Уравнения, приводимые к квадратным. Биквадратные уравнения

Мартышова Людмила Иосифовна – учитель математики высшей категории
МОУ-СОШ №6 г. Маркса Саратовской области
УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
(2 урока)
9 класс
Цели урока:
) образовательная: рассмотреть способы решения уравнений, приводимых к квадратным
уравнениям;
2) воспитательная: воспитывать навыки групповой работы, сознательную деятельность
учащихся;
3) развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, навыки
взаимодействия между учащимися, умение обобщать изучаемые факты.
Оборудование: кроссворд, карточки, записи на доске, презентация, компьютер,
мультимедийный проектор.
Вид урока: урок-путешествие по стране «Математика».
Ход урока
I. Организационный момент. (План путешествия, в котором перечислены названия
станций, записан на плакате или доске.)
– Сегодня мы отправимся с вами в путешествие по стране «Математика». Остановимся в
городе Уравнений третьей и четвертой степеней, продолжим знакомство с биквадратными
уравнениями, услышим сообщения об итальянских учёных – математиках.
II. Станция любителей кроссвордов. (Слайды)
У каждого из вас есть карточки с сеткой кроссворда и вопросами. Под карточку
подкладываете чистый лист и копирку. Ответы записываете только в именительном
падеже. Разгадываете кроссворд, затем карточки сдаёте, а по листу проводите
самопроверку по слайду.
По горизонтали:
1.Для квадратного уравнения с коэффициентами а,в,с выражение b2  4ac является...
(Дискриминант.)
2. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. (Корень.)
3. Уравнение вида a
x4b
x2c0, где a  0 . (Биквадратное.)
4. Французский математик. (Виет.)
5. Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (Целое.)
6. Уравнения с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней.
(Равносильные.)
По вертикали:
1. Множество корней уравнения. (Решение.)
2. Решение уравнения ax 2  0 . (Ноль.)
3. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (приведенное)
4. Равенство, содержащее переменную. (уравнение)
5. Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или c равен 0. (неполное)
III. Станция «Историческая» (Проверка домашнего задания).
Мы с вами на станции «Историческая». Нам предстоит услышать сообщения учащихся о
великих итальянских учёных- математиках. Слушайте внимательно. За интересное
дополнение тоже можно получить «5».
Историческая справка (готовит учащийся).
Ученик. В проблему решения уравнений 3-й и 4-й степеней большой вклад внесли
итальянские математики XVI в.: Н. Тарталья, А. Фиоре, Д. Кардано, Л. Феррари и др. В
1535 г. между А. Фиоре и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором
последний одержал блестящую победу. Он за 2 часа решил 30 задач, предложенных А.
1
Мартышова Людмила Иосифовна – учитель математики высшей категории
МОУ-СОШ №6 г. Маркса Саратовской области
Фиоре, а сам А. Фиоре не смог решить ни одной, заданной ему Н. Тартальей.
Учитель. Есть ли дополнения? Кто еще подготовил сообщения об итальянских ученыхматематиках? (Заслушиваются сообщения, подготовленные учащимися. Отводится по 2—
3 минуты на сообщение.)
Учитель: Итак, Н. Тарталья за 2 часа решил 30 задач. Сколько уравнений сможете решить
вы? Какие выберете способы решения уравнений?
IV. Город Уравнений. (1.Устная работа) Это не просто город уравнений, а уравнений
третьей и четвёртой степеней. Вам предстоит ответить на все вопросы. Только ответив на
все вопросы, вы сможете отправиться дальше.
1. Каким способом вы решали бы уравнения каждой из групп? (Слайд)
1) x3  x  0,
x3 9x 0,
x4 4x2 0,
y4 160.
y
1
8
y
y 20
2) 9
,
3
2
x
5
x
1
6
x

8
00
,
4
3
2
6
y
3
y
1
2
y
6
y

0
.
3
2
2
2
y

y

1

y

7
5
y
6
3) 
,
x

2
x
2
x

2
x
3

0
,




x

1
x

2
0
x
x
4
.
2
2
2
2
2
(Ответы:
1) Способ разложения на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки
или с помощью формул сокращенного умножения.
2) Способ группировки и разложения на множители.
3) Введение новой переменной и переход к квадратному уравнению.)
2. Какой множитель вы вынесли бы за скобки в примерах группы 1?
2
2
2 2
(Ответ: x(x 1)0, x(x 9)0, x (x 4)0)
3. Как вы сгруппировали бы слагаемые в примерах группы 2?
3
2
4
3
2
3
2
x

5
x
1
6
x

8
0
0
6
y

3
y

1
2
y

6
y
0
9
y

1
8
y


y2
0




(Ответ: 
, 
, 
4. Что бы вы обозначили через новую переменную в примерах группы 3?
2
(Ответ: y  y  t , x2 2x t , x2  x  t .)
4
5. Как можно разложить на множители многочлен y 160?
2
4
y240)
( Ответ: y
V. Город Уравнений (2.Практическая часть). Вы справились с устной работой в городе
Уравнений, и мы отправляемся путешествовать дальше по этому интересному городу и
продолжим знакомство с интересными уравнениями.
2
Мартышова Людмила Иосифовна – учитель математики высшей категории
МОУ-СОШ №6 г. Маркса Саратовской области
№1.Решите уравнение.
(Задания выполняют одновременно 2 ученика у доски.)
а) ( Один ученик решает у доски с объяснением.)
3
2
.
9
x

1
8
x

x20
б) (Одновременно второй учащийся у доски, решает, молча, затем объясняет решение,
класс слушает и задает вопросы, если что-то непонятно.)
2
3
2
x

x

4
1
0
x

.
№2. Решите уравнение.
(Задание выполняется самостоятельно по вариантам. Предварительно
рассматриваются с учителем вероятные замены для введения новой переменной.
Проверяется устно.)
I вариант
x

2
x
2
x

2
x
3

0
.




2
2
2
Замена для введения новой переменной
x2 2x t ,
t2 2t 30.
II вариант
2
2

x

1

x

7
x
x
0
.
Замена для введения новой переменной
x2  x  t ,
t1t70.
№3. Решите уравнение.
(Дополнительно. Для тех, кто решит раньше.)
2
2
2
xx


1
2
xx


4

2

0




.
Замена для введения новой переменной
2x2 x t ,
(t
1
)(t
4
)
2
0
.
№ 4. Решите уравнение.
(ход решения комментируется с места)
4
2
x
x

1

6
x
x

1

51
x

0





.
Решение.
4
2
x
x

1

6
x
x

1

51
x

0





,
4
2

1

6
x

5
0
x
x

,
x  1  0 или x46x250,
x  1
x46x250
x2  t ,
По теореме, обратной теореме Виета t1  t2  6, t1 t2  5 . Отсюда t1  1 , t2  5 ,
3
Мартышова Людмила Иосифовна – учитель математики высшей категории
МОУ-СОШ №6 г. Маркса Саратовской области
Значит, x 2  1 , x 2  5 ,
x  1 , x   5 .
Ответ: –1; 1;  5 ; 5 .
№5. Решите уравнение.
(Предварительно идёт обсуждение способа решения с классом. Затем учащийся решает у
доски часть примера)
x

1

x

2

x

3

x

4

3
6
0








.
Решение.
x

1

x

2

x

3

x

4

3
6
0








,
x

1

x

4

x

2
x
3

3
6
0












,
x

54
x


x5
x

6

3
6
0



2
2
t
4
6
3
6
0

t

Пусть x2 5x t , 
(Далее уравнение решается самостоятельно с последующей устной проверкой.)
2
t

1
0
t
2
43

6
00
,
2
t
1
0
t
3
3
6

0
D

1
0
04

3
3
61

4
4
4
, D0
b D
t1,2 
2a

1
0
3
8
t1

1
4
,
2

1
03
8
t2


2
4
.
2
Значит,
x2 5x14,
x25x1
40
По теореме, обратной теореме Виета
x1 x2 5, x1x2 14.
Отсюда x1  7 , x2  2 .
x2 5x24
x25
x2
40
2
, корней нет.
D

b

4
a
c

2
5

4

2
47


1
Ответ: –7; 2.
№ 6. Решите уравнение.
( Кто решит верно больше биквадратных уравнений за 10 минут, тот получит «5»). Решают
самостоятельно с последующей взаимопроверкой.
4
2
а) x
,

5
x

3
6
0
4
2
6
y
80,
б) y 
4
2
в) 4
,
x
5
x
10
4
2
2
5
x
1
4
4

0
г) x
,
4
2
y
5
y 20,
д) 5
4
2
е) t 2t 30.
№7. (Пример на повторение)
При каких значениях a уравнение t2 at90не имеет корней?
4
Мартышова Людмила Иосифовна – учитель математики высшей категории
МОУ-СОШ №6 г. Маркса Саратовской области
VI. Станция «Домашняя»
Вы прибыли на станцию «Домашняя». Получите домашнее задание:
2
2
3
x

x

4
3
x

x

4
1) Решите уравнение итальянских математиков 
.

2) Найдите и решите 3-4 уравнения, предложенные А.Фиоре и Н.Тартальей.
2
№8. Решите уравнение итальянских математиков.
x
x

4
3
x
x

4
.
3

2
2
2
Решение.
x
x

4
3
x
x

4
,
3

3
xx


4
3
xx


40
,



3
xx


4
3
xx


4

1

0




,
3
x

x

4
3
x

x

30



,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
или
3x2 x40
2
, D0
D

b

4
a
c

1

4

3

4

4
9

b D
x1,2 
2a

17
x1 
1,
6

1

7 8 1
x



1.
2
6
6 3
3x2 x30,
2
, D 0,
D

b

4
a
c

1

4

3

3

3
7

b D
x1,2 
2a
1 37
,
x1 
6
1 37
.
x2 
6
1
1 37 1 37
Ответ: 1 ; 1;
;
.
3
6
6
VII. Итог урока. Рефлексия.
1. Учитель: Наше путешествие завершено. Итак, подсчитайте, сколько решил каждый
из вас уравнений. За 2 урока весь класс решил… уравнений. Оценки за урок...
2. Что интересного, нового вы узнали на уроке, путешествуя по городу Уравнений
третьей и четвёртой степени?
3. Понравилось ли вам решать уравнения итальянских математиков? Почему?
5