3. Введение в анализ

54
3. Введение в анализ
Символы математической логики
Для сокращения записи утверждений используются символы:
 – квантор общности, означающий «для любого», «для каждого»;
 – квантор существования, означающий «существует»;
!
– квантор единственности, означающий «единственное»;
|
– символ, означающий «при», «такое что», «имеет место»;
 – знак логического следствия (запись « A  B » означает «из утверждения A следует утверждение B»);
 – знак двойного логического следствия (запись « A  B » означает
«из утверждения A следует утверждение B, и из утверждения B следует утверждение A», или «утверждения A и B эквивалентны»);
 – знак логического «или» (запись « A  B » означает «выполнено хотя
бы одно из утверждений A или B»);
 – знак логического «и» (запись « A  B » означает «выполнены оба
утверждения A и B»);
Вместо знака логического следствия в некоторых случаях используют
близкую по смыслу запись в виде пары круглых скобок.
3.1 Множества
Наиболее общим понятием математики является понятие множества.
Дать определение этому понятию не удается; можно лишь пояснить, что близкими по содержанию являются такие понятия, как набор и совокупность. Подобного описания вполне достаточно, так как при построении теории природа
самих объектов игнорируется: предметом исследования являются лишь свойства операций, отношений между объектами определенных множеств.
Для обозначения того, что объект a является элементом множества A, используют знак принадлежности
a  A;
если объект a не является элементом множества A, то записывают
a A.
Задать множество можно двумя способами. Первый способ состоит в перечислении всех элементов. Например, множество 1,2,3 состоит из чисел 1, 2
и 3; множество 0,2,2,4,4,6,6,... состоит из всех четных чисел, и т.д.
Второй способ состоит в указании характеристического свойства, которым обладают те и только те элементы, которые принадлежат данному множеству. Например, множество всех четных чисел можно определить так:
x | x  2k , k  Z
(читается «множество x, таких что x  2k »); здесь Z – множество целых чисел.
55
Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же
элементов. Равенство множеств обладает такими же свойствами, что и равенство чисел:
1. A  A (равенство рефлексивно).
2. Если A  B то B  A (равенство симметрично).
3. Если A  B и B  C то A  C (равенство транзитивно).
Множество A называют подмножеством множества B, если любой элемент множества A является элементом множества B. Отношение «являться
подмножеством» записывают при помощи знака включения:
A B
(читается «A включается в B» или «B включает A»). Если при этом
множества A и B не равны, то A называют собственным подмножеством B.
Два множества A и B равны тогда и только тогда, когда A является подмножеством B и множество B является подмножеством A.
Множество     , не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Пустое множество является подмножеством любого другого. Множество, состоящее из пустого множества, само уже не является пустым.
Объединением (или суммой) множеств A и B называют множество A  B ,
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B (некоторый элемент принадлежит объединению множеств тогда и только тогда, когда он принадлежит или множеству A, или множеству B).
Пересечением (или произведением) множеств A и B называют множество A  B , состоящее тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств A и B (некоторый элемент принадлежит пересечению множеств тогда и только тогда, когда он одновременно принадлежит и множеству
A, и множеству B).
Разностью множеств A и B называют множество A \ B , состоящее из
тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B (некоторый элемент принадлежит разности A \ B множеств
тогда и только тогда, когда он одновременно принадлежит множеству A и не
принадлежит множеству B).
Если пересечение множеств A и B пустое:
A B  ,
то говорят, что множества A и B не пересекаются. В этом случае A \ B  A ,
B \ A  B.
Многие свойства операций объединения, пересечения и разности множеств аналогичны свойствам суммы, произведения и разности чисел, однако
имеются и отличия.
1. A  B  B  A (объединение коммутативно).
2. A  B  B  A (пересечение коммутативно).
3. A   B  C   A  B  C (объединение ассоциативно).
56
A   B  C   A  B  C (пересечение ассоциативно).
A   B  C   A  B   A  C (пересечение дистрибутивно относительно объединения).
6. A   B \ C   A  B \  A  C (пересечение дистрибутивно относительно разности).
7. A  A  A .
8. A  A  A .
9. A \ A   .
10. A    A .
11. A     .
12. A \   A .
4.
5.
3.2 Целые, натуральные и рациональные числа
Натуральными числами называют числа, употребляемые для счета предметов и указания их порядкового номера. Множество натуральных чисел обозначают буквой N.
Любое натуральное число может быть записано в виде последовательности цифр. Если в записи числа важна как сама цифра, так и ее положение, то
запись называют позиционной, а количество различных цифр называют основанием системы счисления. Так, при использовании арабских цифр и десятичной
системы счисления запись «123» представляет число 1100  2 10  1. Примером непозиционной записи является римская.
Множество натуральных чисел замкнуто по сложению и умножению:
сумма и произведение двух любых натуральных чисел есть вновь натуральное
число. Однако на множестве N вычитание выполнимо не всегда.
Проведем прямую (рис. 4.1),
3
1 O 1
2
отметим на ней точку О – начало
Рис. 4.1. Координатная ось
координат, выберем масштабный
отрезок (длину его считаем равной единице) и направление. В этом случае говорят, что задана координатная ось. Каждому числу соответствует одна точка
на координатной оси. Нулем называют число, соответствующее началу координат.
Начало координат разбивает координатную ось на два дополнительных
луча; числа на одном луче называют положительными, числа на другом – отрицательными. Модулем числа называется расстояние от начала отсчета до соответствующей точки на координатной оси:
 x, x  0
x 
.
 x , x  0
Знаком числа называют число:
57
1, x  0

sign x   0, x  0 .
 1, x  0

Два числа x1 и x2 называют противоположными, если они имеют равные
модули и различные знаки. Пишут: x2   x1 .
Множеством целых чисел Z называют объединение множества натуральных чисел, множества противоположных им чисел и множества, состоящего из
нуля. Из определения следует N  Z .
На множестве Z всегда выполнимы три арифметические операции – сложение, вычитание и умножение. Однако множество Z не замкнуто по делению.
Множеством рациональных чисел Q называют множество, состоящее из
m
чисел вида
, где m, n  Z . Рациональные числа часто называют дробями,
n
число m называется числителем дроби, число n – знаменателем дроби. Так как
любое целое число может быть записано в виде дроби со знаменателем, равным единице, то Z  Q .
Множество Q замкнуто по всем четырем арифметическим операциям.
3.3 Иррациональные и действительные числа
Если точке A x  не координатной оси не соответствует ни одно рациональное число, то говорят, что число x – иррациональное. Множество иррациональных чисел обозначают I.
Предложение. Числа n и n2 либо оба нечетные, либо оба – четные.
Доказательство.
1. Пусть n нечетно: n  2k  1, где k Z . Тогда:
2
n 2  2k  1  4k 2  4k  1  2l  1 ,
где l  2k 2  2k  Z . Поэтому n2 также нечетно.
2. Пусть n четно: n  2k , k Z . Тогда:
2
n 2  2k   4k 2  2l ,
где l  2k 2  Z . Поэтому n2 также четно.
Теорема 4.3.1. Число 2 – иррациональное.
Доказательство. Предположим, что существует несократимая дробь,
квадрат которой равен двум:
2
 m
   2.
 n
Тогда m2  2n 2 , поэтому число m2 – четное. Из доказанного выше следует, что m также должно быть четным: m  2k , k Z . Поэтому:
4k 2  2n 2 , 2 k 2  n 2 .
58
Следовательно, число n также четное, и дробь
m
будет сократимой. Поn
лученное противоречие доказывает теорему.
Множеством R действительных чисел называют объединение множеств
рациональных и иррациональных чисел:
R  Q I.
Свойства множества R:
1. Множество R упорядочено: a, b  R a  ba  b  a  b .
2. Множество R плотно: для любых a, b  R , таких что a  b , существует бесконечно много чисел x  R , таких что a  x  b .
3. Множество R непрерывно: если оно разбито на два непустых и непересекающихся подмножества A и B: R  A  B , A  B   причем любое число из
множества A меньше любого числа из множества B
a, b a  A  b  B a  b ,

то

a, b a  A  b  B!c a  c  b .
При этом число c является либо наибольшим числом в множестве A (тогда в
множестве B нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в множестве B
(тогда в множестве A нет наибольшего). Говорят, что число c является точной
верхней гранью множества A:
c  sup A (читается «супремум A»),
и точной нижней гранью множества B:
c  inf B (читается «инфимум B»).
Из непрерывности множества R следует, что каждой точке на координатной оси соответствует действительное число, и наоборот, каждому действительному числу соответствует точка на координатной оси.
Отрезком (закрытым интервалом) называют подмножество a, b множества R, для которого
x a, b  a  x  b .
Полуоткрытыми интервалами называют подмножества, для которых
x a, b  a  x  b ;
x a, b  a  x  b .
Интервалом (открытым интервалом) называют подмножество a, b
множества R, для которого
x a, b  a  x  b .
Любое подмножество множества R, включающее несобственное число
  , является открытым либо полуоткрытым интервалом.
59
-окрестностью точки x называется интервал с центром в точке x и длиной 2 :  x   , x    .
3.4 Комплексные числа
Множество действительных чисел, так же как и множество рациональных чисел, замкнуто лишь по отношению к четырем арифметическим действиям. Однако многие операции на множестве действительных чисел R не выполнимы. Например, среди действительных чисел нет корней уравнения x 2  1  0 .
Дальнейшее расширение числовых множеств (от натуральных чисел – к целым,
рациональным и действительным) приводит к множеству комплексных чисел C.
Комплексным числом называется упорядоченная пара z  a, b действительных чисел1, действия над которой производятся в соответствии с аксиомами:
1. a1, b1   a2 , b2   a1  a2 , b1  b2  .
2.  a, b  a, b ,   R .
3. a1, b1 a2 , b2   a1a2  b1b2 , a1b2  a2b1  .
Первое из чисел пары a, b называется действительной частью комплексного числа и обозначается
a  Re z .
Второе число называется мнимой частью:
b  Im z .
Число называется чисто мнимым, если его действительная часть равна
нулю. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Операции сравнения для комплексных чисел не
определены.
Два числа называют комплексно-сопряженными, если их действительные
части одинаковы, а мнимые отличаются знаком:
a, b*  a,b .
Модулем z комплексного числа z  a, b называют арифметический
квадратный корень из произведения числа на комплексно-сопряженное:
z  zz *  a 2  b2 .
1
Пара (как и набор, содержащий более двух элементов) называется упорядоченной, если указано, какой из
элементов является первым, какой – вторым.
60
Действия над комплексными числами можно производить по правилам
алгебры действительных чисел, если каждому действительному числу a поставить в соответствие число a,0 , ввести обозначение:
i  0,1 ,
и записать комплексное число в алгебраической форме:
a, b  a  ib .
Чисто мнимое число i  0,1 называют мнимой единицей. Его целочисленные степени равны:
n  4k  1
1,
i ,
n  4k  2

n
, k Z .
i 

1
,
n

4
k

3

 i , n  4 k
В частности, i 2  1.
В алгебре доказывается, что на множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней2, считая с кратными.
Например, квадратное уравнение
x 2  3x  2  0
имеет корни x1  1 и x2  2 ; уравнение
x 2  2x  5  0
имеет корни x1  1  2i и x2  1  2i ; уравнение
его аффикс – точку a, b на комплексной
плоскости (рис. 4.2). Ось абсцисс этой
плоскости называют действительной
осью, ось ординат – мнимой осью.
Аргументом Arg z комплексного
числа z   a , b называют угол между по-
iy
z   a, b  a  ib
z
x2  1  0
имеет один двукратный корень x  1.
Каждому комплексному числу
 a , b можно поставить в соответствие
i
  arg z
1
x
ложительным направлением действиРис. 4.2. Комплексная плоскость
тельной оси и радиус-вектором аффикса.
Аргумент определен с точностью до слагаемого, кратного 2. Главным значением arg z аргумента называют значение, принадлежащее интервалу  0;2  .
Так как для z   a , b
2
Следствие из т.н. основной теоремы алгебры.
61

a  z cosarg z 
,

b

z
sin
arg
z




то число z   a , b может быть записано в форме
z  z cos arg z   i sin arg z   ,
которую называют тригонометрической формой записи комплексного числа.
Произведение чисел z1 и z2, записанных в тригонометрической форме
z1z2  z1 cos arg z1   i sin arg z1   z1 cos arg z1   i sin arg z1   
 z1 z2 cos arg z1  arg z2   i sin arg z1  arg z2   ;
т.е. при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.
В частности:
n
z n  z cos n arg z   i sin n arg z   .
Последнее соотношение называется формулой Муавра.
Корнем w  n z из комплексного числа z называется решение уравнения
w n  z . Из формулы Муавра следует, что корень n-ной степени имеет ровно n
различных значений:
arg z  2k 

 arg z  2k   ,
n
z  n z  cos
  i sin 




 
n
n
где
n
z – арифметический корень (действительное число), k  01
, ,..., n  1.
3.5 Понятие функции, числовые функции
Пусть даны два множества X и Y. Функцией называют правило f, сопоставляющее каждому значению x  X значения y Y :
f :x  y .
При этом множество X называют областью определения, а каждый его
элемент x – аргументом функции. Множество Y называют областью значений,
а каждый его элемент – значением функции f.
Если множества X и Y есть подмножества множества действительных чисел, то функцию f называют скалярной функцией одного действительного переменного; в дальнейшем будут рассматриваться только такие функции.
Замечание 4.5.1. Рассмотренные выше линейные преобразования, очевидно, являются
функциями. Их областью определения и областью значений являются линейные пространства векторов. Поэтому можно сказать, что линейные преобразования есть векторно-значные
функции векторного аргумента.
Если функция f каждому значению x  X сопоставляет единственное
значение y Y , то функцию называют однозначной. Однозначная функция может быть записана в виде
y  f x ,
62
где f  x  – аналитическое выражение.
Пусть на множестве U определена функция x  g  u . Тогда функцию
y  f  g u 
называют суперпозицией функций f и g, или сложной функцией.
Графиком функции y  f  x  называется геометрическое место точек
 x, f x . График однозначной функции есть линия, которая при любом
a X
пересекается с прямой x  a в единственной точке.
К основным элементарным функциям относят степенную, показательную и логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические.
Элементарной функцией называют функцию, полученную из основных
элементарных функций при помощи конечного числа арифметический действий и операций суперпозиции. Функцию, не являющуюся элементарной,
называют специальной.
3.6 Характеристики числовых функций
Функция y  f  x  называется четной, если
x  X f  x Y| f  x  f  x .
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция y  f  x  называется нечетной, если
x  X f  x Y| f  x   f  x .
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Если функция не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.
Функция y  f  x  называется периодической, если существует положительное число T, такое, что
x  X f  x  T  Y| f  x  T   f  x .
При этом число T называют периодом функции. Периодическая функция
имеет бесконечно много периодов: T, 2T, 3T, ... Наименьший среди периодов
называется основным периодом. График периодической функции можно построить, выполняя параллельные переносы участка, соответствующего основному периоду.
Функция называется возрастающей, если
x1, x2  X | x2  x1  f  x2   f  x1   .
Функция называется убывающей, если
x1 , x2   X | x2  x1  f  x2   f x1  .
Функция называется невозрастающей, если
63
x1 , x2   X | x2  x1  f  x2   f x1  .
Функция называется неубывающей, если
x1 , x2   X | x2  x1  f  x2   f  x1   .
Функция называется монотонной, если она является или возрастающей,
или убывающей, или невозрастающей, или неубывающей. Функция называется
строго монотонной, если она является или возрастающей, или убывающей.
Для строго монотонной функции
x1, x2  X | x1  x2  f  x1   f  x2   ,
т.е. различным значениям аргумента сопоставляются различные значения
функции.
Пусть y  f  x  – строго монотонная функция. Тогда существует функция
x   y ,
такая, что
y  f   y   .
Функцию  называют обратной для функции f. Графики взаимно обратных функций y  f  x  и x    y  совпадают. Если переобозначить перемен-
ные, записав y    x  , то графики взаимно обратных функций окажутся симметричными относительно прямой y  x .
3.7 Числовые последовательности
Числовой последовательностью x1, x2, ..., xn, ... называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Последовательность определяется
выражением ее общего члена xn; например, соотношение
x n  2n
задает арифметическую прогрессию
2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...
Сокращенно последовательность обозначается x n  .
Суммой последовательностей un  и vn  называется последовательность un  v n  . Аналогично определяются разность, произведение, и частное
последовательностей.
Последовательность называется возрастающей, если
m, n| m  n xm  xn  .
Последовательность называется невозрастающей, если
m, n| m  nxm  xn  .
Последовательность называется убывающей, если
m, n| m  nxm  xn  .
Последовательность называется неубывающей, если
64
m, n| m  n x m  x n  .
Последовательность называется строго монотонной, если она является
или убывающей, или возрастающей. Последовательность называется монотонной, если она является или монотонной, или неубывающей, или невозрастающей.
Последовательность x n  называется ограниченной, если существует
M  0 , такое, что при любом n  N выполняется xn  M .
Последовательность x n  называется бесконечно малой, если для любого
  0 существует номер N, такой, что при всех n  N выполняется x n   .
Замечание 4.7.1. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена, однако не
каждая ограниченная последовательность является бесконечно малой.
Последовательность x n  называется неограниченной, если для любого
M  0 существует хотя бы один номер n, такой, что x n  M .
Последовательность x n  называется бесконечно большой, если для любого M  0 существует номер N, такой, что при всех n  N выполняется
xn  M .
Замечание 4.7.2. Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, однако не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
1. Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых
последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.
2. Произведение бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью.
3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую
последовательность есть бесконечно малая последовательность.
4. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно
малую последовательность есть бесконечно большая последовательность.
5. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно
большую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 4.7.3. Сумма бесконечно больших последовательностей, общие члены которых имеют (начиная с некоторого номера n) одинаковые знаки, есть бесконечно большая
последовательность. Разность бесконечно больших последовательностей, общие члены которых имеют (начиная с некоторого номера n) различные знаки, есть бесконечно большая
последовательность.
3.8 Предел последовательности
Число a называется пределом последовательности x n  , если последовательность x n  a является бесконечно малой. Иначе, число a есть предел последовательности x n  , если
   0N  N | n  N  xn  a    .
65
В этом случае пишут:
lim x n  a .
n
Если a есть предел x n  , то говорят, что последовательность x n  сходится к числу a. Если последовательность не имеет предела или является бесконечно большой, то ее называют расходящейся.
Существование предела устанавливает теорема Вейерштрасса:
Если монотонная последовательность ограничена, то она имеет
предел.
Например, последовательность
1 2 3
n
, , ,...,
,...
2 3 4
n 1
монотонно возрастает. В то же время она ограничена, так как при любом n  N
n
выполнено
 1 . Поэтому данная последовательность имеет предел.
n 1
Докажем, что
n
lim
 1.
n n  1
Имеем:
n
1
.
xn  a 
1  
n 1
n 1
1 
Достаточно доказать, что последовательность 
 является бесконеч n  1
1
но малой. Пусть дано   0 ; возьмем в качестве N целую часть числа , тогда
xN 
1
1



  , ч.т.д.
N 1 1 1 1 


Замечание 4.8.1. Используя определение предела, можно доказать равенство предела
заданному числу a. Однако ни определение, ни теорема Вейерштрасса не дают способа
нахождения этого числа.
Если число a есть предел  x n  , то любая -окрестность точки содержит
бесконечное число членов последовательности, в то время как вне окрестности
находится лишь конечное число членов. Поэтому сходящаяся последовательность имеет только один предел.
При доказательстве теорем, связанных с пределами, используются следующие утверждения о предельном переходе в неравенствах.
1. Пусть даны последовательности un  и v n  , такие, что начиная с некоторого номера n выполнено un  v n . Тогда
lim un  lim v n .
n 
n 
66
2. Пусть даны последовательности un  , v n  и  x n  , такие, что начиная
с некоторого номера n выполнено un  x n  v n . Тогда
lim un  lim v n  a  lim x n  a .
n
n
n
3.9 Число e
Докажем, что последовательность
2
3
n
3
4
1
2,   ,   ,..., 1   ,...
 2   3
 n
является сходящейся.
По формуле бинома Ньютона:
n
n
n!
1
1  n  k  1   n  k  2... n  1  n
1  1  







k
k
 n
k
!
n

k
!
k
!
n
n

k 0 
k 0
n
n
1
k  1  k  2   1 
  1 
  1 
 ...1   1 ;



  n
k
!
n
n
k 0
(a)
аналогично
n 1
n 1
1  k  1  k  2  
1 
1  1  


1 
  1 
 ...1 
 1 .

 n  1






k
!
n

1
n

1
n

1
k 0
Все k сомножителей в каждом слагаемом положительны. При переходе от
n к n+1 все сомножители в каждом слагаемом увеличиваются, и добавляется
еще одно положительное слагаемое; поэтому вторая сумма больше первой.
Следовательно, рассматриваемая последовательность – возрастающая.
Покажем, что эта последовательность ограничена. Ограниченность снизу
следует из того, что все слагаемые в сумме (a) положительны. Далее, если заk  l
менить все выражения 1
 на единицу, то сумма лишь увеличится:

n 
n
n
1
1  1  
.



 n
k 0 k !
Оценим сумму в правой части последнего выражения:
n
n 1
1
1
1
1
1
1
1
1
.

1

1



...


1

1



...


1

 k!

n 1
k
1

2
1

2

3
1

2

...

n
2
2

2
2
2
k 0
k 0
Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, получим:
 n 1 1 
1  lim   k   1  2  3 ,
n  
k 0 2 
откуда
67
n
 1
lim 1    3 .
n  
n
Таким образом, данная последовательность монотонна и ограничена. Поэтому по теореме Вейерштрасса она имеет предел, что и требовалось доказать.
Предел рассмотренной последовательности обозначают буквой e. Число e
– иррациональное, его приближенное значение равно 2,72. Степень с основанием e называют экспоненциальной функцией, или экспонентой. Логарифм по
основанию e называют натуральным.
3.10 Предел функции
Пусть функция f  x  определена в окрестности точки a. Сама точка a
может и не принадлежать области определения функции.
Число A называется пределом функции f  x  при x  a , если для любой
последовательности
x n  ,
сходящейся к a, последовательность
дится к A. Пишут:
 f  x n 
схо-
lim f  x   A .
x a
Определение предела функции можно сформулировать, не привлекая понятия предела последовательности. Именно, число A называется пределом
функции f  x  при x  a , если
   0  0 x  a    f  x  A    .
Смысл последнего определения состоит в том, что всегда можно отыскать окрестность точки a, такую, что для всех значений аргумента из этой
окрестности значения функции будут отличаться от A сколь угодно мало.
Функция f  x  называется бесконечно малой (бесконечно малой величиной) при x  a , если
lim f  x   0 .
x a
Функция f  x  называется бесконечно большой (бесконечно большой величиной) при x  a , если
M  0   0 x  a    f  x   M .


Смысл последнего определения состоит в том, что бесконечно большая
при x  a в окрестности точки a становится больше любого заранее заданного
числа M. Записывают:
lim f  x    .
x a
Функция называется ограниченной в области D, если существует M  0 ,
такое, что
x  D f  x   M .


68
График ограниченной функции расположен между прямыми y   M и
y  M (и, возможно, касается этих прямых).
Замечание 4.10.1. Следует отличать случаи
M  0   0 x  a    f  x   M ,

и

M  0  0 x  a
    f  x  M

В каждом из них f  x  есть бесконечно большая, однако первом случае
lim f  x    ,
xa
а во втором
lim f  x    .
xa
Замечание 4.10.2. Любая бесконечно большая является неограниченной, однако не
всякая неограниченная является бесконечно большой. Любая бесконечно малая является
ограниченной, однако не всякая ограниченная является бесконечно малой.
Если -окрестность, о которой говорится в определении предела, расположена полностью левее точки a, то предел называют левосторонним:
lim f  x  . Если окрестность расположена полностью правее точки a, то преx a 0
дел называют правосторонним: lim f  x  . Левосторонний и правосторонний
x a 0
пределы называют односторонними.
Из существования предела lim f  x  следует существование односторонx a
них пределов:
lim f  x   lim f  x   lim f  x  .
x a  0
x a  0
x a
Обратно, если при x  a односторонние пределы существуют и равны
между собой, то существует предел lim f  x  ; если хотя бы один из одностоx a
ронних пределов не существует или же эти пределы не равны (исключение составляет случай, когда односторонние пределы есть бесконечности разных знаков), то предел lim f  x  не существует.
x a
Пусть функция f  x  определена на интервале  ;  . Число A называется пределом функции при x   , если
  0 M  0 x  M  f  x   A   .


Пишут:
lim f  x   A .
x 
Замечание 4.10.3. Если
  0 M  0 x  M  f  x   A   ,


то число A называют пределом при x   ; если
  0 M  0  x  M  f  x   A   ,

то число A называют пределом при x   .

69
3.11 Непрерывность и разрывы
Функция f  x  называется непрерывной в точке a, если односторонние
пределы в этой точке существуют и совпадают со значением функции:
lim f  x   lim f  x   f a .
x a  0
x a  0
Замечание 4.11.1. Из определения следует, что точка a должна принадлежать области
определения функции.
Функция f  x  называется непрерывной слева (в точке a) если левосторонний предел существует и совпадает со значением функции:
lim f  x   f a  .
x a  0
Функция f  x  называется непрерывной справа (в точке a) если правосторонний предел существует и совпадает со значением функции:
lim f  x   f a  .
x a  0
Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в
каждой точке этого интервала.
Если условие непрерывности нарушено, то говорят, что в точке a функция f  x  терпит разрыв.
Если в точке a односторонние пределы существуют, но не равны между
собой или не совпадают со значением функции, то говорят, что функция f  x 
терпит разрыв первого рода. Если односторонние пределы существуют и равны
между собой, но не совпадают со значением функции, то говорят, что в точке a
имеет место устранимый разрыв.
Если хотя бы один из односторонних пределов в точке a не существует
или равен бесконечности, то говорят, что функция f  x  терпит разрыв второго
рода.
Все основные элементарные функции непрерывны в каждой внутренней
точке своей области определения. Поэтому, например lim x 2  4 ; lim sin  x   1,
x2
x

2
и т.д.
Основные теоремы о непрерывных функциях.
1. Сумма, разность, произведение и частное (в предположении, что знаменатель отличен от нуля) двух непрерывных функций есть непрерывная
функция.
2. Суперпозиция двух непрерывных функций есть непрерывная функция.
3. Если строго монотонная функция непрерывна, то обратная ей функция
также непрерывна.
4. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она ограничена.
5. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает
своего наибольшего и наименьшего значения.
70
6. Если функция непрерывна на отрезке
a; b ,
причем f  a   A и
f  b  B , то на этом отрезке она принимает все промежуточные между A и B
значения. В частности, если непрерывная на отрезке функция принимает на
концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы
одна точка, в которой функция обращается в ноль.
3.12 Основные теоремы о пределах
Пусть в точке a существуют пределы функций f1  x  и f 2  x  (для опреде-
ленности будем считать их конечными). Тогда:
1. Предел суммы равен сумме пределов
lim f1 x   f 2  x    lim f1 x   lim f 2  x  .
x a
x a
x a
2. Предел произведения равен произведению пределов
lim f1 x  f 2  x    lim f1 x   lim f 2  x  ;
x a
x a
x a
в частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела
limf  x     lim f  x  ,
x a
x a
предел разности равен разности пределов
lim f1 x   f 2  x    lim f1 x   lim f 2  x  .
x a
x a
x a
3. Если lim f 2  x   0 , то предел частного
x a
f1  x 
f2  x
равен частному пределов:
f1  x 
 f1  x   lim
x a
.
lim 

x a f  x 
f2  x
 2  lim
x a
Теорема о пределе промежуточной функции. Пусть на некотором интервале, содержащем точку a, выполнено
f1  x   f  x   f 2  x  .
Тогда если в точке a функции f1  x  и f 2  x  имеют равные пределы
lim f1 x   lim f 2  x   A ,
x a
x a
то предел функции f  x  в точке a также равен A.
Теорема о пределе сложной функции. Пусть
lim x t   a ,
t b
и функция f  x  непрерывна в точке x  a . Тогда


lim f  x t    f lim x t  .
t b
Например,
t b
71

lim cos2  x   lim cos x 
x 
x 
  1.
2
3.13 Замечательные пределы
Вычислим предел
sin x
.
x 0 x
Пусть M – точка единичной окружности (для
определенности можно считать, что точка M расN
положена в первой четверти), x – радианная мера
M
ее центрального угла (рис. 4.3). Тогда площадь
x
x
O
A B
сектора OBM равна . Исходя из определения
2
тригонометрических
функций:
AM  sin x ,
BN  tg x . Поэтому площадь треугольника OBM
1
1
Рис. 4.3
равна sin x , площадь OBN равна tg x . Но тре2
2
угольник OBM содержится в секторе OBM, который, в свою очередь, содержится в треугольнике OBN. Следовательно:
sin x  x  tg x ,
x
1
,
1

sin x cos x
sin x
1
 cos x .
x
Так как lim cos x  1, то на основании теоремы о пределе промежуточной
lim
x 0
функции
sin x
 1.
x 0 x
Функция sin x – нечетная, поэтому
sin  x  t   x
sin x
sin t
lim
 lim

 lim
 1.
x 0 x
x 0
t  0 t 0 t
x
Окончательно:
sin x
lim
 1.
x 0 x
Найденный предел называется первым замечательным пределом.
Вычислим предел
x
1

lim 1   .
x 
x
lim
72
Пусть x  1, x  R . Тогда n  x  n 1, где n   x  – целая часть x (при
x  1 – натуральное число). Следовательно
1 1
1
,
 
n x n 1
1
1
1
;
1  1  1
n
x
n 1
вновь используя неравенство n  x  n 1, получим
1  1 


 n
n 1
x
n
1
1 
 1    1 
 .
 x
 n  1
Так как
 1
lim 1  
n
n
n 1
n
 1
 1
 lim 1   lim 1    1  e  e ,
n
n  n n 
k
1
lim 1  
n
k 1
k  n 1
k  
1 
1
k  e  e ,
lim 1 
 lim 1   
 
n 
k  
1
k
n  1
k
lim 1   1
k  
k
то на основании теоремы о пределе промежуточной функции
x
 1
lim 1    e .
x 
x
Пусть x   . Тогда
x
t
t
t
t  x
1
1
t  1
t 




lim 1   
 lim1    lim
  lim
 
x 
t  t 
t  t  1
t   t  t 
x
t
1 
1 

 lim 1 
  lim 1 

t 
t  1 t  t  1
Окончательно:
t 1
1
1 
 lim 1 
  e 1  e .
t 
t  1
x
1
lim 1    e .
x  
x
Найденный предел называется вторым замечательным пределом. Важнейшими его следствиями являются
1
t
1
t
1

lim1  x  x 
x  lim 1    e ;
x0
t  
t
t
x
1


x  1
1

x





ex  1
1 x 1
lim
 lim
 lim
 1;
x0
x0
x0
x
x
x
73
sh x
e x  e x
e2 x  1 2 x  t
et  1
1
 lim
 lim


lim

lim
 1 1  1 .
x 0 x
x 0
x  0 2 xe x
t  0 t 0 t x 0 e x
2x
lim
Замечание 4.13.1. В дальнейшем будет показана справедливость соотношения
sinix   i sh x (где i – мнимая единица). Пользуясь этим соотношением, нетрудно «вычислить» первый замечательный предел, исходя из второго замечательного:
sin x x  it
i sh t
sh t
lim

 lim
 lim
1.
x 0
t

0
t

0
t0
x
it
t
3.14 Сравнение бесконечно малых
Пусть функции   x  и   x  есть бесконечно малые при x  a . Рассмотрим предел их отношения
  x
A  lim
.
xa   x 
В зависимости от значений этого предела различают четыре случая.
1. Если A=0, то   x  называют бесконечно малой более высокого порядка,
чем   x  .
2. Если A   , то   x  называют бесконечно малой более высокого порядка, чем   x  .
3. Если A – конечное и не равное нулю число, то   x  и   x  называют
бесконечно малыми одного порядка.
4. Если A=1, то   x  и   x  называют эквивалентными бесконечно малыми; пишут:   x  ~   x  .
Найденные выше пределы позволяют записать:
sin x ~ x при x  0 ;
e x 1 ~ x при x  0 ;
1  x  m  1 ~ mx при x  0 .
Справедливы утверждения:
1. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если любую
из них заменить на эквивалентную.
2. Сумма конечного числа бесконечно малых разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
3. Разность двух эквивалентных бесконечно малых (одного знака) есть
бесконечно малая более высокого порядка.
sin 3x
Пример 1. Вычислить предел lim
.
x 0 2 x
Заменим sin 3x на эквивалентную бесконечно малую 3x , получим
sin 3x
3x 3
lim
 lim
 .
x 0 2 x
x 0 2 x
2
74
x2
.
x 0 sin 2 x  x 3
В знаменателе находится сумма бесконечно малых разных порядков. Используя утверждение 2, получим
x2
x2
lim 2
 lim 2  1.
x 0 sin x  x 3
x 0 sin x
x  sin x
Пример 3. Вычислить предел lim
.
x 0
x3
В числителе находится разность эквивалентных бесконечно малых, поэтому из утверждения 3 следует, что при x  0 числитель есть бесконечно малая более высокого порядка, чем x. Однако порядок этой бесконечно малой
остается невыясненным: эквивалентность sin x ~ x ничего не говорит о порядке малости их разности. Поэтому ошибочной будет замена sin x на x (в результате такой замены будет получена не бесконечно малая, а величина, тождественно равная нулю).
Преобразуем предел к виду
x
x
x
2  sin cos 
2
x  sin x
t  sin t cos t 1
t  sin t 1  sin 2 t
2
2 1
lim

lim

lim

lim
.
3
3
3
x0
x0
t

0
t

0
4
4
x3
t
t
x
8 
 2
Пример 2. Вычислить предел lim


1
2
sin 2 t
Так как при t  0 имеет место 1  sin t  1 ~ 
, то
2
 sin 2 t 
t  sin t 1 

2 

1
t  sin t 1  sin 2 t 1
lim
 lim

4 t 0
4 t 0
t3
t3
sin 3 t
t  sin t 
1
1
t  sin t
sin 3 t  1 
t  sin t 1 
2
 lim
  lim
 lim 3    lim
 .
3
3
t  0 2t 
4 t 0
4  t 0 t
4  t 0 t 3
2
t
Обозначив искомый предел через L, получим алгебраическое уравнение
1
1
L   L   ,
4
2
откуда
1
1
1
4 L  L  , 3L  , L  .
2
2
6
x3
Таким образом, при x  0 разность x  sin x эквивалентна
. Анало6
 x3
 x5
гично можно показать, что    x  sin x   ~
, и т.д.
6
 120
2