Стереометрические задачи наших дедушек или

Ростовская область Мясниковский район МБОУ Чалтырская СОШ №1
Стереометрические задачи наших
дедушек
или
стереометрические задачи, которые
могли бы стать теоремами.
Проект ученицы 10 «а» класса
Кристостурян Маргариты
Руководитель: Атоян Зоя
Борисовна
с. Чалтырь.
2014
Оглавление
1. Введение ___________________________________________3
2. Прямая, пересекающая плоскость некоторого угла_________5
3. Высота пирамиды, равная стороне основания _____________7
4. Формула площади боковой стороны и полной площади,
если грани пирамиды одинаково наклонены
к плоскости основания___________________________________8
5. Вместо заключения ___________________________________10
6. Источники информации________________________________11
2
Введение
В прошлом году я исследовала прямоугольный треугольник и нашла его
некоторые свойства , которых нет в наших школьных учебниках. В текущем
учебном году мы изучаем стереометрию, я занялась поиском свойств
геометрических фигур, о которых не сказано в учебнике. Как и в прошлом
году информацию я брала из сборников задач, по которым учились мои
дедушка и папа.
Результаты поиска представлены в моей работе.
Цель моей работы: найти такие задачи, которые могли бы быть
теоремами, сформулировать их в виде утверждений, затем доказать эти
утверждения.
Метод работы: поиск и решение задач, которые можно применять при
решении других задач, как теоремы, в различных сборниках.
Представляю Вам некоторые из найденных задач, сформулированные в виде
теорем.
3
Тезисный план:
Вступление: В прошлом году я исследовала прямоугольный треугольник и
нашла его некоторые свойства , которых нет в наших школьных учебниках. В
текущем учебном году мы изучаем стереометрию, я занялась поиском
свойств геометрических фигур, о которых не сказано в учебнике. Как и в
прошлом году информацию я брала из сборников задач, по которым учились
мои дедушка и папа.
Результаты поиска представлены в моей работе.
Основная часть:
1. Если прямая, пересекающая плоскость некоторого угла, образует со
сторонами этого угла равные углы, то проекция этой прямой является
биссектрисой этого угла.
2. Если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне
основания, то боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания
угол 60º
Верно и обратное утверждение
3 Если рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания
правильной треугольной пирамиды угол 60º, то её высота равна стороне
основания.
4. Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости
основания под углом α, то:
И
1cos 
S
S
осн
S

осн
S

пол
cos
бок cos
Заключение: « Я не волшебник, я только учусь».
Работа над проектом помогла мне понять: «Не боги горшки обжигают!»
А это значит, что в будущем, когда получу образование, я смогу открывать
неоткрытые факты, может быть, в том числе и теоремы.
4
№1
Если прямая, пересекающая плоскость некоторого угла, образует со
сторонами этого угла равные углы, то проекция этой прямой является
биссектрисой этого угла.
(Н.Рыбкин/Сборник задач по геометрии часть 2 стереометрия/
«Просвещение» /Москва / 1966
§ 1 № 28(1))
Дано:
плоскость α
угол QAE(угол QAE є α)
прямая MA(MA пересекает α = A)
Доказать, что проекция прямой MA является биссектрисой.
5
Решение:
1)Отложим на AE и AQ равные отрезки; проведем прямую AF; AF
пересекается с EQ в точке L
2)Рассмотрим ∆EML и ∆QML. Они равны(ML – общая, угол QML= углу
EML, EM=MQ), следовательно EL=LQ, следовательно AL – медиана ∆AEQ
3) ∆AEQ – равнобедренный(AE=AQ ), AL – медиана, следовательно высота и
биссектриса.
Применение:
Если боковое ребро образует равные углы со сторонами основания, как
например в любой правильной пирамиде, то проекция этого ребра является
биссектрисой угла основания.
6
№2
Если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне
основания, то боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью
основания угол 60º
(Н.Рыбкин/Сборник задач по геометрии часть 2 стереометрия/
«Просвещение» /Москва / 1966
§ 2 № 14)
Итак, в правильной треугольной пирамиде SABC : SO ┴ (ABC) и
SO=AB=a
O – центр окружности вписанной в ∆ ABC(т.к. ∆ ABC – правильный, то
O – точка пересечения медиан )
Докажем, что ‫ﮮ‬SAO=60º ; (AO – проекция SA)
1) AO  2 AL(медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой
3 делятся в отношении 2:1, считая от вершины)
пересечения
a2 a 3
AL  AB  BL  a  
4
2
2 a 3 a 3
AO  

3 2
3
2
2
2
2) ∆ASB
SO
 tgSAO
a
AO
 tgSAO  tgSAO  3  SAO  60
a 3
3
7
‫ﮮ‬SAO=60º
Верно и обратное утверждение:
Если рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания
правильной треугольной пирамиды угол 60º, то её высота равна стороне
основания.
№3
Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости
основания под углом α, то:
и
1cos 
S
S
осн
осн
S

S

пол
бок cos
cos
(Н.Рыбкин/Сборник задач по тригонометрии с приложением задач по
геометрии, требующих применения тригонометрии/ УЧПЕДГИЗ
/Москва / 1955 § 19 № 19)
Докажем, что
S
Sбок  и осн
cos
Sпол 
Sосн 1cos 
cos
Пусть SL ┴ AE
(SL – высота грани ∆ ASE), тогда проекция SL на плоскость основания – OL
OL ┴ AE (теорема о трех перпендикулярах)
‫ﮮ‬SLO – линейный угол между плоскостями боковой грани и основанием, ‫ﮮ‬
SLO = α.
1)
1
1
S AOE AE OL
S ASE AE  SL,
2
2
S AOE LO
S

 cos S ASE AOE
S ASE SL
cos
8
Боковая поверхность пирамиды – сумма площадей её граней, а площадь
основания – сумма площадей треугольников, на которые можно разбить
основание, соединив точку O с вершинами многоугольника в основании,
поэтому
S
Sбок  осн
2)
S S  S
пол
бок
осн
cos
S 1cos  (1)
S осн
S осн осн
cos
cos

Примечание: т.к. 1 cos  2 cos2
, то S пол можно находить по формуле:
2

2S осн cos 2
2 (эту формулу можно найти в
S пол
справочниках)
cos
S пол
Но мне и моим одноклассникам нравится первая формула.
9
Вместо заключения
В учебнике Геометрия 7 - 9 много задач, которые могли бы стать теоремами.
Ученики, как считаю я и мои одноклассники серьёзнее осмысливают теорему
нежели задачу.
Я понимаю, что «изобретала велосипед», но мне это занятие понравилось!
« Я не волшебник, я только учусь».
Работа над проектом помогла мне понять: «Не боги горшки обжигают!»
А это значит, что в будущем, когда получу образование, я смогу открывать
неоткрытые факты, может быть, в том числе и теоремы.
10
Источники информации:
1) Н.Рыбкин/Сборник задач по геометрии часть 2 стереометрия/
«Просвещение» /Москва / 1966 § 1 № 28(1)
2) Н.Рыбкин/Сборник задач по геометрии часть 2 стереометрия/
«Просвещение» /Москва / 1966 § 2 № 14
3) Н.Рыбкин/Сборник задач по тригонометрии с приложением задач по
геометрии, требующих применения тригонометрии/ УЧПЕДГИЗ/
Москва / 1955 § 19 № 19
11