Прямоугольный треугольник

Основные свойства
Треугольник – это геометрическая фигура, которая
состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой
(вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в
этих точках (сторон треугольника).
Углами
(внутренними
углами)
треугольника
называются три угла, каждый из которых образован
тремя лучами, выходящими из вершин треугольника
и проходящими через две другие вершины.
Внешним углом треугольника называется угол,
смежный внутреннему углы треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°:
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов,
не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с
ним не смежного:
Длина
каждой
стороны
треугольника
больше
разности и меньше суммы длин двух других сторон:
В треугольнике против большего угла лежит большая
сторона, против большей стороны лежит больший
угол:
Средней линией треугольника называется отрезок,
который соединяет середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника параллельна одной из
его сторон и равна её половине:
Равенство треугольников
Треугольники называются равными, если у них
соответствующие стороны равны и соответствующие
углы равны:
У равных треугольников все соответствующие
элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы,
биссектрисы, средние линии и т.д.)
В равных треугольниках против равных сторон лежат
равные углы, а против равных углов – равные
стороны.
Первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного
треугольника равны соответственно двум сторонам и
углу между ними другого треугольника, то такие
треугольники равны:
Второй признак равенства треугольников.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного
треугольника равны
соответственно
стороне
и
прилежащим к ней углам другого треугольника, то
такие треугольники равны:
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника равны
соответственно трём сторонам другого треугольника,
то такие треугольники равны:
Подобие треугольников
Подобными называются треугольники, у которых
соответствующие стороны пропорциональны.
Коэффициент
пропорциональности
коэффициентом подобия:
называется
Два треугольника подобны, если:

Два угла одного треугольника равны двум углам
другого треугольника.

Две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого, и углы,
образованные этими сторонами, равны.

Стороны одного треугольника пропорциональны
сторонам другого.
У подобных треугольников соответствующие углы
равны,
а
соответствующие
отрезки
пропорциональны:
Отношение периметров подобных
равно коэффициенту подобия.
треугольников
Отношение площадей подобных треугольников равно
квадрату коэффициента подобия.
Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и
параллельная
третьей,
отсекает
треугольник,
подобный данному:
Три средние линии треугольника делят его на четыре
равных
треугольника,
подобные
данному,
с
коэффициентом подобия ½:
Медианы треугольника
Медианой треугольника называется отрезок, который
соединяет вершину треугольника с серединой
противолежащей стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной
точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от
вершины:

Медиана делит треугольник на два равновеликих
(с равными площадями) треугольника.

Три медианы треугольника делят его на шесть
равновеликих треугольников:
Длины медиан, проведённых
сторонам треугольника, равны:
к
соответствующим
Биссектрисы треугольника
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной
вершины, называется отрезок биссектрисы угла
треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на
противолежащей стороне.
Биссектрисы
внутренних
углов
треугольника
пересекаются в одной точке, находящейся внутри
треугольника, равноудалённой от трёх его сторон,
которая является центром окружности, вписанной в
данный треугольник.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит
противолежащую
углу
сторону
на
отрезки,
пропорциональные двум другим сторонам:
Длина биссектрисы угла А:
Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.
Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую
сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
BL – биссектриса угла В;
ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК:
Высоты треугольника
Высотой треугольника называется перпендикуляр,
опущенный из любой вершины треугольника на
противолежащую сторону или на продолжение
стороны.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке,
которая называется ортоцентром треугольника.
Высоты треугольника обратно пропорциональны его
сторонам:
Длина высоты, проведённой к стороне а:
Серединные перпендикуляры
Серединный перпендикуляр – это прямая, которая
проходит через середину стороны треугольника
перпендикулярно к ней.
Три
серединных
перпендикуляра
треугольника
пересекаются в одной точке, которая является
центром окружности, описанной около данного
треугольника.
Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с
серединным
перпендикуляром
противолежащей
стороны лежит на окружности, описанной около
данного треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник,
если она касается всех его сторон.
Точки
касания
вписанной
окружности
сторон
треугольника отсекают от его сторон три пары
равных между собой отрезков:
Радиус вписанной в треугольник окружности
расстояние от её центра до сторон треугольника:
–
Окружность, описанная около треугольника
Окружность
называется
описанной
около
треугольника, если она проходит через все его
вершины.
Радиус описанной окружности:
Расположение центра описанной окружности
Центр описанной
окружности
остроугольного
треугольника расположен
внутри треугольника.
Центр описанной
окружности прямоугольного
треугольника совпадает с
серединой его гипотенузы.
Центр описанной
окружности
тупоугольного
треугольника
расположен вне
треугольника.
Равнобедренный треугольник
Треугольник называется равнобедренным, если у
него две стороны равны. Равные стороны называют
боковыми сторонами, а третью – основанием
равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны: ∠A = ∠C.
В
равнобедренном
треугольнике
медиана,
проведённая к основанию, является и биссектрисой,
и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.
Основные
формулы
треугольника:
для
Равносторонний треугольник
равнобедренного
Треугольник у которого все стороны равны
называется
равносторонним
или
правильным
треугольником.
Центры
вписанной
и
описанной
правильного треугольника совпадают.
окружностей
Все углы равностороннего треугольника равны:
∠A = ∠В = ∠C = 60°.
Каждая медиана равностороннего треугольника
совпадает с биссектрисой и высотой, которые
проведены из той же вершины:
Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника
Прямоугольный треугольник
Треугольник называется прямоугольным, если у него
есть прямой угол.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются
катетами,
противолежащая
прямому
углу
–
гипотенузой.
Прямоугольные
равны:
треугольники
равны
если

два катета;

катет и гипотенуза;

катет и прилежащий острый угол;

катет и противолежащий острый угол;
у
них
гипотенуза и острый угол.
Подобие прямоугольных треугольников
устанавливают по:


одному острому углу;

из пропорциональности двух катетов;
из пропорциональности катета и гипотенузы.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда
больше любого из катетов.
Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение прилежащего
катета к гипотенузе:
Синусом острого угла прямоугольного треугольника
называется отношение противолежащего катета к
гипотенузе:
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника
называется отношение противолежащего катета к
прилежащему:
Котангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение прилежащего
катета к противолежащему:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и проекцией
этого катета на гипотенузу:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая
из
вершины
прямого
угла,
есть
среднее
пропорциональное между проекциями катетов на
гипотенузу:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая
из вершины прямого угла, может быть определена
через катеты и их проекции на гипотенузу:
Медиана, проведённая из вершины прямого угла,
равна половине гипотенузы:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая
из вершины прямого угла, делит данный треугольник
на два треугольника, подобные данному:
Площадь
прямоугольного
определить
треугольника
можно
через катеты:
через катет и острый угол:
через
гипотенузу
и
острый
угол:
Центр описанной окружности совпадает с серединой
гипотенузы.
Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
Вневписанные окружности
Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и
продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.
Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного
внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.
Так точка О1, центр одной из вневписанных окружностей ΔABC, лежит на
пересечении биссектрисы ∠A треугольника ABC и биссектрис BО1 и CО1 внешних
углов ΔABC при вершинах B и C.
Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три
внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх
вневписанных окружностей.
ΔABC является ортоцентричным в ΔО1О2О3 (точки A, B и C – основания высот
в ΔО1О2О3).
В ΔО1О2О3 углы равны 90°–½A, 90°–½B, 90°–½C.
В ΔABC углы равны 180°–2О1, 180°–2О2, 180°–2О3.
Радиус окружности, описанной около ΔО1О2О3, равен 2R, где R – радиус
окружности, описанной около ΔABC.
ΔABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в
ΔО1О2О3.
Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в ΔABC, то в ΔABC верно:
для r –
для R –
для S –
для самих ra , rb , rс –
Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
Теорема
косинусов. Квадрат
любой
стороны
треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения этих сторон на
косинус угла между ними:
или
Следствие 1:

если c2 > a2+b2, то угол γ – тупой (cos γ < 0);

если c2 < a2+b2, то угол γ – острый (cos γ > 0);

если c2 = a2+b2, то угол γ – прямой (cos γ = 0).
Следствие 2:
Теорема
синусов. Стороны
треугольника
пропорциональны синусам противолежащих углов.
Коэффициент пропорциональности равен диаметру
описанной окружности:
Теорема тангенсов (формула Региомонтана):