РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра «Математического моделирования»
МАЧУЛИС В.В.
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010100.62 «Математика»,
профиль подготовки «Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Мачулис В.В. Компьютерное моделирование динамических систем. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010100.62 «Математика», профиль подготовки «Дифференциальные уравнения, динамические системы,
оптимальное управление», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 16 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учётом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Компьютерное моделирование
динамических систем [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3.utmn.ru.,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© В.В. Мачулис, 2011.
3
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины:
Целью преподавания дисциплины является:
1) знакомство с методами качественной теории дифференциальных уравнений, или
теории динамических систем;
2) реализация указанных методов на примерах задач из различных областей прикладной математики с помощью системы Matlab.
Под динамической системой понимается любой объект, или процесс, для которых
n
определено понятие состояния (задаваемое обычно числовым вектором в R ) и изменение которых определяется этим начальным состоянием. Определение допускает моделирование динамическими системами явлений и процессов в механике, физике, химии, теории вычислительных процессов, процессах переработки информации, совершаемых согласно некоторым алгоритмам. Выросшая в основном из задач, пришедших из приложений, теория динамических систем превратилась в настоящее время в самостоятельную
дисциплину со своими задачами и методами. Основные задачи теории динамических систем:
1) каково асимптотическое поведение систем на бесконечном интервале времени;
2) какова зависимость асимптотического поведения от начальных данных;
3) какова зависимость асимптотического поведения от возмущений.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Компьютерное моделирование динамических систем» входит в цикл
профессиональных дисциплин в вариативной части.
Для её успешного изучения необходимы знания и умения, приобретённые в результате освоения предшествующих дисциплин: математический анализ, дифференциальные уравнения, алгебра.
Освоение дисциплины «Компьютерное моделирование динамических систем»
необходимо в последующем изучении дисциплины «Дискретная динамика», при написании выпускной квалификационной работы, а также при изучении дисциплин магистратуры, связанных с моделированием различных процессов в природе и обществе. Этот раздел
науки является необходимым для обучения в аспирантуре по специальности «математическое моделирование».
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
способностью применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-6);
исследовательскими навыками (ОК-7);
способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);
4
умением определять общие формы, закономерности, инструментальные средства
отдельной предметной области (ПК1);
умением понять поставленную задачу (ПК-2);
умением формулировать результат (ПК-3);
умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);
умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);
владением методами алгоритмического моделирования при анализе постановок задач (ПК-19);
владением методами математического и алгоритмического моделирования при постановках прикладных задач (ПК-20);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) знать: основные понятия теории динамических систем, определения и свойства
математических объектов в этой области, формулировки утверждений, возможные сферы
их приложений, а также методы программирования и анализа результатов в системе
Matlab;
2) уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области качественного анализа дифференциальных уравнений с помощью системы Matlab;
3) владеть: математическим аппаратом теории динамических систем, методами
анализа и решения задач в системе компьютерной математики Matlab.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины.
Дисциплина «Компьютерное моделирование динамических систем» читается в шестом
семестре. Форма промежуточной аттестации – зачёт. Общая трудоёмкость дисциплины
составляет 3 зачётных единиц (108 часов).
3. Тематический план.
Таблица 1.
Тематический план
(семестр 6)
3
4
5
6
Итого
часов
по теме
Из них
в
интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
8
9
10
Самостоятельная работа*
2
Модуль 1
Семинарские
(практические) занятия*
Лабораторные занятия*
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лекции*
Тема
Недели семестра
№
7
5
2
3
4
5
6
7
8
9
Автономные динамические системы на прямой
и на плоскости.
Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем.
Консервативные и диссипативные системы.
Периодические орбиты.
Всего
Модуль 2
Бифуркации.
Основные приёмы работы в системе Matlab.
Функции и графики.
Введение в пакет
Dfield6. Фазовое пространство, построение
графика решения
начальной задачи.
Всего
Модуль 3
Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных
уравнений; их реализация в Matlab’е.
Пакет Pplane6. Построение фазовых портретов
линейных и нелинейных
систем.
Функция Odesolve. Моделирование и анализ
инженерно-физичексих
и естественнонаучных
задач в системе Matlab.
Всего
Итого (часов, баллов):
из них часов в интерактивной форме
1
1
2
2-3
2
4-5
-
3
6
3
0-6
4
6
12
3
0-12
2
4
5
11
3
0-12
5
10
-
14
29
9
0-30
6-7
8-9
2
2
4
4
-
7
7
13
13
3
3
0-10
0-10
1012
3
6
8
17
3
0-10
7
14
-
22
43
9
0-30
1314
2
4
-
6
12
3
0-14
1516
2
4
-
6
12
3
0-14
1718
2
4
6
12
3
0-12
6
18
13
12
36
14
18
54
36
108
36
9
27
27
0-40
0-100
-
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
№ темы
1
Устный опрос
ИнформаПисьменционные
ные работы системы и
технологии
Итого
6
коллоквиум
ответ на практическом занятии
контрольная работа
электронные практикум
Итого количество
баллов
1
2
3
4
6
7
Модуль 1
1. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости.
2. Устойчивость неподвижных точек
нелинейных систем.
3. Консервативные и диссипативные
системы. Периодические орбиты.
Всего
Модуль 2
4. Бифуркации.
5. Основные приёмы работы в системе Matlab. Функции и графики.
6. Введение в пакет Dfield6. Фазовое
пространство, построение графика
решения начальной задачи.
Всего
Модуль 3
7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений; их реализация в Matlab’е.
8. Пакет Pplane6. Построение фазовых портретов линейных и нелинейных систем.
9. Функция Odesolve. Моделирование
и анализ инженерно-физических и
естественнонаучных задач в системе
Matlab.
Всего
Итого (часов, баллов):
0-1
0-2
0-1
0-2
0-6
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
0-7
0-8
0-7
0-8
0-30
0-2
0-3
0-2
0-3
0-10
0-2
0-3
0-2
0-3
0-10
0-2
0-2
0-3
0-3
0-10
0-6
0-8
0-7
0-9
0-30
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
0-3
0-3
0-4
0-4
0-14
0-3
0-3
0-3
0-3
0-12
0-9
0-9
0-11
0-11
0-40
0-22
0-25
0-25
0-28
0-100
из них часов в интерактивной форме
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательдополниные
тельные
Неделя семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
7
1.
2
3
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Модуль 1
1. Автономные динами- работа с лические системы на пря- тературой,
мой и на плоскости.
решение домашнего задания
2. Устойчивость непо- работа с лидвижных точек нелиней- тературой,
ных систем.
решение домашнего задания
3. Консервативные и работа с лидиссипативные системы. тературой,
Периодические орбиты.
решение домашнего задания
Всего по модулю 1:
Модуль 2
4. Бифуркации.
работа с литературой,
решение домашнего задания
5. Основные приёмы ра- работа с либоты в системе Matlab. тературой,
Функции и графики.
решение домашнего задания
6. Введение в пакет
Dfield6. Фазовое пространство,
построение
графика
решения
начальной задачи.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
7. Численные методы работа с лирешения обыкновенных тературой,
дифференциальных
решение доуравнений; их реализа- машнего зация в Matlab’е.
дания
8. Пакет Pplane6. По- работа с листроение фазовых порт- тературой,
ретов линейных и нели- решение донейных систем.
машнего задания
9. Функция Odesolve.
Моделирование и анализ
инженерно-физичексих и
естественнонаучных задач в системе Matlab.
Всего по модулю 3:
подготовка к
зачёту
1
3
0-6
2-3
6
0-12
4-5
5
0-12
14
0-30
подготовка к
зачёту
6-7
7
0-10
подготовка к
зачёту
8-9
7
0-10
10-12
8
0-10
22
0-30
подготовка к
зачёту и контрольной работе
13-14
6
0-14
подготовка к
зачёту и контрольной работе
15-16
6
0-14
17-18
6
0-12
18
0-40
8
ИТОГО:
54
0-100
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Дискретная динамика
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
Выпускная квалификационная работа
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5. Содержание дисциплины
Тема 1. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости: Геометрическое представление решений дифференциальных уравнений, равновесные точки, фазовые портреты, типы неподвижных точек, канонический фазовый портрет, матрица линейного преобразования (матрица перехода), устойчивость равновесных решений.
Тема 2. Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем: Гиперболические
и негиперболические неподвижные точки, теорема о линеаризации, некоторые классические модели.
Тема 3. Консервативные и диссипативные системы. Периодические орбиты: Консервативные системы и первые интегралы, диссипативные системы, предельные циклы,
нелинейный осциллятор. Теорема Пуанкаре-Бендиксона, теория индексов.
Тема 4. Бифуркации: Седло-узел, транскритическая, вильчатая, Андронова-Хопфа,
гомоклиническая.
Тема 5. Основные приёмы работы в системе Matlab. Функции и графики: Рабочее
пространство, арифметические операции, математические функции, функции пользователя, логические операторы, условный переход, циклы, импорт и экспорт данных.
Тема 6. Введение в пакет Dfield6. Фазовое пространство, построение графика решения начальной задачи: Установка и интерфейс пакета Dfield6, фазовое пространство и
фазовые кривые, начальная задача ОДУ, взаимодействие ядра системы и пакета Dfield6.
Тема 7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
их реализация в Matlab’е: Метод Эйлера, сравнение метода Эйлера с точным решением,
9
анализ ошибок, метод Рнге-Кутты 2-го порядка, метод Рунге-Кутты 4-го порядка, сравнение трех приближенных методов, решение начальной задачи приближенными методами.
Тема 8. Пакет Pplane6. Построение фазовых портретов линейных и нелинейных
систем: Установка пакета Pplane6, фазовые портреты двумерных систем, канонические и
«реальные» фазовые портреты, исследование устойчивости нелинейных систем в пакете
Pplane6.
Тема 9. Функция Odesolve. Моделирование и анализ инженерно-физических и естественнонаучных задач в системе Matlab: Логистическое уравнение, модель ВольтерраЛотка, осциллятор Ван дер Поля, система Лоренца; пакет Odesolve, исследование устойчивости в L-R-C-цепях.
6. Планы практических занятий
Тема 1. Автономные динамические системы на прямой и на плоскости (2 часа):
1) геометрическое представление решений дифференциальных уравнений;
2) равновесные точки, фазовые портреты;
3) типы неподвижных точек, канонический фазовый портрет;
4) матрица линейного преобразования (матрица перехода), устойчивость равновесных решений.
Тема 2. Устойчивость неподвижных точек нелинейных систем (4 часа):
1) гиперболические и негиперболические неподвижные точки, теорема о линеаризации;
2) некоторые классические модели.
Тема 3. Консервативные и диссипативные системы. Периодические орбиты (4 часа):
1) консервативные системы и первые интегралы;
2) диссипативные системы;
3) предельные циклы, нелинейный осциллятор;
4) теорема Пуанкаре-Бендиксона, теория индексов.
Тема 4. Бифуркации (4 часа):
1) седло-узел, транскритическая, вильчатая;
2) Андронова-Хопфа, гомоклиническая.
Тема 5. Основные приёмы работы в системе Matlab. Функции и графики (4 часа):
1) рабочее пространство, арифметические операции, математические функции;
2) функции пользователя;
10
3) логические операторы;
4) условный переход, циклы;
5) импорт и экспорт данных.
Тема 6. Введение в пакет Dfield6. Фазовое пространство, построение графика решения начальной задачи (6 часов):
1) установка и интерфейс пакета Dfield6;
2) фазовое пространство и фазовые кривые, начальная задача ОДУ;
3) взаимодействие ядра системы и пакета Dfield6.
Тема 7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
их реализация в Matlab’е (4 часа):
1) метод Эйлера, сравнение метода Эйлера с точным решением, анализ ошибок;
2) метод Рунге-Кутты 2-го порядка;
3) метод Рунге-Кутты 4-го порядка;
4) сравнение трёх приближенных методов;
5) решение начальной задачи приближенными методами.
Тема 8. Пакет Pplane6. Построение фазовых портретов линейных и нелинейных
систем (4 часа):
1) установка пакета Pplane6;
2) фазовые портреты двумерных систем, канонические и «реальные» фазовые
портреты;
3) исследование устойчивости нелинейных систем в пакете Pplane6.
Тема 9. Функция Odesolve. Моделирование и анализ инженерно-физических и естественнонаучных задач в системе Matlab (4 часа):
1) логистическое уравнение;
2) модель Вольтерра-Лотка;
3) осциллятор Ван дер Поля;
4) система Лоренца;
5) пакет Odesolve;
6) исследование устойчивости в L-R-C-цепях.
Итоговая контрольная работа.
7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)
7.1. Примерные задания для контрольных работ
11
1. В пакете Dfield6 построить поле направлений следующих уравнений в прямо-
угольнике t  5;5 , y  5;5 . Нарисовать несколько интегральных кривых.
(а) y  ty ; (б) y  y 2  t 2 ; (в) y 
2ty
.
1 y2
2. Для каждого из следующих уравнений с начальным условием и на указанном промежутке найти:
(1) точное решение;
(2) приближенные решения в Matlab’е методами Эйлера, Рунге-Кутты 2 и РунгеКутты 4;
(3) построить все три графика на одном чертеже.
(а) x  x sin(3t ), x(0)  1,
0;4,
(б) y  1  y 2  cos t , y (0)  0,
h  0.2 ;
0;6 ,
h  0.5 .
dVC
 VC  V (t ) , где VC - напряжеdt
ние на элементе ёмкости. Предположим, что R  2,3 Ома, C  1, 2 Фарады и функция
3. Для R-C-цепи, моделируемой уравнением RC
3, t  5
V (t )  
. Используя Dfield6, нарисовать график решения уравнения с начальным
0, t  5
условием VC (0)  0 .
4. В пакете Pplane6 нарисовать траектории частных решений следующих линейных
систем:
 x  4 x  y  x(0)  1
 x(0)  1
 x  x  2 y
(а) 
, 
; (б) 
, 
.
 y  2 x  y
 y (0)  1
 y   x  4 y  y (0)  1
5. Для каждого из следующих уравнений найти неподвижные точки, определить их
тип, нарисовать фазовый портрет, найти общее решение и изобразить несколько интегральных кривых на поле направлений.
(а) x   x 3  3x ; (б) x   sin 2 x ; (в) x  1  x 2 ; (г) x  ax  2 (a – число).
6. Для следующих уравнений найти потенциалы и с их помощью исследовать неподвижные точки на устойчивость.
(а) x  1  x  x ; (б) x  1  sin 2x .
7. В каждом их следующих уравнений найти бифуркационное значение, определить
тип бифуркации и нарисовать бифуркационную диаграмму.
12
(а) x  x 2  2x  3x ; (б) x 
x
x .
x 7
2
8. Исследовать систему на наличие/отсутствие периодических орбит. Фазовый портрет доказательством не является, а только подтверждением.
 x  y cos x
.

 y  sin x
9. Определить точки равновесия системы и найти индексы этих точек. Построить
фазовый портрет.
 x  x 2  y 2
.

 y  2 xy
10. Определить точки равновесия системы и найти индексы этих точек. Построить
фазовый портрет.
 x  x 2
.

 y   y
 x   x  y ( x  a )  b
11. Для системы 
, где a, b, c положительные константы и b  a
 y  cx( x  a)
xb

на области D   X  R 2 : x  a и y 
 доказать, что не существует периодических
xa

орбит, проходящих через некую точку области D .
 x  ax  yx
12. Для системы 
, где a, b, c положительные константы и c  a на об2

y

bx

cy



ласти D  X  R 2 : y  0 доказать, что не существует периодических орбит, проходящих
через некую точку области D .
0, x  1

 x  y
a
,
b

0
g
(
x
)

13. Рассмотреть систему 
,
,
.

2

k , x  1
 y    2b  g ( x)  ay  a x
Показать, что при k  2b не существует, а при k  2b - существуют периодические
орбиты.
7.2. Примерные вопросы к зачёту
 4 10 
1. Дана система X   A  X , где A  
 . Найти:
 1 3 
(а) жорданову форму;
13
(б) матрицу перехода М;
(в) матрицу А1 для системы X   A1 X , получающейся из исходной после ее по
ворота на угол  .
2
2. В следующих уравнениях неподвижные точки можно отыскать лишь приближённо. Используйте Dfield6 для построения нескольких интегральных кривых. На основе этой
информации сделайте вывод о приблизительном расположении неподвижных точек и
найдите их в Matlab’е.
(а) x  x 1  e  x  x 2  ,  1  x  2 ; (б) x  x3  3x  1 ; (в) x  cos x  2x .
 x  x 2  y 2
3. Дана система 
. Найти неподвижные точки и определить их тип.
 y  xy  1
4. Определить, как меняются главные направления (директрисы) седловой точки
 x   x  x 2
по отношению к ее линеаризации.
 0;0  нелинейной системы 
 y  x  y
5. Даны функции x(t ) и y (t ) , являющиеся решениями некоторых линейных систем
дифференциальных уравнений. Используя Matlab, нарисовать графики x(t ) , y (t ) и y ( x)
на одном чертеже.
(а)
x  2e2t  3e3t
y  4e2t  3e3t
, t   0,5; 2 ; (б)
x  e  t  cos t  sin t 
y  e  t  cos t  sin t 
, t    ;   .
6. Исследовать дифференциальное уравнение x   x   tanh x . Найти бифуркационное значение, построить диаграмму и определить тип бифуркации.
 x  2 x  y
7. Исследовать систему 
. Найти и определить тип бифуркации. Нари2
 y    x  y
совать бифуркационную диаграмму.
8. Построить фазовый портрет и определить тип бифуркации при   0 для системы
 x   x  y  xy 2
.

2
 y  x   y  x
 x  x  x 1  x   y 
9. Рассмотреть модель 
, где x  0 - популяция жертв, y  0 - по
y

y
x

a



пуляция хищников и a  0 - параметр. Найти и классифицировать неподвижные точки системы. Определить бифуркационное значение и тип бифуркации.
14
10. Определить бифуркационное значение и тип бифуркации для системы
 x   x  y  sin x

 y  x  y
в начале координат. Построить фазовые портреты для значений  в окрестности 0 .
 x   x  y  x  x 2  2 y 2 

11. Найти периодические решения системы 
.
2
2

y

x

y

y
x

2
y



 x  2, x  1,
 x    y  F ( x) 


12. Рассмотреть систему 
, где F ( x)   x, x  1, Имеются ли у
x
 x  2, x  1.
 y   


этой системы периодические решения? Построить фазовый портрет.
13. Для уравнения x  x   x 1  x  :
(а) найти неподвижные точки и их характер;
(б) найти бифуркационное значение и тип бифуркации;
(в) построить бифуркационную диаграмму.
8. Образовательные технологии
В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной
работы в процессе изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» предусматри
вается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм
проведения занятий:

практические занятия в диалоговом режиме;

компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

научные дискуссии;

работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
Литература основная
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: «Наука», 1981. –
568 с.
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: «Наука», 1975.
– 240 с.
3. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: «Наука», 1976. – 496 с.
15
4. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP/7 + Simulink 5/6. Основы применения. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005. – 800 с.
5. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: «Физматлит», 2001. – 295 с.
6. Мачулис В.В. Динамические системы. Специальный курс. Тюмень, «Тюменский
издательский дом», 2008. – 131 с.
7. Hunt B.R., Lipsman R.L., Rosenberg J.M. Matlab: официальный учебный курс
Кембриджского университета: [пер. с англ.] – М.: Изд-во ТРИУМФ, 2008. – 352 с.
8. Polking J.C., Arnold D. Ordinary differential equations using Matlab. – Prentice Hall
(3 edition), 2003. – 264 c.
Литература дополнительная
1. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2009. – 320 с.
2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и
бифуркации векторных полей. Пер. с англ., Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 560 с.
3. Степаньянц Г.А. Теория динамических систем: Учебное пособие. М.: Книжный
дом «ЛИБРОКОМ», 2010. – 312 с.
4. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной
теории в нелинейной динамике. Часть 1. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 416 с.
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, компьютерный класс
для самостоятельной работы.
16