задачи для самоподготовки

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Российский Экономический Университет им. Г.В. Плеханова»
Балаковский институт экономики и бизнеса (филиал)
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Методические указания к выполнению практической работы
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
для студентов направления 38.03.01
всех форм обучения
Балаково 2014
ЦЕЛЬ РАБОТЫ – развить навыки составления и анализа
математических моделей несложных задач прикладного характера,
связанных со случайными событиями и методам оценки неизвестных
параметров на основе экспериментальных данных.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В различных разделах науки и техники нередко возникают
ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее
предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности,
возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно
сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб
или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба
приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать
результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при
большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому
постоянному
числу.
Исследование
вероятностных
закономерностей
массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.
Теория
вероятностей
–
это
математическая
дисциплина,
изучающая закономерности массовых случайных явлений.
Основными объектами изучения в теории вероятностей являются
случайные события и случайные величины. Событие либо происходит,
либо не происходит (например, выпадение герба при бросании монеты).
Виды событий:
а) Достоверное событие – событие, которое всегда происходит при
проведении опыта;
б) Невозможное событие – событие, которое в результате опыта
произойти не может;
в) Случайное событие – событие, которое может либо произойти,
либо не произойти.
2
Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в
том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких
событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что
произошло хотя бы одно из этих событий.
Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее
в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично
произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в
том, что произошли все эти события.
Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в
том, что А произошло, а В – нет.
Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если
событие А – попадание первого стрелка, а событие В – попадание второго
стрелка, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах,
произведение АВ – попадание обоих стрелков, разность А\ В – попадание
первого стрелка при промахе второго.
События А и В называются совместными, если они могут
произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть
если они не могут произойти одновременно) события называются
несовместными.
Говорят, что события А1, А2,…,Аn образуют полную группу, если в
результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой
группы. В частности, если события, образующие полную группу, попарно
несовместны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них.
Такие события называют элементарными событиями.
События называются равновозможными, если нет оснований
считать, что одно из них является более возможным, чем другое.
Если все события, которые могут произойти в результате данного
опыта попарно несовместны, равновозможны и образуют полную группу,
то говорят, что имеет место схема случаев.
3
Противоположными событиями называют два несовместных
события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то
второе принято обозначать А .
Классическое определение вероятности. Вероятностью события
А называется отношение числа исходов опыта m, благоприятных этому
событию, к числу возможных исходов n:
P ( À) 
ò
ï
Из данного определения можно сделать следующие выводы:
1.
Вероятность достоверного события равна единице.
2.
Вероятность невозможного события равна нулю.
3.
Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.
Статистическое
определение
вероятности.
Статистической
вероятностью W(A) события A называется отношение числа опытов М, в
которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных
испытаний N:
W ( A) 
M
N
Большое количество экспериментов показало, что если опыты
проводятся в одинаковых условиях, то для большого количества
испытаний статистическая вероятность изменяется мало, колеблясь около
некоторого постоянного числа.
Для
существования
статистической
вероятности
события
А
требуется:

возможность производить неограниченное число испытаний;

устойчивость относительных частот появления события А в
различных сериях достаточно большого числа опытов.
4
Свойства
вероятности,
доказанные
для
ее
классического
определения, справедливы и для статистического определения вероятности.
Недостатком
статистического
определения
является
неоднозначность статистической вероятности.
При вычислении вероятностей часто приходится использовать
некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации,
которые можно составить по определенным правилам из элементов
некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации.
Перестановка – это комбинации, составленные из всех п элементов
множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число
перестановок из п элементов:
Рп = п!
Размещение – это комбинации из т элементов множества,
содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом
элементов, либо их порядком. Число размещений из п элементов по т:
Апт  п(п  1)( п  2)...( п  т  1).
Сочетание – это неупорядоченные наборы из т элементов
множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы,
отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний из п
элементов по т:
С пт 
п!
.
т!(п  т)!
Теорема сложения вероятностей. Вероятность Р (А + В) суммы
событий А и В равна
Р (А + В ) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ).
Доказательство. Докажем теорему сложения для схемы случаев.
Пусть п – число возможных исходов опыта, тА – число исходов,
благоприятных событию А, тВ – число исходов, благоприятных событию
В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то
5
есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при
которых имеет место событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме
(тА + тВ) тАВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы,
благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить
по формуле классического определения вероятности:
P( À  Â ) 
ò À  ò Â  ò ÀÂ ò À ò Â ò ÀÂ



 P( À)  P( Â)  P( ÀÂ),
ï
ï
ï
ï
что и требовалось доказать.
Теорему можно распространить на случай суммы любого числа
событий. Например, для суммы трех событий А, В и С
Р(А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (АВ) – Р (АС) – Р (ВС) + Р (АВС)
Если события А и В несовместны, то АВ = 0, и, следовательно,
вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
Р (А) + Р ( А ) = 1.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло
событие В, называется условной вероятностью события А при наличии
события В и обозначается Р(А|В).
Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведения
двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
Р (АВ) = Р (А) · Р (В|А).
Доказательство.
Воспользуемся
обозначениями
теоремы
сложения вероятностей. Тогда для вычисления Р (В|А) множеством
возможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а
множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В
(тАВ). Следовательно,
6
P( Â | À) 
ò ÀÂ ò ÀÂ ï


 P( ÀÂ) : P( À),
òÀ
ï òÀ
откуда следует утверждение теоремы.
Событие В называется независимым от события А, если появление
события А не изменяет вероятности В, то есть Р (В|А) = Р (В).
Теорема умножения для независимых событий имеет вид:
Р (АВ) = Р (А) · Р (В) ,
то
есть
вероятность
произведения
независимых
событий
равна
произведению их вероятностей.
Пусть событие А может произойти только совместно с одним из
событий Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных
событий. Тогда события Н1, Н2,…, Нп называются гипотезами.
Теорема (формула полной вероятности). Вероятность события А,
наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна:
n
P( À)   P( H i ) P( A | H i ),
i 1
где Р (Hi) – вероятность i- й гипотезы, а Р (A| Hi) – вероятность события А
при условии реализации этой гипотезы.
Доказательство. Можно считать событие А суммой попарно
несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и
умножения следует, что
P( À)  P( ÀÍ
1
 ÀÍ
n
2
 ...  ÀÍ ï )  P( ÀÍ 1 )  P( ÀÍ 2 )  ...  P( ÀÍ ï )   P( H i ) P( A | H i ),
i 1
что и требовалось доказать.
Теорема (формула Байеса). Пусть известен результат опыта, а
именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить
априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез, тогда для
переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта
используется следующая формула:
7
ð( Í i | A) 
p( H i ) p( A | H i )
.
p( A)
Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А
появляется с одной и той же вероятностью Р, причем результат каждого
испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка
задачи называется схемой повторения испытаний. Найдем вероятность
того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в
какой последовательности). Данное событие представляет собой сумму
равновероятных несовместных событий, заключающихся в том, что
событие А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в
остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний
из п по к, то есть С пк , а вероятность каждого из них: pkqn-k, где q = 1 – p –
вероятность того, что в данном опыте событие А не произошло. Применяя
теорему сложения для несовместных событий, получим формулу
Бернулли:
Pn (k )  C nk  p k  q n k
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача 1. Подбрасывают два игральных кубика и записывают число
очков на верхних гранях обоих кубиков. Записать полную группу событий
в этом опыте.
Решение. Будем записывать возможные исходы опыта в виде (n, m),
где n – число очков, выпавших на верхней грани одного кубика, а m –
число очков, выпавших на верхней грани другого кубика. Запишем
результаты в виде таблицы (Таблица 1):
Таблица 1
Возможные исходы опыта
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(4,1)
(4,2)
(4,3)
8
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
Из
таблицы
(2,4)
(2,5)
(2,6)
следует,
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
что
(5,4)
(5,5)
(5,6)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
возможно
36
равновозможных
элементарных исхода.
Задача 2. Опыт состоит в том, что стрелок производит 3 выстрела по
мишени. Событие
- стрелок попал в мишень при первом выстреле,
стрелок попал в мишень при втором выстреле,
-
- стрелок попал в
мишень при третьем выстреле.
Выразить через события
,
следующие события:
,
А – произошло хотя бы одно попадание;
В – произошло три попадания;
С – стрелок сделал три промаха;
D – стрелок сделал хотя бы один промах;
Е - стрелок сделал не меньше двух попаданий;
F – стрелок сделал не более одного попадания;
G - попадание после первого выстрела.
Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает
или
, или
Три попадания
. Это означает, что
будет тогда и только тогда, когда попадание
наступит при каждом выстреле, т.е. события
,
,
осуществляются
все вместе:
Три промаха будет тогда и только тогда, когда стрелок промахнется
при каждом выстреле, т.е. события
вместе:
.
9
,
,
осуществляются все
Один промах будет тогда и только тогда, если стрелок промахнется
хотя бы при одном выстреле, т.е. осуществится либо событие
событие
, либо событие
, либо
:
,
Рассуждая аналогично, заключаем, что:
,
,
Задача 3. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из
которых 4 шара красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар.
Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?
Решение. Обозначим событие А - извлеченный шар оказался
голубым. По классическому определению вероятности получаем:
Задача 4. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых
карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания
карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что
число на взятой карточке окажется кратным 5?
Решение. Обозначим событие А - число на взятой карточке кратно
5. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных
исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (это
извлечение карточек с числами 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно, по
классическому определению вероятности получаем:
Задача 5. Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка
появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?
10
Решение. Обозначим событие А – появление шестерки при
бросании
кубика.
По
статистическому
определению
вероятности
получаем:
Задача 6. Сколькими различными способами могут разместиться на
скамейке 5 человек?
Решение. Очевидно, что на скамейке все время рассаживается 5
человек (т.е. в каждой возможной комбинации участвуют все заданные
элементы), но порядок размещения на скамейке может быть различным.
Следовательно, все элементы входят в каждую комбинацию, возможные
комбинации отличаются только порядком образующих их элементов, т.е.
это - перестановки. По формуле перестановки при k=5 получаем:
Задача 7. Сколькими различными способами можно выбрать три
лица на три различные должности (директора, менеджера и бухгалтера) из
десяти кандидатов?
Решение. По условию имеется 10 различных кандидатов (т.е. задано
множество из 10 различных элементов). Требуется составить все
возможные комбинации по 3 кандидата (элемента) в каждой комбинации.
Причем, т.к. должности различны, то важен не только состав комбинации,
но и порядок элементов в ней. Возможные комбинации отличаются
порядком сотрудников (элементов). Следовательно, здесь имеет место
размещение. По формуле размещения при k = 10, m = 3, получим:
Задача 8. Сколькими способами можно выбрать три лица на три
одинаковые должности из десяти кандидатов?
Решение. По условию имеется 10 различных кандидатов (т.е. задано
множество из 10 различных элементов). Требуется составить все
11
возможные комбинации по 3 кандидата (элемента) в каждой комбинации.
Причем, т.к. должности одинаковы, то важен только состав комбинации,
порядок элементов в ней роли не играет. Расчет возможного числа
комбинаций проводим по формуле сочетаний при k=10 и m=3:
Задача 9. На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М,
Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова
вероятность того, что получится слово МИНСК?
Решение. Обозначим событие А - получение слова МИНСК при
случайной раскладке карточек.
Пять карточек можно рассматривать как пять различных элементов,
причем в каждой комбинации (в каждой раскладке) участвуют все 5
элементов. Тогда число всех возможных комбинаций, т.е. число
равновозможных исходов, определяется как число перестановок из 5:
Благоприятствует
данному
событию
только
1
исход,
m=1.
Следовательно
Задача 10. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность
того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 окажутся стандартными.
Решение. Обозначим событие A – из 6 выбранных наудачу деталей 4
детали оказались стандартными.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно
числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т.к. порядок
выбора деталей не играет роли, а важно только какие детали оказались
выбранными, используем формулу для сочетаний при k=10 и m=6:
12
Определяем число исходов, благоприятствующих событию А - среди
6 взятых деталей 4 стандартных. Четыре стандартные детали из семи
стандартных можно взять
способами, при этом остальные 6 - 4 = 2
детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из
10 - 7 = 3 нестандартных деталей можно
способами. Следовательно,
число благоприятных исходов равно (правилу произведения):
Искомая вероятность события A равна отношению числа исходов,
благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
Задача 11. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3
сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3.
Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?
Решение. Обозначим событие А - попадание в первый сектор и
событие В – попадание во второй сектор. Эти события несовместны, т.к.
попадание в один сектор исключает попадание во второй, поэтому
применима формула сложения вероятностей несовместных событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.
Задача 12. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена
0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по
одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы
один спортсмен?
Решение. Обозначим событие А - попадание первого спортсмена в
мишень, событие В - попадание второго спортсмена в мишень, событие С 13
попадание хотя бы одного из спортсменов в мишень. Очевидно, что А + В
= С, причем события А и В совместны. В соответствии с теоремой
сложения, получаем
P(C) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Поскольку А и В - независимые события, то можно записать:
Р(С) = Р(А)+ Р(В) - Р(А)Р(В) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97 .
Задача 13. Из урны, содержащей 3 голубых и 2 красных шара, по
схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлекаются
шары. Найти вероятность 𝑃𝑘 того, что красный шар впервые появится при
k-ом испытании (k = 1, 2, 3,4).
Решение. Ведем обозначения для событий: событие А𝑘 - появился
красный шар при k-ом испытании, событие В𝑘 - впервые красный шар
появился при k-ом испытании (k = 1,2,3,4). Запишем события В𝑘 :
1) Красный шар впервые появился при первом испытании:
В1 = А1 ,
𝑃(В1 ) = 𝑃(А1 ) =
2
2
= .
2+3 5
2) Красный шар впервые появился при втором испытании:
В2 = ̅̅̅
𝐴1 ∙ 𝐴2 ,
3
2
∙
= 0,3,
5 5−1
3) Красный шар впервые появился при третьем испытании:
̅̅̅1 ) ∙ 𝑃(𝐴2 |𝐴
̅̅̅1 ) =
𝑃(В2 ) = 𝑃(𝐴
В3 = ̅̅̅
𝐴1 ∙ ̅̅̅
А2 ∙ 𝐴3 ,
̅̅̅1 ) ∙ 𝑃(А
̅̅̅2 |𝐴
̅̅̅1 ) ∙ 𝑃(𝐴3 |𝐴
̅̅̅1 ∙ ̅̅̅
𝑃(В3 ) = 𝑃(𝐴
𝐴2 ) ==
3 3−1
2
∙
∙
= 0,2.
5 5−1 5−2
4) Красный шар впервые появился при третьем испытании:
В4 = ̅̅̅
𝐴1 ∙ ̅̅̅
А2 ∙ ̅̅̅
𝐴3 ∙ 𝐴4 .
3 3−1 3−2
̅̅̅1 ) ∙ 𝑃(А
̅̅̅2 |𝐴
̅̅̅1 ) ∙ 𝑃(𝐴
̅̅̅3 |𝐴
̅̅̅1 ∙ ̅̅̅
̅̅̅1 ∙ ̅̅̅
𝑃(В4 ) = 𝑃(𝐴
𝐴2 ) ∙ 𝑃(𝐴4 |𝐴
𝐴2 ∙ ̅̅̅
𝐴3 )= ∙
∙
∙
5 5−1 5−2
2
5−3
= 0,1.
14
Задача 14. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу
шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара, в двух других
ящиках - по 8 голубых и 2 красных шара, в одном ящике - 2 голубых и 8
красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар.
Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?
Решение. Введем обозначения: событие А - извлечен красный шар,
событие 𝐻1 - в ящике 6 голубых и 4 красных шара, событие 𝐻2 - в ящике 8
голубых и 2 красных шара, событие 𝐻3 - в ящике 2 голубых и 8 красных
шаров.
Из условия задачи следует, что:
2
2
1
𝑃(𝐻1 ) = ; 𝑃(𝐻2 ) = ; 𝑃(𝐻3 ) = .
5
5
5
Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик
первого состава (𝐻1 ), равна:
𝑃(𝐴|𝐻1 ) =
4
4
= .
6 + 4 10
Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик
второго состава (𝐻2 ), равна:
𝑃(𝐴|𝐻2 ) =
2
2
= .
2 + 8 10
Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик
третьего состава (𝐻3 ), равна:
𝑃(𝐴|𝐻3 ) =
8
8
= .
2 + 8 10
В соответствии с формулой полной вероятности при n = 3 находим
искомую вероятность:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃(𝐴|𝐻1 ) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃(𝐴|𝐻2 ) + 𝑃(𝐻3 ) ∙ 𝑃(𝐴|𝐻3 ) =
= 0,4 ∙ 0,4 + 0,4 ∙ 0,2 + 0,2 ∙ 0,8 = 0,4.
Задача 15. Изделие выпускается двумя заводами. При этом объем
продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого.
15
Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго - 1 %. Изделия,
выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и
направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие
со второго завода, если оно оказалось бракованным?
Решение. Введем обозначения: событие А – приобретенное изделие
оказалось бракованным, событие H1 – изделие изготовлено на первом
заводе, событие H2 - изделие изготовлено на втором заводе.
Поскольку объем продукции второго завода в 3 раза больше объема
продукции второго, то
1
3
= 0,25; P(H2 ) = = 0,75.
4
4
Также, по условию, задано:
P(H1 ) =
Р(А| H1 )=0,02; Р(А| H2 )=0,01.
Воспользовавшись формулой Байеса, получаем:
P(H2 |A) =
P(H2 ) ⋅ P(A|H2 )
0,75 ⋅ 0,01
==
P(H1 ) ∙ P(A|H1 ) + P(H2 ) ∙ P(A|H2 )
0,25 ⋅ 0,02 + 0,75 ⋅ 0,01
P(H2 |A) = 0,6
Задача 16. Монету подбрасывают шесть раз. Какова вероятность
того, что герб выпадет только два раза.
Решение. Для вычисления искомой вероятности применим формулу
Бернулли. Число испытаний n=6, а число благоприятствующих исходов
k=2. Вероятность события (выпадения герба) p=0.5; q=1-p=0.5, тогда по
формуле Бернулле, получаем:
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ
Задача 1. Опыт состоит в подбрасывании симметричной монеты.
Событие А - "появление герба", событие В - "появление цифры". Являются
ли данные события несовместными?
16
Задача 2. Опыт состоит в том, что производится выстрел по
мишени. События А - "попадание", событие В - "промах". Являются ли
данные события равновозможными?
Задача 3. Опыт состоит в подбрасывании двух симметричных
монет. Событие А - "появление двух гербов", событие В - "появление двух
цифр". Образуют ли полную группу событий эти события?
Задача 4. Подбрасываются два игральных кубика и подсчитывается
сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего
в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.
Задача 5. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается
сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 7 очков
или 8 очков?
Задача 6. При стрельбе по мишени частота попаданий W= 0,75.
Найти число попаданий при 40 выстрелах.
Задача 7. Проделывают опыт - подбрасывание игрального кубика.
События:
- выпадение k очков, А - выпадение
четного числа очков, В - выпадение нечетного числа очков, С - выпадение
числа очков, кратного трем, D - выпадение числа очков, большего трех.
Выразить события А, В, С и D через события
.
Задача 8. Симметричная монета подброшена три раза. Какова
вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?
Задача 9. В урне находятся 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны
последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность
того, что все 3 шара голубые.
Задача 10. Имеются две урны с шарами трех цветов. В первой
находятся 2 голубых, 3 красных, 5 зеленых, а во второй - 4 голубых, 2
красных и 4 зеленых. Из каждой урны извлекают по одному шару и
17
сравнивают их цвета. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров
одинаковы.
Задача 11. В группе учится 21 студент, в том числе 5 отличников,
10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем
экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо
успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и
отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной
вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные
оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти
вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.
Задача 12. Из букв слова ротор, составленного с помощью
разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и
складываются в ряд по порядку извлечения. Какова вероятность того, что
получится слово тор?
Задача 13. Изделие выпускается двумя заводами. При этом объем
продукции второго завода в 3 раза превосходит объем продукции первого.
Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго - 1 %. Изделия,
выпущенные заводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и
направили в продажу. Какова вероятность того, что приобретено изделие
со второго завода, если оно оказалось бракованным?
Задача 14. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и
размерам шары. Два ящика содержат по 6 голубых и по 4 красных шара, в
двух других ящиках содержится по 8 голубых и по 2 красных шара, в
одном ящике - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и
из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова
вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика, где лежало
6
голубых и 4 красных шара?
Задача 15. Монету подбрасывают шесть раз. Какова вероятность
того, что герб выпадет только два раза.
18
Задача 16. Из n=100 аккумуляторов за год хранения k=7 выходит из
строя. Наудачу выбирают m=5 аккумуляторов. Определить вероятность
того, что среди них l=3 исправных.
Задача 17. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих
элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за
это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.
Задача
18.
Рабочий
обслуживает
3
станка,
на
которых
обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого
станка равна 0,02, для второго - 0,03, для третьего - 0,04. Обработанные
детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в
три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго.
Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной?
ТИПОВОЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.
В ящике 25 стандартных деталей и 5 бракованных. Вытащили три
детали. Событие А1 – первая деталь бракованная,
А2 – вторая деталь
бракованная, А3 – третья деталь бракованная. Записать событие: В – одна
деталь бракованная и одна стандартная.
2.
Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что
произведение выпавших очков не превосходит четырех.
3.
На один ряд, состоящий из пять мест, случайным образом
рассаживаются пять учеников. Найти вероятность того, что три
определенных ученика окажутся рядом.
4.
В урне 25 шаров, из них 4 черных. Наудачу взято 5 шаров. Найти
вероятность того, что среди взятых шаров не более одного черного.
19
5.
На сборку поступают детали с трех станков. Известно, что первый
станок дает 3% брака, второй –2%, третий –4%. Найти вероятность
попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило
2000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.
6.
Что вероятнее, выиграть у равносильного противника две партии из
четырех или четыре из восьми? Ничейные исходы не учитываются.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.
Предмет теории вероятностей. Виды событий.
2.
Алгебра событий: сумма, произведение и разность событий.
3.
Понятие
совместных,
противоположных
и
равновозможных
событий. Схема случаев.
4.
Классическое определение вероятности.
5.
Статистическое определение вероятности.
6.
Основные формулы комбинаторики.
7.
Теорема
сложения
вероятностей.
Сумма
вероятностей
противоположных событий.
8.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
9.
Формула полной вероятности.
10.
Формула Байеса.
11.
Формула Бернулли.
ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Подготовка к работе
Решение типовых задач
Контрольная работа
2,0 акад. час
8,0 акад. час
2,0 акад. час
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.
Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб.
пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — 5-е изд., испр.
— М.: Издательский центр «Академия», 2003. — 448 с.
20
2.
Выск Н.Д. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебное пособие. - М.: МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2011. - 168 с.
3.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - Изд. 8-е, испр.
и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
4.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2004. - 573 с.
5.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей,
математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. - М.: Айриспресс, 2008. -288 с.
6.
http://sibe.ru/Library/
СОДЕРЖАНИЕ
Основные понятия ............................................................................................... 2
Решение типовых задач ...................................................................................... 8
Задачи для самоподготовки.............................................................................. 16
Типовой вариант контрольной работы ........................................................... 19
Вопросы для самоконтроля .............................................................................. 20
Время, отведенное на выполнение работы ..................................................... 20
Рекомендуемая литература............................................................................... 20
Содержание ........................................................................................................ 21
21