ОБ УРАВНЕНИЯХ КОНВЕКЦИИ В СИЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

ОБ УРАВНЕНИЯХ КОНВЕКЦИИ В СИЛЬНО НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
В.П.Жуков
Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск
THE CONVECTION EQUATIONS IN STRONG STRATIFIED MEDIUM
V.P.Zhukov
Institute of Computational Technologies SB RAS, Novosibirsk
The equations for subsonic convection flows are suggested. The conditions of solvability and applicability of this
equations are given. It is shown that the choice of base pressure plays important role.
Введение
Изучение существенно дозвуковых конвективных течений со значительным
изменением термодинамических параметров с высотой в атмосфере [1-3] и в глубине Земли
[4] имеет важное научное и непосредственное практическое значение. В [1,2] представлена
по-видимому наиболее последовательная модель, являющаяся обобщением модели
Буссинеска [5] на случай сильно неоднородного сжимаемого газа (глубокой конвекции).
Уравнения [1,2] успешно используются для описания существенно дозвуковых течений в
атмосфере [2,3]. Для решения задач глубинной геодинамики (динамики нижней мантии и
внешнего ядра) желательно обобщить модель [1,2] на случай произвольной среды (не только
газа).
В настоящей работе а). приведены уравнения, обобщающие уравнения глубокой
конвекции [1,2] на случай произвольной среды; б). дано условие разрешимости уравнений
[1,2], которое отличается от условия разрешимости моделей работы [6]; в). обсуждается
важный вопрос о том, что понимать под равновесным давлением в уравнениях глубокой
конвекции; г). показано, что число Маха M , входящее в условие применимости этой модели
M 2 1 можно оценить, как
M 2  rT2 / H 2
Здесь rT – характерный размер возмущения, H – высота атмосферы,   1 – параметр
характеризующий устойчивость стратификации атмосферы (см. ниже). Кроме того, для того
чтобы учет теплопроводности в модели [1,2] был корректен необходимо также наложить
условие rT
H . Более того, уравнения [1,2] можно получить разложением по параметру
rT / H 1 . При этом размер области в которой происходит течения может быть H .
Уравнения глубокой конвекции
Пусть среда описывается уравнениями

 (  v) (  v k v)

 P  U  ik
t
xk
xk
 vi vk 2 vl 




x

x
3 xl 
i
 k
 ik   

 div(  v )  0
t
(2)
(1)
v
 (  )
 div(  v )   p div v   ik i  div(T )+Q (3)
t
xk
Здесь v ,  ,  , p , T ,  ,  – скорость, массовая удельная внутренняя энергия,
плотность, давление, температура, коэффициент теплопроводности и вязкости вещества,
U  U (r ) -- потенциал (например гравитационный), Q - источник тепла. Будем полагать, что
уравнения состояния и выражение для внутренней энергии имеют вид
T  T ( p,  ),
   ( p,  )
(4)
Будем интересоваться существенно дозвуковыми течениями со скоростями v* ~ Mc
( c – скорость звука), характерными пространственным масштабом L , временным
масштабом t* ~ L / v* ~ M 1 и плотностью 0 . Представим давление с точностью до членов
порядка M 4 в виде
p  p0  p (0)  P  p
p0 , p (0) ~ 0c 2 , p ~ M 2 0c 2
Здесь выделено среднее по объему V давление P , зависящее только от времени.
Поэтому
(0)
(5)
 p0dV  p dV  pdV 0
Функция p0 определяется из отдельного условия, которое является нетривиальным и
будет обсуждаться в отдельном параграфе. Пока для нас будет важным то обстоятельство,
что
p0  U ~ M 2  c 2 / L ,
(6)
что
обеспечивает
необходимую
величину
скорости.
Будем
полагать
также,
что
( p0 , 0 ) ~ ( p0 , 0 ) / L .
Стандартное [1,2] разложение по степеням M 2
1 дает из (1) в нулевом приближении
p (0)  0 . С учетом (5) p(0)  0 . В следующем приближении из (1) получим

(  v) (  v k v)

 p  p0  U  ik
t
xk
xk
(7)
Уравнение (2) в этом разложении сохраняет свой вид, а из (3) получаем
 (  )
 div(  v )  ( p0 +P)div v  div(T )+Q
t
(8)
   ( p0  P,  ) , T  T ( p0  P,  )
(9)
В газе с показателем адиабаты  имеем
1  dP p0


 vp0   ( p0  P)divv   div T  Q

  1  dt t


T  ( p0  P ) / 

(11)
(10)
Уравнения (2), (7)-(9) описывают глубокую конвекцию в дозвуковом режиме в случае
произвольной среды. В случае газа (8), (9) принимают вид (10), (11). Если в качестве
p0  P(t  0) взять начальное равновесное давление, то модель (2), (7), (10), (11) совпадает с
моделью [1,2] с точностью до обозначений. Только в [2] отсутствует аналог члена dP / dt ,
который, играет важную роль для разрешимости этих уравнений.
Разрешимость уравнений глубокой конвекции
Уравнение (10) можно переписать в виде
div(v( p0  P)1/  ) 

 1
1 dP
1 p0 
div


T

Q


( p0  P)(1 ) / 


 
  1 dt   1 t 


(12)
Отсюда видно, что, например, в случае замкнутой расчетной области (скорость на
границе области равна нулю) для разрешимости (12) необходимо, чтобы интеграл от правой
части по области был равен нулю. Это дает возможность вычислить независящую от
координат величину
1 dP
 QdV 
  1 dt 
1

(1 ) / 
 ( p0  P) (div(T )  (  1) p0 / t )dV
( p
0
 P )(1 ) /  dV
Физический смысл dP / dt состоит в том, что, например, при медленном нагреве газа в
замкнутом объеме его среднее давление за большое время может возрасти на большую
величину. Возникающая при этом скорость течения и связанный с ней градиент давления
p могут быть малы. Подчеркнем, что dP / dt в зависимости от условий задачи может быть
очень малой величиной, но ее учет имеет принципиальное значение для разрешимости
уравнений.
В общем случае условие разрешимости уравнения (8) не такое простое, как в случае
газа. Поиск dP / dt в этом случае можно осуществить каким либо итерационным процессом.
Выбор p0
С точки зрения разложения решения по степеням M 2 выбор p0 достаточно
произволен. Требуется только соблюдение условия (6). Однако выбор p0 существенно
влияет на получаемое решение, поскольку погрешность, возникающая при переходе от (1)(3) к (2), (7)-(9) может со временем накапливаться. Строго говоря, уравнения (2), (6), (7-9)
1
гарантированно верны на временах  ( L / v* ) M . Ситуация полностью аналогична
ситуации, возникающей при выводе уравнений редуцированной магнитной гидродинамики
[8-10], где предполагается малость скорости по сравнению со скоростью быстрого
магнитного звука. Для того, чтобы увеличить промежуток времени, в течении которого (2),
(7)-(9) применимы, необходимо выбирать p0 вполне определенным образом, подобно тому,
как в [8,9] определенным образом выбирается компонента магнитного поля обеспечивающая
адиабатическую точность редуцированных уравнений (время применимости увеличивается
1/ M
до ~ e
).
Приведем пример того, как выбор p0 влияет на получаемое решение. Рассмотрим
одномерную задачу о нагреве газа первоначально находившегося в равновесии в однородном
поле тяжести U  gz . В равновесном состоянии температура T  const, а распределение
 gz / T
плотности и давления ~ e
. На границах z  0 и z  z0 поставим условие непротекания
v  0 и зададим тепловой поток T / z , нагревающий газ. При t   тепловой поток
устремим к 0. Согласно исходным уравнениям (1)-(3) в этой системе на больших временах
установится новое равновесное состояние, отличающееся от исходного температурой и,
соответственно, показателем экспоненты.
Решим эту задачу с помощью уравнений (2), (7), (10), (11), взяв в качестве p0
начальное равновесное давление
p0   0U
где
(13)
0 - начальное распределение плотности. Такой выбор p0 используется в [1,2]. Легко
понять, что на больших временах в этом случае установится некоторая новая постоянная
температура, а давление
p0  P(t  ) будет равно сумме начального давления и
некоторой
что
постоянной,
не
соответствует
правильному
экспоненциальному
распределению. Не исключено, что в этом случае величина p0  P  p при t   будет
иметь экспоненциальное распределение. Но тогда, в силу (11),

не будет иметь
экспоненциальное распределение.
Если же в качестве p0 взять функцию, определяемую решением задачи
p0  div( U )
(14)
с условием на границе
np0   U
(15)
где n – нормаль к границе и условием (5), то, можно понять, что на больших временах
установится правильное экспоненциальное распределение. Как показывает численное
решение этой задачи, имеется и количественное соответствие с точным решением. Заметим,
что определение p0 как решение задачи (14), (15) соответствует минимальному отклонению
p0 от U , т.е. такое p0 минимизирует функционал  (p0  U ) 2 dV .
Еще раз подчеркнем, что (13) и (14) отличаются друг от друга на незначительную с
2
точки зрения разложения по степеням M величину, но за большое время эти отличия
накапливаются, что приводит к значительным различиям в результатах. По видимому,
использование (14), (15) лучше, чем (13). Получение уравнения для p0 обеспечивающее
адиабатическую точность, требует особого исследования и выходит за рамки настоящей
работы.
Условие применимости уравнений глубокой конвекции
Для того, чтобы скорости были малы, необходимо, чтобы состояние газа было близко к
некоторому равновесному. В частности, отклонения плотности от своего квазиравновесного
распределения  0 должны быть невелики. Согласно (6) это дает, что p0   0U или
U  ( 0 )1p0 . В газе 0c 2 ~ p0 и условие (6) при p0 ~ p0 / L приводит к
требованию
  0
~ M2
0
Но тогда 1). учет теплопроводности в (10) будет превышением точности, поскольку в T
члены порядка M 2 отброшены; 2). В принятом разложении изменение плотности вообще
говоря может быть порядка  0 . Поэтому возникает вопрос о том, в каких случаях
отклонение плотности мало.
Будем разделять пространственные масштабы. Введем H – масштаб изменения p0 и
 0 (высота атмосферы) и масштаб rT – характерный размер изучаемого возмущения,
например термика [2,3]. Возможна ситуация rT
H , но при этом возмущение может
перемещаться через всю толщу атмосферы. Тогда условие (6) соответствия правой части (1)
и выводящей из равновесия силы будет выглядеть, как
0 M 2c 2 / rT ~
  0
p0 / H
0
или
  0
~ M 2 H / rT
0
M2
(16)
Для плотности в этом случае можно получить оценку
(   0 ) / 0 ~  rT / H
(17)
Здесь
 dp0 / dz d 0 / dz 
d ln( p01/  / 0 )
 H

H
0 
dz
  p0
– параметр, знак которого характеризует устойчивость стратификации атмосферы.
Поскольку плотность и давление падают с высотой, то |  | 1 . Для Земли можно принять

1. Поскольку в сильно устойчивой атмосфере любые движения затухают, а сильно
неустойчивая атмосфера не может существовать, то ситуация с |  |
типичной для различных систем.
Из (16), (17) получаем
rT2
M ~ 2
H
2
1
и отклонения плотности, выраженное через число Маха
1 является достаточно
  0
~ M 2 ( H / rT )
0
H.
Таким образом, удержание членов с теплопроводностью в (10) оправдано при rT
Уравнения глубокой конвекции можно получить из уравнений (1)-(3) используя
1 предполагая наличие масштабов ( p0 , 0 ) ~ ( p0 , 0 ) / H ,
разложение rT / H
 ~ 1/ rT , v ~ (rT / H )c ,

~ rT / v , (   0 ) / 0 ~ rT / H и т.д.
t
Список литературы
1.
Березин Ю.А., Жуков В.П. О влиянии вращения на конвективную устойчивость
крупномасштабных возмущений в турбулентной жидкости//МЖГ. 1989. № 4. С. 3.
2.
3атевахин М. А., Кузнецов А. Е., Никулин Д. А., Стрелец М. Х. Численное
моделирование процесса всплытия системы высокотемпературных турбулентных терминов
в неоднородной сжимаемой атмосфере//ТВТ. 1994. Т. 32 № 1. С. 44.
3.
Хазинс В.М. Метод крупных вихрей в задачах всплывания высокотемпературных
термиков в стратифицированной атмосфере//ТВТ. 2010. Т. 48, № 3. С. 424.
4.
Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г., Кирдяшкин А.А. Глубинная геодинамика.
Новосибирск, Изд. СО РАН Филиал "ГЕО", 2001, 408 с.
5.
Гершуни Г.З, Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.
М.: Наука, 1972. 392 с.
6.
Нехамкина О.А., Никулин Д.А., Стрелец М.Х. Об иерархии моделей естественной
конвекции совершенного газа//ТВТ. 1989. Т. 27, № 6. С. 1115.
7.
Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
8.
Пастухов В.П. Адиабатическое разделение движений и редуцированные уравнения в
магнитной гидродинамике//Физ. плазмы. 2000. Т. 26. N 6. С. 566.
9.
Пастухов В.П. Редуцированная магнитная гидродинамика тороидальной плазмы с
течениями//Письма в ЖЭТФ. 1998. Т. 67. В.11. С. 892.
10. Жуков В.П. Редуцированные МГД-уравнения с учетом медленного магнитного
звука//Физ. плазмы. 2001. т. 27. № 7. С. 630.