20 лыжников, 6
велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнения
квалификационной нормы равна: для лыжников – 0,9, для
велосипедистов – 0,8, для бегунов – 0,75.
Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный
наудачу, выполнит норму.
Решение.
А = {спортсмен выполнил норму};
Н1 = {выполнил лыжник};
Н2 = {выполнил велосипедист};
Н3 = {выполнил бегун}.
Задача №48. Стрельба производилась по 3-м мишеням. По
1-ой – 5 раз, по 2-ой – 3 раза, по 3-ей – 2 раза.
Вероятность попадания по 1-ой мишени равна 0,4, по 2-ой
мишени – 0,1, по 3-ей – 0,12. Найти вероятность одного
попадания в мишень.
Решение. Пусть A = {попадание в мишень при одном
выстреле}
H1 = {стреляли в 1-ю мишень} P(H1) = 0,5
H2 = {стреляли в 2-ю мишень} P(H2) = 0,3
H3 = {стреляли в 3-ю мишень} P(H3) = 0,2
P(A/H1) = 0,4 P(A/H2) = 0,1P(A/H3) = 0,12
По формуле (4.1) имеем:
.
Задача №49. В лаборатории 3 одинаковых клетки. В 1-й 3 белых и 7 коричневых мыши, во 2-й – 5 белых и 6
коричневых. В 3-й – 7 белых и 2 коричневых. Случайным
образом берут из одной клетки мышь. Найти вероятность
того, что выбрана белая мышь (событие А).
Решение. Пусть имеется 3 гипотезы:
Н1 = {выбрана мышь из 1-й клетки};
Н2 = {выбрана мышь из 2-й клетки};
Н3 = {выбрана мышь из 3-й клетки};
Р(Н1)= Р(Н2)= Р(Н3)=1/3
Условные вероятности события А будут равны:
Р(А/Н1)= 3/10; Р(А/Н2)=5/11; Р(А/Н3)=7/9.
По формуле (4.1) имеем:
Задача №50. Судостроительный завод получает от 3-х
предприятий детали: от предприятия В – 60%, от С – 30%,
от D – 10%. При этом на каждом из этих предприятий
допускается брак, соответственно на В – 4%, на С – 5%,
и на D – 6%. Какова вероятность того, что случайно
выбранная деталь будет бракованной (событие А), если
известно, от какого предприятия она поступила.
Решение. В качестве гипотез событий примем:
Н1 = {деталь поступила от предприятия В};
Н2 = {деталь поступила от предприятия С};
Н3 = {деталь поступила от предприятия D}.
Р(Н1) = 0,6; Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,1
Условные вероятности события А равны соответственно:
Р(А/Н1)= 0,04;Р(А/Н2)=0,05;Р(А/Н3)=0,06.
По формуле (4.1) имеем:
Задача №51. В магазин поступили телевизоры от 5-ти
фирм в следующем количестве:
Фирма
1
2 3 4 5
Количество телевизоров 5
10 6 8 11
Рi
0,98 0,8 0,6 0,3 0,1
Рi – вероятности того, что телевизоры исправны.
Найти вероятности того, что купленный наугад телевизор
исправно работает (событие А)
Решение.
1) В качестве гипотез выберем события:
{телевизор i-й фирмы}, (i= ).
2) Найдём вероятности гипотез, учитывая, что п=40:
Р(Н1) = 5/40; Р(Н2) = 10/40; Р(Н3) = 6/40; Р(Н4) =
8/40; Р(Н5) = 11/40.
3) Условные вероятности равны:
Р(А/Н1) = 0,98; Р(А/Н2) = 0,8; Р(А/Н3) = 0,6; Р(А/Н4) =
0,3; Р(А/Н5) = 0,1.
4) По формуле (4.1) имеем:
Задача №52. Имеются 3 одинаковых ящика, в каждом из
которых
по
20
однотипных
деталей.
Определить
вероятность того, что извлечённая из наугад выбранного
ящика деталь стандартная (событие А), если известно,
что в 1-м ящике 18 стандартных деталей, во 2-м – 17, в
3-м – 16.
Решение. Если в качестве i-й гипотезы (i = 1,2,3)
выбрать событие
Нi = {деталь из i-го ящика}, то Р(Нi) =1/3.
Р(А/Н1) = 18/20;
Р(А/Н2) = 17/20;
Р(А/Н3) = 16/20.
По формуле (4.1) имеем:
4.2 Формула Байеса (формула переоценки вероятности
гипотез)
Пусть событие А может наступить лишь при условии
появления одной из гипотез
(см п.4.1). Если
событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут
быть переоценены по формуле Байеса:
(4.2)
Задачи
Задача №53. 70% населения обследуемого региона имеет
только
среднее
образование,
среди
которых
10%
безработных, 30% населения – с высшим образованием,
среди них 2% безработных. Если выбранный наугад человек
является безработным, то какова вероятность того, что
он закончил ВУЗ?
Решение. В качестве гипотезы примем:
Н1 =
{выбранный
наугад
человек
со
средним
образованием};
Н2 = { выбранный наугад человек со высшим образованием
}.
Р(Н1) = 0,7; Р(Н2) = 0,3.
Пусть
соб.
А
=
{выбранный
безработный}, тогда
P(A/H1) = 0,1, P(A/H2) = 0,02.
Нужно определить P(
Имеем:
наудачу
человек
) по формуле (4.2).
Задача №54. На сборочный конвейер поступили детали с
3-х станков, производительность которых неодинакова: Iго – 50% плана, II-го – 30% плана, III-го – 20% плана.
Вероятность получения годного узла равна 0,92, если
деталь I-го станка, 0,95,если деталь со II-го станка,
0,82,
если
деталь
с
III-го
станка.
Определить
вероятность
того,
что
в
сборку
попали
детали,
изготовленные на первом станке, если узел годный.
Решение. А = { узел годный};
Н1 = {деталь с I-го станка};
Н2 = {деталь со II-го станка};
Н3 = {деталь с III-го станка};
Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2.
Р(А/Н1)=0,92; Р(А/Н2)=0,95; Р(А/Н3)=0,82.
Задача №55. 30% приборов собирают специалисты высокой
квалификации, 70% - средней квалификации. Надёжность
работы
прибора,
собранного
специалистом
высокой
квалификации – 0,9, а специалистом средней квалификации
–
0,8.
Взятый
наугад
прибор
оказался
надёжным.
Определить
вероятность
того,
что
прибор
собран
специалистом высокой квалификации.
Решение.
Пусть событие А = {прибор работает безотказно}.
До проверки прибора возможны 2 гипотезы:
Н1 =
{прибор
собран
специалистом
высокой
квалификации};
Н2 = { прибор собран специалистом средней квалификации
}.
Р(Н1) = 0,3, Р(Н2) = 0,7.
Условные вероятности события А равны:
P(A/H1) = 0,9, P(A/H2) = 0,8.
Пусть событие А произошло, тогда
.
Задача №56. Из 10 учащихся, которые пришли на экзамен
по математике (нужно было подготовить 20 вопросов),
трое подготовились на отлично (выучив по 20 вопросов),
четверо – на хорошо, выучив по 16 вопросов, двое – на
удовлетворительно, выучив по 10 вопросов, один не
готовился и может ответить на 5 вопросов из 20. В
билете 3 вопроса. Первый ученик ответил на все 3
вопроса своего билета. Какова вероятность того, что
этот ученик подготовился на отлично?
Решение. Пусть событие А = {1-й ученик ответил на 3
вопроса} и гипотезы:
Н1 = {1-й ученик подготовлен на 5};
Н2 = {1-й ученик подготовлен на 4};
Н3 = {1-й ученик подготовлен на 3};
Н4 = {1-й ученик подготовлен на 2}.
P(H1) = 0,3; P(H2) = 0,4; P(H3) = 0,2; P(H4) = 0,1
P(А/H1) = 1 (событие {1-й ученик ответил на 3 вопроса,
при условии, что он выучил 20 из 20}, является
достоверным).
(вероятность правильного ответа
на 1-й вопрос равна 16/20, на 2-й – 15/19, на 3-й –
14/18).
По формуле (4.2) имеем:
Вывод:
учителю
придётся
дополнительные вопросы.
предложить
Раздел 5. Случайные величины (с.в.)
5.1 Дискретные случайные величины
ученику
ещё
Дискретной случайной величиной называют случайную
величину, возможные значения которой есть изолированные
числа (число их может быть конечным или бесконечным для
счетного множества).
Зависимость вероятностей от возможных значений с.в.
есть закон распределения дискретной с.в., который может
быть
представлен
в
виде
ряда
распределения,
многоугольника
распределения,
функции
распределения
с.в.
При
этом
название
закона
распределения
диктует
формула,
по
которой
вычисляются
вероятности,
соответствующие возможным значениям С.В. Ниже приведены
наиболее часто встречающиеся на практике:
- биномиальный закон распределения дискретной с.в. X –
числа появлений события в n независимых испытаниях, в
каждом из которых вероятность появления события равна
p. Вероятность возможного значения Х= k по формуле
Бернулли равна:
(5.1)
- если n велико, а p в каждом испытании очень мало, то
используется
приближённая
формула
(распределение
Пуассона):
,
np (5.2)
Здесь
.
-
если
вероятность
появления
события
А
в
каждом
испытании p (
), а Х – число испытаний до
появления события А в серии независимых повторных
испытаний, то пользуются формулой:
(5.3)
Ряд вероятностей этого распределения будет бесконечной
геометрической
прогрессией
со
знаменателем
q<1
и
суммой, равной единице. Такое распределение называется
геометрическим;
- в задачах статистического контроля качества часто
используется гипергеометрический закон распределения
дискретной с.в. При этом применяется формула:
(5.4)
Здесь из совокупности n элементов, которая содержит m
элементов
определённого
свойства
(напр.,
среди
n
деталей ровно m бракованных), отбираются случайным
образом k элементов. P(X=l) – это вероятность того, что
среди k отобранных элементов ровно l элементов с
определённым свойством.
- Кроме указанных законов распределения, на практике
используются числовые характеристики с.в.:
математическое ожидание M(X);
дисперсия D(X);
-
среднее квадратическое отклонение
X).
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
Для биномиального распределения (формула (5.1)) имеем:
M(X)=np (5.9)
D(X)=npq (5.10)
Для распределения Пуассона (формула (5.2)):
M(Х)=D(Х)=np=
(5.11)
Задачи
Задача №57. В партии из 6-ти деталей 4 стандартных.
Наудачу
отобраны
три
детали.
Составить
закон
распределения дискретной с.в. Х – числа стандартных
деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики
с.в. Х.
Решение. Имеем гипергеометрический закон распределения
с.в. Х:
Возможные значения Х:
Соответствующие
(5.4):
вероятности
вычисляются
по
формуле
=
Имеем ряд распределения:
Х: 0 1 2 3
0
Многоугольник распределения.
рис.3
Функцией распределения F(х) называется вероятность
того, что с.в. Х в результате испытаний примет
значение, меньшее х: F(x)=P(X<x)
В нашем случае имеем:
если х 1, то F(x)=0,
если 1<x 2, то F(x)= ,
если 2<x 3, то F(x)=
если х>3, то F(x)=
.
График этой функции на рис.4.
рис.4
Математическое ожидание (по формуле (5.5)):
Дисперсия (по формуле (5.7)):
Среднее квадратическое отклонение (по формуле (5.8 )):
Задача №58. В денежной лотерее 100 билетов, из них 1
составляет выигрыш в 50 грн, 10 – в 1 грн. Составить
закон распределения с.в. Х – стоимости возможного
выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Вероятность выигрыша 1 грн равна
,
аналогично получим
,
.
Имеем ряд распределения с.в. Х:
0
1 50
0,89 0,1 0,01
Многоугольник распределения с.в. Х:
рис.5
Функция распределения.
рис.6
Задача №59. Среди 20-ти изделий 5 бракованных.
Случайным образом выбираются 3 изделия для проверки их
качества. С.в. Х – число бракованных изделий. Построить
ряд распределения Х, найти М(Х), D(X), если Х=0,1,2,3.
Решение.
Имеем ряд распределения с.в. Х.
0
1
2 3
Х:
Задача №60. Вероятность того, что расход воды на
некотором предприятии окажется нормальным (не более
определённого числа литров в сутки), равна
. Найти
вероятности того, что в ближайшие 6 дней расход воды
будет нормальным в течение 1-го, 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти,
6-ти дней.
Решение. Пусть с.в. Х – число дней, в течение которых
расход
воды
будет
нормальным.
Тогда
вероятности,
соответствующие возможным значениям Х (от 1 до 6),
будут
вычисляться
по формуле
Бернулли (5.1)
и
распределение с.в. Х будет биномиальным.
Примечание:
при
вычислениях
использовать формулу
вероятностей
Строим ряд распределения с.в. Х.
Х 1
2
3
4
5
6
0,004 0,033 0,132 0,297 0,356 0,178
Строим многоугольник распределения с.в.Х.
удобно
рис.7
Очевидно, что наиболее вероятен перерасход воды в
течение одного или двух дней из 6-ти.
Наиболее вероятным является нормальный расход воды в
течение 5-ти дней:
Р(Х=5)=0,356.
называется модой (
) с.в. Х.
Строим функцию F(x) распределения с.в. Х.
рис.8
Функция распределения аналитически может быть записана
так:
F(x)
Задача
№61.
Игральная
кость
брошена
Построить ряд и функцию распределения
возможного числа появления шестёрок.
Решение. Имеем схему Бернулли с
,
три
с.в.
раза.
Х –
, n=3.
;
Ряд распределения Х имеет вид:
0
1
2
3
Функция F(х) распределения с.в. Х имеет вид:
.
F(х)=
Строим график:
рис.9
Задача №62. Подлежат исследованию 1200 проб руды.
Вероятность промышленного содержания металла в каждой
пробе равна р=0,09. Найти математическое ожидание и
дисперсию
числа
проб
с
промышленным
содержанием
металла.
Решение. Пусть с.в. Х – число проб с промышленным
содержанием
металла,
тогда
c.в.
Х
распределена
по биномиальному закону.
Математическое ожидание вычисляем по формуле (5.9),
дисперсию, соответственно, по формуле (5.10 ):
.
Задача
№63.
Тираж
учебников
экземпляров.
Вероятность
неверного
составляет
брошюрования
учебника равна
Записать ряд бракованных учебников
среди данного тиража для возможных значений Х от 1 до
5.
Решение. Здесь
По
формуле
(5.2)
мы
получим
все
интересующие
нас
вероятности:
Имеем ряд распределения с.в. Х (закон Пуассона).
1 2
3
4
5
6
Так,
(принимаем
).
Математическое ожидание числа бракованных экземпляров
среди 10 книг при
равно:
Задача №64. Вероятность того, что с конвейера сойдёт k
бракованных
деталей
равна
.
Построить
ряд
распределения для с.в. k и найти её математическое
ожидание.
Замечание.
для
решения
этой
задачи
понадобятся
первоначальные сведения из теории рядов, или, по
крайней мере, знание бесконечной убывающей прогрессии.
Решение.
1. Строим ряд распределения с.в. k – числа бракованных
деталей с конвейера (геометрический закон).
K: 1 2 3 4 … n …
0,3
…
…
2.
Мы получим М(Х), если бесконечная сумма
сходится.
Воспользуемся
признаком
Даламбера
знакоположительных рядов.
ряд сходится и М(Х) – его сумма.
Для её нахождения применим искусственный приём:
–
ряд
для
+
. . .
Примечание. Каждая бесконечная сумма в скобках в
правой части равенства для М(Х) вычисляется по формуле
для
суммы
бесконечной
убывающей
геометрической
прогрессии (
).
Задача №65. Мишень вращается вокруг оси Ох. При
достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не
в состоянии различить цифры. Стреляет наугад. Секторы
одинаковы. Выигрыш соответствует номеру сектора.
Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право
стрелять один раз надо платить 5 грн?
Решение.
рис.10
Х:
1 2 3 4 5 6 7 8
Вероятности
всех
возможных
значений
Х
равны
между
собой и равны
Найдём
.
Стоимость выстрела 5 грн. Очевидно, стрелять много раз
невыгодно.
Задача №66. Дискретная с.в. Х принимает только 3
возможных значения: 1,
,
. (
).
Найти закон распределения с.в. Х, если
М(Х)=2,2 и D(X)=0,76.
Решение.
1.
Запишем ряд распределения
предварительно
для
Х,
найдя
2.
Х: 1
0,3 0,2 0,5
2. Запишем равенства для математического ожидания М(Х)
и дисперсии D(X):
Получим
нелинейную
неизвестными
Х:
и
систему
двух
уравнений
с
двумя
. Решим её.
1 2 3
0,3 0,2 0,5
5.2 Непрерывные случайные величины
Непрерывной случайной величиной называют величину,
которая может принимать любое числовое значение из
некоторого конечного (a,b) или бесконечного интервала.
Множество
возможных
значений
такой
величины
бесконечно.
Примером таких величин являются: величина ошибки при
измерении расстояний, веса и др.; время бессбойной
работы прибора, размеры детали, рост человека при
обследовании определённой группы людей и др.
Закон распределения непрерывной с.в. имеет две формы:
интегральная
функция
распределения
F(x)
и
дифференциальная функция распределения f(x).
- Как и в случае с дискретной с.в., интегральная
функция распределения F(x) имеет вид:
F(x)=P(X<x) (5.12)
Но в отличие от ступенчатой линии для F(x) в случае с
дискретной с.в. для непрерывной с.в. имеем непрерывную
кривую для F(x).
Свойства F(x):
1)
0 F(x) 1;
2)
3)
если
> , то F( ) F( );
P(a<X<b)=F(b)-F(a); (5.13)
4)
P(X=
5)
если Х
)=0;
(a,b), то
6)
.
Дифференциальная
функция
распределения
(плотность
вероятности)
есть
производная
интегральной функции:
f(x)=
P(a<x<b)=
(5.14)
(f(x)dx называется элементом вероятности)
F(x)=
(5.15)
Свойства f(x):
1)
f(x)
;
2)
(5.16)
3)
(
;
f(x)
от
Наиболее
употребимыми
являются
следующие
законы
распределения непрерывной с.в. (задаются они формулой
для f(x)):
- равномерное распределение вероятностей
Пусть [a,b] – шкала некоторого прибора. Вероятность p
попадания указателя в некоторый отрезок шкалы [
,
равна p=k( - ), (k>0).
Тогда, так как
p(a<x<b)=1, то k(b-a)=1
p(
<x<
)=
k=
F(x)=p(a<X<x)=
График F(x) на рисунке 11.
рис.11
f (x)=
(5.18)
рис.12
- показательное распределение
(5.19)
(5.17)
]
F(x)=
(5.20)
- нормальное распределение
(5.21)
F(x)=
(5.22)
Здесь a=M(x),
- параметры распределения с.в.Х.
График f(x) представлен на рис.13 и называется
нормальной кривой (кривой Гаусса).
рис.13
При
a=0,
распределения:
имеем
плотность
нормированного
Эта функция табулирована (см. приложение 1), график её
на рис.14.
рис.14
В этом случае интегральная функция распределения с.в.Х
есть функция Лапласа:
(5.23)
График функции Лапласа Ф(х) на рис.15.
рис.15
Из него видно, что:
1)
Ф(0)=0,
2)
Ф(-х)=-Ф(х),
3)
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее
интервалу (c,d), находим по формуле:
(5.24)
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения
меньше положительного числа, равна:
, (5.25)
(
)
При а=0 справедливо равенство:
(5.25а)
Числовые характеристики непрерывной с.в.:
- математическое ожидание M(X)
(5.26)
(5.27)
- дисперсия D(X)
(5.28)
(5.29)
Эти
равенства
равенствами:
можно
заменить
равносильными
(5.30)
(5.31)
- среднее квадратическое отклонение
(5.32)
При этом для равномерного распределения:
(5.33)
(5.34)
(5.35)
Для показательного распределения
:
(5.36);
(5.37);
Для нормального распределения:
M(X)=a (5.39);
(5.40);
(5.38).
(5.41).
Задачи
Задача №67. Автобусы некоторого маршрута идут строго
по
расписанию.
Интервал
движения
5
мин.
Найти
вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке,
будет ждать очередной автобус менее 3-х минут.
Решение. Пусть с.в. Т –время ожидания очередного
автобуса
–
непрерывная
случайная
величина.
Она
распределена по равномерному закону с плотностью:
(см. формулу (5.18) )
В нашем случае
0<t<5
По формуле (5.14) имеем:
Искомая вероятность
p=0,6.
Задача №68. Цена деления шкалы измерительного прибора
равна 0,2. Показания прибора округлены до ближайшего
целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте
будет сделана ошибка, не превышающая 0,04 (событие А).
Решение. Ошибку округления отсчёта можно рассматривать
как с.в. Х, которая распределена равномерно в интервале
между 2-мя соседними целыми делениями с плотностью
,
Ошибка отсчёта не превысит 0,04, если она будет
заключена в (0; 0,04) или в(0,16;0,2). По формуле
(5.14) имеем:
Искомая вероятность
р=0,4.
Задача №69. Найти математическое ожидание, дисперсию и
среднее
квадратичское
отклонение
с.в.
Х,
распределённой равномерно в интервале (2,8).
Решение. По формулам (5.32)-(5.34) получим:
.
Задача
№70.
Непрерывная
по показательному закону,
с.в.
Х
заданному
распределена
при
дифференциальной функцией
; при х<0
Найти вероятность того, что в результате испытания Х
попадёт в интервал (0,3; 1).
Решение. Исходя из формулы (5.19),
Пользуясь формулой (5.14), получим:
.
Искомая вероятность приближённо равна 0,414.
Задача
№71.
Непрерывная
с.в.
Х
распределена
по показательному закону
.
Найти числовые характеристики с.в. Х и вероятность
того, что в результате испытания Х попадёт в интервал
(2,5).
Решение.
1)
Из формул (5.36)-(5.38) получим:
2)
Из формулы (5.14) следует, что:
.
Задача №72. Задана плотность распределения количества
прибыли Х:
Найти коэффициент a и вероятность получения величины
прибыли Х из отрезка [0,5; 1] млн.гр
Решение.
1) В соответствии с определением модуля х:
– имеем:
3)
Используя
формулу
(5.16)
и
свойство
аддитивности несобственного интеграла, получаем:
рис.16
.
4)
Используя формулу (5.14), получим:
Примечание. Подынтегральная функция
, т.к. отрезок
[0,5; 1] принадлежит положительной части оси Ох.
Ответ:
Задача
№73.
Математическое
ожидание
и
среднее
квадратическое
отклонение
нормального
распределения
случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти
вероятность того, что в результате испытания Х примет
значение, заключённое в интервале (15,25).
Решение. Воспользуемся формулой (5.24). Подставив
c=15, d=25, a=20,
,
получим:
По таблице (приложение 2) находим Ф(1)=0,3413
Ответ:
Задача №74. Контролируется длина Х выпускаемой детали,
которая
распределенанормально с
математическим
ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая
длина детали не менее 32 мм и не более 68 мм.
Найти вероятность того, что длина наудачу взятой
детали:
а) больше 55 мм;
б) меньше 40 мм.
Решение.
1)
Событие
является
достоверным
С другой стороны, по формуле (5.24):
Приравниваем правые части равенств для
=1
Теперь имеем:
математическое
ожидание
с.в.
Х
а=50,
среднее квадратическое отклонение
2) Найдём
0,0823.
3)
Задача №75. В каких пределах
случайная величина, подчиняющаяся
распределения,
чтобы
должна изменяться
нормальному закону
выполнялось
равенство:
?
Решение. Согласно формуле (5.25) имеем:
Из таблицы Ф(х) (приложение 2) находим:
Мы получили "правило 3-х сигм": вероятность того, что
абсолютная величина отклонения нормально распределённой
случайной величины будет меньше утроенного среднего
квадратического отклонения, равна 0,9973.
Ответ: (а-3 , а+3 ).
Задача№76. Станок автомат изготавливает детали, длина
которых по стандарту может отклоняться от 125 мм не
более, чем на 0,5 мм. Среди продукции станка 7%
нестандартной.
Считая,
что
длины
деталей
имеют
нормальное
распределение, найти их дисперсию.
Решение. Пусть с.в. Х – длина детали, а=М(Х)=125.
Из условия:
Согласно формуле (5.24) имеем:
Так как станок даёт 7% нестандартной продукции, то:
Искомая дисперсия
D(X)=
Задача №77 ("из жизни хищников").
Для некоторого хищника вероятность удачной охоты равна
0,4 при каждом столкновении с жертвой.
Найти математическое ожидание с.в. Х – числа пойманных
жертв при 20-ти столкновениях.
Решение.
Случайная
величина
Х
распределена
по биномиальному закону при п=20, р=0,4.
Согласно формуле (5.9), имеем:
Приложение 1
Таблица значений функции
0
1
2
3
0,0 0,3989 3989 3989 3988
0,1 0,3970 3965 3961 3956
0,2 0,3910 3902 3894 3885
0,3 0,3814 3802 3790 3778
4
3986
3951
3876
3765
5
3984
3945
3867
3752
6
3982
3939
3857
3739
7
3980
3932
3847
3726
8
3977
3925
3836
3712
9
3973
3918
3825
3697
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,3683 3668
0,3521 3503
0,3332 3312
0,3123 3101
0,2897 2874
0,2661 2637
0,2420 2396
0,2179 2155
0,1942 1919
0,1714 1691
0,1497 1476
0,1295 1276
0,1109 1092
0,0940 0925
0,0790 0775
0,0656 0644
0,0540 0529
0,0440 0431
0,0355 0347
0,0283 0277
0,0224 0219
0,0175 0171
0,0136 0132
0,0104 0101
0,0079 0077
0,0060 0058
0,0044 0043
0,0033 0032
0,0024 0023
0,0017 0017
0,0012 0012
0,0009 0008
0,0006 0006
0,0004 0004
0,0003 0003
0,0002 0002
3652
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
000
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1756
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
Приложение 2
Таблица значений функции
х
Ф(х) х
Ф(х)
х Ф(х) х
Ф(х) х
Ф(х)
0, 0,00 0,
0,12 0, 0,24 0, 0,33 1, 0,4066
00
0,
01
0,
02
0,
03
0,
04
0,
05
0,
06
0,
07
0,
08
0,
09
0,
10
0,
11
0,
12
0,
13
0,
14
0,
15
0,
16
0,
17
0,
18
0,
19
0,
20
0,
21
0,
22
00
0,00
40
0,00
80
0,01
20
0,01
60
0,01
99
0,02
39
0,02
79
0,03
19
0,03
59
0,03
98
0,04
38
0,04
78
0,05
17
0,05
57
0,05
96
0,06
36
0,06
75
0,07
14
0,07
53
0,07
93
0,08
32
0,08
71
33
0,
34
0,
35
0,
36
0,
37
0,
38
0,
39
0,
40
0,
41
0,
42
0,
43
0,
44
0,
45
0,
46
0,
47
0,
48
0,
49
0,
50
0,
51
0,
52
0,
53
0,
54
0,
55
93
0,133
1
0,136
8
0,140
6
0,144
3
0,148
0
0,151
7
0,155
4
0,159
1
0,162
8
0,166
4
0,170
0
0,173
6
0,177
2
0,180
8
0,184
4
0,187
9
0,191
5
0,195
0
0,198
5
0,201
9
0,205
4
0,208
8
66
0,
67
0,
68
0,
69
0,
70
0,
71
0,
72
0,
73
0,
74
0,
75
0,
76
0,
77
0,
78
0,
79
0,
80
0,
81
0,
82
0,
83
0,
84
0,
85
0,
86
0,
87
0,
88
54
0,24
86
0,25
17
0,25
49
0,25
80
0,26
11
0,26
42
0,26
73
0,27
03
0,27
34
0,27
64
0,27
94
0,28
23
0,28
52
0,28
81
0,29
10
0,29
39
0,29
67
0,29
95
0,30
23
0,30
51
0,30
78
0,31
06
99
1,
00
1,
01
1,
02
1,
03
1,
04
1,
05
1,
06
1,
07
1,
08
1,
09
1,
10
1,
11
1,
12
1,
13
1,
14
1,
15
1,
16
1,
17
1,
18
1,
19
1,
20
1,
21
89
0,34
13
0,34
38
0,34
61
0,34
85
0,35
08
0,35
31
0,35
54
0,35
77
0,35
99
0,36
21
0,36
43
0,36
65
0,36
86
0,37
08
0,37
29
0,37
49
0,37
70
0,37
90
0,38
10
0,38
30
0,38
49
0,38
69
32
1,
33
1,
34
1,
35
1,
36
1,
37
1,
38
1,
39
1,
40
1,
41
1,
42
1,
43
1,
44
1,
45
1,
46
1,
47
1,
48
1,
49
1,
50
1,
51
1,
52
1,
53
1,
54
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,
23
0,
24
0,
25
0,
26
0,
27
0,
28
0,
29
0,
30
0,
31
0,
32
0,09
10
0,09
48
0,09
87
0,10
26
0,10
64
0,11
03
0,11
41
0,11
79
0,12
17
0,12
55
0,
56
0,
57
0,
58
0,
59
0,
60
0,
61
0,
62
0,
63
0,
64
0,
65
х
Ф(х)
0,45
05
0,45
15
0,45
25
0,45
35
0,45
45
0,45
54
0,45
64
0,45
73
0,45
82
0,45
91
0,45
99
0,46
х
1,
65
1,
66
1,
67
1,
68
1,
69
1,
70
1,
71
1,
72
1,
73
1,
74
1,
75
1,
1,
84
1,
85
1,
86
1,
87
1,
88
1,
89
1,
90
1,
91
1,
92
1,
93
1,
94
1,
0,212
3
0,215
7
0,219
0
0,222
4
0,225
7
0,229
1
0,232
4
0,235
7
0,238
9
0,242
2
Ф(х)
0,46
71
0,46
78
0,46
86
0,46
93
0,46
99
0,47
06
0,47
13
0,47
19
0,47
26
0,47
32
0,47
38
0,47
0,
89
0,
90
0,
91
0,
92
0,
93
0,
94
0,
95
0,
96
0,
97
0,
98
х
2,
06
2,
08
2,
10
2,
12
2,
14
2,
16
2,
18
2,
20
2,
22
2,
24
2,
26
2,
0,31
33
0,31
59
0,31
86
0,32
12
0,32
38
0,32
64
0,32
89
0,33
15
0,33
40
0,33
65
Ф(х)
0,48
03
0,48
12
0,48
21
0,48
30
0,48
38
0,48
46
0,48
54
0,48
61
0,48
68
0,48
75
0,48
81
0,48
1,
22
1,
23
1,
24
1,
25
1,
26
1,
27
1,
28
1,
29
1,
30
1,
31
х
2,
44
2,
46
2,
48
2,
50
2,
52
2,
54
2,
56
2,
58
2,
60
2,
62
2,
64
2,
0,38
83
0,39
07
0,39
25
0,39
44
0,39
62
0,39
80
0,39
97
0,40
15
0,40
32
0,40
49
Ф(х)
0,49
27
0,49
31
0,49
34
0,49
38
0,49
41
0,49
45
0,49
48
0,49
51
0,49
53
0,49
56
0,49
59
0,49
1,
55
1,
56
1,
57
1,
58
1,
59
1,
60
1,
61
1,
62
1,
63
1,
64
х
2,
82
2,
84
2,
86
2,
88
2,
90
2,
92
2,
94
2,
96
2,
98
3,
00
3,
20
3,
Ф(х)
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,4986
5
0,4993
1
0,4996
6
0,4998
41
0,4999
28
0,4999
68
0,4999
97
76
1,
77
1,
78
1,
79
1,
80
1,
81
1,
82
1,
83
08
0,46
16
0,46
25
0,46
33
0,46
41
0,46
49
0,46
56
0,46
64
95
1,
96
1,
97
1,
98
1,
99
2,
00
2,
02
2,
04
44
0,47
50
0,47
56
0,47
61
0,47
67
0,47
72
0,47
83
0,47
93
28
2,
30
2,
32
2,
34
2,
36
2,
38
2,
40
2,
42
87
0,48
93
0,48
98
0,49
04
0,49
09
0,49
13
0,49
18
0,49
22
66
2,
68
2,
70
2,
72
2,
74
2,
76
2,
78
2,
80
61
0,49
63
0,49
65
0,49
67
0,49
69
0,49
71
0,49
73
0,49
74
40
0,4999
3, 97
60
3,
80
4,
00
4,
50
5,
00
Литература
1.
Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін
О.К. Математика для економістів. Теорія імовірностей та
математична статистика – К.: 1999 – 447с.
2.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности – М.:
Наука – 1969 – 400с.
3.
Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И.
Элементы комбінаторики – М.: Наука – 1977.
4.
Жалдак
М.И.,
Квитко
А.Н.
Теория
вероятностей с элементами информатики. Практикум – К.:
"Выща школа" – 1989.
5.
Жалдак М.І. початки теорії ймовірностей –
К.: Рад.шк.. – 1978 – 144
Слинкина Валентина Францевна
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Направление подготовки «Педагогическое образование»
Профиль «Начальное образование»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр педагогики
Форма обучения
заочная
Подписано в печать __________ г. Тираж _______экз.
Объем _______ п.л. Формат 60х84/16 Заказ № ________
Издательство Тюменского государственного университета
625003, г. Тюмень, Семакова, 10