Тема занятия: «Игра. Поиск выигрышной стратегии».

Элективный курс «Подготовка к ЕГЭ»
Тема занятия:
«Игра. Поиск выигрышной стратегии».
11 класс
Автор Леко Н.Е.
Данное занятие (2 часа) является первым в блоке занятий по теории игр. В ходе
данного урока учащиеся знакомятся с понятиями теории игр, с примерами задач,
которые предлагаются в ЕГЭ, и с несколькими способами их решений.
ЦЕЛЬ:
познакомить учащихся с теорией игр и способами решения задач поиска
выигрышной стратегии.
ЗАДАЧИ:
- определить понятия: игра, игрок, ход, стратегия, выигрышная стратегия;
- учиться строить модели (графические, табличные);
- учиться строить гипотезы и подтверждать или опровергать их;
- учиться продумывать действия на несколько шагов вперед;
- учиться делать выводы;
- развивать речь, логическое и алгоритмическое мышление;
- воспитывать аккуратность, скрупулезность, выдержку и терпение в
достижении поставленной цели.
ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ:
компьютер, мультимедиапроектор, презентация «Игра. Поиск выигрышной
стратегии».
1. Организационный этап.
2. Мотивация учащихся.
Анализ заданий 3-й части ЕГЭ дает возможность сделать вывод о том, что в
блоке С обязательно присутствует задача поиска стратегии в игре с камешками,
фишками, спичками и т.п. Поэтому необходимо подготовиться к решению таких
задач.
Но для того, чтобы разобраться с алгоритмом их решения, нужно
познакомиться с некоторыми понятиями теории игр. Вот с них мы и начнем.
Давайте обсудим несколько известных вам игр: игра в шахматы, игра в
лото, игра в домино, игра в кости. Какие еще примеры игр вы можете привести?
Что вы можете о них сказать: что между ними общего, чем они отличаются?
(Здесь надо говорить о количестве игроков, о случайности или обдуманности
ходов, о цели игры, о правилах и т.д.).
ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС: Можно ли рассчитать свою победу, т.е можно ли
разработать такую стратегию, которая обязательно приведет к выигрышу?
1
3. Изучение нового материала.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИГР (слайд 2).
Ситуации, в которых две стороны преследуют различные цели, а результаты
любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера,
называются конфликтными: результат каждого хода игрока зависит от
ответного хода противника, цель игры — выигрыш одного из партнеров.
Математическая теория конфликтных ситуаций носит название теории игр.
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны,
участвующие в конфликте, — игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для
каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий,
определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объем информации каждого
игрока о поведении партнеров; З) выигрыш, к которому приводит каждая
совокупность действий.
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий
называется ходом игрока. Стратегией игрока называется совокупность правил,
определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от
сложившейся ситуации.
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для
каждого игрока выбрать стратегию, которая является оптимальной. Целью
теории игр является определение оптимальной стратегии каждого игрока.
Рассмотрим конкретную игру (слайд 3)
ЗАДАЧА 1.
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит
фишка. В начале игры фишка находится в точке с координатами (–2,–1).
Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку
из точки с координатами (x,y) в одну из трех точек: (x+3,y), (x,y+4),
(x+2,y+2). Игра заканчивается, как только расстояние от фишки до начала
координат превысит число 9. Выигрывает игрок, который сделал последний
ход. Кто выигрывает при безошибочной игре – игрок, делающий первый ход,
или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход
выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
I способ решения – графический.
Рассмотрим фиксированный 1-й ход 1-го игрока и все возможные ходы 2-го
игрока (слайды 4-8).
4. Первичная проверка понимания учащимися нового материала.
Задание: рассмотреть другие возможные 1-е ходы 1-го игрока (по вариантам).
Сделать выводы.
II способ решения – табличный.
2
Здесь рассматриваем все возможные ходы обоих игроков на каждом шаге
(слайды 9-14).
Все вместе анализируем первый ход (-2,-1)  (1,-1).
Задание: рассмотреть по вариантам ходы (-2,-1)  (-2, 3) и (-2,-1)  (0, 1).
Сделать выводы.
ЗАДАЧА 2.
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в
первой из которых 1, а во второй – 2 камня. У каждого игрока неограниченно
много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или
увеличивает в 3 раза число камней в какой-то куче, или добавляет 2 камня в
какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней
в двух кучах становится не менее 17 камней. Кто выигрывает при
безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок,
делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего
игрока? Ответ обоснуйте.
Решение на графах (слайды 16-21)и таблица(слайд 22)с подведением итогов
(слайд 23).
5. Закрепление новых знаний.
Задание 1. Для начала можно для самостоятельного решения дать простую
задачу. В кучке лежит 5 спичек. Два игрока убирают спички по очереди, причем
за 1 ход можно убрать 1 или 2 спички. Выигрывает тот, кто оставит в кучке 1
спичку. Решение оформить в виде графа, в котором, например, 1-й ход может
быть таким:
5
4
3
Граф можно построить в приложении MsWord.
Для выполнения заданий 2 и 3 можно разделить присутствующих учащихся на
2-4 группы и дать задание каждой группе решить задачи либо табличным
способом, либо графическим.
Задание 2. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки
камней, в первой из которых 3, а во второй – 4 камня. У каждого игрока
неограниченно много камней. Ходят игроки по очереди. Делая очередной ход,
игрок или увеличивает в какой-то кучке число камней в 2 раза, или добавляет в
какую-то кучку 3 камня. Выигрывает тот игрок, после хода которого общее
число камней в двух кучках становится не менее 23. Кто выиграет – игрок,
делающий ход первым, или игрок, делающий второй ход?
3
Задание 3. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в
точке с координатами (0;1) стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход состоит
в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из
трех точек: (x+3;y), (x,y+3) или (x,y+4). Выигрывает тот игрок, после хода
которого расстояние по прямой от фишки до начала координат (0,0) больше 10
единиц. Кто выигрывает – игрок, делающий ход первым, или игрок, делающий
ход вторым?
6. Подведение итогов урока.
7. Информация о домашнем задании, инструкция по его выполнению.
№1. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки фишек,
в первой из которых 3, а во второй – 5 фишек. У каждого игрока неограниченно
много фишек. Ходят игроки по очереди. Делая очередной ход, игрок или
увеличивает в какой-то кучке число фишек в 2 раза, или добавляет в какую-то
кучку 2 фишки. Выигрывает тот игрок, после хода которого общее число фишек
в двух кучках становится не менее 21. Кто выиграет – игрок, делающий ход
первым, или игрок, делающий второй ход?
№2. Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости в точке
с координатами (-3;2) стоит фишка. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в
том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (x,y) в одну из трех
точек: (x+5;y), (x,y+4) или (x+3,y+3). Выигрывает тот игрок, после хода которого
расстояние по прямой от фишки до начала координат (0,0) больше 12 единиц.
Кто выигрывает – игрок, делающий ход первым, или игрок, делающий ход
вторым?
Источники информации
1. http://www.gotovkege.ru/normativinformatika.html
2. http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm
3. http://inf.1september.ru/2007/14/01.htm
4