РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИФУРКАЦИЙ

РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИФУРКАЦИЙ
В ЗАДАЧЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА В НЕРЕЗОНАНСНОМ СЛУЧАЕ
А.А. Алексеев, И.В. Моршнева, С.Н. Овчинникова
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
Рассматривается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей пространство между
двумя соосными цилиндрами, вращающимися независимо друг от друга, в предположении, что массовые
силы отсутствуют (задача Куэтта-Тейлора). Исследованию устойчивости и бифуркаций основного течения
в данной задаче (течения Куэтта) посвящен ряд теоретических и экспериментальных работ, обзор которых
можно найти, например, в [1]. Из этих работ известно, что потеря устойчивости течением Куэтта может
происходить с рождением вторичного стационарного либо колебательного режима. Нейтральные кривые,
соответствующие различным способам потери устойчивости, пересекаются. Для исследования режимов
движения в окрестности точек пересечения бифуркаций (точек бифуркации коразмерности 2) В.И. Юдовичем, а также независимо Ж. Иоссом и П. Шосса была построена теория бифуркаций коразмерности 2 для
задач с цилиндрической симметрией [2, 3]. Однако в [2, 3] не был рассмотрен ряд резонансных ситуаций. В
[4, 5] были указаны возможные резонансные соотношения и соответствующие им амплитудные системы.
Простейшие режимы этих амплитудных систем исследованы в серии работ В.И. Юдовича и С.Н. Овчинниковой, И.В. Моршневой и С.Н. Овчинниковой [5-7].
Данная работа посвящена изучению стационарных, периодических, квазипериодических и более
сложных режимов движения в окрестности точек пересечения бифуркаций, соответствующих нерезонансной ситуации, в случаях, когда нейтральный спектр течения Куэтта состоит из нуля и пары чисто мнимых
собственных значений, а также двух пар чисто мнимых собственных значений. В широком диапазоне параметров рассчитаны нейтральные кривые, точки пересечения нейтральных кривых, коэффициенты соответствующих амплитудных уравнений, найдены области существования и устойчивости стационарных, периодических и квазипериодических режимов, возникающих в окрестности точек пересечения нейтральных кривых. В нерезонансной амплитудной системе, соответствующей пересечению монотонной и колебательной
неустойчивости, хаотических режимов движения обнаружено не было (в ситуации основного резонанса такие движения известны из работ В.В. Колесова, А.Г. Хоперского, М.Н. Романова, например, [8]). В амплитудной системе, соответствующей пересечению нейтральных кривых колебательной потери устойчивости, с
использованием процедуры, описанной Ж. Спроттом [9], обнаружено несколько странных аттракторов.
Приведены результаты расчета показателей Ляпунова для траекторий на этих аттракторах, размерности аттракторов, исследованы их симметрийные характеристики, сценарии перехода к хаосу. Проводится сравнение результатов расчета режимов движения с известными экспериментальными работами, в частности, [10].
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным
направлениям развития научно-технологического комплекса России» на 2007‒2013гг. (госконтракт
16.516.11.6106) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009‒2013гг.,
госконтракт 14.740.11.0877.
ЛИТЕРАТУРА.
1. R. Tagg. The Couette-Taylor problem. Nonlinear Sci Today, 1994, 4: 1-25.
2. В.И. Юдович. Переходы и возникновение хаоса в течениях жидкости. Аннот. докладов 6-го Всесоюз.
съезда по теор. и прикл. механике. Ташкент: Фан, 1986, с. 661.
3. G. Iooss, P. Chossat. The Couette-Taylor problem. New-York: Springer-Verlag, 1994, 233 p.
4. V.I. Yudovich, S.N. Ovchinnikova. Resonances in the intersections of bifurcations in the Couette-Taylor problem.
Patterns and Waves, Saint-Petersburg, 2003, 55-77.
5. V.I. Yudovich, S.N. Ovchinnikova. Resonances in the codimension-2 bifurcations in the Couette-Taylor problem.
J. Math. Fluid Mech., 2009, №11, 469-491.
6. И.В. Моршнева, С.Н. Овчинникова. Резонансные режимы в окрестности точки бифуркации коразмерности 2 в задаче Куэтта-Тейлора. Изв. РАН. МЖГ, 2009, №6, с. 21-31.
7. И.В. Моршнева, С.Н. Овчинникова. Нерезонансный случай при пересечении бифуркационных кривых в
задаче Куэтта-Тейлора. ПМТФ, т.51, № 6, 2010. С. 54 - 62.
8. В.В. Колесов, А.Г. Хоперский. Неизотермическая проблема Куэтта-Тейлора. Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2009,
192 с.
9. J. Sprott. Some simple chaotic flows. Physical Review E. 1994. V. 50. pp. R647--R650.
10. C.D. Andereck, S.S. Liu, H.L. Swinney. Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating
cylinders. J. Fluid Mech., 1986, 164: 155-183.