Медиана и биссектриса треугольника. Многие задачи по

Медиана и биссектриса треугольника.
Многие задачи по планиметрии содержат такие понятия, как
биссектриса и медиана. В этом задании рассмотрим некоторые
теоремы и свойства, связанные с ними.
Для начала вспомним основные определения.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка
пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в
отношении 2 : 1 (считая от вершины).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к
гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы
угла этого треугольника от вершины до точки пересечения с
противоположной стороной.
Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Рассмотрим одно дополнительное построение, которое помогает
при решении многих задач. Пусть дан треугольник АВС и точка М
находится на стороне ВС. Допустим дано, что АС = 20, АМ = 12 и
ВМ : МС = 1 : 4, т.е. условия
соответствуют следующему
рисунку (рис.1).
Построим прямую l ,
проходящую через вершину
В параллельно стороне АС и
продолжим АМ до
пересечения с прямой l в
точке F. Ясно, что
Рис. 1
треугольники АМС и ВМF
1
подобны (коэффициент подобия равен 4). Получаем, что BF = 5,
MF = 3, т.е. появились новые данные, которые помогут решить
задачу.
Обратим внимание на два
частных случая для прямой
l.
Если АМ – медиана (ВМ :
МС = 1 : 1), то BF = AC и
MF = AM(происходит
продолжение медианы на
Рис. 2
свою длину) (рис.2).
Если АМ – биссектриса, то
треугольник АBF –
равнобедренный(по углам).
И «новый» отрезок ВF равен
стороне AВ. Продолжение
биссектрисы – отрезок MF
AB
 AM (рис.3).
равен
Рис. 3
AC
Прямую l будем называть
«суперпрямой».
Задача 1. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы
двух сторон, между которыми она заключена.
Решение. Пусть AB  c (рис.4),
AC  b , BC  a и CM  mc .
Пусть F – точка пересечения
прямой СМ и прямой,
проходящей через А
параллельно прямой ВС.
Ясно, что MAF  MBC (по
c
стороне и двум
2
Рис. 4
прилежащим углам).
Получили, что MF  MC  mc и AF  BC  a .
2
По неравенству треугольника для AFC имеем: a  b  2mc или
ab
mc 
.
2
Теорема 1. (формула длины медианы). Длина медианы mc
треугольника со сторонами a, b, c , проведенной к стороне c ,
вычисляется по формуле: mc 
2a 2  2b 2  c 2
.
2
Доказательство.
Продолжим медиану до
пересечения с прямой,
проходящей через А и
параллельной ВС(рис.5).
Ясно, что BCM  AFM .
Откуда MF  mc и AF  a .
Пусть ACB   . Тогда
CAF  180   .
Рис. 5
Применим теорему
косинусов для треугольников АВС и AFC и получим систему
уравнений:
2
2
2

c  a  b  2ab cos  ,

2
2
2

2mc   a  b  2ab cos180   .
Заметим, что cos180      cos  . Сложим эти уравнения в
системе и получим:
2mc 2  c 2  2a 2  2b2 .
1
2a 2  2b a  c 2 доказана.
Формула mc 
2
Задача 2.Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника
к сумме квадратов всех его сторон.
3
Решение. Пусть a , b , c – стороны треугольника и m a , mb , mc –
соответствующие им медианы. Применим формулу длины медианы
три раза и получим следующую систему:
1

2
2
2
mc  2 2a  2b  c ,

1

2a 2  2c 2  b 2 ,
 mb 
2

1

2
2
2
ma  2 2b  2c  a .
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим. Получим
равенство:
3
ma2  mb2  mc2  a 2  b 2  c 2  .
4
И искомое соотношение 3 : 4 .
Ответ: 3 : 4 .
Теорема 2(Свойство биссектрисы внутреннего угла
треугольника). Биссектриса угла треугольника делит
противоположную сторону на отрезки, пропорциональные
прилежащим сторонам.
Доказательство. Пусть a
и b - стороны
треугольника, f и g отрезки третьей стороны
(соответственно), на
которые её делит
биссектриса l . Тогда надо
a f
Рис. 6
доказать равенство  .
b g
Доказательство теоремы проведем с помощью приведенного
дополнительного построения. Проведем «суперпрямую»,
параллельную АС, и продолжим биссектрису до пересечения в
4
точке F. Ясно, что BF  b (рис.6).Из подобия треугольников АМС и
a f
FМВ (по углам) следует требуемое равенство:  .
b g
Теорема 3. Длина биссектрисы l c треугольника со сторонами
a, b, c , проведенной к стороне c из угла  , вычисляется по

2ab cos
2.
формуле: lc 
ab
Доказательство. Рассмотрим чертеж(рис.7). Запишем сумму
площадей треугольников АВМ и АМС:
bl
 a l

 sin 
 sin
и
2
2
2
2
приравняем эту сумму площади
треугольника АВС.
bl
 a l
 a b
 sin 
 sin 
 sin  .
2
2
2
2
2



l  sin ( a  b)  ab  2 sin  cos .
2
2
2
Рис. 7

2ab cos
2
В итоге получаем, что l 
ab
и теорема доказана.
Задача 3. Доказать, что длина биссектрисы ( l ) треугольника,
заключенная между сторонами 10 и 15, меньше 12.
Решение. Используем формулу
2ab cos

2 . Имеем, что
ab
2  10  15


l
 cos  12  cos
10  15
2
2
( BAC   ). Так как
l
Рис. 8
5
0 0 <  < 1800 , то 0 0 <


< 90 0 и 0  cos  1 . Следовательно,
2
2
l  12 (рис.8).
Замечание. Данное утверждение ( l  12 ) докажем с помощью
дополнительного построения - построение «суперпрямой».
2
Из подобия следует, что продолжение биссектрисы MF  l .
3
Тогда можно записать неравенство треугольника: 10  10  l 
из которого и получаем, что l  12 .
2
l,
3
Задача 4.
В равнобедренном треугольнике АВС ( AB  BC ) биссектрисы AL
и ВН пересекаются в точке F. Известно, что AF : FL  7 : 4 . Найти
отношение BF : FH .
Решение. Пусть BF  x , FH  y и AF  7 f (рис.9). Тогда
FL  4 f .
По свойству биссектрисы в ABL
7f
AB
верно равенство
.

4f
BL
Пусть AB  7a . Тогда BL  4a . По
условию AB  BC , тогда LC  3a .
Применим свойство биссектрисы
для треугольника АВС:
3a AC
21a

и AC 
.
Рис. 9
4a 7a
4
В равнобедренном треугольнике
биссектриса ВН является и медианой, т.е.
AC 21
AH 

a.
2
8
Отрезок AF – биссектриса в треугольнике АВН. Следовательно,
имеем равенство:
x
7a

.
y 21 a
8
6
x 8
 .
y 3
Ответ: 8 : 3 .
В итоге,
Теорема 4. Справедливо следующее равенство: l 2  ab  fg , где a ,
b – стороны треугольника, l – биссектриса угла, образованного
сторонами a и b , f , g – отрезки третьей стороны, на которые ее
делит биссектриса l .
Доказательство. Пусть l – длина
биссектрисы, f , g – длины
отрезков, на которые она делит
сторону(рис.10).
По теореме косинусов:
a 2  l 2  f 2  2  f  l  cos  .
Рис. 10
b 2  l 2  g 2  2  g  l  cos  .
Умножив первое из этих равенств на g , второе на f и сложив,
получим: ga 2  fb2  gl 2  gf 2  fl 2  fg 2 .
ga 2  fb2  (l 2  fg)( f  g ) (1).
a f
По свойству биссектрисы имеем  .
b g
f
g
Следовательно a  b , b  a .
g
f
f 
g 
Тогда ga 2  fb2  ga  b   fb a  (2).
g 
f 
Приравняем правые части уравнений (1) и
(2): (l 2  fg)( f  g )  abf  abg .
l 2  fg  ab .
l 2  ab  fg .
Теорема доказана.
Рассмотрим ещё несколько задач.
7
Рис. 11
Задача 5. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 18 и
катет АС равен 24. Найти длину биссектрисы CL.
Решение. По теореме Пифагора имеем BC 2  18 2  24 2 , т.е.
BC  30 (рис.11).
AL 24
AL 4
4

 или AL  AB .
По свойству биссектрисы
, т.е.
LB 30
LB 5
9
2
2
2
Получили, что AL  8 . Тогда CL  24  8 . В итоге, CL  8 10 .
Замечание.
Получив AL  8 и LB  10 , длину биссектрисы можно найти,
применив теорему 4, т.е. CL2  24  30  8  10 . Итак, CL  8 10 .
Ответ: 8 10 .
Задача 6.
В треугольнике АВС медиана ВМ, высота АH и биссектриса СЕ
пересекаются в одной точке Р. Известно, что AC  6 , BC  8 .
Найти высоту АН.
Решение. Через вершину А проведем параллельную ВС прямую и
продолжим отрезки ВМ
и СЕ до пересечения с
этой прямой в точках F
и L соответственно
(рис.12).
Заметим, что
AF  BC  8 и
LA  AC  6 ( CAL –
равнобедренный).
Рис. 12
Пусть CH  x и
BH  8  x .
Ясно, что CPH ~ LPA и BPH ~ FPA . Из этих подобий имеем
равенство:
x PH 8  x
24


, откуда x 
.
6 PA
8
7
По теореме Пифагора получаем:
8
42 2  24 2 18  66
 24 
AH 2  6 2    

.
49
49
 7 
2
В итоге AH 
Ответ:
6 33
.
7
6
33 .
7
Задача 7. В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в
отношении BD : CD  2 : 1 . В каком отношении медиана СМ делит
эту биссектрису?
Решение. Пусть Р – точка пересечения биссектрисы AD и медианы
СМ. Пусть AM  MC  a (рис.13). Из условия, что BD : DC  2 : 1 ,
следует, что AC  a (по свойству биссектрисы BD).
Продолжим биссектрису AD до
пересечения с прямой,
проходящей через точку С
параллельно АВ. Рассмотрим
ACF . Так как CF || AB и AD
– биссектриса, то ACF равнобедренный треугольник,
и AC  CF  a .
Рис. 13
Пусть AP  x и PD  y . Тогда
x y
из подобия треугольников ADB и FDC получаем, что DF 
.
2
Из равенства APM  CPF следует равенство: AP  PF , т.е.
x y
x y
. В итоге имеем x : y  3 : 1 .
2
Ответ: 3 : 1 .
9