Польза вневписанных окружностей

Октябрьский район
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение города
Новосибирска « Лицей №185»
секция математики
9 класс
Белозерова Мария Сергеевна
Польза вневписанных окружностей
Руководитель:
Белина Людмила Ивановна,
учитель математики,
высшая квалификационная категория
конт. тел. 89137894132
Новосибирск. 2013
Тезисы исследовательской работы по теме
«Польза вневписанных окружностей»
В данной работе рассматриваются:
 определение вневписанной окружности,
 теоремы:
- о центре вневписанной окружности;
- о длине отрезка от вершины треугольника до точки касания;
- о площади треугольника; о радиусах вневписанных окружностей;
- о положении точки касания вневписанной окружности со стороной
треугольника, вершиной треугольника и точка касания вписанной
окружности;
- о сумме радиусов вписанной окружности;
- о сумме попарных произведений радиусов вневписанных окружностей;
- о произведении радиусов вневписанных окружностей.
Выполнены задачи:
- на построение треугольника по двум углам и периметру;
- по стороне, прилежащему углу и сумме двух других сторон.
- по нахождению боковой стороны равнобедренного треугольника по
сумме данных периметров отсеченных касательными, проведенными к
вписанной в треугольник окружности, треугольников и основанию;
- на нахождение периметра отсеченного треугольника.
Доказана теорема Геродота при помощи свойств вневписанной
окружности.
Содержание
 Введение.
 Определение.
 Теоремы:
1. Центр вневписанной окружности.
2. Длина отрезка от вершины угла до точки касания с
вневписанной окружностью на продолжении стороны
этого угла.
3. Площадь равнобедренного треугольника через радиус
вневписанной окружности, полупериметр
треугольника и сторона, касающаяся окружности.
4. Взаимное расположение вершины треугольника,
точек касания вневписанной и вписанной
окружности.
5. Сумма величин, обратных радиусам вневписанной
окружности.
6. Площадь треугольника через радиусы вневписанных
окружностей.
7. Диаметр описанной окружности.
8. Радиус вневписанной окружности через
полупериметр и тангенс угла.
9. Полупериметр треугольника через радиусы
вневписанных окружностей.
10. Произведение радиусов вневписанных окружностей.
11. Величина обратная высоте треугольника.
 Решение задач.
1. Задача на построение треугольника по двум углам и
периметру.
2. Задача по нахождению боковой стороны
равнобедренного треугольника по сумме данных
периметров отсеченных касательными,
проведенными к вписанной в треугольник
окружности, треугольников и основанию.
3. Задача на нахождение периметра отсеченного
треугольника.
4. Построение треугольнику по данному углу,
прилежащей стороне и сумме двух других сторон.
5. Доказательство теоремы Герона.
 Заключение.
 Список использованной литературы.
Введение
Цель данной работы - изучить вневписанную окружность, как вспомогательный
объект в решении задач.
Задачи:
•
Рассмотреть определение вневписанной окружности;
•
Разобрать основные теоремы о вневписанной окружности и следствия из них;
•
Закрепить полученные знания на практике.
В большей части заданий термин «вневписанная окружность» не фигурирует, а
появляется как вспомогательная фигура, именно поэтому объект данного
исследования помогает решать различные геометрические задачи.
Данная работа выходит за рамки школьной программы и будет полезна учащимся,
интересующимся математикой, или для учащихся специализированных классов.
Определение
Вневписанная окружность – окружность, касающаяся одной из сторон
треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника
существует три вневписанных окружности.
Существование и единственность вневписанной окружности обусловлено тем,
что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла,
не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром
такой окружности.
Рассмотрим теоремы о вневписанных окружностях.
Теоремы
Теорема 1.
Биссектриса внутреннего угла треугольника и биссектрисы двух внешних углов,
не смежных с первым, пересекаются в одной точке.
Дано:
АВС
Окр. (О, R)
Доказать:
АОВОСО=О
Доказательство:
1. Пусть биссектрисы внешних углов В и С пересекаются в точке О.
2. Биссектрисы равноудалены от сторон угла. Из этого следует, что
расстояния от прямых ВС и АС равны (ON), аналогично равны расстояния
от прямых ВС и АВ (ОМ).
3. Тогда очевидно, что точка О равноудалена от сторон Ас и АВ, т.е. лежит
на биссектрисе ВАС.
Доказано.
Следствие 1.
ON=OM=OH, значит точки N, М, Н лежат на одной окружности с центром в точке
О.
Теорема 2.
Длина отрезка от вершины угла до точки касания с вневписанной окружностью на
продолжении стороны этого угла равна полупериметру треугольника.
Дано:
АВС
Окр. (О, R)
ONВN
ОМСМ
ОНВС
Доказать:
AN=рАВС
Доказательство:
1. Пусть M и N – точки касания окружности с прямыми АВ и ВС.
2. Тогда CM=CH,
BH=BN,
РАВС=АС+АВ+ВС=АС+СН+ВН+АВ=АС+СN+АВ+ВМ=АN+АМ.
3. Т.к. АN=АМ, то
p =АN.
Доказано.
Теорема 3.
Площадь равнобедренного треугольника равна произведению радиуса
вневписанной окружности на разницу полупериметра и стороны, касающейся
окружности.
Дано:
АВС
Окр. (О, R)
АВ=ВС=АС
ONAN
OMAM
Доказать:
SABC = ON(p-CB)
Доказательство:
1
1
𝑂𝑁
2
2
𝑠𝑖𝑛𝐴
1. S∆ACO= AO ∙ CH = ∙
AB, S∆OCB = ON ∙ CB
1
1
2
2
∙ AC ∙ sinA = ON ∙ AC, аналогично S∆ABO = ON ∙
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2. SABC=SOCA+SOBA-SOCB= ON AB+ ON AB- ON  CB = ON ( AC+ ABCB) = ON(p-CB)
Доказано.
Следствие 2.
Радиусы вневписанных окружностей можно вычислить по формуле: ra=
rb =
𝑆
𝑝−𝑏
, rc=
𝑆
𝑝−𝑐
𝑆
𝑝−𝑎
,
.
Теорема 4.
Вершина треугольника, точка касания вневписанной окружности и точка касания
вписанной окружности лежат на одной прямой.
Дано:
АВС
Окр.(O;R)
Доказать:
ААH
КАH
НАH
Доказательство:
1. Пусть прямая АК пересекает ВС в некоторой точке.
2. Проведем через точку К прямуюЕD так, чтобы EDВС.
3. Окружность, вписанная в АВС, является вневписанной для АЕD. Но АВС
и АЕDгомотетичны.
4. Значит, окружность, вневписанная в АВС, будет касаться ВС в точке Х.
Таким образом, точка Х совпадает с Н.
5. Из этого следует, что точки А, К и Н лежат на одной точке.
Доказано.
Теорема 5.
Сумма величин, обратным радиусам вневписанных окружностей, равна величине,
обратной радиусу вписанной окружности.
Дано:
АВС
Окр.(О;r)
Окр.(A;ra)
Окр.(С;rс)
Окр.(В;rb)
Доказать:
1
1
1
= + +
1
𝑟 𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑟𝑐
Доказательство:
1. Т.к. ra=
𝑆
𝑝−𝑎
, rb =
𝑆
𝑝−𝑏
, rc=
𝑆
𝑝−𝑐
1
, то =
𝑝−𝑎 1
𝑟𝑎
𝑆
,
𝑟𝑏
=
𝑝−𝑏 1 𝑝−𝑐
𝑆
, =
𝑟𝑐
𝑆
, формула для радиуса
𝑆
вписанной окружности r= .
𝑝
2. Складывая формулы получаем
1
𝑟𝑎
+
1
𝑟𝑏
+
1
𝑟𝑐
=
𝑝−𝑎
𝑆
+
𝑝−𝑏
𝑆
+
𝑝−𝑐
𝑆
=
3𝑝−2𝑝
𝑆
=
𝑝
𝑆
Доказано.
Теорема 6.
Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения радиусов
вневписанных окружностей около данного треугольника и радиуса вписанной
окружности.
Дано:
АВС
Окр.(О, ra)
Окр.(Q, rb)
Окр.(W, rс)
Доказать:
𝑆 = √𝑟𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑟𝑐
Доказательство:
1. Перемножим формулы S=rp, S=ra(p-a), S=rb(p-b), S=rc(p-c), и по формуле
Герона:
2. S4=rpra(p-a)rb(p-b)rc(p-c)=rrarbrcS2 → S2=rrarbrc→ S=√rra rb rc .
Доказано.
1
= .
𝑟
Теорема 7.
Сумма радиусов вневписанных окружностей минус радиус вписанной
окружности равна удвоенному диаметру описанной окружности.
Дано:
АВС
Окр.(О, ra)
Окр.(Q, rb)
Окр.(W, rс)
Окр.(E, r)
Доказать:
ra+rb+rc– r=4R
Доказательство:
1. Выразим радиусы вневписанных и вписанной окружности через стороны,
площадь и полупериметр треугольника:
𝑆
𝑎𝑏𝑐
𝑝
4𝑆
r= ,R=
, ra =
𝑆
𝑝−𝑎
, rb =
𝑆
𝑝−𝑏
, rc =
𝑆
𝑝−𝑐
.
2. Получаем
ra + rb + rc – r =
𝑆
+
𝑆
+
𝑆
𝑆
- =S∙
𝑝−𝑎
𝑝−𝑏
𝑝−𝑐 𝑝
𝑝(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)+𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑐)+𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)−(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
=S∙
𝑎𝑏𝑐
𝑆2
=
𝑎𝑏𝑐
𝑆
= 4R.
Доказано.
Теорема 8.
Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла
треугольника, равен произведению полупериметра на тангенс половины этого угла.
Дано:
∆АВС
Окр.(О;ra)
Доказать:
𝑎
ra=p∙tg
2
Доказательство:
а
𝑎
2
2
В прямоугольном ∆АОС1ra и p – длины катетов,ОАС1 равен , поэтому ra=p∙tg .
Доказано.
Теорема 9.
Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна
квадрату полупериметра треугольника.
Дано:
∆АВС
Окр.(O;ra)
Окр.(Q;rb)
Окр.(W;rc)
Доказать:
rarb+rbrc+rcra=p2
Доказательство:
1. По доказанным ранее формулам ra=
rarb+rbrc+rcra=
𝑆2
+
, rb =
𝑆
, rc=
𝑆
𝑆
, r= :
𝑝−𝑏
𝑝−𝑐
𝑝
2(𝑝−𝑐)+(𝑝−𝑏)+(𝑝−𝑎)
=S
(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏) (𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐) (𝑝−𝑎)(𝑝−𝑐)
𝑝
= S2
𝑆2
+
𝑆
𝑝−𝑎
𝑆2
(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
= S2
3𝑝−2𝑝
(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
.
(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
2. По формуле Герона
𝑆2
(p-a)(p-b)(p-c)= ,
𝑝
𝑝2
3. rarb+rbrc+rcra=S2 2 = p2.
𝑆
Доказано.
Теорема 10.
Произведения радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса
вписанной окружности на квадрат полупериметра.
Доказать:
ra ∙ rb ∙ rc = rp2
Доказательство:
1. Из формул для радиусов вневписанных окружностей и по формуле Герона:
ra=
𝑆
𝑝−𝑎
, rb =
𝑆
𝑝−𝑏
, rc=
𝑆
𝑝−𝑐
, S = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
2. Получаем
ra ∙ rb ∙ rc=
𝑆
(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)
Доказано.
=
𝑆 3𝑝
𝑆2
=Sp.
Следствие 1.
Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов
вневписанных окружностей к полупериметру треугольника.
Доказать:
𝑟 𝑟 𝑟
S= 𝑎 𝑏 𝑐
𝑝
Доказательство:
1. Т.к. rarbrc = rp2 = rp ∙ p = pS.
𝑟 𝑟 𝑟
2. Значит S = 𝑎 𝑏 𝑐.
𝑝
Доказано.
Следствие 2.
Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех
радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности.
Доказать:
S = √𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑟𝑐 𝑟
Доказательство:
𝑟 𝑟 𝑟
𝑟 𝑟 𝑟
1. Т.к. S = 𝑎 𝑏 𝑐, S = pr, то S2 = 𝑎 𝑏 𝑐 ∙ pr = rarbrcr.
𝑝
𝑝
2. Значит S = √𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑟𝑐 𝑟.
Доказано.
Теорема 11.
Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону,
равна полу сумме величин, обратным радиусам вневписанных окружностей,
касающихся двух других сторон треугольника.
Доказать:
1
ℎ𝑎
1 1
= (
2 𝑟𝑏
1
+ )
𝑟𝑐
Доказательство:
1. Т.к. rb=
2. То
1
𝑟𝑏
+
𝑆
𝑆
, rc=
,
𝑝−𝑏
𝑝−𝑐
1
𝑝−𝑏
𝑝−𝑐
𝑟𝑐
=
𝑆
+
𝑆
=
2𝑝−𝑏−𝑐
𝑆
=
𝑎+𝑏+𝑐−𝑏−𝑐
𝑆
𝑎
𝑎
𝑆
𝑎ℎ𝑎
= =1
2
=
2
ℎ𝑎
.
3.
1
ℎ𝑎
1 1
= (
2 𝑟𝑏
1
+ )
𝑟𝑐
Доказано.
Закрепление теории на практике
1 задача.
Постойте треугольник по периметру и двум углам.
Дано: Р = 12, А =30, В = 45.
Построение:
1. АК = р = 6.
2. А
3. ОКАК
4. Биссектриса А.
5. Окр. (О;R), R = ОК
6. В1
7. ВСВ1F, при этом ВС – касательная.
8. АВС – искомый.
Доказательство:
1.
А = 30°, В = 45° по построению.
2. р = АК = АL = 6 по свойству вневписанных окружностей.
3. Р = АК + АL = 12.
Доказано.
2 задача.
В равнобедренный треугольник с основанием 12 вписана окружность, и к ней
проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три
маленьких треугольника. Сумма периметров маленьких треугольников равна 48.
Найти боковую сторону данного треугольника.
Дано:
∆АВС
АВ = ВС
АС = 12
Окр. (О; R) – вневписанная
LK, FN, PM – касательные
Р∆BNF + P∆LCK + P∆PMA = 48
Найти:
АВ
Решение:
1. Окр.(O; R) является вневписанной для ∆АРМ, ∆LCK, ∆FBN.
2. По свойству вневписанной окружности LG3 = LQ3, Q3K = KG1, G1M = MQ1, Q1P
= PG2, G2F = FQ2, Q2N = NG3.
3. Значит P∆APM + P∆FBN + P∆LCK = АВ + АС + ВС.
4. Т.к. АВ = ВС, то Р = АС + 2АВ.
5. АВ =
𝑃∆𝐵𝑁𝐹 + 𝑃∆𝐿𝐶𝐾 + 𝑃∆𝑃𝑀𝐴 −𝐴𝐶
2
. АВ =
48−12
2
= 18.
Ответ: 18.
3 задача.
В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. К окружности
проведена касательная так, что она пересекает две большие стороны. Найти
периметр отсеченного треугольника.
Дано:
∆АВС
Окр.(О;R) – вписанная
ВС = 6
АВ = 10
АС = 12
LK – касательная
Найти:
Р∆АКL
Решение:
1. Окр.(О;R) является вневписанной для ∆АКL.
2. Р = АG + АМ по свойству вневписанной окружности.
3. GC = CF, FB = MB.
4. Значит МВ + GС = ВС.
5. Р = АВ + АС – ВС
Р = 10 + 12 – 6 = 16.
Ответ: 16.
4 задача.
Построить треугольник, если дана сторона, прилежащий кней угол треугольника
и сумма двух других сторон.
Дано:
АВ = 10
А = 60˚
АС +СВ = 34
Построение:
1.
А = 60˚
2. АК = АТ = р = (АС + ВС + АВ) / 2 = (34 + 10) / 2 = 22
3. НК АК
4. НТ АК
5. Окр. (Н; R), R = НК = НТ
6. АВ = 10
7.
АВС – искомый
Доказательство:
1. АВ = 10, А = 60˚ по построению.
2. Через свойство вневписанной окружности АТ = АК = р = 22. Т.к. АВ = 10, то
ВК = 12. По свойству вневписанной окружности ВК = ВL. То АС + LВ = 22 +
12 = 34.
Доказано.
Заключение
Рассмотрено определение вневписанной окружности. Рассмотренные
свойства позволили установить связь между биссектрисой внутреннего и двух
внешних углов, не смежных с первым, треугольника и центром вневписанной
окружности, между длиной отрезка вершины до точки касания с вневписанной
окружностью, между радиусами вневписанной окружности и площадью
треугольника, между точкой касания вневписанной окружности, вписанной
окружности и вершины треугольника, между радиусами вневписанных
окружностей и периметром треугольника, между радиусами вневписанной и
вписанной окружности.
Решены некоторые задачи на построение треугольника с помощью
вневписанной окружности, а так же на нахождение неизвестных сторон
треугольника.
В следующем году я планирую продолжить данную тему, решая все более
сложные задачи, а так же рассмотреть свойства вневписанных окружностей для
многоугольников.
Список использованной литературы
http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolsev.htm
http://ppt4web.ru/geometrija/vnevpisannaja-okruzhnost.html
Журнал «Квант» №2, 2001год