задач

Г.И. Ковалева
Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода
ключевой задачи
Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая
задача системы использует результат решения одной какой-либо
(ключевой) задачи, будем называть методом ключевой задачи.
Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из
них состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую
такая ключевая задача оказывается дополнительной теоремой школьного
курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как
задачи-метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно
отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения
которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне
программных требований по изучаемой теме.
«Ключевая» задача является средством решения других задач,
поэтому ее знание учащимися обязательно. Разворачивающаяся система
задач, с одной стороны, способствует усвоению факта или метода решения,
изложенных в «ключевой» задаче, с другой, позволяет увидеть взаимосвязи
отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная
данным методом система задач является эффективным средством
повторения, обобщения и систематизации учебного материала.
Приведем системы, составленные методом «ключевых» задач,
которые можно использовать для итогового повторения курса
планиметрии.
Свойства медиан треугольника
Ключевые задачи:
1. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в
ней в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих.
3. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих
треугольников.
4. Пусть О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Тогда
SABC  3SAOB  3SAOC  3SBOC .
Задачи системы:
Задача 1. Две стороны треугольника соответственно равны 6 и 8.
Медианы, проведенные к этим сторонам, перпендикулярны. Найдите
площадь треугольника.
Р е ш е н и е. Пусть АВ  6 ,
В
АС  8 . Тогда медианы СС1 и ВВ1
3
С1
перпендикулярны и пересекаются
3
2х
в точке О.
А
у
1
S ABC  3S ВOC .
S ВOC   OB  OC ,
х О
2
4
2у
В1
так
как
треугольник
ВОС
прямоугольный.
4
По
ключевой
задаче:
если
С
ОВ1  х ,
то
если
ОВ  2 х ;
ОС 1  у , то ОС  2 у .
Треугольники ВОС1 и СОВ1 прямоугольные и по теореме Пифагора имеем
2

х
;
2
2

 х  4 у  16;
3


 2
2
4
х

у

9
,

 у  11 .

3
1 4 2 11 4 11
4 11
. Тогда S ABC  3 
 4 11 .
S ВOC  


3
2 3
3
3
О т в е т: 4 11 .
Задача 2. Длина одной из сторон треугольника равна 26, а длины
медиан, проведенных к двум другим сторонам, равны 30 и 39. Найдите
площадь треугольника.
Р е ш е н и е.
В
По ключевой задаче S ABC  3S AOC ,
АО  26 , ОС  20 . Найдем площадь
треугольника АОС по формуле
Герона: S AOC  36  10  10  16  240 .
S ABC  3  240  720 .
С1
А1
О т в е т: 720.
10
13
26
А
О 20
С
26
Задача 3. В треугольника АВС АА1 и СС1 – медианы, причем АА1=5,
САА1 

8
, АСС1 

4
. Найдите площадь треугольника АВС.
Р е ш е н и е. По ключевой задаче
10
S ABC  3S AOC . АО  . Длину стороны
3
ОС найдем по теореме синусов:
В
А1
С1
O
АО
С
А
sin

4

OC
sin

8
, OC 
10

3
sin
sin

8.

4
1
1
 AO  OC  sin AOC , S AOC   AO  OC  sin AOC ,
2
2


sin
sin
1 10 10
1 10 10
8  sin 5 , S
8  cos   25 .
   
  
AOC 


2 3 3
8
2 3 3
8 9
sin
sin
4
4
Тогда S AOC 
S AOC
25
.
3
Задача 4. Медианы треугольника 3, 4 и 5. Найдите площадь
треугольника.
Р е ш е н и е. А1, В1, С1 – середины
В
сторон ВС, АС и АВ соответственно.
Пусть АА1  3 , ВВ1  4 , СС 1  5 . Тогда
10
по ключевой задаче АО  2 , СО  ,
А1
С1
3
O
4
и S ABC  3S AOC . Достроим
В1 О 
3
треугольник АОС до параллелограмма,
В1
С
А
отложив на прямой ВВ1 от точки В1
отрезок B1D, равный В1О.
1
Тогда S AOC  S AOD  S AOCD .
D
2
О т в е т:
10  
8 8

S AOD  4  2   4     4    . Следовательно, S ABC  8 .
3 
3 3

О т в е т: 8.
Задача 5. Длины двух сторон треугольника 27 и 29. Длина медианы,
проведенной к третьей стороне, равна 26. Найдите высоту треугольника,
проведенную к стороне длиной 27.
В
К
27
А1
29
26
26
А
Н
С
27
Р е ш е н и е. Пусть
AB  29 , AC  27 , медиана AA1  26 .
Чтобы найти высоту ВН достаточно
знать площадь треугольника АВС.
Чтобы найти площадь треугольника
АВС достроим его до параллелограмма
АВКС, продлив медиану АА1. Тогда
1
S ABC  S ABK  S ABKC .
2
S ABK  54  27  2  25  270 .
1
1
S ABC   AC  BH , 270   27  BH , BH  20 .
2
2
О т в е т: 20.
Задачи для самостоятельного решения
1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN.
Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN
равна 4.
О т в е т: 8.
2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы,
проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите
площадь треугольника.
О т в е т: 3.
3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно
перпендикулярны. Боковая сторона равна
10 . Найдите площадь
треугольника.
О т в е т: 3.
4. В треугольнике АВС медианы АD и ВE перпендикулярны, АС  3 ,
ВС  4 . Чему равен квадрат третьей стороны?
О т в е т: 5.
5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум
другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.
О т в е т: 288.
6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади
треугольников, на которые разбивается данный треугольник его
медианами.
О т в е т: 14.
7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В
проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС,
если угол ABD – прямой.
О т в е т: 10.
8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и
15 , а медиана третьей стороны равна 2. (Указание – достроить до
параллелограмма).
15
О т в е т:
.
2
Длина медианы
Ключевая задача. Докажите, что если стороны АВ, АС и ВС
треугольника АВС равны соответственно с, b и а, то длина медианы,
проведенной к стороне ВС, может быть вычислена по формуле
m 
1
2в 2  2с 2  а 2
2
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
По теореме косинусов имеем:
В
из треугольника АВМ
а
a2
a
2
2
2
с  ma 
 2  m a   cos AMB ;
М
4
2
c
а
из
треугольника
АВС
ma
2
a2
a
2
2
b  ma 
 2  m a   cos180 0  ABM 
4
2
b
С
А
2
a
a
 2  m a   cos ABM .
или b 2  m a2 
4
2
a2
2
2
2
Сложим эти равенства, получим b  c  2m a 
. Отсюда
2
1
mа 
2в 2  2с 2  а 2 .
2
Задачи системы:
Задача 1. Найдите отношение суммы квадратов всех медиан
треугольника к сумме квадратов всех его сторон.
Р е ш е н и е.
1
1
1

2b 2  2c 2  a 2   2a 2  2c 2  b 2   2a 2  2b 2  c 2 
2
2
2
ma  mb  mc 4
3
4
4


.
a2  b2  c2
a2  b2  c2
4
3
О т в е т: .
4
Задача 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана,
проведенная к катету, равна l. Найдите площадь треугольника.
Р е ш е н и е. Пусть катет прямоугольного равнобедренного
1
2
треугольника равен а. Тогда S ABC  a 2 . Из формулы длины медианы,
4
5
2
5
выразим a 2  l 2 . Тогда S ABC  l 2 .
О т в е т:
2 2
l .
5
Задача 3. В равнобедренном треугольнике к боковой стороне, длиной
4, проведена медиана, длиной 3. Найдите основание треугольника.
Р е ш е н и е. Используя формулу mа 
основания треугольника 3 
1
2в 2  2с 2  а 2 , найдем длину
2
1
2в 2  2  4 2  4 2 .
2
О т в е т: 10 .
Задача 4. Найдите площадь треугольника, если его две стороны равны
1 и 13 , а медиана третьей стороны равна 2.
Р е ш е н и е.
1.
Найдем
АС,
используя
формулу
длины
медианы.
2
 
2
1
2
2  12  2  13   АС  . АС  12 .
2
2. Треугольник АВС – прямоугольный, так как
 13    12   1 .
2
2
2
1
2
Следовательно, S ABC   12  1  3 .
О т в е т: 3 .
Задача 5. Сторона треугольника 14, а медианы, проведенные к двум
другим сторонам, равны 3 7 и 6 7 . Найдите длины неизвестных сторон
треугольника.
Р е ш е н и е. Пусть АС  14 , АВ  с , ВС  а . Тогда длины медиан АА1
и
СС1
можно
найти
по
формулам:
АА1 
1
2с 2  2  142  а 2
2
и
1
2а 2  2  14 2  с 2 . Имеем систему:
2
252  2с 2  392  а 2 ;
а 2  364;


 2
1008  2а 2  392  с 2 ,
с  112.
СС1 
О т в е т: 2 91 ; 4 7 .
Задачи для самостоятельного решения
1. Одна сторона треугольника равна а, другая – b. Найдите третью
сторону, если известно, что она равна медиане, проведенной к ней.
2а 2  b 2 
О т в е т:
.
5
2. Основание равнобедренного треугольника 32 , медиана боковой
стороны 5. Найдите длины боковых сторон.
О т в е т: 6.
3. В равнобедренном треугольнике основание равно 2 21 , а угол при
основании равен 300. Найдите длину медианы, проведенной к боковой
стороне.
О т в е т: 7.
4. Медианы треугольника равны 5, 52 и 73 . Докажите, что
треугольник прямоугольный.
5. Числа m 1 , m 2 и m 3 выражают длины медиан некоторого
треугольника. Докажите, что если выполняется равенство m12  m22  5m32 ,
то треугольник является прямоугольным.
Медиана, проведенная к гипотенузе
Ключевая задача. В прямоугольном треугольнике длина медианы,
проведенной к гипотенузе, равна ее половине.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достроим
С
прямоугольный треугольник АВС
( С  90 0 ) до параллелограмма,
продлив луч СМ и отложив от
точки М отрезок МD, равный СМ.
В
А
Тогда АСВD – прямоугольник.
М
Следовательно, АВ = СD. СМ =
0,5СD = 0,5АВ.
D
Следствия:
1. Центр описанной около прямоугольного треугольника
окружности лежит на середине гипотенузы.
2. Если в треугольнике длина медианы равна половине длины
стороны, к которой она проведена, то этот треугольник –
прямоугольный.
Задачи системы:
Задача 1. Лестница скользит по стенкам угла. Какую траекторию
описывает фонарик, находящийся на средней ступеньке лестницы?
Р е ш е н и е. По ключевой задаче
1
Аналогично,
СМ  АВ .
А
2
1
СМ   АВ  . Так как АВ  АВ  ,
2
то СМ  СМ  .
А
M
Множество точек, отстоящих от
точки
С
на
одинаковом

М
расстоянии, лежат на окружности.
Таким
образом,
фонарик,
находящийся на средней ступеньке
лестницы,
описывает
дугу
С
В
B
окружности.
А
Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно
12. Точка М – середина ВС ВК  АС и ВК=МК. Найдите площадь
треугольника АВС.
1
В
Р е ш е н и е. S ABC  AC  BK ,
2
следовательно,
AC  12 ,
М
необходимо найти длину высоты
ВК.
С
К
По ключевой задаче КМ  ВМ  МС . Тогда треугольник ВМК
равносторонний и МВК  60 0 .
Из прямоугольного треугольника ВСК найдем ВК: ВК  КС  ctg 60 0  2 3 .
1
S ABC   12  2 3  12 3 .
2
О т в е т: 12 3 .
Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС ( С  900 ) СМ –
медиана. В треугольник ВМС вписана окружность, которая точкой касания
делит отрезок ВМ пополам. Найдите острые углы треугольника АВС.
Р е ш е н и е. По ключевой задаче
А
СМ  АМ  ВМ .
По условию задачи МК  ВК . МК  ML и
как
отрезки
касательных,
KB  PB
проведенных из одной точки к окружности.
Следовательно, МК  ML  CL  BK  PB .
М
Так
как
то
СL  CP ,
AB  2BC .
0
Следовательно, A  30 , B  60 0 .
L
К
О т в е т: 300; 600.
С
В
P
Задача 4. В трапеции АВСD АВ=2СD=2АD, АС=а, ВС=b. Найдите
основания АВ и СD.
Р е ш е н и е. АDCK – ромб, так как
D
С
АD=DC=АK.
Следовательно,
1
AD  CK  AB .
a
b
2
По следствию из ключевой задачи
треугольник АСВ – прямоугольный.
В
А
К
1
АВ  a 2  b 2 , CD 
a2  b2 .
2
1
О т в е т: a 2  b 2 ;
a2  b2 .
2
Задача 5. В трапеции углы при одном из оснований равны 30 0 и 600,
длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите
длины оснований трапеции и ее площадь, если длина средней линии равна
5.
Р е ш е н и е. Пусть BAD  60 0 ,
K
тогда
продолжения
CDA  30 0 ,
боковых сторон пересекаются под
В
M
С
х
х
прямым углом.
3
3
По ключевой задаче КМ  ВМ  МС
и КN  AN  ND .
D Пусть КМ  х , тогда КN  х  3 .
х+3
А H х+3 N
По свойству средней линии трапеции: 2 х  3  5 , х  1. Следовательно,
ВС  2 , AD  8 .
AD  BC
3 3
15 3
. S тр 
.
S тр 
 BH , S тр  5  BH , BH  3  sin BAD 
2
2
2
15 3
О т в е т: 2; 8;
.
2
Задача 6. В правильной треугольной пирамиде отрезок,
соединяющий центр основания с серединой бокового ребра, равен стороне
основания. Найдите угол между смежными боковыми гранями.
Р е ш е н и е. Пусть АВ  а , тогда по
F
условию задачи ОК  а . По ключевой
1
задаче OK  FC , следовательно
M
2
K
FC  2a .
Далее
из
равнобедренного
треугольника BFC найдем высоту ВМ:
15
С
А
ВМ 
а.
4
O
В
Из равнобедренного треугольника АМВ найдем косинус угла АМВ:
7
cos AMB  . Следовательно, угол между смежными боковыми гранями
15
7
равен arccos .
15
7
О т в е т: arccos .
15
Задачи для самостоятельного решения
1. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника,
равна 3 см и делит прямой угол в отношении 2:1. Найдите меньший катет.
О т в е т: 3.
2. АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС. АА1  СС 1 . Найдите
ВВ1
.
АС
О т в е т: 1,5.
3. Медианы треугольника АВС АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке
О. АА1  СС 1 . АА1  9 см. СС 1  12 см. Найдите ВО.
О т в е т: 10.
4. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше
проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.
О т в е т: 150; 750.
5. В трапеции ABCD углы при основании AD равны 200 и 700, длина
отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину
отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
О т в е т: 3.
Свойство биссектрисы
Ключевая задача. Биссектриса треугольника делит противоположную
сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем CF,
F
параллельно биссектрисе BD. Тогда по
теореме о пропорциональных отрезках
B
AD AB
.

DC BF
Треугольник BCF – равнобедренный.
А
D
C
Так как углы BFC и ABD равны как соответственные при
параллельных прямых BD и CF и секущей AF, углы BCF и CBD равны
как накрест лежащие при параллельных прямых BD и CF и секущей ВС,
ABD  CBD по свойству биссектрисы.
AD AB

Следовательно, BF=BC. Тогда
.
DC BС
Следствие:
Если BD – биссектриса внешнего
В
угла
треугольника
АВС,
то
AD AB

.
DC BС
F
Доказательство аналогичное.
А
С
D
Задачи системы:
Задача 1. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит
гипотенузу на отрезки 3 и 4. Найдите площадь треугольника.
Р е ш е н и е. Пусть АС  b , BC  a .
B
Тогда по свойству биссектрисы
a 4
 , а по теореме Пифагора
4
b 3
Решая
систему
a 2  b 2  49 .
28
21
a
получим:
,
. Вычисляя
a

b

D
5
5
площадь треугольника по формуле
3
1
S   a  b , получим S  11,76 .
2
О т в е т: 11,76.
b
A
С
Задача 2. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого
угла. Отрезок, соединяющий ее с основание с точкой пересечения медиан,
перпендикулярен катету. Найдите острые углы треугольника.
Р е ш е н и е. Пусть AD –
A
биссектриса
прямоугольного
треугольника АВС.
Точка О – точка пересечения
медиан. Тогда по условию задачи
M
OD  BC .
O
BO 2
По свойству медиан
 .
OM 1
BO BD 2
B
С
D
По теореме Фалеса

 .
OM DC 1
BD AB
AB 2
Так как AD – биссектриса, то
. Следовательно,

 .
DC AC
AC 1
Так как гипотенуза АВ в два раза больше катета АС, то В  30 0 .
Следовательно, А  60 0 .
О т в е т: 300; 600.
Задача 3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана
окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в точке К, причем
СК  6 , ВК  12 . Найдите периметр треугольника АВС.
Р е ш е н и е. Так как О – центр
вписанной окружности, то АК –
биссектриса треугольника АВС.
ВК АВ
12 18
Тогда
. Имеем
,


КС АС
6 АС
АС  9 .
Р  45 .
В
12
18
К
О
6
А
О т в е т: 45.
С
Задача 4. В окружность радиуса 4 3 см вписан треугольник АВС, в
котором А  60 0 , а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В
треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка СМ.
Р е ш е н и е. АМ – биссектриса
треугольника
АВС.
Тогда
С
СМ АС 1
х

 .
МВ АВ 2
М
Чтобы воспользоваться свойством
биссектрисы, необходимо найти
12-х
длину стороны ВС. По теореме
ВС
 2R .
синусов
Отсюда
sin A
В
А
3
ВС  2  4 3 
 12 .
2
х
1
Пусть СМ  х , тогда ВМ  12  х . Имеем
 , откуда х  4 .
12  х 2
О т в е т: 4.
Задача 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВЕ, которую центр
О вписанной окружности делит в отношении ВО : ОЕ  2 . Найдите АВ,
если АС  7 , ВС  8 .
Р е ш е н и е. Так как О – центр
C
вписанной окружности, то АМ и CD
– биссектрисы.
По
свойству
биссектрисы
4
8
Е
ВО ВС 2

 ,
треугольника ВСЕ
M
О k
3
ОЕ СЕ 1
8
2
2k
 , СЕ  4 .
СЕ 1
D
В
A
Следовательно, АЕ  3 .
По свойству биссектрисы треугольника АВЕ
АВ  6 .
ВО АВ 2

 ,
ОЕ АЕ 1
АВ 2
 ,
3
1
О т в е т: 6.
Задача 6. Найдите стороны треугольника, если медиана и высота,
проведенные из одного угла, делят его на три равные части, а длина
медианы равна 10.
Р е ш е н и е. Пусть СN – медиана, а
С
СК – высота.
Так как СК – высота и биссектриса,
то
треугольник
CNB
равнобедренный,
следовательно,
ВС  CN  10 и NK  BK .
следовательно,
AN  NB ,
AN : NK  2 : 1.
2x
B
N x K x
A
CN – биссектриса в треугольнике АСК, следовательно, AC : CK  2 : 1.
Треугольник ACK – прямоугольный, поэтому A  30 , ACK  60 ,
ACB  90 , AB  20 , AC  400  100  10 3 .
О т в е т: 10 3 .
Задача 7. Биссектриса BD внутреннего угла треугольника АВС равна 6, а
биссектриса ВF смежного с ним угла равна 8. Найдите площадь
АВ 3
 .
треугольника АВС, если
ВС 2
Р е ш е н и е. Биссектрисы смежных
F
углов
перпендикулярны,
поэтому
BF  BD .
10
FD  10 по теореме Пифагора.
По
свойству
биссектрисы
АВ AD AF 3
M


 .
8
C
ВС DC FC 2
D
2
AD  x ,
Пусть
тогда
DC  x ,
6
3
В
A
2
AF  10  x , FC  10  x .
3
10  x
3
 , x  2,5 .
Имеем
2
2
10  x
3
2
5
5 5 25
AC  x  x  x    .
3
3
3 2 6
Чтобы найти площадь треугольника АВС необходимо знать длину высоты
ВМ, проведенной к стороне АС. Из треугольника BDF найдем
sin BDF  0,8 . Тогда BM  BD  sin BDF , BM  6  0,8  4,8 .
1 26 24
1

 10 .
S ABC   AC  BM , S ABC  
2 6 5
2
О т в е т: 10.
Задачи для самостоятельного решения
1. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит
противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Найдите площадь
треугольника.
О т в е т: 54.
0
2. В треугольнике ВСЕ С  60 , СЕ : ВС  3 : 1. Отрезок СК – биссектриса
треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника
окружности равен 8 3 .
О т в е т: 18.
3. Дан треугольник АВС. Его высота BD равна 30. Из основания Е
биссектрисы АЕ опущен перпендикуляр EF на сторону АС. Найдите длину
этого перпендикуляра, если АВ : АС  7 : 8 .
О т в е т:16.
4. В треугольнике АВС из вершины В проведена высота BD и биссектриса
BL. Найдите площадь треугольника BLD, если известны длины сторон
треугольника АВС: АВ  6,5 см; ВС  7,5 см; АС  7 см.
О т в е т: 2,25.
5. В треугольнике АВС биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке
D. Найдите площадь треугольника ADC, если АС  5 , АВ  6 , ВС  7 .
5 6
О т в е т:
.
2
6. В треугольнике АВС АВ  2 , АС  3 , ВС  4 . Найдите отношение, в
котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.
О т в е т: 1:2.
7. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12.
Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис
углов при основании с боковыми сторонами треугольника.
О т в е т: 4,8.
Длина биссектрисы
Ключевая задача. Докажите, что если две стороны треугольника
равны a и b, угол между ними равен  , то длина биссектрисы, проведенной
к третьей стороне, может быть вычислена по формуле: l 
2ab  cos

2.
ab
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть СС1 – биссектриса С треугольника
АВС .
С
Тогда
или
S ABC  S ACC1  S BCC1
1
1
 1

ab sin   bl sin  al sin .
2
2
2 2
2
После
несложных преобразований получим
А
В
С1
l
2ab  cos
ab

2.
Задачи системы:
Задача 1. В треугольнике АВС выполняется соотношение
Найдите градусную меру угла А.
Р е ш е н и е. По ключевой задаче l A 
2bc  cos

2,а 1 
lA
bc
Так как в треугольнике АВС выполняется соотношение
bc

bc
bc
2bc  cos

. Откуда cos
1 1 1
  .
b c lA
bc
2bc  cos

.
2
1 1 1
  , то
b c lA
1

 . Следовательно,  60 0 , а   120 0 .
2 2
2

2
О т в е т: 1200.
Задача 2. Найдите площадь треугольника, если две его стороны
равны 35 и 14, а биссектриса угла между ними равна 12.
Р е ш е н и е. Пусть ВВ1 –
В
биссектриса угла АВС. Тогда
ВВ1  12 , АВ  35 и ВС  14 .
35
14
По
ключевой
задаче
12
2  АВ  ВС  cos ABB1
.
ВВ1 
AB

BC
С
А
В1
3
Отсюда cos ABB1  .
5
Используя формулу понижения степени 2 sin 2   1  cos
угла АВС: sin ABC 
S ABC 

2
, найдем синус
5
.
5
1
5
1
 49 5 .
 AB  BC  sin ABC , S ABC   35  14 
2
5
2
О т в е т: 49 5 .
Задача 3. Плоскость отсекает от боковых ребер SA, SB, SC
правильной четырехугольной пирамиды SABCD отрезки SК, SL, SM,
2
3
1
2
1
3
причем SK  SA , SL  SB , SM  SC . Длина бокового ребра равна а.
Найдите длину отрезка SN, отсекаемого этой плоскостью на ребре SD.
Р е ш е н и е. SQ – биссектриса
S
углов KSM и LSN.
Пусть KSM  LSN  2 . Тогда
M
по ключевой задаче:
L
Из
треугольника
KSM
2  SK  SM  cos
Q N
,
SQ 
SK  SM
2 1
2  a  a  cos
4
K
В
SQ  3 3
 a cos ;
С
2
1
9
a a
O
3
3
D
А
из треугольника LSN
SN 
1
2  a  SN  cos
. Приравнивая, получим
SQ  2
1
a  SN
2
2
a.
5
О т в е т:
2
a.
5
Задачи для самостоятельного решения
1. Дан треугольник со сторонами 4, 8 и 9. Найдите длину биссектрисы,
проведенной к большей стороне.
О т в е т: 14 .
2. Стороны равнобедренного треугольника 10 и 2,5. Найдите длину
биссектрисы, проведенной к боковой стороне треугольника.
О т в е т: 3.
3. В треугольнике АВС АВ  6 , АС  12 , длина биссектрисы угла А равна
4. Найдите длину стороны ВС.
О т в е т: 6 7 .
0
4. Дан треугольник АВС, в котором В  30 , АВ  4 , ВС  6 . Биссектриса
угла В пересекает сторону АС в точке D. Найдите площадь треугольника
ABD.
О т в е т: 2,4.
Треугольник, образованный основаниями высот
данного остроугольного треугольника
Ключевая задача. АА1, ВВ1, СС1 – высоты остроугольного
треугольника АВС. Докажите, что а) треугольники АА1С и ВВ1С подобны;
б) треугольники АВС и А1В1С подобны и k  cosC .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники
В
АА1С и ВВ1С подобны по двум углам.
АС А1С
Из этого следует, что
или

А1
ВС
В
С
1
С1
АС ВС
. Треугольники АВС и А1В1С

А1С В1С
АС ВС
подобны, так как
и С –

А
С
В
С
1
1
А
С
В1
А1С
общий и
 cosC .
АС
Задачи системы:
Задача 1. АА1, ВВ1, СС1 – высоты остроугольного треугольника АВС.
Докажите, что АА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы углов треугольника А1В1С1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники АВС и А1В1С подобны,
следовательно, ВАС  В1 А1С   .
Треугольники
АВС
и
А1ВС1
подобны,
следовательно,
ВАС  ВА1С1   .
С1 А1 А  В1 А1 А  900   . Следовательно, АА1 – биссектриса
В1 А1С1 .
Задача 2. АА1, ВВ1, СС1 – высоты остроугольного треугольника АВС.
Докажите, что S A1B1C1  2S ABC  cos  cos   cos .
1
 А1С1  А1 В1  sin A1 .
2
А1С1  АС  cos  , А1 B1  АB  cos  , A1  180 0  2 .
1
S A1B1C1   АВ  AC  cos   cos  sin 2
Имеем
или
2
1
1
S A1B1C1  2   АВ  AC  sin   cos  cos   cos .
S ABC   АВ  AC  sin  .
2
2
Откуда S A B C  2S ABC  cos  cos   cos .
Д о к а з а т е л ь с т в о. S A1B1C1 
1 1 1
Задача 3. АА1, ВВ1, СС1 – высоты остроугольного треугольника АВС.
Докажите, что отношение периметров треугольников А1В1С1 и АВС равно
r
, где r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной
R
окружностей около треугольника АВС.
Р е ш е н и е. Так как А1 B1  АB  cos  ,
B1 С1  BС  cos  и А1С1  АС  cos  , то
PA1B1C1  AB  cos   BC  cos  AC  cos  .
В
С1 

 
А1

1
PABC  r . С другой стороны
2

S ABC  S AOB  S BOC  S AOC , где О – центр
 
описанной около треугольника АВС А
В1
окружности.
Найдем площади треугольников АОВ, ВОС и АОС.
S ABC 

С
В
90 0  
1
1
R  AB  sin ABO  R  AB  cos  .
2
2
1
Анологично,
S BOC  R  BC  cos ,
2
1
S AOC  R  AC  cos  .
2
S AOB 
R
2
О
А

С
1
1
R   AB  cos   BC  cos  AC  cos    R  PA1B1C1 .
2
2
PA1B1C1 r
Приравнивая площади, получим
 .
PABC
R
Задача 4. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного
треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите стороны треугольника.
Р е ш е н и е. Так как 172  152  82 ,
В
то
треугольник
А1В1С1
–
прямоугольный.
Следовательно,
А1
0
0
С1
2  90 ,   45 .
АВ
АВ  1 1 , AB  17 2 .
cos 
15
15
cos180 0  2   , cos2  .
А
С
В1
17
17
1  cos 2
Используя формулу понижения степени cos2  
, найдем
2
4
AC
cos  
. AC  1 1 , AC  2 17 .
17
cos 
8
Рассуждая аналогично, можно найти сторону ВС. cos180 0  2  
17
8
BC
5
cos2  , cos  
, BC  1 1  3 34 .
34
17
cos
О т в е т: 17 2 ; 2 17 ; 3 34 .
S ABC 
Задачи для самостоятельного решения
1. Высота АН и СК остроугольного треугольника АВС пересекаются в
точке D, причем АК  13 , КВ  12 , АН  20 . Найдите сторону ВС.
О т в е т: 20.
2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1, ВВ1, и СС1.
Докажите, что АСС 1  АА1 В1 .
3. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12, а боковой
стороны – 18. К боковым сторонам треугольника проведены высоты.
Найдите длину отрезка с концами в основаниях высот.
28
О т в е т:
.
3
4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СС1 и АА1.
Известно, что АС  1 и С1 СА1   . Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника С1ВА1.
1
О т в е т: tg .
2
5. В остроугольном треугольнике АВС ВАС   . На стороне ВС как на
диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и ВС
соответственно в точках P и Q. Найдите отношение площадей
треугольников ABC и APQ.
1
О т в е т:
.
cos2 
Четырехугольник, вершины которого
являются серединами сторон данного четырехугольника
Ключевая
задача.
Середины
сторон
произвольного
четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ABCD –
B
выпуклый четырехугольник.
N
M
M, N, P, K – середины сторон АВ, ВС, CD
А
C
и АD соответственно.
Отрезок MN параллелен диагонали АС и
K
P
равен ее половине по свойству средней
D
линии.
Аналогично, отрезок PK параллелен АС и равен ее половине.
Следовательно, отрезки MN и PK равны и параллельны. По признаку
MNPK – параллелограмм.
Для невыпуклого и пространственного четырехугольников
доказательство аналогичное.
D
B
M
К
N
D
A
K
P
А
P
C
C
M
N
B
Следствия:
1. Если ABCD – выпуклый четырехугольник и M, N, P, K – середины его
1
сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно, то S MNPK  S ABCD .
2
Д о к а з а т е л ь с т в о. Треугольники MBN и АВС подобны,
1
1
следовательно,
Аналогично,
S MBN  S ABC .
S KDP  S ADC .
4
4
1
1
S MBN  S KDP  S ABC  S ADC   S ABCD .
4
4
1
1
1
Аналогично, S AMK  S ABD , S NCP  S BCD , S AMK  S NCP  S ABCD .
4
4
4
1
Имеем, S MNPK  S ABCD  S MNB  S KDP  S AMK  S NCP   S ABCD .
2
2. Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
3. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.
4. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Осмыслению ключевой задачи будут способствовать вопросы: Каким
условиям должны удовлетворять диагонали данного четырехугольника,
чтобы середины его сторон были вершинами прямоугольника, ромба,
квадрата? Докажите, что середины сторон трапеции со взаимно
перпендикулярными диагоналями являются вершинами прямоугольника.
Составьте обратную задачу. Верна ли она?
Задачи системы:
Задача 1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от
вершины.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть медианы
АА1 и СС1 пересекаются в точке О.
Отметим точки К и Р – середины отрезков
АО и СО. Тогда точки К, Р, С1 и А1
C1
A1
середины
сторон
невыпуклого
четырехугольника
O
АВСО. Следовательно, по ключевой
P
К
задаче КРС1А1 – параллелограмм. Его
A
C
диагонали точкой пересечения делятся
пополам. Тогда АО : ОА1  СО : ОС1  2 : 1 .
Рассуждая аналогично, докажем, что медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в
точке Q и AQ : QA1  BQ : QB 1  2 : 1 . Так как отрезок АА1 делится в
отношении 2:1, считая от точки А, однозначно, то точки О и Q совпадают.
Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
B
Задача 2. Докажите, что отрезки, соединяющие середины сторон
скрещивающихся ребер тетраэдра пересекаются в одной точке.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По
D
ключевой задаче MKPN и MLPR
–
параллелограммы.
Их
диагонали пересекаются в одной
P
К L
точке и делятся ею пополам.
О
А
C
R
M
N
B
Задача 3. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, длина одной из
них равна 6. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 5.
Найдите площадь трапеции.
Р е ш е н и е. Пусть M и P –
середины
боковых
сторон
В
N
С
трапеции. Тогда по ключевой
задаче MNPK – прямоугольник. Так
М
как АС  6 , то MN  3 . По теореме
P
Пифагора
из
прямоугольного
треугольника MNK MK  4 . Тогда
А
D
K
S MNPK  12 , а S ABCD  24 .
О т в е т: 24.
Задача 4. В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 и 4. Найдите
площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих
середины противоположных сторон равны.
Р е ш е н и е. По ключевой задаче
MNPK – параллелограмм. Так как
его диагонали равны, то MNPK –
N
прямоугольник. Диагонали данного
B
выпуклого
четырехугольника
параллельны
сторонам
P
прямоугольника и, следовательно,
M
перпендикулярны. Найдем площадь
выпуклого четырехугольника как
половину произведения диагоналей
на синус угла между ними. S ABCD  4 .
D
А
K
О т в е т: 4.
Задача 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD длина отрезка,
соединяющего середины сторон AB и CD, равна одному метру. Прямые BC
и АD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины
диагоналей AC и ВD.
Р е ш е н и е. Обозначим через M, N,
A
P, K – середины сторон АВ, ВD, CD
и
АС
соответственно.
Тогда
MK║NP║BC как средние линии
треугольников
BAC
и
BDC.
Аналогично, MN║KP║AD. Так как
M
K
прямые BC и АD перпендикулярны,
D
то параллельные им прямые МК и
MN
также
перпендикулярны.
P
N
Следовательно,
параллелограмм
MNPK является прямоугольником и
B
C
KN  MP  1 .
О т в е т: 1.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки,
соединяющие середины его смежных сторон, равны 2 и 3, а угол
между ними 300.
О т в е т: 6.
2. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки,
соединяющие середины его противоположных сторон, равны 3 и 4, а
длина одной из диагоналей четырехугольника равна 5.
О т в е т: 12.
3. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что отрезки,
соединяющие середины его смежных сторон, равны 3 и 4, а длина
одного из отрезков, соединяющих середины противоположных
сторон, равна 5.
О т в е т: 24.
C
4. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5см, а
диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
О т в е т: 25.
5. В выпуклом пятиугольнике ABCDE с единичными сторонами
середины P, Q сторон AB, CD и S, T сторон BC, DE соединены
отрезками PQ и ST. Пусть M и N – середины отрезков PQ и ST.
Найдите длину MN.
О т в е т: 0,25.