1.1 Случайные события - Донбаська державна машинобудівна

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины
Донбасская государственная машиностроительная академия (ДГМА)
В. Н. Черномаз, Л. В. Васильева
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Практикум
для студентов направления подготовки
0403 «Системные науки и кибернетика»
(заочная форма обучения)
Утверждено на заседании
методического семинара
кафедры прикладной математики
Протокол № 9 от 17 мая 2012 г.
Краматорск
ДГМА
2013
УДК 519.21
ББК 22.171
Ч 49
Посібник включає розділи: основи теорії ймовірностей, елементи математичної статистики; класифікація випадкових процесів, побудова реалізацій, обчислення основних характеристик випадкових функцій, потоки подій; містить необхідні теоретичні відомості, розв'язання типових задач і задачі для самостійного
вирішення. Практикум призначений для студентів, що навчаються за спеціальністю «Системи та методи прийняття рішень».
Ч 49
Черномаз, В. Н.
Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: практикум для студентов направления подготовки 0403 «Системные науки и кибернетика» (заочная форма обучения) /
В. Н. Черномаз, Л. В. Васильева. – Краматорск : ДГМА 2013. – 48 с.
ISBN
Пособие включает разделы: основы теории вероятностей, элементы математической статистики; классификация случайных процессов, построение реализаций, вычисление основных характеристик случайных функций, потоки событий; содержит необходимые теоретические сведения, решение типовых задач и
задачи для самостоятельного решения.
Практикум предназначен для студентов, обучающихся по специальности «Системы и методы принятия решений».
УДК 519.21
ББК 22.171
© В. Н. Черномаз,
Л. В. Васильева
ISBN
© ДГМА, 2013
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Тема 1. Основы теории вероятностей
1.1 Случайные события
3
4
4
1.2 Алгебра событий. Основные формулы для вычисления вероятностей
событий
Задание 1
1.3 Формула полной вероятности и формула вероятностей гипотез (формула Байеса)
Задание 2
1.4 Повторение опытов
Задание 3
2 Элементы математической статистики
2.1 Точечные оценки числовых характеристик. Интервальные оценки числовых характеристик нормально распределенной случайной величины
Задание 4
2.2 Элементы корреляционного анализа
Задание 5
Тема 3. Случайные процессы
3.1 Классификация случайных процессов
Задание 6
3.2 Построение реализаций, вычисление основных характеристик случайных функций
Задание 7
3.3 Потоки событий
Задание 8
Таблица выбора вариантов
Приложения
7
10
14
16
19
20
22
22
23
28
28
30
30
30
33
39
41
43
46
47
Сотри случайные черты, и ты увидишь,
мир прекрасен!
А. Блок «Возмездие»
ВВЕДЕНИЕ
Теория случайных процессов – математическая наука, изучающая
закономерности случайных явлений в динамике их развития.
При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с
процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно.
Эта неопределенность вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Выявить закономерности и по возможности
учесть и «погасить» случайности, одна из основных задач дисциплины
«теория случайных процессов», которая является логическим продолжением «теории вероятностей». Основными объектами изучения теории вероятностей являются случайное событие и случайная величина. Основной
объект изучения теории случайных процессов является случайная функция
или, что тоже, если аргумент время, – случайный процесс. Понятие случай3
ной функции является более общим и полезным для многочисленных приложений на практике и включает в себя, как частные случаи, понятия случайное событие и случайная величина.
Тема 1. Основы теории вероятностей
Теоретическая справка
1.1 Случайные события
Классификация событий
Событие 0 называется невозможным, если в данном опыте оно произойти не может. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(0)=0.
Событие I называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно произойдет. Вероятность достоверного события равна единице:
Р(I)=1.
Событие А называется случайным, если в данном опыте оно может
произойти, а может не произойти. Вероятность случайного события заключена между нулем и единицей. 0Р(А)1.
Классическое определение вероятности
Пусть опыт имеет n равновозможных исходов. Пусть событию А
благоприятствуют m из этих исходов. Тогда вероятность события А определяется формулой:
P( A) 
m
n
(1)
Пример 1. В корзине 3 белых и 2 черных шара. Наугад вынимается
шар. Какова вероятность того, что он белый?
Решение:
Пусть А - событие, которое состоит в том, что вынут белый шар.
Опыт имеет n=5 исходов. Событию А благоприятствует m=3 исходов. Вероятность события А
P( A) 
m 3
 .
n 5
При определении m и n часто можно воспользоваться формулами
комбинаторики. Напомним основные из них.
Перестановками называются комбинации из n элементов, отличающихся порядком элементов. Количество перестановок из n элементов
определяется формулой:
Pn  n! 1  2  3    n
(2)
4
Например, из трех элементов (a,b,c) можно составить следующие перестановки abc, acb, bac, bca, cab, cba. Их шесть.
Р=3! =6.
Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m и которые отличаются или составом элементов, или порядком
элементов. Количество размещений из n элементов по m вычисляется по
формуле:
Rnm 
n!
(n  m)!
(3)
Например, из трех элементов (a,b,c) ,взяв по два элемента, можно составить следующие размещения : ab, ac, ba, bc, ca, cb.
Сочетаниями называются комбинации из n элементов по m, которые отличаются хотя б одним элементом. Количество сочетаний с n элементов по m исчисляется за формулой
C nm 
n!
m!(n  m)!
(4)
Рассмотрим примеры решения задач с применением формулы (1).
Пример 2. В корзине 3 белых и 7 черных шаров. Наугад вынимают 2
шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?
Решение:
Пусть А - событие, которое состоит в том, что оба шара белые. Общее количество исходов равно количеству сочетаний из 10 по 2, так как
любые две шара могут быть вынуты.
10!
2
n  C10

 45 .
2!(10  2)!
Количество исходов, благоприятных событию А, равно количеству
сочетаний из числа белых шаров по два.
m  C32 
3!
3 .
2!(3  2)!
Следовательно, P( A) 
m 3

.
n 45
Пример 3. В партии из N изделий M бракованных. Из партии наугад
берут n изделий. Определить вероятность того, что среди этих n изделий
будет m бракованных. (MN, mn).
Решение:
Пусть А - событие, состоящее в том, что среди n изделий m бракованных. Общее количество исходов равно числу сочетаний из N по n. Благоприятными для события А будут те исходы, когда во взятой партии из n
изделий окажутся какие-либо m из M бракованных изделий, а другие n-m
будут стандартными. Количество исходов взятия бракованных изделий
5
равно числу сочетаний с M по m, а число исходов взятия дополнительно к
ним стандартных изделий равно числу сочетаний из N-M по n-m. Каждый
случае взятия m бракованных изделий можно скомбинировать с каждым
случаем взятия n-m стандартных изделий.
Следовательно,
C Mm C Nn mM
.
P( A) 
C Nn
Геометрическое определение вероятности
На практике часто встречаются испытания, у которых количество
исходов безгранично. В таких случаях формула Р(A)=m/n не употребляется. Тогда применяют метод геометрической вероятности.
Рассмотрим его для двумерного пространства.
Рисунок 1
Пусть на плоскости имеется некоторая область D, площадь которой
равна SD и в ней содержится другая область d - с площадью Sd. В область D
наудачу бросается точка (см. рис. 1). Какова вероятность того, что точка
попадет в область d? Здесь предполагается, что вероятность попадания в
какую-либо часть области D пропорциональная площади этой части и не
зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область d равна:
P
Sd
SD
(5)
В случае одномерной и трехмерной области D вместо площади нужно говорить соответственно о длине и объеме.
Пример 4. Внутрь круга радиусом R наугад брошена точка. Найти
вероятность того, что точка будет внутри вписанного в круг квадрата.
Подразумевается, что вероятность попадания точки в эту часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения относительно круга.
Решение:
6
Пусть
Sкр  R 2 ,
Sкв  a 2 ,
где a  R 2 , то есть Sкв  2R 2
P
Sкв 2 R 2 2

 .
Sкр R 2 
1.2 Алгебра событий. Основные формулы для вычисления вероятностей событий
Приведенные ниже определения иллюстрируются диаграммами, на
которых достоверное событие I - попадание точки в прямоугольник, событие А - попадание точки в область А, событие В - попадание точки в область В.
Рисунок 2а
Противоположные события
Событие А (читается «не А») состоит в том, что событие А не происходит (рис. 2б).
Рисунок 2б
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P( A)  P( A)  1 ,
(6)
P( A)  1  P( A ) .
Надежностью элемента называется вероятность того, что на протяжении данного отрезка времени элемент не выйдет из строя (не откажет).
7
Пример 5. Пусть надежность элемента равна 0,9. Какова вероятность
того, что элемент откажет?
Решение:
Обозначим через А событие «элемент откажет», тогда A - «элемент
не откажет». По формуле (6) имеем:
P( A)  1  P( A )  1  0,9  0,1 .
Произведение событий
Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в том, что в данной опыте оба события произойдут (рис. 3).
Рисунок 3
Условной вероятностью события В, при условии что произошло событие А, является величина P(B), которая вычисляется по формуле:
PA ( B) 
P( AB)
.
P( A)
(7)
Вероятность произведения двух событий вычисляется по формуле
P( AB)  P( A)  PA ( B) .
(8)
Для независимых событий А и В условная вероятность PA (B) совпадает с безусловной вероятностью Р(В). В этом случае формула (8) упрощается
P( AB)  P( A)  P( B)
(8.1)
Формулы (8) и (8.1) обобщаются на произведение любого количества
событий:
P( A1 A2  An )  P( A1 )  P( A2 )    PA1 A2An1 ( An )
(8.2)
Для независимых событий:
P( A1 A2  An )  P( A1 )  P( A2 )    P( An )
(8.3)
8
Пример 6. Из трех букв разрезной азбуки составлено слово «год».
Ребенок, который не умеет читать, рассыпал буквы и потом собирал их
случайным образом. Найти вероятность того, что у него снова выйдет слово «год».
Решение:
Введем обозначения:
A1 - первая буква «Г»;
A2 - вторая буква «О»;
A3 - третья буква «Д»;
A - составилось слово «ГОД».
Тогда A  A1 A2 A3 ,
P( A)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) PA1 ( A2 ) PA1 A2 ( A3 ) .
Вероятности вычисляем по формуле (1).
P( A1 )  1 / 3 PA1 ( A2 )  1 / 2 PA1 A2 ( A3 )  1.
Тогда
Р(А)=1/31/21=1/6.
Сумма событий
Суммой событий А и В называется событие, состоящее в том, что
произойдет хотя бы одно с этих событий.
Рисунок 4
На рисунке 4а изображены совместные события А и В, то есть такие
события, которые оба могут произойти в одном и том же опыте.
На рисунке 4б изображены несовместные события, которые в одном и том же опыте произойти не могут (не путать несовместность событий с независимостью событий).
Для несовместных событий справедливая формула:
P( A  B)  P( A)  P( B)
(9)
Для совместных событий формула (9) неверна и нужно пользоваться
формулой:
P( A  B)  1  P( AB)
(9.1)
9
Эти формулы обобщаются на любое количество событий:
для n несовместных событий
(9.2)
P( A1  A2    An )  P( A1 )  P( A2 )    P( An )
для n совместных событий:
P( A1  A2    An )  1  P( A1 A2  An )
(9.3)
Пример 7. Для сигнализации об аварии установлено три независимо
работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии первый сигнализатор сработает, равна 0,9. Для второго и третьего сигнализаторов соответственно 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что при аварии будет
подан сигнал тревоги.
Решение:
Введем обозначения:
А - подан сигнал тревоги;
A1 - сработал 1 -й сигнализатор;
A2 - сработал 2-й сигнализатор;
A3 - сработал 3-й сигнализатор.
Событие А имеет вид:
A  A1  A2  A3
Сигнализаторы могут сработать одновременно, следовательно события A1 , A2 , A3 совместные. Пользуемся формулой (9.3).
P( A)  P( A1  A2  A3 )  1  P( A1 A2 A3 )
Так как сигнализаторы работают независимо, то для вычисления вероятности P( A 1 A 2 A 3 ) пользуемся формулой (8.3):
P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  (1  P( A1 ))(1  P( A2 ))(1  P( A3 ))
 (1  0,9)(1  0,8)(1  0,7)  0,1  0,2  0,3  0,006
P( A)  1  0,006  0,994 .
Задание 1.
Вариант
Задание
1. На складе находится 90 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероят1
2
ность того, что среди трех наугад взятых деталей нет дефектных
2 Отдел технического контроля проверяет некоторые изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0.1. Найти вероятность того, что нестандартным будет только четвертое по порядку проверенное изделие.
1. Из 30 деталей, среди которых 10 высшего качества, случайным образом
выбираются 20 деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется 7
деталей высшего качества?
2. По линии связи, имеющей четыре пpиемно-пеpедающих пункта, передается сообщение. Вероятность того, что сообщение будет искажено на первом, втором, третьем и четвертом пунктах соответственно равна 0.1, 0.15,
0.2 и 0.25. Какова вероятность получения неискаженного сообщения?
10
3
4
5
6
7
8
9
1. В партии из десяти деталей - восемь стандартных. Определить вероятность того, что среди двух наудачу взятых из партии деталей есть хотя бы
одна стандартная.
2. Автомобиль снабжен двумя противоугонными приспособлениями: механическим и электрическим. Механическое срабатывает с вероятностью 0.9,
а электрическое с вероятностью 0.8. Какова вероятность, что автомобиль не
угонят?
1. Четыре билета в театр разыгрываются случайным образом среди пяти
юношей и семи девушек. Определить вероятность того, что билеты достанутся двум юношам и двум девушкам.
2. На автоматической линии, состоящей из четырех последовательно работающих станков, изготавливаются некоторые детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом, втором, третьем и четвертом станках
равняется 0.05; 0.06; 0.07 и 0.08. Определить вероятность появления не
бракованных деталей.
1. В ящике имеется 50 одинаковых шара, из них 10 окрашенных. Наудачу
извлекли 3 шара. Найти вероятность того, что 2 шара будут окрашены.
2. Для сигнализации о пожаре установлены два независимо работающих
датчика. Вероятность того, что при пожаре датчик сработает, для первого и
второго соответственно равна 0.9 и 0.95. Определить вероятность того, что
при пожаре сработает хотя бы один датчик.
1. Определить вероятность отгадать три числа в игре «Спортлото -5 из 36».
2. Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из
которых, независимо от других, может за это время выйти из строя. Неисправность хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы в течение суток для первого, второго и третьего узла соответственно равна 0.9; 0.95 и 0.85. Определить вероятность того,
что в течение суток прибор будет работать безотказно.
1. Из шести карточек с буквами "Л" , "И" , "Т" , "Е" , "Р" , "А" выбирают
наугад в определенном порядке 4. Определить вероятность того, что при
этом получится слово "ТИРЕ".
2. Три стрелка стреляют в цель. Вероятность попадания в цель для первого,
второго и третьего стрелка соответственно равна 0.6; 0.7 и 0.75. Определить вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок
сделает по одному выстрелу.
1. В прямоугольном броневом щите размерами 2 м на 1 м имеется невидимая для противника амбразура размерами 10 см на 10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.
2. Вероятность своевременного получения груза равна 0.8, а вероятность
того, что упаковка груза не будет повреждена – 0.7. Какова вероятность,
что груз будет получен своевременно в неповрежденной упаковке? Какова
вероятность, что будет соблюдено хотя бы одно из условий: 1) груз получен своевременно; 2) упаковка неповрежденная?
1. На складе телеателье имеется пятнадцать кинескопов, причем десять из
них изготовлены московским, а остальные - львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых кинескопов окажется три
кинескопа, изготовленных московским заводом.
2. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Найти вероятность того, что ему придется набирать номер не более трех
раз.
11
10
11
12
13
14
15
16
17
1. Две бригады строителей получают 10 инструментов, среди которых 2 –
отличного качества. Инструменты случайным образом делятся пополам.
Какова вероятность того, что в каждой бригаде будет инструмент отличного качества?
2. На строительство от разных поставщиков должны поступить 4 партии
материалов. Вероятности того, что партии будут доставлены в срок, равны
соответственно 0.9; 0.8; 0.7 и 0.95. Найти вероятность того, что хотя бы
одна партия не будет доставлена в срок.
1. В ящике лежат 15 плавких предохранителей , отличающиеся только
силой тока, на которые они рассчитаны. Из них 7 рассчитаны на 10 А, 5 на 8 А , и 3 - на 5 А. Наудачу берутся два предохранителя. Определить вероятность того, что они рассчитаны на максимальный ток.
2. Вероятность попадания в цель первым стрелком равняется 0.8, вторым –
0.75. Стрелки делают по одному выстрелу одновременно. Определить вероятность того, что в цель попадет только один стрелок.
1. В книжной лотерее разыгрываются пять книг. Всего в урне имеется 30
билетов. Первый подошедший к урне вынимает четыре билета. Определить
вероятность того, что два из этих билетов окажутся выигрышными.
2. Три стрелка, независимо друг от друга, делают по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого, второго и третьего стрелка
соответственно равна 0.6; 0.7; и 0.8. Определить вероятность того, что
первый и второй стрелок попали, а третий промахнулся.
1. Группу монтажников из 18 человек, среди которых 4 высшей квалификации разбивают на две одинаковые бригады. Какова вероятность того, что
при случайном выборе в каждой бригаде будет по 2 специалиста высшей
квалификации?
2. Стрелок производит три выстрела по движущей мишени. Вероятность
попадания в цель при первом выстреле равняется 0.1, при втором – 0.3 и
при третьем – 0.5. Найти вероятность хотя бы одного попадания.
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на обоих
выпадет число очков в сумме равное 6.
2. Буквы, составляющие слово «ремонт», выписаны каждая на отдельной
карточке. Карточки тщательно перемешиваются, после чего вынимаются
четыре из них в определенном порядке. Какова при этом вероятность получить слово «море»?
1. В лотерее имеется всего 1000 билетов, из них 20 выигрышных. Куплено
два билета. Определить вероятность того, что оба билета выигрышные.
2. В студенческой группе 18 юношей и 12 девушек. По списку случайным
образом выбирают делегацию из двух человек. Определить вероятность
того, что выбраны девушка и юноша.
1. Упаковка содержит 20 плиток, причем 3 имеют дефекты. Контролер извлекает 4 плитки наугад. Найти вероятность того, что упаковка будет принята контролером, если для этого необходимо, чтобы он не обнаружил ни
одной бракованной плитки.
2. Вероятность того, что весь комплект стеновых панелей, изготовленных с
применением стеклопора, будет высшего качества, равняется 0.9. Для
комплекта панелей, изготовленных по старой технологии, без стеклопоpа,
эта вероятность равняется 0.7. Бригада получила три комплекта панелей
первого вида и два - второго. Определить вероятность того, что все пять
комплектов панелей будут высшего качества.
1. На складе имеется 20 контрольно-измерительных приборов, и только 12
из них оттарированы. Определить вероятность того, что из пяти взятых
12
18
19
20
21
22
23
24
25
приборов четыре оттарированы.
2. Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания
в нее при первом выстреле равна 0.8, а после каждого выстрела уменьшается на 0.1. Найти вероятность того, что он попадет два раза.
1. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить
вероятность того, что среди взятых наугад пяти билетов два окажутся выигрышными.
2. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом станке, будет
первосортной, равна 0.7. При изготовлении такой же детали на втором
станке эта вероятность равна 0.8. На 1-ом станке изготовлены 2 детали, на
2-ом станке – 3 детали. Какова вероятность того, что все детали окажутся
первосортными?
1. В группе 12 человек, четверо имеют спортивные разряды. Случайным
образом группа разбивается на две команды. Определить вероятность того,
что в каждой команде окажется равное число разрядников.
2. Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадание в
мишень для первого равна 0.7, а для второго 0.8. Определить вероятность
поражения мишени.
1. В группе 11 человек, шестеро из которых имеют первые спортивные разряды. Определить вероятность того, что среди 5 случайно выбранных
спортсменов окажется три перворазрядника.
2. Механизм состоит из трех узлов. Вероятность брака при изготовлении
первого узла равна 0.08, второго узла – 0.12 и третьего – 0.01. Определить
вероятность того, что при изготовлении механизма только второй узел бракованный.
1. Имеется 6 деталей первого сорта, 5 - второго сорта, 4 - третьего сорта.
Какова вероятность того, что среди трех случайно выбранных деталей окажутся детали всех сортов?
2. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет
принят первый вызов, равна 0.2, второй вызов – 0.3, третий вызов – 0.4.
Какова вероятность того, что корреспондент услышит вызов?
1. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того,
что среди взятых наудачу 5 билетов окажется один выигрышный.
2. Производится стрельба по некоторой цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0.2. Стрельба прекращается при первом
попадании. Найти вероятность того, что будет произведено ровно 6 выстрелов.
1. Из 36 билетов выигрышными являются 5. Определить вероятность того,
что среди взятых наудачу 5 билетов окажется ровно 3 выигрышных.
2. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в
три места.
1. Рассматриваются всевозможные пятизначные числа. Определить вероятность того, что все цифры случайно выбранного пятизначного числа различны.
2. Два стрелка сделали по выстрелу в мишень. Вероятность попадания в
мишень для первого стрелка равна 0.6, для второго – 0.9. Какова вероятность того, что в мишень попали две пули?
1. 30 каменщиков, среди которых 6 высшего разряда, разбиты случайным
образом на 3 бригады по 10 человек в каждой. Какова вероятность того, что
все каменщики высшего разряда попадут в первую бригаду?
2. В первой урне 1 белый и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 чер13
ных, в третьей - 3 белых и 4 черных шара. Из каждой урны взяли по шару.
Какова вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый и 2 черных шара?
1.3 Формула полной вероятности и формула вероятностей
гипотез (формула Байеса)
Формула полной вероятности
Пусть интересующее нас событие А может появиться только синхронно с одним из
попарно несовместных событий Н1 , Н2 , ,Нn (рис. 8).
Рисунок 8
Тогда справедлива формула полной вероятности:
P( A)  P( H1)  PH 1 ( A)  P( H 2)  PH 2 ( A)    P( Hn)  PHn ( A)
(12)
Вероятность появления события А равна сумме произведений вероятностей событий
P(Нi) (i=1...n) на соответствующие условные вероятности события PHi(A).
Пример 9. На трех станках-автоматах штампуются однотипные детали. Первый станок
штампует 45%, второй - 30%, и третий -25% всех деталей. Брак среди изготовленных
деталей для каждого станка соответственно равен 2,5% , 2% и 1,5%. Найти вероятность
того, что взятая наудачу со склада деталь будет стандартной.
Решение:
Здесь событие А - наудачу взятая со склада деталь будет стандартной. Событие H1 деталь изготовлена на первом станке, H2 - деталь изготовлена на втором станке. Н3 деталь изготовлена на третьем станке. Вычислим вероятности событий P( H i ) , i=1,2,3 :
P ( H 2) 
30%
 0,3 ,
100%
45%
 0,45 ,
100%
45%
P ( H 1) 
 0,45 ,
100%
P( H 1) 
25%
 0,25 .
100%
Находим условные вероятности PHi (A) - вероятности изготовления стандартной детали
на i- м станке:
P( H 3) 
14
100%  2,5%
 0,975 ,
100%
100%  2%
PH 2 ( A) 
 0,98 ,
100%
PH 1 ( A) 
PH 3 ( A) 
100%  1,5%
 0,985 .
100%
Пользуясь формулой (12) находим Р(А):
Р(А)=0,450,975+0,30,98+0,250,985=0,979.
Формула Байеса
События Н1 , Н2 , … ,Нn часто называют гипотезами. Тогда событие А происходит при
осуществлении одной из гипотез. Пусть событие А уже произошло. По условию оно
может произойти совместно только с одной из гипотез. Заранее не известно, какая из
них осуществилась. Естественно, что возникает вопрос о том, насколько возможна
каждая из гипотез. Иными словами, возникает задача отыскания условных вероятностей гипотез PA ( H i ) .
Они находятся по формуле:
P( H i ) PHi ( A)
(13)
PA ( H i ) 
.
P( H 1 )  PH1 ( A)  P( H 2 )  PH 2 ( A)    P( H n )  PHn ( A)
Это формула Байеса.
Пример 10. В условиях примера 9 произошло событие А, то есть наудачу взятая со
склада деталь оказалась стандартной. На каком станке наиболее вероятно она была изготовлена? Сравнить условные вероятности с соответствующими им вероятностями
гипотез.
Решение:
Определим условные вероятности гипотез, пользуясь формулой (12):
0,45  0,975
 0,448
0,979
0,3  0,98
PA ( H 2) 
 0,30 ;
0,979
PA ( H 1) 
PA ( H 3) 
0,25  0,985
 0,252 .
0,979
Наиболее вероятна первая гипотеза - деталь изготовлена на первом станке. Верность
вычислений подтверждается равенством:
PA ( H1)  PA ( H 2)  PA ( H 3)  0,448  0,30  0,252  1
Условная вероятность первой гипотезы уменьшилась, второй не изменилась, а третьей увеличилась, то есть:
PA ( H1)  P( H1) PA ( H 2)  P( H 2) PA ( H 3)  P( H 3)
Вероятности P( H 1) , P( H 2), P( H 3) являются доопытными (априорными) вероятностями
гипотез, то есть выдвинутыми до проведения опыта, а вероятности
PA ( H1), PA ( H 2), PA ( H 3) – послеопытными (апостеприорными) вероятностями гипотез.
Задание 2.
Вариант
Задание
ОТК проводит контроль выпускаемых приборов. Приборы имеют скрытые
1
дефекты с вероятностью 0.15. при проверке наличие дефекта обнаружива15
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ется с вероятностью 0.9.Кроме того, с вероятностью 0.05 доброкачественный прибор может быть ошибочно признан дефектным. При обнаружении
дефекта приборы бракуются. Определить вероятность того, что забракованный прибор имеет дефект.
На некотором заводе первый станок производит 40% всей продукции, а
второй - остальную. В среднем 9 из 1000 деталей, производимых первым
станком, оказываются бракованными, а у второго - 1 деталь из 250. Какова
вероятность того, что случайно выбранная из всей дневной продукции деталь оказалась по результатам проверки бракованной.
Вероятность того, что при бурении скважины будут найдены грунтовые
воды, равна 0.3. Грунтовым водам сопутствуют твердые породы с вероятностью 0.6 . Там, где грунтовых вод нет, твердые породы встречаются с
вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что при бурении будут обнаружены твердые породы.
Деталь может поступать для обработки на первый станок с вероятностью
0.2, на второй с вероятностью – 0.3 и на третий с вероятностью 0.5. Процент брака составляет для этих станков соответственно 0.2%, 0.3% и 0.1%.
Найти вероятность того, что деталь после обработки окажется бракованной.
На станцию очистки сточных вод 10% стока поступает с первого предприятия, 40% - со второго, а остальное - с третьего. Вероятность появления в
воде солей тяжелых металлов для первого, второго и третьего предприятия
соответственно равна 0.01; 0.02; и 0.04. Определить вероятность появления
солей тяжелых металлов во всем стоке.
На некоторой фабрике 30% продукции вырабатывается первой машиной,
25%- второй, а остальная продукция - третьей. Первая машина дает 1%
брака, вторая -2% и третья-3%. Определить вероятность того, что случайно
выбранная единица продукции оказалась бракованной
В цехе работают три автомата. Первый выпускает 35% всех деталей и дает
2% брака, второй автомат выпускает 30% всех деталей и дает 3% брака,
третий автомат выпускает 35% всех деталей и дает 1% брака. Определить вероятность поступления на сборку бракованной детали.
На складе находятся электролампы, изготовленные двумя заводами. Среди
них 70% изготовлены первым, а остальные - вторым заводом. Известно,
что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом- 90 удовлетворяют стандарту, а из 100 ламп изготовленных вторым - 80 удовлетворяют стандарту. Определить вероятность того, что взятая наудачу лампочка
будет удовлетворять требованиям стандарта.
На конвейер поступают однотипные изделия, изготовленные двумя рабочими. При этом первый поставляет 60%, а второй - 40% от общего числа
изделий. Вероятность того, что изделие, изготовленное первым рабочим,
окажется нестандартным, равна 0.005, вторым – 0.01. Определить вероятность того, что взятое наудачу с конвейера изделие оказалось нестандартным.
На сборку поступают однотипные детали с трех предприятий, причем первое поставляет 50% , второе 30% и третье - 20% всего количества. Вероятности появления брака для первого, второго и третьего предприятий
соответственно равны 0.05; 0.1 и 0.15. Какова вероятность того, что выборочный контроль обнаружил бракованную деталь.
Имеется 10 одинаковых урн, в 9 из которых находится по 2 белых и 2 черных шара, а в одной - 5 белых шаров и 1 черный. Какова вероятность того,
что из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар.
16
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
В цехе два автомата. Один выпускает 55% всей продукции и дает 3% брака, второй выпускает 45% продукции и дает 2% брака. Найти вероятность
поступления на сборку бракованной детали.
Вероятность того, что изделия некоторого производства удовлетворяют
стандарту, равна 0.96. Предлагается упрощенная система контроля, которая
пропускает с вероятностью 0.98 изделия, удовлетворяющие стандарту, и с
вероятностью 0.05 изделия, не удовлетворяющие стандарту. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее такой контроль, удовлетворяет стандарту?
При проверке посевных качеств зерен пшеницы установлено, что все зерна
могут быть разбиты на четыре группы. К первой группе относятся 96%
всех зерен, ко второй, третьей и четвертой относятся соответственно 2%,
1% и 1%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не
менее 50 зерен, для семян первой, второй, третьей и четвертой групп соответственно равны 0.5; 0.2; 0.18 и 0.02. Определить вероятность того, что из
взятого наудачу зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.
В цехе три типа автоматических станков вырабатывают одни и те же детали. Продуктивность их одинакова, но качество работы отличается: станки
первого типа производят 90% продукции отличного качества, второго -85%
и третьего -80%. Все изготовленные за смену детали поступают на склад в
одну емкость. Определить вероятность того, что наудачу выбранная деталь
окажется высшего качества, если станков первого типа имеется 10 штук,
вторых -6 и третьего -4.
Объект возводят три бригады монтажников. Вероятности того, что бригады допустят нарушения технологии при монтаже одного блока, равны
соответственно: 0.01; 0.15; 0.02. Первая бригада выполнила 50% всего
объема работ, вторая - 30%, третья - 20%. Какова вероятность того, что
выбранный случайным образом блок смонтирован с нарушением технологии?
На некоторой фабрике 30% всей продукции вырабатывается первой машиной, 25%- второй машиной, а остальная продукция - третьей. Первая машина дает 1% брака, вторая –1.5% и третья- 2%. Определить вероятность
того, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной.
В цехе изготавливают некоторые строительные детали, каждая из которых
может быть дефектной с вероятностью 0.01. Деталь проверяется контролем, обнаруживающим дефект с вероятностью 0.95. Кроме того, контролер
может ошибочно забраковать хорошую деталь с вероятностью 0.05. Определить вероятность того, что деталь будет забракована.
40% всех выпускаемых приборов собираются из высококачественных деталей, а остальные - из деталей обычного качества. Надежность прибора,
собранного из высококачественных деталей, равна 0.95, а собранного из
деталей обычного качества – 0.7. Прибор испытывался в течение время t и
работал безотказно. Найти вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей.
В партии из 600 радиоламп 200 изготовлены на первом заводе, 250 - на
втором и остальные - на третьем. Вероятность того, что лампа, изготовленная на первом заводе, окажется стандартной, равна 0.97, на втором – 0.91,
на третьем – 0.95. Определить вероятность того, что наудачу взятая лампа
оказалась стандартной.
На сборку поступают детали с маркой трех заводов. С маркой завода №1
поступает 45% всех деталей и вероятность того, что деталь нестандартная
17
22
23
24
25
0.01; с маркой завода №2 поступает 30% деталей и вероятность того, что
деталь окажется нестандартной – 0.015; с маркой завода №3 поступает
25% всех деталей и вероятность того, что деталь окажется нестандартной –
0.02. Найти вероятность того, что на сборку поступила нестандартная деталь.
На двух станках производится одинаковая продукция. Производительность
первого станка в два раза больше производительности второго. Вероятность появления брака на первом станке 0.1, на втором – 0.15. Изготовленные за смену детали складываются в контейнер. Найти вероятность того,
что случайно выбранное из контейнера изделие не окажется бракованным.
Некоторые изделия проверяются на стандартность двумя контролерами,
причем первый проверяет 60%, а второй - 40% всей продукции. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным при проверке первым контролером, равна 0.95, а вторым – 0.9 (качество проверки
контролеров зависит от их квалификации). Определить вероятность того,
что стандартное изделие будет признано стандартным.
Имеются две партии однотипных изделий из 12 и 10 штук, причем в каждой партии имеются по одному бракованному. Изделие, взятое наудачу из
первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность того, что во второй раз
будет извлечено бракованное изделие.
В тире имеется пять различных по точности боя винтовок. Вероятность
попадания в мишень для данного стрелка из них соответственно равна 0.5;
0.6; 0.3; 0.7; 0.9. Определить вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из выданной наугад винтовки.
1.4 Повторение опытов
Если проводятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом
испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются
независимыми относительно события А.
Формула Бернулли
Вероятность того, что при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<1), событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности ), равна:
n!
Pn (k )  C nk p k q n  k , или Pn (k ) 
(14)
p k q nk
k!(n  k )!
Вероятности того, что событие наступит:
а) меньше k раз; б) более k раз; в) не меньше k раз; г) не более k раз - находят соответственно по формулам:
а) Pn (n  k )  Pn (0)  Pn (1)  Pn (k  1)
б) Pn (m  k )  Pn (k  1)  Pn (k  2)    Pn (n)
в) Pn (m  k )  Pn (k )  Pn (k  1)    Pn (n)
г) Pn (m  k )  Pn (0)  Pn (1)    Pn (k )
Пример 11. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть
две партии из четырех или три партии из шести?
18
Решение:
Играют два равносильных шахматиста, значит вероятность выигрыша каждого равна
р=1/2, следовательно, вероятность проигрыша q также равно 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут
выиграны партии, можно применить формулу Бернулли. Найдем вероятность того, что
две партии из четырех будут выиграны:
43 1 1
6
.
    
1 2  2   2 
16
2
P4 (2)  C 42 p 2 q 2 
2
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:
654  1   1 
5
    
1 2  3  2   2 
16
Так как P4 (2)  P6 (3) , то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три партии из
шести.
3
3
P6 (3)  C 63 p 3 q 3 
Пример 12. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадает: а)
менее двух раз; б) не менее двух раз.
Решение:
3
а) P  P5 (0)  P5 (1)  .
16
13
б) P  1  ( P5 (0)  P5 (1))  .
16
Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях
Число k 0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называется наивероятнейшим, если вероятность
того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз превосходит (или по крайней мере
не меньше) вероятностей остальных возможных исходов испытаний.
Наивероятнейшее число определяется из двойного неравенства
np  q  k 0  np  p
причем:
1) если число np  q дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0;
2) если число np  q целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно k 0 и
k0  1;
3) если число np целое, то наивероятнейшее число k 0  np .
Пример 13. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого прибора. Вероятность
того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.
Решение:
По условию n=15, p=0,9, q=0,1. Найдем наивероятнейшее число k0 из двойного неравенства np  q  k 0  np  p . Подставляя данные задачи, имеем:
150,9-0,1< k0< 150,9+0,9 или 13,4< k0 <14,4.
Так как k0 - целое число и поскольку между числами 13,4 и 14,4 находится одно целое
число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число k0 равно 14.
Задание 3.
19
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Задание
Вероятность попадания в десятку для данного стрелка при одном выстреле
равна 0.2. Найти вероятность попадания в десятку не менее трех раз при
десяти выстрелах.
Игрок набрасывает кольца на колышек, вероятность удачи при этом равна
0.1. Определить вероятность того, что из шести колец на колышек попадут
хотя бы два.
Вероятность того, что образец цементного камня выдержит десять циклов
замоpаживания-оттаивания равна 0.7. Испытывается партия из десяти образцов. Определить вероятность того, что не менее восьми образцов выдержат испытание.
Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии в шахматы из шести или четыре партии из восьми, если ничьи не учитываются.
Для запуска некоторой установки необходимо включить 6 блоков. Вероятность того, что блок включится при нажатии соответствующей кнопки на
пульте управления, равняется 0.9 для каждого блока. Нажаты все кнопки.
Определить вероятность того, что: а) установка заработает; б) два блока не
включатся.
Станок-автомат вырабатывает 70% всех изделий первым сортом, а остальные - вторым. Требуется определить, что является более вероятным - получить два первосортных изделия из пяти наудачу отобранных, или пять первосортных из десяти.
Студент выбирает некоторую экзаменационную «стратегию»: В среднем
из 20 вопросов программы по каждому предмету он не готовит два, надеясь, что маловероятно вытащить билет сразу с двумя «плохими» вопросами, только в этом случае ставится неудовлетворительная оценка. Какова
вероятность получения не более двух неудовлетворительных оценок, если
в сессии сдается 10 экзаменов и зачетов?
Вероятность попадания в десятку у данного стрелка при одном выстреле
равна 0.8. Определить вероятность того, что при 10 независимых выстрелах
попаданий в десятку будет не менее 7.
На строительство должны были завезти 6 партий отделочных материалов.
Вероятность того, что каждая партия будет завезена в соответствие с графиком, равна 0.8. Определить вероятность того, что не менее 4 партий будет доставлено в срок.
Прибор состоит из 8 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в
течение времени Т) для каждого узла равна 0.9. Найти вероятность того,
что за время Т откажет не более двух узлов, если узлы выходят из строя
независимо друг от друга.
В телевизионной студии имеется четыре телевизионных передающих камеры. Вероятность того, что одна камера в данный момент времени включена, равняется 0.6. Определить вероятность того, что в данный момент
включены: ровно две камеры; хотя бы одна камера.
В магазин вошло 8 покупателей. Найти вероятность того, что три из них
совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого из
них равна 0.3.
Рабочий обслуживает четыре станка, каждый из которых может выйти из
строя в течении смены с вероятностью 0.02. Найти вероятность того, что из
строя выйдут не более 2 станков.
Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0.7.
20
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Проведено десять бросков. Что вероятнее - забросить мяч в корзину шесть
или восемь раз?
На отрезок [0, 10] наудачу брошено пять точек. Определить вероятность
того, что две точки попадут на отрезок [3, 5]. Подразумевается, что вероятность попадания на любой отрезок пропорциональна его длине.
Известно, что 10% всего числа радиоламп не удовлетворяет всем требованиям стандарта. Определить вероятность того, что из четырех взятых
наугад ламп окажется не более одной нестандартной.
Студент сдает экзамен автоматическому экзаменатору. На каждый вопрос
ответ дается «да» или «нет». Какова вероятность сдать экзамены наудачу,
если для этого нужно дать верные ответы не менее чем на семь вопросов из
десяти?
Вероятность выигрыша на бирже в течение дня – 0.3. Какова вероятность
хотя бы одного выигрыша в течение трех дней?
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0.1.
Определить вероятность того, что сообщение из десяти знаков содержит не
более двух искажений.
Рабочий обслуживает пять станков, каждый из которых может выйти из
строя в течение смены с вероятностью 0.01. Определить вероятность того,
что по меньшей мере четыре станка проработают всю смену.
Вероятность того, что электрическая лампа проработает не менее 1000 ч,
равна 0.6. Определить вероятность того, что хотя бы одна из пяти ламп
проработает весь этот срок.
ОТК проверяет некоторые изделия, каждое из которых независимо от других с вероятностью 0.02 может оказаться дефектным. Определить вероятность того, что из девяти деталей дефектными окажутся не более двух.
Производится 10 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания
при одном выстреле 0.25. Найти вероятность не менее 3 попаданий.
Что вероятнее – выиграть у равносильного противника не более трех или
не менее пяти партий из восьми, если ничейный исход исключен?
Среди коконов тутового шелкопряда в данной партии 70% содержат особь
женского пола. Определить вероятность того, что среди десяти случайно
отобранных из этой партии коконов содержит особь женского пола семь
коконов.
2 Элементы математической статистики
2.1 Точечные оценки числовых характеристик. Интервальные
оценки числовых характеристик нормально распределенной
случайной величины
Пусть в результате проведения n испытаний получено n значений случайной величины
X: x1, x2, ..., xn . Эти значения называют выборкой объема n. Тогда математическое
ожидание М(Х), дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение  оцениваются
по формулам:
1 n
M *   xi
(25)
n i 1
21
D* 
1 n
( xi  M * )

n  1 i 1
2
(26)
 *  D*
(27)
M*, D* и  называют точечными оценками числовых характеристик случайной
величины.
В результате проведения n испытаний получаем случайные значения величины Х : x1 ,
x2 , ... , xn; в другой серии испытаний они будут несколько иными. Поэтому M* и D*
сами являются случайными величинами и потому их нужно оценивать с помощью доверительных интервалов.
Доверительным интервалом называется интервал, который с вероятностью  накрывает
оцениваемый параметр. Параметр  называют надежностью интервальной оценки.
Если случайная величина распределена по нормальном закону, то доверительный интервал для оценки неизвестного значения М(Х)= находится по формуле:
*
M *  t
*
n
   M *  t
*
n
,
(28)
величину t  определяем по таблице [приложение, табл.3]; значение t  зависит от объема выборки n и от надежности  : t   t ( , n).
Среднее квадратическое отклонение  оценивается с помощью одного из доверительных интервалов:
 * (1  q)     * (1  q) , при q<1
0     * (1  q) , при q>1
(29)
(29a)
где q находят по таблице [приложение, табл.4] : q  q( , n) .
Пример 21. По данным выборки объема n=16 найдено выборочное среднее квадратическое отклонение   1. Предполагая, что исследуемая величина распределена по нормальном закону, найти доверительный интервал для  с надежностью   0,95 .
Решение:
По таблице (прил. табл. 4) при   0,95 и n=16 находим q  0,44 . Так как q  1 , то доверительный интервал находится по формуле (29): 0,56    1,44 .
Задание 4.
Вариант
1
2
Задание
Максимальная толщина снегового покрова за последние 15 лет в данной
местности по данным наблюдений равнялась (в см):
50
48
52
53
54
61
52
60
50
48
54
53
50
46
53
61
Найти доверительные интервалы для среднего значения толщины снегового покрова с надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от
среднего значения с надежностью 0.99. Подразумевается, что определяемая
величина распределена по нормальному закону.
Число работников торговых предприятий города в расчете на 100000 грн.
товарооборота приведены ниже:
12
12
13
13
13
13
14
14
14
14
15
15
15
16
16
17
17
18
19
20
Найти доверительные интервалы для среднего значения числа работников с
22
3
4
5
6
7
8
надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99. Принять, что данные в таблице распределены по
нормальному закону.
Время, затрачиваемое на бурение шпуров в скальной породе, при 25 независимых испытаниях оказалось следующим (в мин.):
11.0 10.0 9.5
10.0 10.3 11.0 12.0 10.0
10.3 9.0
9.5
10.0 10.3 11.0 12.0 12.5
9.5
10.0 10.3 11.0 12.5 10.5 10.3 11.0 12.0
Найти доверительные интервалы для среднего значения определяемой величины с надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99. Предполагается , что определяемая величина распределена по нормальному закону.
Удельный вес продовольственных товаров (%) в товарообороте торговых
предприятий приведен ниже:
81 85
81
82
81
81
80
81
79
81
81 82
80
80
79
83
79
78
79
77
Найти доверительные интервалы для среднего значения удельного веса с
надежностью 0.99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.95. Подразумевается, что случайная величина распределена по нормальному закону.
Проведенные измерения емкости каждого из 19 конденсаторов дали следующие результаты (в мкФ)
3.5 3.8
4.0
4.3
4.0
4.3
3.7
4.3
4.5 3.8
4.0
3.8
4.0
4.3
3.7
4.3
3.7
4.0
4.3
Найти доверительные интервалы для среднего значения емкости конденсаторов с надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего
значения с надежностью 0.99. Принять, что емкость конденсаторов распределена по нормальному закону.
Затраты времени (человеко-часов) на производство 1ц зерна, зафиксированные при ежедневном контроле в течение двух недель, приведены в таблице:
8.12 8.17 8.20 8.21 8.20 8.17 8.22
8.27 8.22 8.17 8.32 8.20 8.21 8.16
Предполагая, что временные затраты распределены по нормальному закону, найти доверительные интервалы для среднего значения временных затрат с надежностью 0.99 и среднеквадратического отклонения от среднего
значения с надежностью 0.95.
Измерения времени, необходимого для изготовления определенной детали,
дали следующие результаты (в минутах):
13.0 10.1 11.2 9.8
11.3 12.5 10.1 11.1 11.8
11.5 10.7 10.0 10.6 11.8 11.3 10.5 11.5 12.4
Предполагая ,что определяемое время распределено по нормальному закону, найти доверительные интервалы для среднего значения времени с
надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99.
Проведенные измерения времени работы дизельного двигателя одной марки до первого капремонта дали следующие результаты ( в часах):
3960 5000 4250 3680 4000 4360 4120
4720 4640 3920 5600 4880 4040 4800 5240
Найти доверительные интервалы для среднего значения ресурса двигателя
с надежностью 0.99 и среднеквадратического отклонения от среднего зна23
9
10
11
12
13
14
чения с надежностью 0.95. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону.
Испытания на продолжительность работы радиоламп определенного типа
дали следующие результаты (в ч):
1800 1200 2400 1600 1800 1200 2400
3000 1800 1200 2400 1900 1200 1800
2400 3000 1200 2400 1800
Предполагая, что определяемый параметр распределен по нормальному
закону, найти доверительные интервалы для среднего значения времени
работы с надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99.
Проведены контрольные испытания 16 осветительных ламп. Их срок
службы оказался равным (в ч):
2500 2640 3120 3500 3200 3010 2780 2850
2990 3620 3200 2400 3520 3120 3000 3010
Считая, что срок службы каждой лампы является нормальной случайной
величиной, найти доверительные интервалы для среднего срока службы с
надежностью 0.99 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.95.
Проведенные измерения погрешности в установке опорных колонн дали
следующие результаты:
4.3
4.4
4.2
4.3
4.4
4.5
4.3
4.5
4.4
4.6
4.4
4.1
4.3
4.4
4.5
4.3
4.3
4.6 4.2
Найти доверительные интервалы для средней погрешности в установке
колонн с надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99. Принять, что определяемый параметр
имеет нормальное распределение.
Оценивается концентрация примеси некоторого вещества в исследуемом
материале. Получены такие результаты (в %):
5.0 5.8
5.5
5.7
4.5
4.9
5.0
5.8
5.8
4.2 4.5
4.8
4.9
5.0
5.3
5.5
5.3
Найти доверительные интервалы для средней концентрации данного вещества с надежностью 0.95 и среднеквадратическое отклонение от среднего
значения с надежностью 0.99. Принять, что результаты измерений распределены по нормальному закону.
Время, затрачиваемое на выполнение некоторой операции при 20 независимых испытаниях, оказалось следующим (в минутах):
16.0 16.6 17.9 17.5 15.5 17.9 17.5 18.0
14.5 16.0 16.5 17.5 19.0 15.5 16.5 17.9
18.0 16.0 17.9 17.5
Найти доверительные интервалы для среднего времени с надежностью 0.95
и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью
0.99. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному
закону.
По результатам наблюдений за суммарными годовыми осадками в данной
местности за 17лет были получены следующие данные (в мм):
992 969 992 878 1060 961 1002 960
1054 969 1018 902 1054 1098 1015 1012 1010
Найти доверительные интервалы для среднего суммарного значения годовых осадков с надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от
среднего значения с надежностью 0.99. Принять, что определяемый параметр имеет нормальное распределение.
24
15
16
17
18
19
20
Оценивается процентное содержание некоторой компоненты в исследуемом материале. Проведенные измерения для 16 проб дали следующие результаты:
33.0 31.0 32.5 27.5 29.0 31.0 32.5 33.0
33.5 34.0 29.0 31.0 32.5 33.0 33.5 33.0
Найти доверительные интервалы для среднего значения процентного содержания с надежностью 0.99 и среднеквадратического отклонения от
среднего значения с надежностью 0.95. Подразумевается, что определяемый параметр распределен по нормальному закону.
В течение короткого промежутка времени измерялась влажность воздуха в
цехе и получены следующие данные (в %):
49
50
52
48
49
51
48
49
49
50
50
53
48
49
51
47
49
50
51
52
Найти доверительные интервалы для средней влажности воздуха в цехе с
надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99. Предполагается, что определяемый параметр распределен по нормальному закону.
Двадцать измерений времени, необходимого для прохождения всего маршрута автобусом, дали следующие результаты (в минутах):
24.0 25.6 27.6 26.2 26.2 28.4 28.0 29.8 30.0 26.0 28.0
31.0
31.8 33.8 33.8 34.0 35.0 36.0 36.6 35.4
Найти доверительные интервалы для среднего времени прохождения
маршрута с надежностью 0.99 и среднеквадратического отклонения от
среднего значения с надежностью 0.95. Предполагается, что определяемая
величина распределена по нормальному закону.
Результаты гидрологических наблюдений в течение 20 лет за величиной
речного стока реки (в км3) приведены ниже:
0.81 0.79 0.85 0.81 0.82 0.81 0.82 0.80 0.81 0.81 0.80
0.79 0.80 0.83 0.79 0.78 0.79 0.74 0.80 0.81
Найти доверительные интервалы для среднего значения годового стока с
надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99. Принять, что определяемая величина распределена по нормальному закону.
Одинаковые образцы некоторого сплава должны содержать ровно три
грамма серебра. Исследование 20 образцов дало следующие результаты (в
мг):
22960; 32010; 22980; 33000; 22950; 33000; 33040; 33010; 22980; 33000; 22960;
33010;
22980; 33000; 22950; 22960; 33010; 22980; 33000; 33000.
Найти доверительные интервалы для среднего содержания серебра с
надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99. Принять, что определенная величина распределена по нормальному закону.
Двадцатилетние измерения толщины льда в январе и феврале на акватории
водохранилища дали следующие результаты (в см):
61 62
64
66
62
68
63
65
62
65
58 65
61
63
65
66
65
62
58
62
Найти доверительные интервалы для средней толщины льда с надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с
надежностью 0.99. Подразумевается, что определяемый параметр рас25
пределен по нормальному закону.
21
22
23
24
25
При разработке технологии производства нового материала сделано 20
проб и получены следующие результаты (в %):
1.8 2.3
1.5
1.8
2.5
1.8
2.3
2.6
1.5
1.8
2.5
3.0 1.8
2.3
2.8
1.5
1.8
2.5
2.5
1.8
Найти доверительные интервалы для среднего процента с надежностью
0.95 и среднеквадратического отклонения от среднего значения с надежностью 0.99. Предполагается, что определяемая величина распределена по
нормальному закону.
Проведенные измерения количества выпавших осадков в октябре за период
в 15 лет для данной местности дали следующие результаты (в мм):
99 125 103 92
100 109 118 106
116 98
140 122 101 120 131
Найти доверительные интервалы для среднего значения количества выпавших осадков с доверенной вероятностью 0.99 и среднеквадратического
отклонения от среднего значения с надежностью 0.95. Предполагается, что
определяемая величина распределена по нормальному закону.
Даны значения промежутков времени (перерывов в газоснабжении Московской области, вызванные повреждениями на газопроводах среднего и
высокого давления) в часах:
1.0 2.2
2.6
3.0
4.0
1.3
2.3
2.8
3.0
4.3
1.5
2.5
3.0
5.0 3.0
1.5
2.5
3.0
3.4
4.0
2.0
2.5
3.0
3.8
6.0
Найти доверительные интервалы для среднего значения промежутка времени с доверенной вероятностью 0.95 и среднеквадратического отклонения
от среднего значения с надежностью 0.99. Предполагается, что определяемая величина распределена по нормальному закону.
Для определения марки цемента были проведены испытания образцов цементного камня на сжатие, которые дали следующие результаты (кг/см2):
298 290 298 263 318 288 301 288 316 291 306
271
316 328 305 304 303 291 255 295 296 293 308
316 286
Найти доверительные интервалы для среднего значения измеряемой величины с доверенной вероятностью 0.95 и среднеквадратического отклонения
от среднего значения с надежностью 0.99. Предполагается, что измеряемая
величина распределена по нормальному закону.
Проведенные испытания на растяжение образцов конструкционной стали
дали следующие значения для максимального напряжения (кг/см2 ):
3200 4000 3800 4100 3400 4200 3700
3900 3200 4100 3800 4200 3500 4000 3900
Найти доверительные интервалы для среднего значения максимального
напряжения с надежностью 0.95 и среднеквадратического отклонения от
среднего значения с надежностью 0.99. Предполагается, что определяемая
величина распределена по нормальному закону.
2.2 Элементы корреляционного анализа
Допустим, есть основание предполагать, что две величины x и y связаны функциональной зависимостью y=f(x) и для определения вида этой зависимости проведена серия из
26
n испытаний, в которых выполнялись одновременные замеры x и y: (x1,y1), (x2,y2), ...
,(xn,yn) . Из-за всевозможных случайных влияний (вибрации, температуры и т.п.)
функциональная зависимость , даже если она и имеется, будет искажена. Если точки
(xi,yi) нанести на график, то получим изображение, состоящее из точек и напоминающее размытую линию. Это изображение называется корреляционным полем . По нему
иногда визуально удается установить форму исходной зависимости y=f(x) . Если зависимость между х и y предположить линейной y  kx  b ,
(30)
то коэффициенты k и b подбираются так, чтобы сумма квадратов уклонений экспериментальных точек (xi,yi) от прямой (30) была минимальной (метод наименьших квадратов). В этом случае коэффициенты k и b находятся по формулам:

n   xi y i   xi   y i
k 
n   xi2  ( xi ) 2

(31)

2
xi   y i   xi   xi y i


b 
n   xi2  ( xi ) 2

Уравнение (30) с коэффициентами, найденными по формулам (31) называется линией
регрессии y на x .
Пример 22. Данные опыта приведены в таблице. Полагая, что x и y связаны зависимостью y=kx+b , методом наименьших квадратов найти k и b.
X
Y
0.3
0.3
5.3
8.9
8.9
5.4
8.9
7.9
8.9
7.5
8.9
7.4
5.3
4.9
0.3
3.9
8.9
5.6
Решение:
Подсчитаем суммы, входящие в формулу (25):
 xi  56,7 ;  xi2  45341;
 yi  51,8 ;
x y
 5373,75 .
Подставляя найденные значения в формулу (31) находим:
k=0,49 ; b=2,73.
Уравнение линии регрессии: y=0,49x+2,73.
i
i
Задание 5. Данные опыта приведены в таблице в безразмерном виде. Нужно:
а) построить корреляционное поле;
б) высказать гипотезу о виде статистической зависимости между Х и Y, определить
коэффициент корреляции и тесноту линейной связи;
в) найти уравнение линии регрессии;
г) построить линию регрессии .
Вариант
1
41
X
4
Y
2
1
X
Y 16.50
3
0.1
X
Y 1.04
4
0
X
50
8
2
13.75
1.3
1.08
4
81
10
3
13.31
0.6
0.94
10
104
14
4
12.50
1.0
1.06
15
120
15
5
12.75
1.2
1.35
21
139
20
6
12.35
1.8
2.01
29
154
19
7
11.83
2.1
2.62
36
180
23
8
10.50
2.7
3.00
51
208
25
9
9.83
241
30
68
75
27
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
66.7
0
30.0
0
4.3
0.4
0.43
1
100
0.33
11.86
0.1
0.15
7.9
13.0
26
3.94
-3
4
0.78
0.1
12.0
54
71.0
1
29.1
2
5.1
0.8
0.94
2
85.6
0.65
15.67
0.91
0.20
11.6
22.8
30
4.60
-2
8
1.56
1.20
13.1
59
76.3
2
28.4
3
5.6
1.2
1.91
3
74.4
0.99
20.60
0.90
0.43
12.8
24.8
34
5.67
-1
10
2.34
1.12
14.0
67
80.6
3
28.1
4
7.4
1.6
1.01
4
65.3
1.33
26.69
1.50
0.35
14.9
28.6
36
6.93
0
14
3.12
2.25
16.1
76
85.7
4
28.0
5
8.8
2.0
4.0
5
56.7
1.66
33.71
2.00
0.52
16.3
31.6
42
8.25
1
16
3.81
4.26
17.4
85
92.9
5
27.7
6
9.7
2.4
4.56
6
43.3
1.99
43.93
2.20
0.61
18.6
38.7
46
7.73
2
20
4.22
4.83
18.0
97
99.4
6
27.5
8
10.1
2.8
6.45
7
40.8
2.33
51.13
2.62
0.68
20.3
40.0
50
10.55
3
23
5.45
12.8
20.0
107
113.6
7
27.2
10
9.4
3.2
8.59
8
34.8
2.66
61.49
3.00
1.15
21.9
44.9
54
12.40
4
26
5.94
16.35
21.4
118
125.1
8
27.0
134
9
26.8
3.30
1.22
23.6
43.0
3.52
1.37
25.2
44.3
1.5
4.0
5.0
7.0
8.5
10.0
11.0
12.5
14.0
15.5
5.0
2.7
X
Y 17.0
0.2
X
Y 3.3
1.2
X
Y 5.01
21
X
1.8
Y
2.0
X
5.1
Y
0.3
X
5.0
Y
3.0
X
Y 11.8
1
X
Y 4.15
X 5.7
Y 4.15
4.5
4.6
16.2
0.4
3.7
1.8
4.72
24
1.3
1.0
9.8
0.25
4.5
1.5
19.7
2
3.52
4.3
3.52
7.0
6.3
13.3
0.6
4.0
2.3
4.07
28
1.4
0.7
16.3
0.20
7.0
1.0
50.7
3
4.08
3.8
4.08
7.5
7.8
13.0
0.8
4.3
3.1
3.81
30
1.3
0.6
14.3
0.14
6.5
0.7
46.7
5
3.25
3.1
3.25
9.5
9.2
9.7
1.0
4.5
4.1
3.40
34
1.2
0.5
16.9
0.12
9.5
0.6
43.7
10
2.91
2.7
2.91
9.0
10.6
9.9
1.2
4.9
4.6
3.64
35
1.1
0.4
26.4
0.10
9.0
0.5
49.9
20
2.62
2
2.62
11.3
12.0
6.2
1.4
5.1
5.2
3.11
36
1.0
0.3
22.9
0.09
11.3
0.4
51.1
30
2.41
1.7
2.41
9.2
13.4
5.8
1.6
5.5
6.7
2.88
39
1.1
0.2
27.5
0.08
9.2
0.3
72.9
50
2.30
1.1
2.3
11.6
14.7
5.7
1.8
5.8
8.3
2.83
40
0.8
0.1
30.2
0.05
11.8
0.2
80.3
100
1.21
0.7
1.21
12.3
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2.0
6.2
Тема 3. Случайные процессы
3.1 Классификация случайных процессов
28
Теоретическая справка
Функция X(t) называется случайной функцией, если ее значение при
любом аргументе t является случайной величиной.
Случайную функцию X(t), аргументом которой является время,
называют случайным процессом.
Случайные функции (случайные процессы) классифицируют по «по
времени» и «по состояниям»:
1. Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным
временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты Т ={ t1, t2, …, tj , …}, число которых конечно или
счетно. Множество Т является дискретным.
2. Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным
временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент t наблюдаемого периода T.
Для процесса с непрерывным временем множество Т моментов, когда система меняет свое состояние, непрерывно заполняет рассматриваемый участок оси абсцисс.
3. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени t
множество его состояний S конечно или счетно; другими словами, если
его сечение в любой момент t характеризуется дискретной случайной величиной X(t).
4. Одномерный случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент t представляет собой непрерывную случайную величину и, значит, множество ее значений S несчетно.
Задание 6.
Задан случайный процесс (табл. 1). К какому типу случайных процессов вы его отнесете:
1а. Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем.
1б. Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
2а. Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем.
2б. Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.
Таблица 1
Вариант
Случайный процесс
1
Напряжение в электросети, номинально постоянное и равное
220 В, фактически меняется во времени, колеблется вокруг
номинала под влиянием случайных факторов.
2
Население города (или области) меняется с течением времени
29
Вариант
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Случайный процесс
случайным (непредсказуемым) образом под влиянием таких
факторов, как рождаемость, смертность, миграция и т. д.
Уровень воды в реке меняется во времени случайным образом
в зависимости от погоды, количества осадков, таяния снега,
интенсивности оросительных мероприятий и т. д.
Происходит полет космической ракеты, которую необходимо
вывести в заданный момент в заданную точку пространства, с
заданными направлением и абсолютным значением вектора
скорости. Фактическое движение ракеты не совпадает с расчетным, из-за таких случайных факторов, как турбулентность
атмосферы, неоднородность горючего, ошибки в отработке
команд и т. д.
ЭВМ в ходе работы может случайным образом переходит из
состояния в состояние, например: s1— работает исправно; s2—
имеется неисправность, но она не обнаружена; s 3—
неисправность обнаружена, ведется поиск ее источника; s4 —
ремонтируется и т. д. Переходы из состояния в состояние происходят под действием случайных факторов, таких как колебания напряжения в сети питания ЭВМ, выход из строя отдельных элементов, момент обнаружения неисправностей,
время их устранения и т. д.
Рост народонаселения, учет которого необходим при проектировании новых жилых массивов, представляет собой случайный процесс.
Входное напряжение U(t), подаваемое на ЭВМ, в течение некоторого времени, представляет собой случайный процесс.
Регистрируется число X(t) отказов (сбоев) ЭВМ от начала работы до момента времени t.
Система S — техническое устройство, состоящее из ряда узлов, которые время от времени выходят из строя, заменяются
или восстанавливаются.
Физическая система S — обыкновенный самолет, совершающий рейс на заданной высоте, по определенному маршруту.
Длинный тонкий капилляр наполняется жидкостью, в середину капилляра помещается частица, диаметр которой не намного меньше диаметра капилляра. Под действием молекул жидкости частица совершает хаотические движения. Для наблюдения за ними вводится система координат: капилляр рассматривается как действительная ось R с нулем в середине капилляра. В каждый момент времени t регистрируется расстояние
x(t ) частицы от середины капилляра. Здесь случайный процесс
– одномерное броуновское движение.
Некто купил m билетов выигрышного займа, которые могут
30
Вариант
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Случайный процесс
выигрывать и погашаться в заранее известные моменты тиражей t1 , t2 ,  Случайный процесс X (t ) – число билетов, выигравших до момента t .
Случайный процесс X (t ) – процесс наводки перекрестия прицела на неподвижную цель через некоторое время после начала слежения.
Техническое устройство состоит из n узлов, которые могут в
ходе работы устройства отказывать (выходить из строя). Случайный процесс X (t ) – число узлов, отказавших до момента t .
Система представляет собой техническое устройство (ТУ), которое рассматривается в определенные моменты времени
(скажем, через сутки), и ее состояние регистрируется в отчетной ведомости. Каждый осмотр с регистрацией представляет
собой «шаг» процесса. Возможные состояния ТУ следующие:
s1 — полностью исправно; s2 — частично неисправно, требует
наладки; s3 — обнаружена серьезная неисправность, требует
ремонта; s4 — признано непригодным, списано.
В определенные моменты времени t1 , t2 ,  регистрируется температура воздуха (t ) в заданной точке пространства.
Процесс изменения напряжения в электросети питания ЭВМ.
Случайный процесс X (t ) – изменение высоты центра тяжести
самолета на установившемся режиме горизонтального полета.
Случайный процесс X (t ) – процесс наводки перекрестия прицела на движущуюся с постоянной угловой скоростью цель
через некоторое время после начала слежения.
Через фиксированные промежутки времени проводится контроль технического состояния технического устройства, который может находиться в одном из четырех состояний: s1 —
техническое устройство работает, s2 — не работает, проводится технологический осмотр, s3 - не работает, ожидает ремонта ,
s4 — ремонтируется.
Фиксируется количество автомобилей, проехавших по трассе
мимо наблюдателя в заданные моменты времени
Производится стрельба из пушки по неподвижной цели и состояние цели фиксируется в определенные моменты времени
t1 , t 2 ,  Возможны следующие состояния цели: s1 — цель не
повреждена; s2 — цель повреждена; s3 — цель разрушена.
Центральный процессор мультипрограммной системы в любой момент времени выполняет либо программы пользователя, либо программы операционной системы, либо находится
в состоянии ожидания. Продолжительность нахождения системы в каждом состоянии кратна длительности шага t .
31
Вариант
Случайный процесс
24
Через фиксированные промежутки времени проводится контроль технического состояния прибора, который может находиться в одном из трех состояний: s1 — прибор работает, s2 —
не работает и ожидает ремонта, s3 — ремонтируется.
25
Фиксируется скорость автомобилей, проехавших по трассе
мимо наблюдателя в заданные моменты времени
3.2 Построение реализаций, вычисление основных характеристик случайных функций
Теоретическая справка
Если аргумент t – время, то случайную функцию X(t) будем называть случайным процессом.
В ряде задач случайные процессы (СП) бывает удобно выражать через простейшие (или «элементарные») случайные функции.
Элементарной случайной функцией (э. с. ф.) будем называть такую
функцию аргумента t, где зависимость от t представлена обычной, неслучайной функцией, в которую в качестве параметров входят одна или несколько обычных, не зависящих от t случайных величин.
В этом разделе ограничимся рассмотрением элементарных случайных функций.
Реализацией случайной функции X(t) называется ее конкретный
вид, который она принимает в результате опыта.
Ряд проведенных опытов, исход каждого из которых – случайная
функция Х(t), дает совокупность реализаций х1(t), x2(t) , … , xn(t) этой случайной функции. Реализации неизбежно отличаются друг от друга из-за
случайных причин.
Если произведен не один опыт, а несколько, в результате каждого из
которых наблюдается какая-то реализация СП xi(t) (i — номер опыта), то
получим несколько различных реализаций случайного процесса: xi(t), x2(t),
... .... xn(t), ... или семейство реализаций (рис. 1).
32
Рисунок 1
При фиксированном моменте времени t = tj (j = 1, 2, … , m) случайная функция превращается в случайную величину. Эта случайная величина
называется cечением случайной функции в момент времени t = ti .
К основным характеристикам случайного процесса относятся:
1. Математическое ожидание случайного процесса (случайной
функции) X(t) –неслучайная функция mx(t), которая при каждом значении
аргумента t представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции:
mx(t) = M[X(t)].
2. Дисперсия случайного процесса (случайной функции) X(t) – неслучайная функция Dx(t), которая при каждом значении аргумента t представляет собой дисперсию соответствующего сечения случайной функции:
Dx(t) = M[(X(t)- mx(t))2].
3. Среднее квадратическое отклонение случайного процесса (случайной функции) X(t) – неслучайная функция σx(t), которая при каждом
значении аргумента t определяется по формуле:
σx(t) = Dx (t ) .
4. Корреляционная (или «автокорреляционноя») функция случайного процесса (случайной функции) X(t) - неслучайная функция двух аргументов Kx (t , t’), которая при каждой паре значений аргументов (t, t’)
33
равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной
функции:
Kx(t , t’) = M [ X (t ) X (t )] ,
где X (t )  X (t )  m x (t ) - центрированная случайная функция.
Замечание: при t = t’ корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции:
Kx(t , t’) = Dx(t).
Для вычисления основных характеристик случайных процессов на
практике (статистически) находят xi(t) (i =1, 2, … ,n) реализаций случайного процесса Х(t) и берут m сечений. Получают систему реализаций m случайных векторов, то есть матрицу (двумерный массив) X [i, j] = {xi(tj)}.
Эта матрица является базой для вычисления основных характеристик случайного процесса.
Реализации случайных процессов находят с помощью приборов (самописцев), но это длительный процесс накопления статистических данных
и он применим, когда изучаемый объект, например, самолет, уже реально
существует, летит и приборы записывают реализации случайных процессов, происходящих во время полета.
Если же объект находится на стадии проектирования, и мы хотим
знать, как будут вести себя те или иные параметры при воздействии на них
случайных факторов, то нам необходимо научиться моделировать случайные функции на компьютере и вычислять их основные характеристики.
Это и является целью задания 2.
Обычно случайность привносится в случайный процесс посредством
включения в случайную функцию случайных величин в качестве параметров, например, X (t ,  ,  ) - означает, что случайность привнесена случайными величинами β, γ. Случайная величина задается законом распределения;
нам необходимо научится моделировать случайные величины с заданными законами распределения.
Моделирование случайных величин
Практически все алгоритмические языки высокого уровня и пакеты
компьютерной математики имеют инструменты (встроенные функции) которые моделируют (возвращают) реализацию случайной величины с заданным законом распределения.
Вам рекомендуется выполнить задание в среде пакета Excel.
Внимание: студент имеет право выполнить работу в любом другом
пакете.
34
Наиболее простой и базовой для моделирования других распределений является случайная величина α, равномерно распределенная на полуотрезке [0 , 1).
В Excel моделирование α реализует функция:
= СЛЧИС( ) – возвращает равномерно распределенное случайное
число на полуотрезке [0 , 1). У данной функции аргументов нет. В мастере
функций fx эта функция находится в категории Математические.
На практике наиболее распространены следующие распределения:
равномерное на полуотрезке [a , b), нормальное с математическим ожиданием (средним) m и средним квадратичным отклонением (стандартным
отклонением) σ и показательное.
При выполнении задания ограничимся только моделированием этих
распределений.
Моделирование случайной величины ξi, равномерно распределенной на полуотрезке [a , b) реализует функция
 i   i (a  b)  a ,
где αi – равномерно распределенная на полуотрезке [0 , 1) величина.
В Excel эта функция реализуется формулой:
=(b-a)* СЛЧИС( ) + a.
В Excel моделирование нормального распределения с математическим ожиданием (средним) m
средним квадратичным отклонением
(стандартным отклонением) σ реализует функция:
= НОРМОБР(α , m , σ) – здесь и далее α реализация равномерно
распределенного на [0 , 1) распределения.
Функция плотности экспоненциального (показательного) распределения имеет вид
для x  0,
0 ,
f ( x )    x
.

e
,
для
0

x



(1)
Здесь λ=1/T, где T – среднее значение величины Х. Отсюда
i 
xi
xi

0
 f ( x)dx   e
x
dx  1  e xi .
Отсюда
35
xi  
1

ln( 1   i ) .
(2)
На отрезке [0, 1] величина (1–αi ) также имеет равномерное распределение. Поэтому обычно определяют xi как
xi  
1

ln(  i ) .
Тогда в Ecxel показательное распределение с параметром λ реализуется формулой:
= - (1/ λ)*ln(СЛЧИС())
Решение типового примера
Смоделировать
20
реализаций
случайной
функции
f(t, β, γ) = βsin(γt), где β - равномерно распределенная на отрезке [2 , 5)
случайная величина; γ – нормально распределенная величина со средним
а=4 и σ = 1.
Сечения выбрать в точках t от 0 до 10 с шагом 1.
Вычислить основные характеристики случайных функций:
среднее (математическое ожидание) mx; дисперсию Dx; среднее квадратическое отклонение σx; верхнюю границу коридора mx + σx; нижнюю границу коридора mx - σx .
Построить на одной диаграмме графики первых пяти реализаций
случайного процесса и графики mx , mx + σx , mx - σx .
Фрагмент решения задачи в Excel:
36
Реализации и числовые характеристики
случайного процесса
значения
6,00
1-яреализация
4,00
2-я реализация
2,00
3-я реализация
0,00
-2,00
4-реализация
0
5
10
15
5-я реализация
mx
-4,00
mx + сигма
-6,00
mx -сигма
сечения
Фрагмент листа с формулами имеет вид:
37
Выводы: видим, что не взирая на казалось бы «хаотичный» характер
случайного процесса, его усредненные характеристики не случайны и позволяют нам делать выводы и прогнозы о характере протекания случайного
процесса.
Задание 7.
Смоделировать 20 реализаций случайной функции f(t, β, γ), где β, γ
заданы в табл. 2. Сечения выбрать в точках t от 0 до 10 с шагом 1.
Вычислить основные характеристики случайных функций: среднее
(математическое ожидание) mx; дисперсию Dx; среднее квадратическое
отклонение σx; верхнюю границу коридора mx + σx; нижнюю границу коридора mx - σx .
Построить на одной диаграмме графики первых пяти реализаций
случайного процесса и графики mx , mx + σx , mx - σx .
Таблица 2
Вариант
β
γ
f(t , β , γ )
равномерно распределенная показательное распреде-  sin( t )   cos(t )
1
2
величина на отрезке [4, 6)
показательное распределение с параметром λ=2
ление с параметром λ=5
нормально распределенная величина со средним
а=6 и σ = 2
 e 0,01t sin(  t )
38
Вариант
β
γ
нормально распределенная равномерно
распреде3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
величина со средним а=5 и ленная величина на отσ=1
резке [2, 6)
показательное распределе- нормально распределенние с параметром λ=3
ная величина со средним
а=5 и σ = 0,6
нормально распределенная равномерно
распредевеличина со средним а=3 и ленная величина на отσ = 0,1
резке [2, 6)
равномерно распределенная показательное распредевеличина на отрезке [1, 7) ление с параметром λ=4
нормально распределенная равномерно
распредевеличина со средним а=6 и ленная величина на отσ=2
резке [2, 5)
показательное распределе- равномерно
распредение с параметром λ=5
ленная величина на отрезке [4, 8)
равномерно распределенная нормально распределенвеличина на отрезке [2, 6) ная величина со средним
а=5 и σ = 1
показательное распределе- равномерно
распредение с параметром λ=4,5
ленная величина на отрезке [3, 7)
равномерно распределенная показательное распредевеличина на отрезке [4, 6) ление с параметром λ=5
показательное распределе- нормально распределенние с параметром λ=2
ная величина со средним
а=6 и σ = 2
нормально распределенная равномерно
распредевеличина со средним а=5 и ленная величина на отσ=1
резке [2, 6)
показательное распределе- нормально распределенние с параметром λ=3
ная величина со средним
а=5 и σ = 0,6
нормально распределенная равномерно
распредевеличина со средним а=3 и ленная величина на отσ = 0,1
резке [2, 6)
равномерно распределенная показательное распредевеличина на отрезке [1, 7) ление с параметром λ=4
нормально распределенная равномерно
распредевеличина со средним а=6 и ленная величина на отσ=2
резке [2, 5)
показательное распределе- равномерно
распредение с параметром λ=5
ленная величина на отрезке [4, 8)
равномерно распределенная нормально распределен-
f(t , β , γ )
 cos(t )  
 cos( t )
 cos( t )   sin( t )
 cos(  t )
 e 0,02t sin(  t )
 sin(  t )
βsin(γt)
 ln  (t  1)
 cos(  t )
 e 0,02t sin(  t )
 sin(  t )
βsin(γt)
 ln  (t  1)
 sin( t )   cos(t )
 e 0,01t sin(  t )
 cos(t )  
 cos( t )
39
Вариант
β
γ
величина на отрезке [2, 6)
20
21
22
23
24
25
ная величина со средним
а=5 и σ = 1
показательное распределе- равномерно
распредение с параметром λ=4,5
ленная величина на отрезке [3, 7)
показательное распределе- равномерно
распредение с параметром λ=5
ленная величина на отрезке [4, 6)
нормально распределенная показательное распредевеличина со средним а=6 и ление с параметром λ=2
σ=2
равномерно распределенная нормально распределенвеличина на отрезке [2, 6) ная величина со средним
а=5 и σ = 1
нормально распределенная показательное распредевеличина со средним а=5 и ление с параметром λ=3
σ = 0,6
равномерно распределенная нормально распределенвеличина на отрезке [2, 6) ная величина со средним
а=3 и σ = 0,1
f(t , β , γ )
 cos( t )   sin( t )
 sin(  t )
βsin(γt)
 ln  (t  1)
 sin( t )   cos(t )
 e 0,01t sin(  t )
3.3 Потоки событий
Теоретическая справка
Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени.
Потоки событий могут иметь (или не иметь) следующие свойства.
1. Ординарность.
Ординарность потока означает, что вероятность попадания на малый
промежуток двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с
вероятностью попадания на него ровно одного события.
2. Отсутствие последействия.
Отсутствие последействия в потоке означает, что для любого момента времени t0 будущие моменты наступления событий потока (при t
>t0 ) не зависят от того, в какие моменты наступали события в прошлом
(при t<t0).
3. Стационарность.
Поток событий называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются со временем. В частности, для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины τ зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени 0t этот участок расположен.
Ординарный поток без последействия называется пуассоновским
потоком событий. Если пуассоновский поток является также и однород40
ным, то он называется простейшим потоком событий, т. е. поток событий
называется простейшим, если он стационарен, ординарен, и не имеет последействия.
Интервал времени Т между двумя соседними событиями простейшего потока имеет показательное распределение:
f(t)=λe-λt (при t>0),
где λ = 1/M[T] – величина, обратная среднему значению интервала Т.
Интенсивностью λ потока событий называется среднее число (математическое ожидание) событий, приходящихся на единицу времени. Для
стационарного потока λ = const.
Смысл термина «пуассоновский поток» проясняет следующее
утверждение.
Пусть ξ(t) — случайная величина число событий в простейшем потоке интенсивности λ на промежутке [0,t]. Тогда
Pt (ξ(t) = k)=
e  t (  t ) k
k!
(3)
Таким образом, при любых t ≥ 0 случайная величина ξ(t) имеет распределение Пуассона с параметром At. Отсюда, в частности, следует, что
ξ(t) = k распределена по Пуассону с параметром λ.
Решение типовых примеров
Пример 23. В радиоаппаратуре за 10000 часов непрерывной работы
происходит замена 10 элементов. Какова вероятность выхода из строя радиоаппаратуры за 100 часов непрерывной работы?
Решение.
Отказ элементов представляет собой простейший поток событий с интенсивностью λ = 10/10000 = 0,001 час-1. Радиоаппаратура выйдет из строя,
если откажет хотя бы один элемент, т.е. если количество отказов будет равно
k = 1 или k = 2, или k = 3 или k = 4, и т. д. Обозначим через А событие «откажет хотя бы один элемент». Тогда противоположное событие - «не откажет
ни один элемент» (k = 0).
Воспользуемся формулой нахождения вероятности противоположного
события:
P( A)  1  P( A).
По формуле (3) при k = 0 находим:
(t ) 0 t
P( A)  Pt (0) 
 e  e 0,001  100  e 0,1  0,9048 .
0!
Следовательно, вероятность выхода радиоаппаратуры из строя за 100
часов непрерывной работы равна P (A) = 1-0,9048 = 0,0952.
41
Ответ.
Радиоаппаратура выйдет из строя за 100 часов непрерывной работы с
вероятностью 0,0952.
Пример 24 (формула Пуассона для редких событий). По некоторой цели
делают 50 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,04. Найти примерно вероятность того, что в цель попадет: 1) ни одного снаряда, 2) один снаряд, 3) два снаряда, 4) не менее
двух снарядов.
Решение.
Воспользуемся формулой Пуассона: Pn (k ) 
где
  np  50  0,04  2.
1) k  0 P50 (0) 
2) k  1 P50 (1) 
k
k!
e  ,
2 0 2
 e  0,135;
0!
21 2
 e  0,271;
1!
2 2 2
 e  0,271;
2!
4) k  2 , P50 (k  2)  1  P50 (0)  P50 (1)  1  0,135  0,271  0,594.
Ответ.
Вероятность того, что в цель не попадет ни одного снаряда, равна 0,135;
попадет один снаряд - 0,271; два снаряда - 0,271; не менее двух снарядов 0,594.
3) k  2 P50 (2) 
Задание 8.
Выполнить задание из табл. 3.
Таблица 3
42
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Задание
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.
За месяц среднее число ошибочных соединений, приходящихся на
одного телефонного абонента, равно 5. Какова вероятность того,
что за рассматриваемое время для данного абонента число ошибочных соединений будет больше двух?
Вероятность отказа датчика в течение месяца равна 0,05. Раз в месяц осматривают 100 датчиков. Найти вероятность того, что откажет не более 4 датчиков.
В среднем данный отдел магазина обслуживает трех клиентов за
20 минут? Какова вероятность, что за час обслужат не более 4
клиентов; ровно 9 клиентов?
В камере Вильсона в среднем регистрируется 15 элементарных
частиц в 1 час. Определить вероятность того, что в течение 20
минут будет зарегистрировано: две частицы; более двух.
Радиоаппаратура отказывает в среднем один раз в месяц. Найти
вероятность того, что в течение двух недель радиоаппаратура не
откажет.
Образец радиоактивного вещества в среднем за 10 секунд выпускает четыре заряженные частицы. Определить вероятность того,
что за 1 секунду образец выпустит: хотя бы одну частицу; ровно
одну частицу.
При непрерывной работе ЭВМ происходит в среднем один аварийный останов за 100 часов работы. Какова вероятность, что за
сутки произойдет аварийный останов?
Средний срок службы транзистора – 2 года. Какова вероятность,
что транзистор откажет в течение первого года службы?
В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Найти
вероятность того, что за две минуты: не будет ни одного вызова;
будет не более одного вызова.
В течение часа коммутатор получает в среднем шестьдесят вызовов. Телефонистка отлучилась на две минуты. Определить вероятность того, что за это время: не поступит ни одного вызова, поступит не более двух вызовов?
Кассир сбербанка обслуживает в среднем одного клиента за 15 минут. Какова вероятность, что за час кассир обслужит более трех
человек? Ровно четыре человека?
43
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
При работе ЭВМ в среднем за 5 часов происходит два сбоя в ее
роботе. Определить вероятность того, что программа, занимающая
30 минут машинного времени, пройдет без сбоя.
В среднем на станцию скорой помощи в течение часа поступает 12
вызовов. Найти вероятность того, что за двадцать минут поступит: ровно четыре вызова; не более шести вызовов.
Телефонная станция в среднем обслуживает 100 абонентов в течении часа. Какова вероятность получения в течении часа а) 110 вызовов? б) менее 100 вызовов?
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,003. Найти
вероятность того, что в течении одной минуты произойдет а) ровно 2 обрыва нити; б)менее двух обрывов; в)более двух обрывов; г)
хотя бы один обрыв.
Гирлянда на елке составлена из 100 одинаковых лампочек (соединенных последовательно). Вероятность того, что перегорит любая
из лампочек в течение суток, равна 0,0001. Какова вероятность того, что гирлянда в течение суток погаснет?
Пусть вероятность потерять кредитную карточку банка в течение
недели для произвольного владельца равна 0,001. Всего банк выдал карточки 2000 клиентам. Найти вероятность того, что в предстоящую неделю будет потеряна:
а) хотя бы одна карточка;
б) ровно 1 кредитная карточка.
Найти наивероятнейшее число карточек, теряемых за неделю.
В течение некоторого промежутка времени происходит в среднем
обрыв пряжи на трех из 1000 веретен.
1) Определите вероятность того, что за этот же промежуток времени произойдет 5 обрывов пряжи.
2) Определите наиболее вероятное число обрывов при обслуживании 1500 веретен и вычислите вероятность этого числа.
На станциях отправления поездов находиться 1000 автоматов для
продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в
течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение
часа из строя выйдет два автомата, не менее 2-х автоматов?
На диспетчерский пункт, в среднем, поступает три заказа в минуту
на такси. Определить вероятность того, что за две минуты поступит: а) не более трех вызовов; б) ровно пять.
Среднее число вызовов мобильной телефонной станции 1.7 вызова
за 30 минут. Какова вероятность, что за час поступит ровно два
вызова? Более двух вызовов?
44
23
24
25
Автоматическая телефонная станция получает в среднем 300 вызовов за час. Определить вероятность того, что за минуту она получит: ровно два вызова; более двух вызовов.
По железной дороге мимо наблюдателя движется в одном направлении простейший поток поездов. Известно, что вероятность отсутствия поездов в течение 10 минут равна 0,8. Требуется найти
вероятность того, что за 20 мин мимо наблюдателя пройдет не более трех поездов.
В пункт текущего отделочного ремонта вагонов поступают требования на ремонт. Поток требований можно считать простейшим с
интенсивностью λ = 0,307 (сутки-1). Найти вероятность того, что за
час не поступит ни одного требования (вагона) на ремонт.
Задания к контрольной работе
Выбор варианта
Вариант выбирается по номеру зачетной книжки согласно следующей таблицы:
Предпоследняя
цифра
зачетки
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
последняя цифра зачетки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
11
21
6
16
1
11
21
6
16
2
12
22
7
17
2
12
22
7
17
3
13
23
8
18
3
13
23
8
18
4
14
24
9
19
4
14
24
9
19
5
15
25
10
20
5
15
25
10
20
6
16
1
11
21
6
16
1
11
21
7
17
2
12
22
7
17
2
12
22
8
18
3
13
23
8
18
3
13
23
9
19
4
14
24
9
19
4
14
24
25
10
20
5
15
25
10
20
5
15
45
Приложение 1
Таблица значений функции

1
2
2
e x / 2
Х
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
0.3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
0.0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0071
0058
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0478
0388
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0.0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
46
Приложение2
x
Таблица значений функции
1
 x2 / 2
 x  
e
dx

2 0
х
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Ф(х)
0.000
0.004
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.3569
Х
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
Ф(х)
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
х
0.80
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
Ф(х)
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
х
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
Ф(х)
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
х
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
Ф(х)
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0754
0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
1.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
0.30
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.90
1.91
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
47
2.00
2.02
2.04
2.06
2.08
2.10
2.12
2.14
2.16
2.18
2.20
2.22
2.24
0.4773
0.4783
0.4793
0.4803
0.4812
0.4821
0.4830
0.4838
0.4846
0.4854
0.4861
0.4868
0.4875
2.26
2.28
2.30
2.32
2.34
2.36
2.38
2.40
2.42
2.44
2.46
2.48
2.50
0.4881
0.4887
0.4893
0.4898
0.4904
0.4909
0.4913
0.4918
0.4922
0.4927
0.4931
0.4934
0.4938
2.52
2.54
2.56
2.58
2.60
2.62
2.64
2.66
2.68
2.70
2.72
2.74
2.76
0.4941
0.4945
0.4948
0.4951
0.4953
0.4956
0.4959
0.4961
0.4963
0.4965
0.4967
0.4969
0.4971
2.78
2.80
2.82
2.84
2.86
2.88
2.90
2.92
2.94
2.96
2.98
3.00
3.10
Приложение 3 Таблица значений
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.95
2.87
2.57
2.47
2.37
2.31
2.26
2.23
2.20
2.18
2.16
2.15
2.13
2.12
2.11
2.10

0.99
4.60
4.03
3.71
3.50
3.36
3.25
3.17
3.11
3.06
3.01
2.98
2.95
2.92
2.90
2.88
0.999
8.61
6.86
5.96
5.41
5.04
4.78
4.59
4.44
4.32
4.22
4.14
4.07
4.02
3.97
3.92
n
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
140
0.95
2.093
2.064
2.045
2.032
2.023
2.016
2.009
2.001
1.996
1.991
1.987
1.984
1.980
1.960
0.4973
0.4974
0.4976
0.4977
0.4979
0.4980
0.4981
0.4983
0.4984
0.4985
0.4986
0.4987
0.4990
3.20
3.30
3.40
3.50
3.60
3.70
3.80
3.90
4.00
4.50
5.00
0.4993
0.4995
0.49966
0.49978
0.499841
0.499903
0.499928
0.499943
0.499968
0.499997
0.499997
t  t  , n

0.99
2.861
2.797
2.756
2.720
2.708
2.692
2.679
2.662
2.649
2.640
2.633
2.627
2.617
2.576
0.999
3.883
3.745
3.659
3.600
3.558
3.527
3.502
3.464
3.439
3.418
3.403
3.392
3.374
3.291
Приложение 4 Таблица значений q =q(,n)
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.95
1.37
1.09
0.92
0.80
0.71
0.65
0.59
0.55
0.52
0.48
0.46
0.44
0.42
0.40
0.39

0.99
2.67
2.01
1.62
1.38
1.20
1.08
0.98
0.90
0.83
0.78
0.73
0.70
0.66
0.63
0.60
0.999
5.64
3.88
2.98
2.42
2.06
1.80
1.60
1.45
1.33
1.23
1.15
1.07
1.01
0.96
0.92
n
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
150
200
250
0.95
0.37
0.32
0.28
0.26
0.24
0.22
0.21
0.188
0.174
0.161
0.151
0.143
0.115
0.099
0.089

0.99
0.58
0.49
0.43
0.38
0.35
0.32
0.30
0.269
0.245
0.226
0.211
0.198
0.160
0.136
0.120
0.999
0.88
0.73
0.63
0.56
0.50
0.46
0.43
0.38
0.34
0.31
0.29
0.27
0.211
0.185
0.162
48
Навчальне видання
ЧЕРНОМАЗ Володимир Миколайович,
ВАСИЛЬЄВА Людмила Володимирівна
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Практикум
для студентов направления подготовки
0403 «Системные науки и кибернетика»
(заочная форма обучения)
(Російською мовою)
Редактор
Комп’ютерна верстка
. Формат 60 х 84/16. Ум. друк. арк.
Обл.-вид. арк. . Тираж
пр. Зам. №
.
Видавець і виготівник
Донбаська державна машинобудівна академія
84313, м. Краматорськ, вул. Шкадінова, 72.
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи
ДК №1633 від 24.12.03
49