Решение задач с помощью уравнений

Решение задач с помощью уравнений.
Чтобы решить задачу с помощью уравнения, надо:
1. Записать краткое условие в виде схемы, таблицы или
произвольным образом;
2. Обозначить буквой х ту величину, которую надо найти в главном
вопросе задачи; если таких величин несколько, то буквой х
обозначается меньшая из них;
3. Записать все условия задачи с помощью х;
4. Составить и решить уравнение;
5. Ответить на главный вопрос задачи (найти все величины, о
которых идет речь в главном вопросе).
6. Выполнить проверку решения;
7. Записать ответ.
Соотношение между величинами.
Задача (образец). Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила
на 6 компьютеров больше первой, а третья - на 10 компьютеров больше второй.
Сколько компьютеров получила каждая школа?
х
1-?
х+6
2 - ? на 6 к больше, чем 1
х+6+10 3 - ? на 10 к больше, чем 2
Пусть х к получила 1 школа, тогда (х+6)к получила 2 школа, (х+6+10)к получила 3
школа. Известно, что три школы получили 70 компьютеров. Составляем
уравнение.
х+(х+6)+(х+6+10)=70
х+х+6+х+6+10=70
х+х+х=70-6-6-10
3х=48
х=48:3
х=16 (1 школа)
Сколько компьютеров получила 2 школа?
16+6=22 (к)
Сколько компьютеров получила 3 школа?
22+10=32 (к)
Ответ: 1 школа-16к, 2 школа-22к, 3 школа-32к.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1.
Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4ц хлопка за день. При этом
первая бригада собрала на 1,52ц больше второй. Сколько хлопка собрала каждая
бригада?
2.
Два комбайнера убрали за день 64,2га. Сколько убрал каждый комбайнер,
если первый убрал на 2,8га меньше второго?
3.
Луч ОМ разделил развернутый угол АОВ на два угла АОМ и МОВ. Градусная
мера угла АОМ в 3 раза больше градусной меры угла МОВ. Найдите, сколько
градусов содержится в каждом из этих углов.
4.
Новому заводу потребовались 840 рабочих следующих специальностей:
токарей, слесарей, фрезеровщиков. При этом токарей потребовалось втрое, а
слесарей вдвое больше, чем фрезеровщиков. Сколько токарей потребовалось
для завода?
5.
В товарном составе 60 крытых вагонов, цистерн и платформ. Цистерн на 4
меньше, чем платформ, а платформ на 22 меньше, чем крытых вагонов. Сколько
цистерн в составе?
6.
В трех ящиках было 76кг помидоров. Во втором ящике было в 2 раза больше
помидоров, чем в первом, а в третьем — на 8кг больше, чем в первом. Сколько
помидоров было в каждом ящике?
7.
Периметр прямоугольника 84дм. Его ширина на 6дм меньше длины. Найдите
стороны и площадь прямоугольника.
8
Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им
36 лет. Сколько лет каждому из них?
9.
Кусок электропровода длиной 68м разрезали на четыре части. Первые две
части были одинаковой длины, третья – в 2 раза больше первой, а четвертая —
на Зм
длиннее второй. Какова длина каждой части?
2 уровень.
1.
Для перевозки картофеля выделили две машины. На первую машину
погрузили т 3 раза больше картофеля, чем на вторую. Сколько центнеров
картофеля погрузили на каждую машину, если на вторую погрузили на 41,4ц
меньше, чем на первую?
2.
Шаг Пети на 12см длиннее шага Толи. Но 4 шага Пети короче 6 шагов Толи
на 54см. Найдите длину шага каждого мальчика.
3.
Во второй день со склада выдали в 2 раза больше проволоки, чем в первый
день, а в третий — в 3 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов
проволоки выдали за три дня, если в первый день выдали на 30кг меньше, чем в
третий?
4.
Газовая туристская плитка и два баллона имеют массу 7кг. Масса плитки
меньше массы баллона на 2кг. Найдите массу баллона.
3 уровень
1.
Ребята собрали 65кг цветного металлического лома. Меди и алюминия
вместе было собрано на 1кг больше, чем цинка, а отдельно меди было на 15кг
больше, чем алюминия. Сколько килограммов каждого металла было собрано?
2.
В клетке сидят фазаны и кролики. У них 19 голов и 62 ноги Сколько фазанов
и сколько кроликов в клетке?
Изменение величин (было — стало).
Задача (образец). В двух сараях сложено сено, причем в первом сарае сена в
3раза больше, чем во втором. После того как из первого сарая увезли 20т сена, а
во второй привезли 10т, в обоих сараях сена стало поровну. Сколько тонн сена
было в каждом сарае?
Было
Изменение
Стало
1сарай
? 3х т в 3раза
-20
? (3х-20)т
больше, чем во
2сарае
2 сарай
?хт
+10
? (х+10)т
Пусть х т сена было во 2 сарае, тогда 3х т сена было в 1 сарае. После того как из
первого сарая увезли 20т сена, а во второй привезли 10т, в обоих сараях сена
стало поровну. Составляем уравнение.
3х-20=х+10
3х-х=10+20
2х=30
х=30:2
х=15 (2 сарай)
Сколько тонн сена было в 1 сарае?
15*3=45 (т)
Ответ: 1 сарай-45т
2 сарай-15т
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1.
В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого
бидона перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько
молока было в каждом бидоне?
2.
Длина отрезка АВ на 2см больше, чем длина отрезка СВ. Если длину отрезка
АВ
увеличить на 10см, а длину отрезка СD увеличить в 3 раза, то получатся равные
результаты. Найдите длины данных отрезков.
3.
Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего числа отнять 54, а
к меньшему прибавить 72, то получатся равные результаты! Чему равны эти
числа?
4.
На первом катере было в 2 раза больше людей, чем на втором. Когда на
ближайшей пристани с первого катера сошло 98 человек, а со второго 16 человек,
то на обоих катерах людей стало поровну. Сколько людей было на каждом катере
первоначально?
5.
В одном элеваторе было зерна й 3 раза больше, чем в другом. Из первого
элеватора вывезли 960т зерна, а во второй привезли 240т, после чего в обоих
элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом
элеваторе?
6.
На железнодорожной станции стояли два состава, причем в одном из них
было в 2 раза больше вагонов, чем в другом. Когда от первого состава отцепили
14 вагонов и прицепили их ко второму составу, то вагонов в составах стало
поровну. Сколько вагонов было в каждом составе?
7.
В одном куске в 2 раза больше полотна, чем в другом. Когда от меньшего
куска отрезали !5м, от большего -— 45м. то ПОЛОТНЕ В обоих касках осталось
ПОГЮВНУ Сколько полотна было в каждом куске'7
2 уровень.
1.
В двух кусках было поровну шелковой ткани. Когда от одного куска отрезали
10м, а от другого 40м, то в одном куске осталось вдвое больше ткани, чем в
другом. Сколько ткани было в каждом куске9
2. . В двух бригадах было поровну рабочих. Когда в первую бригаду поступило 8
человек, а из второй ушли 2 человека, то в первой бригаде стало в 3 раза больше
рабочих, чем во второй. Сколько рабочих было в каждой бригаде?
3.
На станции стояло два товарных состава. Число вагонов в первом составе в
1,5 раза меньше числа вагонов во втором составе. От первого состава отцепили 5
вагонов и прицепили их ко второму составу. Теперь во втором составе стало
вагонов в 2 раза больше, чем в первом. Сколько вагонов было в каждом составе?
4.
В одной пачке было в 2,5 раза больше тетрадей, чем во второй. Когда из
второй пачки переложили в первую 5 тетрадей, то во второй пачке стало тетрадей
в 3 раза меньше, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
5.
На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с первой
полки сняли 8 книг, а на другую положили 5 книг, то на второй полке стало на 17
книг меньше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке?
6.
Для помощи в уборке урожая было выделено два отряда ребят. В одном
отряде было в 3 раза больше ребят, чем во втором. Когда во второй отряд
добавили еще 12 человек, то в двух отрядах стало 76 ребят. Сколько стало ребят
во втором отряде?
1, На одной полке 42 книги, а на другой 34. Со второй полки сняли несколько книг,
а с первой столько, сколько осталось на второй. После этого на первой полке
осталось 12 книг. Сколько книг СНЯЛИ СО второй полки?
Задачи на движение.
Задача (образец) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг из двух
поселков и встретились через 3часа. Расстояние между поселками 30км. Найдите
скорость каждого пешехода, если у одного она на 2км/ч меньше, чем у другого.
V (скорость)
1 пешеход
2 пешеход
? х км/ч
? (х-2) км/ч на 2км/ч меньше,
чем у 1 пешехода
t (время)
3ч
3ч
S (расстояние)
3х км
3(х-2) км
Пусть х км/ч скорость 1пешехода, тогда (х-2) км/ч скорость 2 пешехода. Известно,
что они вместе прошли 30км. Составляем уравнение.
3х+3(х-2)=30
3х+3х-6=30
3х+3х=30+6
6х=36
х=36:6
х=6 (скорость 1пешехода)
Какова скорость 2 пешехода?
6-2=4 (км/ч)
Ответ: Скорость 1 пешехода-6км/ч
Скорость 2 пешехода-4км/ч
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1.
Два велосипедиста отправились одновременно навстречу друг другу из двух
пунктов, расстояние между которыми 60 км, и встретились через 2 ч. Определите
скорость каждого велосипедиста, если у одного она на 2 км/ч больше, чем у
другого.
2.
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух поселков и
встретились через 3 ч. Расстояние между поселками 30 км. Найдите скорость
каждого пешехода, если у одного она на 2 км/ч меньше, чем у другого.
3.
Мотоциклист ехал 3 л по проселочной дороге и 0,5 ч по шоссе; всего он
проехал 110 км. Скорость мотоциклиста на шоссе была на 10 км/ч больше, чем на
проселочной дороге. С какой скоростью ехал мотоциклист по проселочной дороге,
и с какой — по шоссе?
4.
Велосипедист ехал 2 ч по лесной дороге и 1,5 ч по шоссе; всего он проехал
48 км. Скорость велосипедиста на шоссе была на 4 км/ч больше, чем на лесной
дороге. С какой скоростью ехал велосипедист по шоссе, и с какой — по лесной
дороге?
5.
Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, навстречу друг другу
отправились пешеход и велосипедист. Скорость велосипедиста в 4 раза больше
скорости пешехода. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если они
встретились через 2,5 ч после своего выхода.
6.
Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, вышли одновременно
два электропоезда. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого.
Найдите скорость каждого электропоезда, если они встретились через 2 ч после
своего выхода.
2 уровень.
1.
Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя. 1 ч 40
мин из Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого 60 км/ч. Через
сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если
расстоянии между городами 420 км?
2.
Из поселка в город выехал велосипедист. Спустя 44 мин вслед за ним
выехал мотоциклист, скорость которого на 30 км/ч больше скорости
велосипедиста. Через 36 мин после своего выхода мотоциклист, обогнав
велосипедиста, находился от него на расстоянии 7 км. Найдите скорость
велосипедиста.
3.
Из пункта А в пункт В выехала грузовая машина. Спустя 1,2 ч вслед за ней
выехал автобус. Через 0,8 ч после своего выхода он отставал от машины на 24
км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она больше скорости грузовой
машины на 30 км/ч.
Движение по воде.
Задача (образец).
Лодка может проплыть расстояние между двумя селениями, стоящими не берегу
реки, за 4ч по течению реки и за 8ч против течения. Скорость течения реки 2 км/ч.
Найдите собственную скорость лодки и расстояние между селениями.
v (скорость)
t (время)
s (расстояние)
По течению реки
(х+2) км/ч
4ч
4(х+2) км
одинаковое
Против течения
реки
(х-2) км/ч
8ч
8(х-2) км
V собственная ? Х км/ч
V течения реки 2 км/ч
V по течению реки = V собственная + Vреки
V против течения реки = Vсобственная - V реки
Пусть х км/ч – собственная скорость, (х+2)км/ч скорость по течению реки,(х-2) км/ч
скорость против течения реки.
Известно, что расстояние по течению и против течения одинаковое.
Составляем уравнение.
4(х+2) = 8(х-2)
4х+8 = 8х-16
4х-8х = -16-8
-4х = -24
х = -24:(-4)
х = 6 (собственная скорость)
Каково расстояние между селениями?
(6+2)*4=32(км)
Ответ: Собственная скорость 6 км/ч, Расстояние 32 км.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1.
Лодка может проплыть расстояние между двумя селениями, стоящими на
берегу реки, за 4 ч по течению реки и за 8 ч против течения. Скорость течения
реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и расстояние между селениями.
2.
Лодка проплыла от одной пристани до другой против течения реки за 4 ч.
Обратный путь занял у нее 3 ч. Скорость течения реки 1км/ч. Найдите
собственную скорость лодки расстояние между пристанями.
3.
По течению реки катер прошел за 7 ч столько же километров, сколько он
проходит за 8 ч против течения. Скорость катера в стоячей воде 30 км/ч. Найдите
скорость течения реки.
4.
Расстояние по реке между пристанями равно 45 км. Одновременно
навстречу друг другу вышли два катера, собственные скорости которых равны.
Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственные скорости катеров, если
скорость течения реки равна 3 км/ч.
5.
Из двух пунктов реки, расстояние между которыми равно 36 км, навстречу
друг другу движутся две моторные лодки. Лодка, идущая по течению, собственная
скорость которой 18 км/ч, до встречи шла 0,5 ч, другая лодка, собственная
скорость которой равна 20 км/ч, до встречи шла 1,5 ч. Найдите скорость течения
реки.
2 уровень.
1.
Из двух пунктов реки навстречу друг другу движутся две моторные лодки,
собственные скорости которых равны. Скорость течения реки равна 2 км/ч. До
встречи лодка, идущая по течению, шла 0,9 ч, а другая лодка шла 1 ч. Найдите
собственную скорость лодок, если лодка, идущая по течению, прошла на 2 км
больше, чем другая лодка.
2.
Из двух пунктов реки одновременно навстречу друг другу вышли две
моторные лодки. Через 1,2 ч они встретились. Собственная скорость лодки,
которая шла по течению реки, равна 18 км/ч, а лодки, которая шла против течения
реки, равна 16 км/ч. До встречи одна лодка прошла на 9,6 км больше другой.
Найдите скорость течения реки.
Работа по плану и фактически.
Задача (образец). Один автомат упаковывает в минуту на 2 пачки печенья
больше, чем второй. Первый автомат работая 10 мин, а второй – 20 мин. Всего за
это время было упаковано 320 пачек печенья. Сколько: пачек в минуту
упаковывает каждый автомат?
Производительность
Время
Работа
1 автомат
?(х+2)п на 2 п
больше, чем 2
10 мин
? 10(х+2)п
2 автомат
?Хп
20 мин
? 20 х п
Производительность – это работа за единицу времени.
Пусть х п производительность 2 автомата, тогда (х+2)п производительность 1
автомата.
Известно, что всего было упаковано 320 пачек. Составляем уравнение.
10(х+2)+20х = 320
10х+20+20х = 320
10х+20х = 320-20
х = 300:30
х = 10 (производительность 2 автомата)
Какова производительность 1 автомата?
10+2 = 12(п)
Ответ: 1 автомат упаковывает в минуту 12 пачек,
2 автомат упаковывает в минуту 10 пачек.
Задачи для самостоятельного решения.
1 уровень.
1.
По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней.
Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и
поэтому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано? Найдите
площадь поля.
2.
Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод
выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18
дней. Сколько машин выпустил завод?
3.
Колхоз должен был закончить сев за 5 дней. Колхозники засевали в день на
20 га больше, чем предполагалось по плану, а поэтому закончили сев за 4 дня.
Сколько гектаров должен был засеять колхоз?
4.
Заготовленного сена хватило на 180 дней. Если бы расход сена уменьшился
бы на 32ц в день, то его хватило бы на 192 дня. Сколько центнеров сена было
заготовлено на 1 день? Можно ли найти массу всего заготовленного сена?
5.
Заготовленной кормовой свеклы хватит на 174 дня. Если бы расход свеклы
увеличился на 12ц в день, то ее хватило бы на 168 дней. Сколько центнеров
свеклы было заготовлено на 1 день? Можно ли узнать, сколько всего заготовлено
свеклы?
6.
От города до поселка автомобиль доехал за Зч. Если бы он увеличил
скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2ч. С какой скоростью ехал
автомобиль и чему равно расстояние от поселка до города?
7.
От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за Зч. Пешком он смог
бы пройти это расстояние за 7ч. Известно, что пешком он идет со скоростью на 8
км/ч меньшей, чем едет на велосипеде. С какой скоростью ехал турист и чему
равно расстояние от турбазы до станции?
8.
Турист шел от турбазы до станции со скоростью 6 км/ч. Если бы он шел со
скоростью 4 км/ч, то затратил бы на дорогу на 1ч больше. Чему равно расстояние
от турбазы до станции?
9.
Грибник, выйдя из леса, направился к деревне. Он шел со скоростью 4 км/ч.
Если бы он шел со скоростью 5 км/ч, то затратил бы на дорогу на 4 ч меньше.
Какое расстояние прошел грибник от леса до деревни?
2 уровень.
1.
Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но уже за
18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал по 3
машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?
2.
Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно
превышая норму на 18 деталей, она за 3,5 дней работы не только выполнила
задание, но и изготовила 27 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила
бригада?
3.
Чтобы читать книгу в библиотеку, ученик должен был читать ежедневно по
40 страниц, но он читал в день на 15 страниц меньше и сдал книгу на 6 дней
позже срока. За сколько дней ученик должен был прочитать книгу?
4.
Путь от А до В автомобиль проезжает с определенной скоростью за 2,5 ч.
Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 ч пройдет путь, на 15 км больший,
чем расстояние от А до В. Найдите - расстояние от А до В.