Задачи на числа

разные задачи с числами
Существует ли натуральное число, которое в 10 раз больше произведения своих цифр?
(?)
Ответ. Не существует.
Решение.
Предположим, что такое число существует. Тогда оно делится на 10 и, следовательно,
оканчивается на 0. Значит произведение всех цифр этого числа будет равно нулю, а само
число в 10 раз его больше и, значит, тоже равно нулю. Однако, нуль не является
натуральным числом.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------По кругу записаны 2003 натуральных числа. Известно, что для любой четверки подряд
идущих чисел произведение крайних равно произведению средних. Докажите, что все
числа равны.
(Поляков Евгений, Устинов А.В.)
Доказательство.
nk 1  nk 2  nk  nk 3
По условию:
.

n

n

n

n
k 1
k 4
 k  2 k 3
2
Из этой системы следует, что nk  2  nk  nk  4 .
Пусть не все числа равны между собой, выберем наибольшее (или одно из них) и
обозначим n1 . Тогда:
n1  n3

 n1  n3  n2002 .
n1  n2002
 2
n1  n3  n2002
Аналогично доказывается, что n1  n3  n5  n7  ...  n2003 и n1  n2002  n2000  ...  n2 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Последовательность a n  задается следующим образом: a n  12  2 2  3 2  ...  n 2 .
Встретится ли в этой последовательности полный квадрат, больший 1?(Поляков Евгений)
Ответ. Да, a 24  4900  70 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Докажите, что если числа a  b  c и
ab  bc  ca
a2  b2  c2
- целые, то и число
abc
abc
тоже целое.(?)
Доказательство.
a  b  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  bc  ca  .
a 2  b 2  c 2 a  b  c 2  2ab  bc  ca 
ab  bc  ca

abc2
Следовательно,
.
abc
abc
abc
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ab
a2  b2
Докажите, что если числа a  b и
- целые, то и число
- тоже целое.(?)
ab
ab
Доказательство.
a  b2  a 2  b 2  2ab .
a 2  b 2 a  b 2  2ab
ab

ab2
ab
ab
ab
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Следовательно,
разные задачи с числами
Известно, что (a – b + 2004), (b – c + 2004) и (c – a + 2004) — три последовательных целых
числа. Найдите эти числа.(Московские регаты)
Ответ. 2003, 2004 и 2005.
Решение.
Пусть n – 1; n и n + 1 – три последовательных целых числа, тогда их сумма равна 3n, то
есть утроенному второму числу. Так как (a – b + 2004) + (b – c + 2004) + (c – a + 2004) =
60012, то n = 2004. Значит, n – 1 = 2003; n + 1 = 2005.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Какое из чисел 20042004 2 и 20042003 20042005 больше? (Московские регаты)
Ответ. 20042004 2
Решение
Примем число 20042004 2 за x . Тогда первое число равно x 2 , а второе число равно
x  1x  1  x 2  1 , значит первое число больше второго.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Числа a и b - целые. Известно, что a  b  2004 . Может ли разность 7a  3b быть равна
числу 2003? (Московские регаты)
Ответ. Нет.
Решение 2.
Предположим, такое возможно. Тогда a  b  2004 и 7a  3b  2003 . Из первого уравнения
выразим b и подставим во второе, получим: 10a  8015 , откуда a  801,5 - число не
целое. Противоречие.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a 1
Последовательность определена следующим образом: a1 = 2, a2 = 3, an+2 = n1
для
an
любого натурального n. Найдите a2004. (Математические турниры им. А.П. Савина)
Ответ. a2004 = 1.
Решение.
Найдем несколько первых членов последовательности:
3 1
2 1
11
11
2 1
 2 , a4 =
 1 , a5 =
 1 , a6 =
 2 , a7 =
 3.
a3 =
2
3
1
1
2
Заметим, что члены последовательности повторяются через пять, то есть a2004 = a1999 =
a1994 = … = a9 = a4 = 1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Пятизначное число А записывается только двойками и тройками, а пятизначное число В –
только тройками и четверками. Может ли произведение АВ записываться одними
двойками?
(С-ПбО)
Ответ: нет.
Решение.
Произведение этих чисел заключено в промежутке от 22222×33333 до 33333×44444, то
есть от 740725926 до 1481451852. Поэтому первая цифра произведения – не 2.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На доске написаны 8 различных чисел. Докажите, что можно выбрать 3 из них так, что
сумма никаких двух (из выбранных) не будет присутствовать на доске.
(2 Кубок Урала)
Доказательство.
разные задачи с числами
Среди этих 8 чисел найдутся 4 наибольших по модулю одного знака. Пусть это
будут числа
a, b, c, d . Сумма любых двух из них будет того же знака. Пусть a  b  c  d .
Если
b  c  d , то следует выбрать числа b, c и d ( c  b  c  d , b  d  d ; c  d  d ).
Если же
b  c  d , то этими числами будут a, c и d ( c  a  c  d , a  d  d , c  d  d ).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------n 5 n 4 7 n 3 5n 2 n



 - также
Докажите, что если число n - натуральное, то число
120 12
24
12
5
натуральное.( Литвиненко В.Н., Мордковича А.Г. «Задачник-практикум по алгебре».
Доказательство.
n 5 n 4 7n 3 5n 2 n n 5  10n 4  35n 3  50n 2  24n n n 4  10n 3  35n 2  50n  24



 

120 12
24
12
5
120
120
.
Разложим многочлен n 4  10n 3  35n 2  50n  24 на множители:


 

 26n  24n  24  n  1n

n 4  10n 3  35n 2  50n  24  n 4  n 3  9n 3  9n 2  26n 2  26n  24n  24 

 
 n  n  9n  9n
4
3
3
2
  26n
2
3

 9n 2  26n  24 .
Аналогично поступим с многочленом n  9n  26n  24 .
nn  1n  2 n  3n  4 
Таким образом, заданную сумму преобразуем к виду:
.
120
В числителе этой дроби – произведение пяти последовательных натуральных чисел. Это
значит, что среди них обязательно найдутся два четных числа, одно из которых делится на
4, найдется также число, делящееся на 3 и число, делящееся на 5. Таким образом,
произведение пяти последовательных натуральных числе делится на произведение
2  3  4  5 , т.е. на 120. А это означает, что число nn  1n  2n  3n  4 - целое,
120
положительное, т.е. натуральное.
3
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 разбиты на две группы. Докажите, что произведение чисел хотя бы
в одной группе меньше 72.(ПермьТЮМ)
Доказательство.
Если бы произведении чисел в каждой группе было не меньше 72, то произведение всех
чисел от 1 до 7 было бы не меньше 72  72  5184 , но 1  2  3  4  5  6  7  5040  5184 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Какое
наименьшее число сомножителей нужно вычеркнуть в произведении
1 2  3  ... 99 так, чтобы произведение оставшихся сомножителей оканчивалось на 2?
(?)
Ответ.20.
Решение.
Понятно, что придется вычеркнуть все числа, делящиеся на пять - их 19 штук. Нетрудно
заметить, что произведение оставшихся чисел оканчивается на 6. Вычеркнем теперь
разные задачи с числами
восьмерку. Произведение оставшихся кончается либо на 2, либо на 7 . Но кончаться на 7
оно не может, так как среди сомножителей есть четные числа.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Можно ли расставить по кругу натуральные числа от 1 до n так, чтобы все разности между
соседними числами (из большего числа вычитается меньшее) принимали различные
значения?
Ответ. Нельзя.
Решение. Разности могут принимать значения от 1 до n-1, с другой стороны, этих
разностей n, поэтому среди них найдутся по меньшей мере две равных.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Можно ли 20 чисел 1, 2, 3, …, 19, 20 разбить на три группы так, чтобы сумма чисел в
первой группе была втрое больше суммы чисел во второй группе, а во второй группе –
втрое больше суммы чисел в третьей группе?
Ответ. Нет.
Решение.
Если обозначить сумму чисел третьей группы S , то сумма чисел в трех группах будет
равна S  3S  3  3S  13S , но сумма 1  2  3  ...  19  20  210 не делится на 13.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Существует ли натуральное число, которое равно сумме трех своих различных делителей?
(?)
Ответ. Да, например 6.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите все четверки натуральных чисел такие, что НОК любой пары чисел равен
произведению двух оставшихся. (Тропин Николай, Устинов А.В.)
Ответ. 1, 1, 1, 1.
Решение.
Пусть имеем числа a, b , c и d .
НОК a, b  ab (равенство достигается, когда a и b взаимно простые), НОК c, d   cd .
Значит, НОК a, b  НОК c, d   ab  cd  abcd . Но из условия
НОК a, b  НОК c, d   cd  ab  abcd . Значит, a взаимно просто с b , c взаимно просто с
d . Аналогично доказывается, что все числа взаимно просты.
Получаем
НОК a, b   ab
, следовательно, ab  cd (1).
НОК a, b   cd
НОК a, c   ac
, следовательно, ac  bd (2).
НОК a, c   bd
Перемножив почленно (1) и (2) получаем: a  d . Разделив (1) на (2), получаем b  c .
Проделав аналогичные операции с другими парами, получим, что a  b  c  d .
Т.е. НОК a, b  a  c  d  a 2  a  a 2  a  1 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Существует ли двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр?(?)
Ответ. Да, например 36. ( 36  2  3  6 )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
разные задачи с числами
Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом месте стоит число
7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на единицу.
Например, на втором месте стоит число 14, так как 7 2 =49, а 4+9+1=14. На третьем месте
стоит число 17 и так далее. Какое число стоит на 2005-м месте?(Московская олимпиада)
Ответ. 11.
Решение.
Вычислим несколько первых членов данной последовательности: 7; 14; 17; 20; 5; 8; 11; 5;
8; 11; 5; ... Таким образом, начиная с пятого члена последовательности, будет повторяться
одна и та же тройка чисел 5, 8, 11. Так как 2005-4=2001, а 2001 кратно 3, то на 2005-м
месте будет стоять число 11.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число A
хорошее, то и число A  6 тоже хорошее, а если число B плохое, то и число B  15 тоже
плохое. Может ли среди первых 2004 натуральных чисел быть ровно 1000
хороших?(ПермьТЮМ)
Ответ. Нет.
Решение.
Числа C и C  3 являются одновременно либо хорошими, либо плохими. В самом деле,
если C - хорошее, C  3 , плохое, то C  18  C  6  6  6 - хорошее, и
C  18  C  3  15 - плохое, противоречие. Аналогично не может быть, что C - плохое, а
C  3 - хорошее (надо рассмотреть число С  15 ). Поэтому все числа, дающие
одинаковый остаток от деления на 3, одинаковы. Таким образом, среди первых 2004
натуральных чисел хороших либо 0, либо 668, либо 1336, либо 2004.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x 2  2000x  y 2  2000 y .
Найдите сумму чисел x и y .
(Московская олимпиада)
Ответ. 2000.
Решение.
Данное в условии равенство перепишем следующим образом:
2000x  y   x  y x  y  .
Т.к. x не равно y , можно сократить на x  y . Отсюда x  y  2000 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В десятичной записи натурального числа использованы единица и 2k  1 четверка, причем
справа от единицы находится ровно три четверки. При каких k это число может быть
полным квадратом?
(Поляков Е., Устинов А.В.)
Ответ. При k  1 .
Решение.
При k  1 получаем число 1444  382 . При k  2 получаем число 441444, не являющееся
2
2
полным квадратом. Пусть k  3 . Докажем неравенство: 66
...
...
...

6  44

41444  66

67 .
k 1
Число
66
...
...
...

6  44

4355

56 ,
2
k 1
k
а
число
66
...
...
...

67  44

488

89 .
2
k 1
k
k 1
2k  2
Очевидно,
k
что
k
44
...
...
...
...
...

4355

56  44

41444  44

488

89 , что и требовалось доказать. Получили, что число
k
k
2k  2
k 1
k
разные задачи с числами
44
...

41444 лежит между квадратами двух последовательных натуральных чисел, т.е. не
2k  2
является полным квадратом.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Сколько существует пар двузначных чисел a и b , для которых произведение ab является
числом, записанным одинаковыми цифрами?
(Московская олимпиада)
Ответ. 7.
Решение.
Если a и b - двузначные числа, то произведение ab либо трехзначное, либо
четырехзначное число. Предположим, что ab - четырехзначное число, записываемое
одинаковыми цифрами. Тогда должны выполняться равенства ab  x  1111  x  11  101, где
x - ненулевое однозначное число, что невозможно для двузначных числе a и b ,
поскольку 101 – простое число.
Пусть ab - трехзначное число, тогда ab  x  111  x  3  37 , где x - одно из чисел 1, 2, …,
9. Перебором убеждаемся, что подходят только значения x  4, 5, 6, 7, 8, 9, при этом в
случае x  8 имеем ab  8  3  37  24  37  12  74 , т.е. две искомые пары.
Следовательно, всего имеется 7 искомых пар.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Каких чисел среди натуральных больше: взаимно простых с 10460353203 или не взаимно
простых с ним? (Поляков Евгений)
Ответ. Взаимно простых.
Решение.
Заметим, что 104603532203  3 21 .
Разобьем числа на тройки: (1,2,3), (4,5,6), … . Тогда в каждой тройке будет ровно одно
число, кратное трем, т.е. число, не взаимно простое с 3 21 . Другие два числа каждой
тройки не делятся на три и, следовательно, взаимно просты с 3 21 . Т.е. числа, взаимно
2
простые с 3 21 составляют
всего натурального ряда.
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Можно ли все делители натурального числа n расставить в клетках таблицы 3 3 так,
чтобы суммы чисел во всех строках таблицы были одинаковы?
(Устинов А.В.)
Ответ. Нет.
Решение.
У числа n - 9 делителей, среди них 1 и n . Найдем наибольшее возможное значение
суммы всех делителей:
n n n n n n n 2283
n 1       
n  1.
2 3 4 5 6 7 8 840
2283
n  1. Тогда, поскольку во всех строках
840
1  2283
1
 761
n  1 
n .
суммы равны, сумма чисел в одной строке не превышает 
3  840
3
 840
С другой стороны, сумма чисел в строке, содержащей число n не меньше, чем
n  1  2  n  3 . Получили, что самая меньшая из возможных сумм в строке,
содержащей число n больше самой большой из возможных сумм вообще.
Т.е. сумма всех делителей не превосходит