Задача 1 (из проектной работы). Найти значения выражения при х=2 и построить отрезок, длина которого равна числовому значению этого выражения. Цель: построить отрезок. х 3 х 3 х х 3 х х 3 Решение.(8-9 кл.) В знаменателе (в части х 3 ) следует применить формулу: А В А А2 В 2 2 А А2 В 2 . 2 Подставляя х=2 (в х 3 ), и, используя эту формулу, получим: 2 3 т. е. 2 43 2 43 2 2 2 3 3 1 3 1 , 2 2 2 аналогично имеем: 2 3 3 1 3 1 . 2 2 2 Следовательно, 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 3 3 3 2 2 2 2 6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 3 6 2 2. 93 6 Как построить отрезок ОС= 2 и чему равно приближенное значение 2 2? Рис. 1 1) Треугольник – равнобедренный и прямоугольный. 2) Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: 12+12=2, гипотенуза равна 2 . 3) Учитывая масштаб на рисунке, 2 1,4 . 1 Задача 2. В треугольнике АВС известны стороны: ВС = а, СА = b и АВ = с. Найти отрезки сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью (построение выполнить с помощью циркуля и линейки). Но для чего мы рассматриваем эту задачу? Замечание. Рассмотрим несколько задач на вписанные и описанные окружности, которые обладают целым рядом похожих свойств. Суть некоторого сходства хорошо иллюстрируют задачи 2 и 3. Задача №3 – это один эпизод из «жизни» вписанных и описанных окружностей. Построив правильные чертежи, решим задачу №2 (и затем №3). Отрезки двух сторон, имеющие общую точку – вершину треугольника, попарно равны (рис. 2); обозначая их соответственно через х, у, z, получим систему уравнений: у + z = а, 1 1 {z + х = b, из которой найдем х b c a p a, у a c b p b, 2 2 х + y = c, 1 z a b c p c, где p – полупериметр треугольника. 2 Полученные формулы следует отнести к категории «рабочих»: во многих конкурсных, олимпиадных задачах, в ЕГЭ они оказываются полезными, и поэтому стоит помнить об этом (применять их). Рис. 2 Рис. 3 Задача 3. В треугольнике АВС известны углы А, В и С. Найти углы, образованные радиусами описанной окружности, идущими в вершины треугольника, со сторонами, сходящимися в этих вершинах. Аналогичным образом можно решить 4-ую задачу (как и 2-ую, см. построение – рис. 3). Решение. Углы, прилежащие к одной стороне треугольника, попарно равны. Обозначая их через х, у, z, получим систему уравнений: 1 х В С А А, 2 2 х у С 1 у z A , из которой у А С В В, 2 2 z x B 1 z A B C C. 2 2 В отличие от предыдущего случая (в задаче №3), возможны отрицательные значения углов. Задача 4. Окружность с центром в точке O касается боковой стороны AC равнобедренного треугольника ABC, продолжения боковой стороны AB и продолжения основания BC в точке N. M – середина BC. Доказать: а) AN=OM, б) найти OM; если стороны треугольника 13, 13, 24. 2 Решение и построение. 1сп. построения – начать с окружности и построения лучей BN и BT (касательных к окружности); строим равнобедренный треугольник с учётом данных. 2сп. – можно сначала построить равнобедренный треугольник, затем вневписанную окружность. (Учащиеся предпочли 2сп.) Учитывая все особенности условия задачи и получения результата, строим чертёж. ( Учит нас этому, учитель учителей, доцент Дятлов В.Н.) Рис.6 1) ∆ABC– равнобедренный, т. е. ∠𝐵 = 𝛼 − ∠𝐶; ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝜋 − 2𝛼 ∠𝐶𝐴𝑇 = 2𝛼; ∠𝑇𝐴𝑂 = ∠𝑂𝐴𝐶 = 𝛼. Значит, ∠𝐵 = 𝛼 = ∠𝑇𝐴𝑂. AO∥ MN; MAON – прямоугольник. 2) Найдём длины AT и AL. AT= у и AL = у (как отрезки касательных, проведённых из точки А).CL=CN=x (как отрезки касательных, проведённых из точки С).Составим систему: 13 + у = 24 + х { ; х=1; у=12. х + у = 13 3) Найдём MO=AN, AM=5, MN=12+x, MN=13, MO=√25 + 169. MO=AN=√194. Ответ: √194. Задача 5. Дан круг. Геометрическим построением разделить его на три концентрические фигуры – круг поменьше и два концентрических кольца – так, чтобы площади всех трех фигур были равны между собой. Построение и решение: 1) Построим на радиусе АВ данного круга круг, разделим отрезок АВ на три равных отрезка точками C и D (см. рис.7), через точки C и D проведем перпендикуляры к АВ до пересечения с построенной полуокружностью соответственно в точках E и F. 2) Отрезки FB и ЕВ – радиусы искомых окружностей, разделяющих данный круг на попарно равновеликие концентрические кольца. Докажем это. Доказательство: R 2 1) Sкр.= π R2, где R=АВ. DB= ; АD= R . Рис.7 3 3 R 2 R – среднее пропорциональное; FD= 2) FD= 3 3 R 2 . 3 3) По теореме Пифагора найдем ВF – гипотенузу ΔВDF. R 2 2R 2 3R 2 R 3 . ВF= 9 9 9 3 4) Площадь круга, концентрического данному, 3 πR 2 , что и требовалось. 3 5) Найдем ВЕ – гипотенузу ΔЕСВ. ВЕ2=ВС2+ЕС2 R 2 2 ВС=АD= R; ЕС=FD= . 3 3 4 2 2 2 6 2 2 2 2 R R R R R ВЕ= . 9 9 9 3 3 с радиусом BF, равна S круга, концентрического данному, с радиусом ВЕ, равна 6) Площадь каждого из колец равна 2π 2 R , как и требовалось. 3 πR 2 . 3 Задача 6. Построить прямоугольный треугольник по медианам, проведенным к катетам. Построение: 1) На ma = АЕ, как на диаметре, построим полуокружность. См. рис. 8. 1 2) Продолжим ma так, чтобы ED= ma. 3) Проведем дугу окружности с центром в (∙)D и 3 2 радиусом mb. 4) С – это точка пересечения дуги и полуокружности и является 3 вершиной прямого угла искомого треугольника. Рис.8 Задача-проблема. На окружности даны три точки, которые являются точками пересечения медианы, высоты и биссектрисы одного и того же угла, вписанного треугольника. Проблема: восстановить треугольник. Построение: 1) Соединим N и О. (Рис.9) 2) Проводим МВ параллельно NO. 3) Соединим B и P 4) Проводим АС перпендикулярно NO. 4 Доказательство. 1) AN=NC. 2) AK=KC. 3) MB параллельно NO, т.е. MB перпендикулярно АС. 5