Краткие теоретические сведения и решение типовых задач по

Краткие теоретические сведения и решение типовых задач по
теме «Алгебра высказываний»
Наука, занимающаяся изучением рассуждений и выявлением закономерностей,
которым они подчинены, называется логикой.
Логика тесно связана с философией и возникла одновременно с ней в первом
тысячелетии до н. э..
Греческие мыслители, наряду с общими методологическими вопросами теории
рассуждений, уделяли много внимания изучению конкретных форм, в которых протекает
рассуждение, что в последствии стало называться формальной логикой. Создателем
формальной логики был Аристотель (384 – 322г. до н. э.).
В дальнейшем формальной логикой занимались многие учёные древности, средних
веков и нового времени, но за две с лишним тысячи лет до XIX века она не вышла
сколько-нибудь существенно за пределы круга идей и методов, очерченного в трудах
Аристотеля.
Новый этап в развитии логики начался, лишь когда некоторые логики и математики
в середине XIX века стали пользоваться символическими обозначениями для простых
логических операций, подобно арифметическим действиям.
Это дало возможность изображать строение сложных суждений с помощью формул,
похожих на выражения элементарной алгебры, и представлять некоторые логические
закономерности в виде математических соотношений. Так возникла «алгебра логики», из
которой и развилась математическая логика – математическая дисциплина, являющаяся
одновременно частью логики, так как пользуется типичными математическими методами.
Поскольку основная идея математической логики это формализация знаний и
рассуждений, а наиболее легко формализуемые знания – математические, то часто
математическую логику, по существу, считают наукой о математике, то есть
метаматематикой.
Познакомимся с принятым в математической логике символическим способом
записи предложений, называемых высказываниями, и ознакомимся с её разделом,
называемым алгеброй высказываний (логикой высказываний).
Высказывание – повествовательное (декларативное) предложение, которое является
истинным (И) или ложным (Л).
 2+2=4 (И)
 Москва – столица Белоруссии (Л)
 Х – целое число (не является высказыванием)
 Можно войти? (не является высказыванием)
В математической логике при изучении высказываний отвлекаются от конкретных
смысловых характеристик высказывания, от его логической и грамматической структуры.
Высказывание характеризуется лишь с точки зрения истины и лжи, и поэтому
высказывания будем обозначать большими латинскими буквами, быть может, с
индексами или штрихами: A, B, C, D', M3…
Ложность или истинность высказывания назовём истинностным значением
высказывания или просто значением, А, B, C,… - пропозициональными переменными, или
просто переменными, принимающими значения И или Л.
Для описания сложных высказываний в логике высказываний вводятся логические
операции или, так называемые, пропозициональные связки:
 - и (конъюнкция, &), АВ
 - или (дизъюнкция), АВ
 - следование (импликация, , если А, то В), АВ
- отрицание (не, ), A
 - эквивалентность (=, ~,), А  В
Предложение, полученное путём увязывания двух или более высказываний
логическими операциями, также принимает истинное или ложное значение, а значит
является высказыванием (сложным).
Запись таких предложений в символическом виде назовём формулой и будем
обозначать большими буквами F, G,…:
F = (АВ) C .
Значение высказываний, полученных из двух простых, соединённых логической
операцией, определяется с помощью таблиц истинности:
А A
А В АВ
А В АВ
А В АВ
А
В А В
И
Л
И
И
И
И
И
И
И
И
И
И
И
И
Л
И
И
Л
Л
И
Л
И
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
Зная приоритет выполнения логических операций и учитывая скобки, можно легко
подсчитать значение любой формулы, то есть построить её таблицу истинности.
Приоритетность:
1) ()
2)
3) 
4) 
5) , 
Таблица истинности формулы ( A  B)  C
А
В
С
(АВ) C
Л
Л
Л
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
И
И
И
И
И
Интерпретацией формулы F(Х1,Х2,…,Хn) назовём кортеж (последовательность)
конкретных значений переменных, входящих в эту формулу.
(АВ) C
А=И; В=И; С=Л – интерпретация.
Формулы F и G назовём равносильными, если при любой интерпретации, в
которую включены все переменные этих формул, значения этих формул совпадают ( F
G).
Формулу назовём выполнимой, если существует интерпретация, при которой она
принимает истинное значение.
Формулу назовём тождественно истинной (тавтологией, общезначимой), если при
любой интерпретации она принимает истинное значение.
Формулу назовём тождественно ложной (невыполнимой, противоречивой), если
при любой интерпретации она принимает ложное значение.
Утверждение: FG, тогда и только тогда, когда
F  G- тавтология.
Приведём важнейшие примеры равносильных формул.
1. X X – закон двойного отрицания (правило снятия двойного отрицания).
2. XYYX – коммутативность ().
3. (XY)ZX(YZ) – ассоциативность ().
4. XYYX – коммутативность ().
5. (XY)ZX(YZ) – ассоциативность ().
6. X(YZ)  (XY)(XZ) дистрибутивный закон конъюнкции относительно
дизъюнкции (ДНФ).
7. X(YZ)(XY)(XZ) дистрибутивный закон дизъюнкции относительно
конъюнкции (КНФ).
8. X(XY) X
9. X(XY) X
10. X  Y  X  Y
11. X  Y  X  Y
XX - закон идемпотентности.
13. X X  И - закон исключенного третьего.
( X  X  И) – закон противоречия.
14. XXX – закон идемпотентности.
15. Х X  Л
16. XИ X
17. XЛ X
18. (XY)  (XY)(YX)
19. XY ( X Y)( Y X), XY X YМесто для формулы.
Равносильные формулы не обязательно должны содержать одни и те же переменные:
ХXYY.
Докажем ещё одну теорему, связанную с понятием логического следствия.
Упражнение:
доказать,
F1,…,FnF1…FnG.
что
G
является
логическим
следствием
Теорема: формула G является логическим следствием формул F1,…,FnF1…Fn
G - тождественно ложна.
I – интерпретация, при которой F1,…Fn – истинно и G – истинно. Тогда G - ложно
и F1…Fn G - ложно. I – интерпретация, на которой F1,…,Fn – ложно, тогда и
F1,…,Fn G - ложно.
I – интерпретация, при которой F1,…,Fn – истинно, тогда не I G должно быть
ложным, так как F1…Fn G - ложно. А значит, G – истинно, то есть G является
логическим следствием F1,…,Fn.
Формальное доказательство:
G – логическое следствие F1,…,FnF1…Fn G  Л
И F1…FnG F1  ...  Fn  G  Л  F1  ...  Fn  G ЛF1…Fn G  Л.
Преимущество формализма преобразований.
Задача. Докажем, что формула  является логическим следствием формул а и а  (по
существу это правило modus ponens («модус поненс»): означает, что если а – истинно, а
 – истинно, то  так же должно быть истинно).
Задачу можно доказывать через интерпретации, но мы выполним доказательство
а(а) β Л
а(а) β а( α ) β ((а α )(а)) β (аᷙ)ᷙ β ẺЛ
Итак, доказательство того, что а является логическим следствием F1, F2, F3,… ,Fn
можно провести следующими способами:
1. Построить и сравнить таблицы истинности для F1F2F3…FnиG .
2.
Построить таблицы
F1F2F3…Fn
истинности
для
F1F2F3…FnG
и
3. Преобразовать вышеуказанную форму к ДНФ или КНФ.
Тождественно истинные формулы занимают особое место. Поэтому для логики
высказываний было бы интересно решить следующую задачу.
Она называется проблемой разрешимости, и заключается в следующем. Требуется
найти единый способ (алгоритм), позволяющий для каждой формулы выяснить, является
ли она тождественно истинной или нет.
Известно, что эта задача имеет два решения.
Решение 1. С помощью таблицы истинности формулы.
Замечание: по таблице истинности можно легко определить, является ли формула
выполнимой, тождественно истинной или ложной.
Решение 2. Путем приведения формул с помощью равносильных переходов
(преобразований) к специальным нормальным формам, по виду которых сразу можно
определить, какой является исходная формула.
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Литерой назовём переменную и отрицание переменной.
Формулу, состоящую только из конъюнкций литер, назовём элементарной
конъюнкцией.
А A  B С
Формулу, состоящую только из дизъюнкций литер, назовём элементарной
дизъюнкцией.
А A  B С
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) назовём формулу, состоящую из
дизъюнкций элементарных конъюнкций.
F1…Fn, n1, k, Fk – элементарная конъюнкция.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) назовём формулу, состоящую из
конъюнкций элементарных дизъюнкций.
F1…Fn, n1, k, Fk – элементарная дизъюнкция.
Теорема. Любую формулу можно привести к ДНФ (КНФ).
Дадим набросок алгоритма, осуществляющего такой перевод.
шаг 1: избавиться от и 
FG (FG)(GF)
FG F G
шаг 2: отнести отрицание к переменным, избавившись от двойного отрицания
F F, F  G  F  G , F  G  F  G
шаг 3: используя дистрибутивность (и другие законы), получить КНФ (ДНФ)
F(GH)  (FG)(FH) – для получения КНФ (дистрибутивнораспределительный закон)
F(HG)  (FG)(FH) – для получения ДНФ.
Пример: привести к ДНФ: (P Q )R.
(P Q )R P  Q R ( P  Q )R ( P Q)R.
Пример: привести к КНФ: (P(QR))S.
(P(QR))S  P  (Q  R ) S ( P ( Q  R ))S  ( P (Q R ))S 
(( P Q)( P  R ))S  ( P QS)( P  R S)
Замечание: понятно, что ДНФ (КНФ) определяются неоднозначно
( P Q)R ( P QR)( P Q R )R
Поэтому, иногда, для получения однозначного ответа используют совершенные
ДНФ и КНФ.
Дизъюнктивная нормальная форма называется совершенной дизъюнктивной
нормальной формой(СДНФ), если элементарные конъюнкции, составляющие эту ДНФ,
содержат все переменные или их отрицание и только один раз.
Конъюнктивная нормальная форма называется совершенной конъюнктивной
нормальной формой (СКНФ), если элементарные дизъюнкции, составляющие КНФ,
содержат все переменные или их отрицание и только один раз.
Замечание. Предполагается, что дублирование самих элементарных конъюнкций или
дизъюнкций так же отсутствует в совершенных формах.
Известно, что любую форму можно привести к совершенному виду.
Пример: привести ДНФ к СДНФ
(P Q )R ( P Q)R ( P Q)(R R )R
( P QR)( P Q R )R(Q Q ) 
( P QR)( P Q R )(RQP)(RQ P )(R Q P)(R Q  P )
СКНФ дает тождественно истинную формулу тогда и только тогда, когда в каждой
элементарной дизъюнкции содержится какая-либо переменная с отрицанием.
СДНФ дает тождественную ложь тогда и только тогда, когда в каждой элементарной
конъюнкции содержится какая-либо переменная с ее отрицанием.
Т. е., получив совершенную формулу можно механической проверкой добиться
необходимого результата.