Методичка - Российский государственный университет нефти и

Федеральное агентство по образованию
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА
В.Н. Герасимов, О.А. Романенко, В.В. Григорьянц
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
Сечение поверхности вращения плоскостью
Методические указания
к выполнению домашней графической работы
для студентов первого курса всех специальностей
факультетов ИМ, РНиГМ, ПСиЭСТТ, ХТиЭ и АиВТ
Москва 2013
1
УДК 55:744
Методические указания к выполнению домашней графической работы по курсу
«Инженерная графика»/ В.Н.Герасимов, О.А.Романенко, В.В.Григорьянц- М.:
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2013. – 52 с.
Даны основные теоретические обоснования и приведен порядок выполнения
работы по курсу «Инженерная графика»
© Российский государственный университет нефти и газа им. И.М.Губкина, 2013
2
1. Предисловие
Тема «Сечение поверхности вращения плоскостью» входит в основную
программу теории построения чертежа.
Здесь рассматривается следующие задачи:
- построение сечений пространственных фигур,
- определение вида сечений,
- вычисление элементов этих сечений.
Решение таких задач способствует развитию пространственных представлений,
выработке практических навыков изображения пространственных фигур,
развивает конструктивное и логическое мышление. Построение сечения тел
плоскостями часто встречается при изображении внешних очертаний деталей
машин и приборов, при выявлении внутренних очертаний деталей и во
вспомогательных построениях (нахождение точек встречи прямой с
поверхностью, отыскание линий пересечения двух поверхностей и др.).
Построения на чертежах строго соответствуют отношениям точек, прямых
и плоскостей, установленным в курсе стереометрии признаками принадлежности,
параллельности и перпендикулярности.
Выполнение предусмотренной учебной программой курса домашней
графической работы на эту тему способствует развитию пространственного
мышления учащегося и готовит его к решению последующих задач. Работа
предназначена также для проверки усвоения материала по теоретическим основам
построения чертежа, умения применять эти знания в решении задач,
формулировать алгоритмы решения; нацелена на отработку навыков выполнения
чертежей с применением чертежных инструментов в соответствии со стандартами
ЕСКД.
В предлагаемом пособии рассмотрен вариант решения задачи с
применением метода замены плоскостей проекций.
Учащийся должен обязательно ознакомиться с методикой выполнения
3
задач, изложенной в пособии, а затем приступить к выполнению графического
решения.
Домашняя графическая работа  часть предусмотренной учебным планом
самостоятельной работы студента над курсом (объемом около 6 часов). Она
выполняется в период со 6-ой по 8-ую учебные недели и подлежит защите в виде
собеседования с преподавателем в качестве рубежного контроля знаний.
Вопросы для подготовки к защите помещены в приложении 3.
4
2. Исходные данные
Исходными данными для выполнения работы являются условия задач, а
также заданные в графическом виде поверхности и плоскости общего положения
в соответствии с индивидуальным заданием. Плоскости общего положения
задаются двумя пересекающимися прямыми.
Условие задачи:
Построить сечение заданной поверхности вращения заданной плоскостью
общего положения.
3. Краткое теоретическое обоснование решения задачи
3.1. Что такое поверхность.
«Поверхность» - одно из основных геометрических понятий. При
логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему придаётся
различный смысл.
1) В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости,
многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых
поверхностей определяется специальным способом, чаще всего как множество
точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, поверхность шара –
множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки. Понятие
«поверхность» лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что
поверхность есть граница тела или движущейся линии.
2) Математически строгое определение поверхности основывается на
понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности,
которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным
деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям).
Поверхности составляют широкое многообразие нелинейных фигур
трёхмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана
5
непосредственно с конструированием, расчётом и изготовлением различных
поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к
автоматизации конструирования, расчёта и воспроизведения сложных
технических поверхностей. Способы формообразования и отображения
поверхностей начертательной геометрии составляют основу инструментальной
базы трёхмерного моделирования современных графических редакторов.
Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между
координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая
уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности
(F(x,y,z) - многочлен n-й степени) и трансцендентные (F(x,y,z) трансцендентная функция).
Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то
поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная
секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда
распадающейся или мнимой), который имеет исследуемая поверхность. Порядок
поверхности также может быть определён числом точек её пересечения с
произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки
(действительные и мнимые).
В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому
целесообразно поверхность рассматривать как совокупность всех
последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии.
3.2. Образование и задание поверхности на чертеже
Поверхность можно рассматривать как совокупность
последовательных положений l1, l2,… линии L, перемещающейся в пространстве
по определённому закону (рис. 3.1). В процессе образования поверхности линия L
может оставаться неизменной или менять свою форму – изгибаться или
деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа
закон перемещения линии L целесообразно задавать графически в одной линии
6
или целом семействе линий (m, n, p…). Подвижную линию принято называть
образующей, неподвижные – направляющими. Такой способ образования
поверхностей называется кинематическим.
I4
m
I1
p
I3
I2
n
Рис 3.1
Примером такого способа могут служить все технологические процессы
обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несёт на себе
«отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как
множество линий, конгруэнтных профилю резца.
По виду образующей различают поверхности линейчатые и
нелинейчатые, образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.
Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на так называемые
развёртывающиеся, которые можно без складок и разрывов развернуть на
плоскость, и неразвёртывающиеся.
Если же группировать поверхности по закону движения образующей линии и
производящей поверхности, то большинство встречающихся в технике
поверхностей можно разделить на:
- поверхности вращения;
- винтовые поверхности;
- поверхности с плоскостью параллелизма;
- поверхности переноса.
7
Особое место занимают нелинейчатые поверхности, образование которых
не подчинено никакому закону. Оптимальную форму таких поверхностей
определяют теми физическими условиями, в которых они работают, и
устанавливают их форму экспериментально (поверхности лопастей турбин,
обшивка каркасов морских судов и самолётов).
Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую
точку поверхности в общем случае проходит одна линия этого множества,
называется каркасом поверхности.
Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое
принято называть точечным каркасом.
Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель
поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на
чертеже.
Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.
Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных
геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не
входить в состав поверхности.
Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень
операций, позволяющих реализовать переход от фигуры постоянных элементов к
непрерывному каркасу.
3.3. Поверхности вращения
Поверхности вращения – это поверхности, созданные при вращении
образующей m вокруг оси i (рис. 3.2).
8
а
б
Рис.3.2:
а) эпюр; б) модель
Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m
и оси i (рис.3.2,а).
Алгоритмическая часть включает две операции (рис.3.2,б):
1. На образующей m выделяют ряд точек А, В, С, … Е.
2. Каждую точку вращают вокруг оси i.
Так создаётся каркас поверхности, состоящий из множества
окружностей (рис.3.3), плоскости которых расположены перпендикулярно оси i.
Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется
горлом, наибольшая – экватором.
Рис.3.3
9
Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных
свойства:
1. Плоскость, перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по
окружности – параллели.
2. Плоскость, проходящая через ось вращения i, пересекает поверхность по
двум симметричным относительно оси линиям – меридианам.
Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости
проекций, называется плоскостью главного меридиана, а линия,
полученная в сечении, - главным меридианом (или фронтальным ),
который проецируется на плоскость П2 без искажения и определяет
очертание поверхности на фронтальной плоскости проекций П2
(фронтальный очерк).
Поверхности вращения второго порядка, являющиеся частным видом
поверхностей вращения, образуются при вращении кривых второго порядка
вокруг осей. Произвольная прямая линия пересекает такую поверхность в двух
точках. В пространственной декартовой системе координат поверхность второго
порядка выражается уравнением второй степени.
Поверхности вращения широко применяются в технике, что объясняется
распространённостью вращательного движения и простотой обработки
поверхностей вращения на станках.
3.3.1. Коническая поверхность вращения
Конической поверхностью называется поверхность, образованная
движением прямой АВ, перемещающейся в пространстве через неподвижную
точку S и пересекающей кривую линию MN. Прямая АВ называется образующей,
линия MN – направляющей, а точка S – вершиной конической поверхности (рис.
3.4).
10
Рис.3.4
Конусом (рис. 3.5) называется поверхность, ограниченную частью
конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и
плоскостью, пересекающей все образуюшие по ту же сторону от вершины.
Рис. 3.5
Рис. 3.6
Прямой круговой конус можно рассматривать как поверхность,
образованную вращением прямоугольного треугольника вокруг катета, принятого
за ось вращения. Сечение такого конуса плоскостью, перпендикулярной к его оси,
есть окружность (рис.3.6).
Проецирование прямого кругового конуса с вертикальной осью (рис.3.7)
аналогично проецированию пирамиды. В основании конуса будет окружность, с
которой следует начинать чертёж. Если ось конуса перпендикулярна
11
горизонтальной плоскости проекций, горизонтальная проекция будет в виде
окружности, а фронтальная и профильная – в виде равнобедренных
треугольников с вершиной S.
Рис.3.7
Фронтальный очерк конической поверхности (рис. 3.7) определяется
проекцией главного меридиана, т.е. проекциями прямолинейных образующих l и
l1, расположенных в секущей плоскости α // П2. Секущая плоскость β // П3 (рис.
3.8) рассекает конус по образующим κ и κ1, профильные проекции которых
определяют профильный очерк поверхности.
12
Рис. 3.8
Профильные проекции l’’’ и l1’’’ образующих l и l1, а также фронтальные
проекции k’’’ и k1’’’ образующих κ и k1 совпадают с соответствующими
проекциями оси вращения i. Горизонтальная проекция поверхности определяется
проекцией n’ окружности n – линии ограничения данной поверхности. Это
наибольшая из параллелей, которая на П2 и П3 проецируется в виде отрезков
прямых n’’ и n’’’ , равных её диаметру.
Линии каркаса параллелей и меридианов показаны на рис. 3.9,а и рис.3.9,б.
Параллели радиусов r и R, являющихся результатом пересечения конуса с
плоскостями γ // П1 и ω // П1, на П1 проецируются без искажения.
13
Рис. 3.9,а
Рис. 3.9,б
14
Если на поверхности конуса дана одна проекция точки, то через неё
проводим образующую, соединяющую основание с вершиной, и, найдя все три
проекции образующей, переносим на неё с помощью линий связи проекции
данной точки. Вместо образующей можно провести вспомогательную параллель и
с её помощью найти проекции точки (рис. 3.10,а и рис. 3.10,б).
Рис. 3.10,а
Рис. 3.10, б
15
3.3.1.1. Сечения конуса
Конус может иметь следующие сечения:
- 2 образующие (треугольник), если секущая плоскость пересекает конус
через вершину по двум образующим (рис. 3.11,в);
- окружность, если секущая плоскость параллельна основанию или
перпендикулярна оси, а конус прямой круговой (рис.3.11,а);
- эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие конуса под
углом к основанию конуса меньшим, чем угол наклона образующих (рис.3.11,а);
- параболу, если секущая плоскость параллельна одной из образующих
конуса (рис.3.11,б);
- гиперболу, если секущая плоскость параллельна оси конуса или
параллельна двум его образующим (рис.3.11,в).
а
б
в
Рис. 3.11
Проекции сечений строятся обычно по точкам.
Различают две группы точек:
1 группа: опорные точки, которые выделяются особым расположением на
поверхности или отношением к плоскостям проекций.
16
1.1. Точки видимости, расположенные на очерковых образующих
поверхности и определяющие границу видимости линии на соответствующей
плоскости проекций.
1.2. Точки экстремальные, т.е. точки минимального или максимального
удаления от плоскости проекций.
2 группа: Точки промежуточные или случайные, уточняющие проекции
кривой на чертеже.
Все опорные и промежуточные точки плоского сечения строятся с
использованием их принадлежности линиям данной поверхности.
3.3.1.1.1. Построение сечения конуса плоскостью,
пересекающей образующие (эллипс).
Задача. Построить ортогональные проекции и натуральную величину
сечения конуса плоскостью α(α”) ┴ П2 (рис.3.12).
Анализ исходных данных:
1. Линией сечения является эллипс, т.к. плоскость α пересекает все
образующие конуса, не перпендикулярна к оси вращения и угол ее наклона
меньше угла наклона образующей.
2. Сечение симметрично относительно плоскости σ // П2, проходящей через
ось вращения конуса. Поэтому одной (двойной) точке фронтальной проекции
эллипса соответствуют две симметричные точки горизонтальной и профильной
проекций.
3. Фронтальной проекцией эллипса является отрезок прямой линии,
совпадающий с вырожденной проекцией секущей плоскости.
4. Горизонтальной и профильной проекциями эллипса в общем случае
являются эллипсы.
17
Рис.3.12
Выполнение построений:
1. Натуральная величина большой оси эллипса определяется отрезком
А”В” следа секущей плоскости α, заключённым между фронтальными
очерковыми образующими поверхности конуса. Прямая АВ является
фронталью плоскости α.
2. Находим середину отрезка А”В”. Она определяет фронтальную
проекцию О” центра эллипса и вырожденную в точку проекцию C”D”
малой оси CD.
3. Строим горизонтальные проекции точек С и D, принадлежащих данной
поверхности. Отрезок СD является горизонталью плоскости α, и потому
его проекция С’D’ определяет натуральную величину малой оси эллипса.
18
4. Определяем точки Е и F эллипса, профильные проекции которых
расположены на профильных очерковых образующих поверхности
конуса. Профильные проекции точек Е и F являются границей видимости
эллипса на профильной плоскости проекций.
5. Определяем промежуточные точки 1 и 2 с помощью параллели
конической поверхности.
6. Выполняем окончательную обводку проекций эллиптического сечения с
учётом его видимости.
7. Строим натуральную величину эллипса методом замены плоскостей
проекций.
На рис. 3.13 показано построение неполного эллипса, когда секущая
плоскость β пересекает основание конуса по прямой KL. Для наглядности
плоскость среза, ограниченная эллипсом, показана заштрихованной.
Рис.3.13
19
3.3.1.1.2. Построение сечения конуса плоскостью, проходящей
параллельно одной из образующей (парабола).
Задача. Построить ортогональные проекции и натуральную величину
поверхности конуса плоскостью γ ┴ П2, γ // l (рис. 3.14).
Рис.3.14
Анализ исходных данных:
1. Линия сечения является параболой, т.к. секущая плоскость параллельна
одной образующей.
2. Сечение симметрично относительно плоскости σ // П2 , проходящей через
ось вращения конуса.
3. Фронтальной проекцией параболы является отрезок прямой
линии, совпадающей с вырожденной проекцией плоскости γ.
20
4. На плоскости проекции П1 и П3 парабола проецируется в виде
параболы.
Выполнение построений:
1. Вершина определяется точкой А, расположенной на фронтальной
очерковой образующей.
2. На поверхности конуса парабола ограничена точками В и С,
принадлежащими окружности основания конуса.
3. Точки D и Е параболы, расположенные на профильных очерковых
образующих, определяют границу видимости кривой на профильной
плоскости проекций.
4. Точки 1,2,3 и 4 являются промежуточными точками кривой.
5. Натуральная величина фигуры сечения построена методом замены
плоскостей проекций.
3.3.1.1.3. Построение сечения конуса плоскостью, проходящей
параллельно оси конуса или параллельно двум его
образующим (гипербола)
Задача. Построить ортогональные проекции и натуральную величину
сечения поверхности конуса плоскостью τ ┴ П1 (рис.3.15).
Анализ исходных данных:
1. Линия сечения является гиперболой, т.к. секущая плоскость параллельна
оси вращения конуса, параллельна и двум его образующим l и l1.
2. Сечение симметрично относительно горизонтально - проецирующей
плоскости σ ┴ П1, проходящей через ось вращения конуса.
3. Горизонтальной проекцией гиперболы является отрезок прямой линии,
совпадающей с вырожденной проекцией плоскости τ.
4. На плоскости проекций П2 и П3 гипербола проецируется в виде
гиперболы.
21
Рис.3.15
Выполнение построений:
1. Вершина гиперболы А(А’) определяется как основание перпендикуляра,
проведённого из горизонтальной проекции вершины конуса на
горизонтальный след секущей плоскости τ.
2. На поверхности конуса гипербола ограничена точками В (В’) и С (С’),
принадлежащими окружности основания конуса.
3. На пересечении вырожденной проекции секущей плоскости τ с
горизонтальными проекциями очерковых образующих находим две
точки видимости Е и D. Точка D является границей видимости
гиперболы на фронтальной плоскости проекций, точка Е – на
профильной.
22
4. Строим две симметрично расположенные промежуточные точки 1 и 2,
принадлежащие одной параллели конуса.
5. Построение натуральной величины фигуры сечения, выполненное
методом замены плоскостей проекций, понятно из чертежа.
На рис. 3.16 представлен чертёж конуса с плоским срезом, фигурой
сечения также является гипербола, т.к. плоскость ω параллельна двум
образующим конуса l и l1 . Секущая плоскость является профильной,
поэтому на П3 она вырождается в отрезок прямой линии. Построены три
опорные точки и четыре промежуточные. На чертеже дано изображение
двух ветвей гиперболы.
Рис.3.16
23
3.3.2. Цилиндрическая поверхность вращения
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образуемая
движением прямой (АВ, рис. 3.17), перемещающейся в пространстве параллельно
данной прямой и пересекающей при этом данную кривую линию m (прямая не
должна лежать в плоскости кривой). Прямая АВ называется образующей, а линия
m - направляющей.
Цилиндром (рис. 3.17) называется поверхность, ограниченная замкнутой
цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями,
называемыми основаниями. Основания цилиндра – это конгруэнтные круги.
Цилиндр может быть прямым или наклонным, смотря по тому, перпендикулярны
или наклонны к основанию его образующие.
Рис.3.17
Если боковая поверхность цилиндра перпендикулярна основанию и
плоскости проекций, то он называется проецирующим. Проецирующий круговой
цилиндр на одной проекции представляет собой круг, а на двух других прямоугольники.
При вычерчивании проекций прямого кругового цилиндра вначале чертятся
оси симметрии тела, затем основание в виде окружности, потом остальные
проекции. Точки на поверхности цилиндра находят с помощью образующих и
24
линий связи.
Пусть ось вращения поверхности цилиндра i  П1. Тогда её фронтальный
очерк определяется проекцией главного меридиана, в который входят
прямолинейные образующие l и l1 (рис. 3.18). Профильный меридиан, а,
следовательно, и профильный очерк поверхности, определяется образующими k и
k1 .
Рис.3.18
Так как данная поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей, то её горизонтальной проекцией является окружность (круг),
которую называют вырожденной проекцией поверхности. С ней совпадают
горизонтальные проекции всех параллелей (рис. 3.19) и вырожденные проекции
прямолинейных образующих. Горизонтальная проекция любой точки и линии,
25
принадлежащей поверхности цилиндра, должна быть расположена на её
вырожденной проекции.
Рис. 3.19
На рис. 3.19 показаны проекции:
точки D – на окружности основания поверхности;
точки С – на промежуточной образующей.
3.3.2.1. Сечения цилиндра.
Любая плоскость может пересекать поверхность прямого кругового
цилиндра:
по окружности, если плоскость сечения перпендикулярна его образующим
(рис. 3.20);
по двум образующим, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и
отстоит от неё на расстоянии, которое меньше радиуса цилиндра (рис. 3.20);
26
Рис. 3.20
по эллипсу, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра и пересекает
все его образующие (рис. 3.21). Натуральная величина большой оси эллипса AB
равна отрезку А”В” следа секущей плоскости, заключённому между
фронтальными очерковыми образующими цилиндра. Малая ось CD равна
диаметру цилиндрической поверхности. Фронтальной проекцией сечения
является отрезок А”В”, горизонтальной – окружность, профильной – эллипс. Для
построения профильной проекции эллипса определяем достаточное количество
промежуточных точек – 1, 2, 3 и 4. Опорные точки А и В являются точками
видимости на П2, т.к. расположены на фронтальном очерке поверхности, и
одновременно экстремальными относительно плоскостей проекций П1 и П3.
опорные точки С и D являются точками видимости на П3, поскольку расположены
на профильном очерке, и экстремальными относительно фронтальной плоскости
проекций.
Для того чтобы найти натуральный размер эллипса, полученный в
результате сечения цилиндра плоскостью, проводим параллельно фронтальной
проекции плоскости сечения α” ось Х1. На эту ось переносим все точки сечения
1,2,3 и т.д., через которые проводим прямые перпендикулярные оси, и от этих
27
точек откладываем расстояния, равные расстояниям от оси симметрии X на
горизонтальной проекции до точек окружности. Получим точки, принадлежащие
линии сечения, т. е. эллипсу.
Рис. 3.21
На рис. 3.22 построены три проекции цилиндра, усечённого плоскостью β.
Плоскость пересекает основание цилиндра по прямой, поэтому линией сечения
является неполный эллипс. Большая ось эллипса определяется отрезком А”В”,
малая CD равна диаметру цилиндра. Для наглядности плоский срез цилиндра и
натуральная величина показаны на чертеже заштрихованными.
28
Рис. 3.22
3.3.3. Сфера
Сферой называется поверхность, образованная множеством точек
пространства, находящихся на равном расстоянии от данной точки (рис. 3.23).
Сфера может быть образована вращением окружности вокруг диаметра. Центр
вращающейся окружности служит центром сферы.
Рис. 3.23
29
Сфера (рис. 3.24) проецируется на все плоскости проекций в виде равных
окружностей одинакового радиуса. Самая большая окружность - экватор,
который на горизонтальную плоскость проекций проецируется в виде
окружности, а на фронтальную плоскость проекций - в виде отрезка прямой
линии, параллельной оси проекций ОХ.
Меридиан AFBE проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде
окружности, а на горизонтальную плоскость проекций в виде прямой линии.
Всякое сечение, параллельное экватору, будет проецироваться на горизонтальную
плоскость проекций в виде окружности.
Рис. 3.24
3.3.3.1. Сечения сферы
Плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость
является плоскостью уровня, то одна из проекций представляет собой
окружность, а две другие – отрезки прямых линий, равные её диаметру. Если
30
секущая плоскость является проецирующей, то две проекции линии сечения
являются эллипсами, а третья – отрезком прямой линии.
Задача. Построить три проекции и натуральную величину сечения сферы
фронтально - проецирующей плоскостью α (рис. 3.25).
Анализ исходных данных:
1. Сечением является окружность с центром в точке О (О”) радиуса R.
Проекция О” является основанием перпендикуляра, проведённого из центра
сферы к фронтальному следу заданной плоскости α”.
2. Фронтальной проекцией окружности является отрезок А”В”= 2R.
3. Горизонтальной и профильной проекциями окружности являются эллипсы.
Рис. 3.25
31
Выполнение построений:
1. Сначала находим опорные точки, их шесть и они находятся на проекциях
очерка сферы:
- А и B расположены на главном меридиане;
- K и L принадлежат экватору;
- F и E – на меридиане, параллельном профильной плоскости проекций.
В первую очередь необходимо построить проекции именно этих точек.
В проекциях линии сечения, как на горизонтальной, так и на профильной
плоскостях проекций изображаются в виде эллипсов, если секущая плоскость не
параллельна ни одной из плоскостей проекций.
2. Для построения горизонтальной проекции большой оси эллипса делим
фронтальную проекцию А”B” пополам получаем проекцию О” и фронтальную
проекцию C”D” большой оси эллипса.
3. Для нахождения горизонтальной и профильной проекций большой оси
эллипса заключаем точки С и D в параллель в плоскости П2.
4. Строим дополнительное сечение (параллель), которое на горизонтальной
плоскости проекций изобразится в виде окружности, а на профильной плоскости в виде прямой.
5. Затем с помощью линий связи проецируем точки С и D на П1 , получая
горизонтальную проекцию большой оси эллипса.
6. Третья проекция находится обычным путём.
Малой осью эллипса является отрезок АВ.
Натуральная величина сечения, которая выразится в виде окружности,
находится способом замены плоскостей проекций. Таким же путём можно найти
сколько угодно дополнительных точек, принадлежащих сечению сферы.
3.4. Преобразование чертежа способом замены плоскостей
проекций.
Приведение прямых линий и плоских фигур в частные положения
32
относительно плоскостей проекций в ходе решения задач нередко приводит к его
значительному упрощению.
Способ замены плоскостей проекций заключается в том, что одна из
основных плоскостей проекций (П1 , П2) заменяется дополнительной плоскостью
проекций, подходящим образом расположенной относительно оригинала, но
перпендикулярно остающейся плоскости проекций. При этом оригинал в новой
системе плоскостей будет занимать частное положение.
3.4.1. Преобразование прямой.
Используя способ замены плоскостей проекции, прямую общего положения
АВ можно преобразовать в прямую уровня или прямую проецирующую (рис.
3.26).
Рис.3.26
33
Если выбрать дополнительную плоскость проекций П3 параллельно прямой АВ,
тогда прямая станет прямой уровня в системе П1/П3 , что позволит найти
натуральную величину отрезка прямой. Выполним еще одно преобразование
перпендикулярно к прямой АВ с дополнительной плоскостью П4. Прямая АВ
станет проецирующей в системе П3/П4.
3.4.2. Преобразование плоскости
Плоскость общего положения α(ABC) можно преобразовать в
проецирующую, если выбрать дополнительную плоскость П3 перпендикулярно к
любой прямой, принадлежащей плоскости α. В качестве такой прямой выбирают
Рис.3.27
линию уровня плоскости (фронталь или горизонталь). Пусть П3 f (x1 f”),
34
следовательно, и вся плоскость α будет перпендикулярной к П3 (рис. 3.27).
Если выбрать дополнительную плоскость П4 параллельно проецирующей
плоскости α, то можно получить натуральный вид плоской фигуры, лежащей в
плоскости α.
4. Последовательность выполнения домашней графической
работы.
По заданным графическим изображениям поверхности и плоскости общего
положения строят проекции поверхности и плоскости, увеличивая их
изображения в два раза (рис. 4.1):
Работа выполняется в четыре этапа:
А. На первом этапе методом замены плоскостей проекций преобразуем
плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми, в
проецирующую плоскость.
Обычно плоскость общего положения задается, либо пересекающимися
горизонталью (h) и фронталью (f), либо пересекающимися произвольной прямой
35
общего положения (a) и горизонталью (h) или фронталью (f). Чтобы
преобразовать плоскость общего положения в проецирующую за одну замену,
необходимо провести преобразования относительно либо горизонтали, либо –
фронтали (см. п.3.4.2).
Последовательность выполнения преобразований следующая (см. рис. 4.2):
1. Обозначаем исходную систему координат – ось ОХ
(между горизонтальной и фронтальной проекциями заданных поверхности и
плоскости) и плоскости проекций П1 и П2. Положение оси регулируем с целью
уменьшения построений.
2. Новую ось ОХ1 проводим перпендикулярно либо горизонтальной
проекции горизонтали (h'), либо – фронтальной проекции фронтали (f”).
Обязательно нужно учитывать, что после замены плоскостей проекций,
поверхность не должна поменять своего положения в пространстве.
Например, если ось вращения конуса была перпендикулярна П1, то и после
замены в новой системе плоскостей она должна остаться  П1. Следовательно, ось
ОХ должна задаваться  h и новая система плоскостей будет П1/П3. Исключение
составляет сфера, у которой нет такого требования.
3. На прямой общего положения (а) или фронтали (f) берем произвольную
точку К, которая позволит перенести эту прямую в новую систему координат
ОХ1, П1/П3.
4. Проводим линии связи от фронтальной проекции точки К (К”), центра
поверхности и фронтальной проекции точки пересечения прямых, образующих
плоскость, перпендикулярно оси ОХ1.
5. На продолжении линий связи относительно оси ОХ1 для точек К, центра
поверхности и точки пересечения прямых плоскости откладываем значения
координат Z для каждой из этих точек, взятые из исходной системы координат
ОХ, П1/ П2.
6. Соединив полученные точки К’” и точку пересечения прямых для
плоскости, получим в новой системе координат ОХ1, П1/ П3, положение секущей
36
плоскости в виде проецирующей.
Рис. 4.2
7. Для того, чтобы перенести поверхность в новую систему координат,
необходимо использовать координату Z по высоте поверхности и координаты Z
точек, определяющих ее ширину.
8. В результате преобразований мы перешли в новую систему координат
ОХ1, П1/ П3, в которой заданная плоскость общего положения стала
проецирующей (рис. 4.2).
Б. На втором этапе проводят построения проекций сечения
заданной поверхности проецирующей плоскостью в системе координат ОХ1,
П1/П3 (рис. 4.3). В зависимости от вида заданной поверхности и положения
37
секущей плоскости могут быть получены различные виды сечений (см. п. 3.3.1.1,
п. 3.3.2.1, п. 3.3.3.1). Последовательность построения сечений подробно
представлена в разделах п. 3.3.1.1.1, п. 3.3.1.1.2, п. 3.3.1.1.3, а также в разделах
п. 3.3.2.1, п.3.3.3.1.
На этом же этапе выполняют построение натуральной величины сечения,
для чего также, используют метод замены плоскостей проекций
( рис 4.3). Новую ось ОХ2 проводят параллельно положению следа секущей
плоскости в системе координат ОХ1 , П1/ П3.
Рис. 4.3
38
Из каждой точки сечения проводят линии связи перпендикулярно оси
ОХ2, на которых откладывают, по обе стороны от оси ОХ2 (вследствие
симметричности сечения), значения координат точек относительно центральной
оси горизонтальной проекции сечения, снятые в системе координат ОХ1 , П1 / П3.
В. На третьем этапе выполняют построения проекций сечения в
исходной системе координат ОХ П1 / П2 . При выполнении построений в системе
координат ОХ1 П1 / П3 была получена горизонтальная проекция сечения.
Остается построить фронтальную проекцию сечения в исходной системе
координат.
Работа выполняется в следующей последовательности:
- необходимо провести из всех точек сечения (их горизонтальных
проекций) линии связи перпендикулярно оси ОХ (рис. 4.4);
- обязательно необходимо определить точки, определяющие
видимость сечения (К, L) . Эти точки располагаются на пересечении
горизонтальной проекции линии сечения и горизонтальной проекции очерковых
образующих (горизонтальная ось);
- на продолжении линий связи относительно оси ОХ откладываем
значения координат OZ для каждой точки сечения, взятые в системе координат
ОХ1 П1 / П3;
- соединяем значения точек А и В осевой линией (большая ось эллипса) и
значения точек C и D (малая ось эллипса) (лишь в том случае, если сечением
данной поверхности будет эллипс);
- выполняется коррекция положения большой и малой осей эллипса
(только в том случае, если сечение данной поверхности – эллипс). Методика
проведения коррекции положения большой и малой осей эллипса представлена в
рабочей тетради (см. рабочая тетрадь стр. 54).
39
Рис. 4.4
Г. На четвертом этапе полученные значения всех точек сечения
соединяем плавной кривой с учетом их видимости (рис. 4.5). Также определяем
видимость секущей плоскости и заданной поверхности.
40
Рис. 4.5
5. Оформление домашней графической работы
Графическая работа выполняется на ватмане формата A3 (420x297)
карандашом в масштабе 1:1 (рис. 5.1).
Линии чертежа должны соответствовать ГОСТ 2.303-68. Рекомендуемая
41
толщина сплошной основной линии 0,6...0,8 мм.
Все надписи на чертеже и размерные числа выполняются стандартным
шрифтом (ГОСТ 2.304-81). Рекомендуемая высота букв и цифр 5 или 7 мм.
Алгоритм решения задач в краткой форме записывается рядом с
графическим решением. Объяснение решения строится на операциях с объектами
в пространстве, и только в самых необходимых случаях поясняются графические
построения.
Допускается знаковая запись последовательности решения: в виде
отношений пересечения (∩), параллельности (||), перпендикулярность (),
результата операции (=) и других, но не в ущерб ясности изложения.
Допускается изменение обозначений точек и прямых, кроме А, В, С, D, Е.
Уровень подробности объяснения выбирается автором работы.
В правом нижнем углу рабочего поля чертежа размещается «основная
надпись» (ГОСТ 2.104-68, форма 1), в верхней графе которой указывается
обозначение чертежа:
где
ИГ01.NN.11.01
ИГ - буквенный индекс, обозначающий наименование
дисциплины - «Инженерная графика»;
01 - номер семестра;
NN - вариант, соответствующий номеру студента в журнале группы;
11 - номер темы;
01 - номер чертежа.
Структура обозначения сформирована по образцу обозначения
конструкторских документов (ГОСТ 2.201-80), поэтому индекс ИГ не отделяется
точкой от номера семестра, и в конце обозначения отсутствует точка.
Основным условием успешного выполнения и оформления чертежа
является точность графических операций, поэтому на нем должны присутствовать
промежуточные построения, выполняемые сплошными тонкими линиями в ходе
решения задач.
42
Рис. 5.1
43
6. Литература
1.
Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А.
Курс начертательной геометрии: Учебник. -М.: Наука, 1988.
2.
Иванов Г.С. Начертательная геометрия: Учебник.
-М.: Машиностроение, 1995.
3.
ЕСКД: ГОСТ 2.301-69... 2.304-81.
44
Приложение 1. Пример решения графической работы для сферы.
Шаг 1.
Шаг 2.
45
Шаг 3.
Шаг 4.
46
Приложение 2. Пример решения графической работы для цилиндра.
Шаг 1.
Шаг 2.
47
Шаг 3.
Шаг 4.
48
Приложение 3.
Вопросы для подготовки
к защите домашней графической работы
1. В чем заключается способ преобразования чертежа методом перемены
плоскостей проекции?
2. Сколько требуется выполнить замен плоскостей проекций, чтобы прямая
общего положения стала проецирующей?
3. Как выбрать дополнительную плоскость проекций π3 , чтобы заданную
плоскость общего положения преобразовать в проецирующую?
4. Сколько и в какой последовательности надо сделать замен плоскостей
проекций, чтобы получить натуральный вид плоской фигуры?
5. Определение точек линии пересечения поверхности плоскостью.
6. Какие точки линии пересечения поверхности плоскостью называют
характерными (опорными)?
7. Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью
получается окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся
прямые.
8. Какая линия получается при пересечении сферы любой плоскостью и
какими могут быть проекции этой линии?
9. Сечения цилиндра проецирующей плоскостью и плоскостью уровня.
10. Виды поверхностей вращения.
11. Элементы поверхности вращения (параллели, меридианы, экватор,
горло).
49
12. Содержание
1. Предисловие…………………………………………………………….. 3
2. Исходные данные…………………………………….…………………. 5
3. Краткие теоретические обоснования решения задачи
…………….5
3.1. Что такое поверхность……………………………………………..5
3.2.Образование и задание поверхности на чертеже…………............6
3.3. Поверхности вращения ……………………………………………8
3.3.1. Коническая поверхность вращения…………………………10
3.3.1.1. Сечения конуса……………………………………...16
3.3.1.1.1. Построение сечения конуса плоскостью,
проходящей через образующие (эллипс)…………17
3.3.1.1.2. Построение сечения конуса плоскостью,
проходящей параллельно одной из образующих
(парабола)……………………………………………20
3.3.1.1.3. Построение сечения конуса плоскостью,
проходящей параллельно оси конуса или
параллельно двум его образующим (гипербола)..21
3.3.2. Цилиндрическая поверхность вращения…………………..24
3.3.2.1. Сечения цилиндра…………………………………..26
3.3.3. Сфера…………………………………………………………29
3.3.3.1. Сечения сферы………………………………………30
3.4. Преобразование чертежа способом замены плоскостей
проекций…………………………………………………………….32
3.4.1. Преобразование прямой……………………………………....33
50
3.4.2.Преобразование плоскости…………………………………..34
4. Последовательность выполнения графической части работы………..35
5. Оформление домашней графической работы………………………….41
6. Литература………………………………………………………………. .44
Приложение 1. Пример решения графической работы для сферы……...45
Приложение 2. Пример решения графической работы для цилиндра ….47
Приложение 3. Вопросы для подготовки к сдаче работы………………..49
51
ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ ГЕРАСИМОВ
ОЛЬГА АЛЕКСАНДРОВНА РОМАНЕНКО
ВЕРОНИНИКА ВАЛЕРЬЕВНА ГРИГОРЬЯНЦ
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
Сечение поверхности вращения плоскостью
Методические указания
Сводный тем. план 2013
Подписано в печать
Формат
Объем
Тираж
уч.-изд.л.
экз.
Заказ №
Отдел оперативной полиграфии РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина
117917, Москва, Ленинский проспект, 65
52